NGUYÊN HÀM_CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

Chuyên đề: TÍCH PHÂN _ ỨNG DỤNGChủ đề 1: NGUYÊN HÀM_CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT 1.. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K

Chuyên đề: TÍCH PHÂN _ ỨNG DỤNG

Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM_CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT

1 Nguyên hàm

a Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số   F x  

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu   F x'    f x với mọi xK

b Định lí:

1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số  

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K  

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x trên K  

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K  

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u ax b a  ; 0

Nguyên hàm của hàm số hợp u u x   

cot1

II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu  f u u F u d   C và u u x   là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Vì v x dx dv u x dx dv'   , '   nên đẳng thức còn được viết dưới dạng: u v uvd  v ud

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI NĂM 2019-2020) Hàm số F x  gọi là một

nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  a b; nếu có

A f x F x , x  a b; B F x  f x   C, x  a b;

C f x F x   C, x  a b; D F x  f x , x  a b;

Câu 2: (SỞ GD&ĐT KONTUM NĂM 2019-2020) Cho f x   ;g x là các hàm số xác định và liên tục

trên Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 4: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2019-2020 LẦN 03) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A f x dx   f x C với mọi hàm f x  có đạo hàm trên

B f x   g x dx f x dx  g x dx  với mọi hàm f x g x   , liên tục trên

C f x   g x dx f x dx  g x dx  với mọi hàm f x g x   , liên tục trên

D      2

2

  với mọi hàm f x  liên tục trên

Câu 5: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2019-2020 LẦN 02) Khẳng định nào sau đây sai ?

d4

Câu 11: (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH NĂM 2019-2020) Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A sin d x xcosxC B 12 d cot

A cos x B sin x C cos x D sin x

Câu 13: (THPT ĐÀO DUY TỪ NĂM 2019-2020) Cho hàm số   3   2

F x mx  m x  x là một nguyên hàm của hàm số   2

D Mọi hàm số f x 0 liên tục trên đoạn a b; đều có nguyên hàm trên đoạn  a b;

Câu 15: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2019-2020 LẦN 04) Trong các hàm số

sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của   3

Câu 21: (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI NĂM 2019-2020 LẦN 03) Họ nguyên hàm

2

2 3

d1

x x

Câu 23: (THPT CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2019-2020 LẦN 02) Một vật đang chuyển động với vận

tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc   3 2

m/s1

a t t



 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi vận tốc sau 10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.13m/s B 14m/s C 11m/s D 12m/s

Câu 24: (MĐ 101-BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3 x

A cos 3 xdx3sin 3xC B cos 3 sin 3

A 7 d x x7 ln 7x C B 7 d 7

ln 7

x x

(với a , b, c ) Giá trị của ab c bằng

Câu 33: Họ tất cả nguyên hàm của hàm số   1 2

1cos

Câu 34: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số F x  nào sau đây là một

nguyên hàm của hàm số f x g x    , biết F 1 3,  f x dx x C1 và   2

A x3lnx 1 C B x3lnx 1 C. C

 2

3

.1

1

C x

11

1.8

1.6

A.2 cot 2x C B cot 2x C C cot 2x C D 2 cot 2x C

Câu 63: (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI NĂM 2019-2020 LẦN 01) Họ tất cả các nguyên hàm của

Câu 64: (THPT ĐÀO DUY TỪ NĂM 2019-2020) Giả sử F x  là một nguyên hàm của hàm số

x

.2

Câu 71: (THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM NĂM 2019-2020) Cho hàm số y f x  liên tục

trên đồng thời thoả mãn: f x( ) 3 5sinx, f(0) 14 Khẳng định nào sau đây đúng?

A f( ) 35 B f x( )3x5sinx9.C f x( )3x5 cosx9 D 3 9

f      

Câu 72: Biết rằng F x  là một nguyên hàm trên của hàm số  

 2018 2

20171

1 22

Câu 76: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 29) Cho hàm số y f x 

không âm và liên tục trên khoảng 0; Biết f x là một nguyên hàm của hàm số

x

13

Câu 78: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 33)Cho hàm số ( )f x có đạo

hàm liên tục trên ( 1; ) Biểu thức   2

Câu 81: (THPT THÁI PHÚC THÁI BÌNH NĂM 2019-2020 LẦN 03)Cho hàm số f x có đạo hàm liên

tục trên thoả mãn f x  f x   2x3e x và f  0 2 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f x 0 có giá trị là

Câu 86: Cho hàm số f x  xác định trên \ 2 thỏa mãn   3 1

Câu 89: (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI NĂM 2019-2020 LẦN 02) Cho hàm số f x  có đạo hàm

trên 0;  thỏa mãn f x xsinx f ' x cosx và

Câu 90: (THPT THÁI PHIÊN HẢI PHÒNG NĂM 2019-2020) Cho F x cos 2x là một nguyên hàm

của hàm số f x  tanx Nguyên hàm của hàm số tan x f x bằng

Câu 91: (THPT THẠCH THÀNH 3 THANH HÓA NĂM 2019-2020) Cho hàm số y f x  có đạo

hàm liên tục trên  1; 4 thỏa mãn f  1 26 và     3 2

f x x f x  x  x Tính f  4

A 400 B 2020 C 404 D 2022

Câu 92: (THPT CHUYEN HA NOI AMSTERDAM NAM 2019-2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm

trên đoạn  1; 4 Biết 2xf x  f x 2xf x ,   3

12

Câu 94: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn   f x sin x f x 2020.sin ,x  x và

20202

Câu 96: (THPT CHUYEN HA NOI AMSTERDAM 2019-2020) Cho hàm số y f x  đồng biến trên

0;; y f x  liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn   4

39

864

Câu 97: (THPT HẢI HẬU A NAM ĐỊNH 2019-2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x   0, x 0

và có đạo hàm f x'  liên tục trên khoảng 0; thỏa mãn f x'   2x1  f2 x , x 0 và

53

Câu 102: (SỞ GD QUẢNG NAM 2019)Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;  Khi

d

x x



2 f x C B f  x C C 2 f  x C D 2 f x C

Câu 103: (SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN NĂM 2019-2020) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn f x   0, x Biết f  0 1 và f  x  3x2  f x , khi đó giá f  1 bằng

A

1 2

1 2



.2

Câu 110: (THPT QUẢNG XƯƠNG 1 THANH HÓA NĂM 2019-2020 LẦN 01) Cho

e x

 , nếu đặt 1

 x

1

x x

e x





 , bằng cách đặt u x1 ta được nguyên hàm nào?



2 2

1 x

C x

A x22 cosx x2 sinx C B x22 cosx x2 sinx C

C x x2 cosxC D x22 cosx x2 sinx C

Câu 119: Một nguyên hàm của   2

Câu 131: (ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 01)Cho hàm số f x  liên tục trên Biết cos 2x là

một nguyên hàm của hàm số f x e  x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   x

f x e là

A sin 2xcos 2xC. B 2 sin 2xcos 2xC

C 2 sin 2xcos 2xC D 2 sin 2xcos 2xC

Câu 132: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 07) Cho hàm số f x  liên

tục trên từng khoảng của tập xác định Biết tan 2x là một nguyên hàm của hàm số   2

Câu 133: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 25) Cho hàm số f x  liên

tục trên Biết sin 2x là một nguyên hàm của hàm số   x

hàm số   x

f x e là

A 2 cos2xsin 2x C B 2 cos2xsin 2x C

C 2 cos2xsin 2x C D 2 cos2xsin 2x C

Câu 134: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ BGD&ĐT NĂM 2018-2019 ĐỀ SỐ 08) ChoF x là một nguyên hàm

4cos

F x dx x

 

Câu 136: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 29) Cho hàm số f x liên

tục trên Biết x4 là một nguyên hàm của hàm số  ex

x là

A xsinxcosxxcosxC B xsinxxcosxC

C xsinx2 cosx xC D x2 sinxxcosxC

Câu 142: (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2019-2020)Cho hàm số   2

A

2 2

2 2

C x

22

x

C x





2 2

22

x x

C x

F a

Câu 147: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG 2019-2020)Gỉa sử F x là một nguyên hàm

G     a b c

  , với , ,a b c là các số hữu tỉ Tổng a b c bằng

A 11

16 B

5 16

Câu 150: (SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f x .Biết hàm số đã cho

thỏa mãn hệ thức  sin =  cos xcos

IV LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: (THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI NĂM 2019-2020) Hàm số F x  gọi là một

nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  a b; nếu có

Câu 2: (SỞ GD&ĐT KONTUM NĂM 2019-2020) Cho f x   ;g x là các hàm số xác định và liên tục

trên Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 4: (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2019-2020 LẦN 03) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A f x dx   f x C với mọi hàm f x  có đạo hàm trên

B f x   g x dx f x dx  g x dx  với mọi hàm f x g x   , liên tục trên

C f x   g x dx f x dx  g x dx  với mọi hàm f x g x   , liên tục trên

D      2

2

  với mọi hàm f x  liên tục trên

Câu 5: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2019-2020 LẦN 02) Khẳng định nào sau đây sai ?

Theo tính chất và các nguyên hàm cơ bản, ta thầy đáp án A, B, D đúng

Đáp án C sai vì F(x) và G(x) sai khác nhau một hằng số C

Câu 6: (ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 02) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

Câu 7: (THPT AN DƯƠNG HẢI DƯƠNG NĂM 2019-2020) Cho biết F x là một nguyên hàm của

d4

Câu 11: (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH NĂM 2019-2020) Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A sin d x xcosxC B 12 d cot

Ta có: cos d x xsinx C sinx C  cosx

Câu 13: (THPT ĐÀO DUY TỪ NĂM 2019-2020) Cho hàm số   3   2

F x mx  m x  x là một nguyên hàm của hàm số   2

3 10 4

f x  x  x Giá trị của tham số m là

A m2 B m0 C m1 D m 1

Lời giải:

Câu 15: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2019-2020 LẦN 04) Trong các hàm số

sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của   3

Câu 18: (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm của hàm số   4

2

d3

x x

x x

x

x x

Câu 23: (THPT CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2019-2020 LẦN 02) Một vật đang chuyển động với vận

tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc   3 2

m/s1

a t t



 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi vận tốc sau 10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.13m/s B 14m/s C 11m/s D 12m/s

Lời giải:

Ta có     3

3ln 11

Do vật đang chuyển động với vận tốc 6 m/s thì tăng tốc nên v 0 6 m/s

Suy ra v 0 3ln 1  C 6 hay C6 Vậy v t 3ln t 1 6

Vận tốc của vật sau 10 giây là v 10 3ln11 6 13, 2m/s 

Câu 24: (MĐ 101-BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3 x

A cos 3 xdx3sin 3xC B cos 3 sin 3

C   1 2

cos 22

F x  x  x C Vì F 0 1 nên ta có C2 Vậy   1 2

cos 22

Câu 27: (ĐTK BGD&ĐT NĂM 2018-2019)Họ nguyên hàm của hàm số f x exx là

A exx2C B 1 2

e2

 

Lời giải:

Ta có  f x dx  exxdx 1 2

e2

(với a , b, c ) Giá trị của ab c bằng

Câu 34: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số F x  nào sau đây là một

nguyên hàm của hàm số f x g x    , biết F 1 3,

x x x

A x3lnx 1 C B x3lnx 1 C. C

 2

3

.1

1

C x

Câu 43: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 27)Họ tất cả các nguyên hàm

của hàm số  

2 3

Câu 46: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ BGD&ĐT NĂM 2018-2019 ĐỀ SỐ 04) Biết

31

22

52

P b

Câu 49: (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI NĂM 2019-2020 LẦN 01 ) Họ tất cả các nguyên hàm của

 

1sin 3 cos

a b c

11

1.6

Suy ra: 4 sin2x xd  2 2 cos 2 x xd 2xsin 2x C  a 2,b 1 Vậy a b 1

Câu 56: Biết 2 cos4x x ax bd   sin 2x c sin 4x C a b c , , ,  ,C  Tính 4a2b16 c

Câu 58: Biết 4 sin cosx 2x x ad  cos 3x b cosx C a b , ,  ,C  Tính ab

1.6

Điều kiện: sinx0

Ta có: sin 5xsinx4xsin cos 4x xcos sin 4x x

2 2

sin cos 4 4 cos sin cos 2 sin cos 4 2 cos2 1 cos 2

sin cos 4 2cos 2 2 cos 2 sin 2 cos 4 2 cos 2 1

Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số là 0; 1  và  3;5

Câu 65: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số

x

.2

Câu 66: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020) Gọi F x  là một nguyên hàm

của hàm số   e2 6

e

x x

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là ln2 + ln3 = ln6

Câu 67: (THPT ĐÀO DUY TỪ NĂM 2019-2020) Giả sử nguyên hàm của hàm số

2

1( )

Câu 71: (THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM NĂM 2019-2020) Cho hàm số y f x  liên tục

trên đồng thời thoả mãn: f x( ) 3 5sinx, f(0) 14 Khẳng định nào sau đây đúng?

21

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là   1 20181 1 220182017

Câu 76: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 29) Cho hàm số y f x 

không âm và liên tục trên khoảng 0; Biết f x là một nguyên hàm của hàm số

x

13

Câu 78: (ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐTK BGD&ĐT LẦN 01 NĂM 2019-2020 ĐỀ 33)Cho hàm số ( )f x có đạo

hàm liên tục trên ( 1; ) Biểu thức   2

Câu 81: (THPT THÁI PHÚC THÁI BÌNH NĂM 2019-2020 LẦN 03)Cho hàm số f x có đạo hàm liên

tục trên thoả mãn f x  f x   2x3e x và f  0 2 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f x 0 có giá trị là

Lời giải:

Ta có: f x  27 cosx dx 2x7 sinxC; f  0   3 C 3 f x 2x7 sinx3

Câu 83: (THPT CHUYEN HA NOI AMSTERDAM 2019-2020) Cho   21 1

1

01

D f

2

x f   C nên f  3  2 ln 5Nên f   1 f  3  3 ln15

Câu 86: Cho hàm số f x  xác định trên \ 2 thỏa mãn   3 1

x x

 f  

Câu 89: (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI NĂM 2019-2020 LẦN 02) Cho hàm số f x  có đạo hàm

trên 0;  thỏa mãn f x xsinx f ' x cosx và

Hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng 0; 

  suy ra C 1 Vậy f x cosxx Suy ra f     1 

Câu 90: (THPT THÁI PHIÊN HẢI PHÒNG NĂM 2019-2020) Cho F x cos 2x là một nguyên hàm

của hàm số f x  tanx Nguyên hàm của hàm số

 

tan x

f x bằng

Câu 91: (THPT THẠCH THÀNH 3 THANH HÓA NĂM 2019-2020) Cho hàm số y f x  có đạo

hàm liên tục trên  1; 4 thỏa mãn f  1 26 và     3 2

Câu 92: (THPT CHUYEN HA NOI AMSTERDAM NAM 2019-2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm

trên đoạn  1; 4 Biết 2xf x  f x 2xf x ,   3

12

2

42

Trên đoạn  0;5 , lấy nguyên hàm hai vế ta có:  f x( ).exdx 3x1dx

2( ).e (3 1) 3 1

Câu 96: (THPT CHUYEN HA NOI AMSTERDAM 2019-2020) Cho hàm số y f x  đồng biến trên

0;; y f x  liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn   4

39

A f  8 49 B f  8 256 C   1

816

864

Vì   4

39

f  nên 2 8 2

3 3

C    Suy ra   1  3 2

1 23

  , suy ra f  8 49

Câu 97: (THPT HẢI HẬU A NAM ĐỊNH 2019-2020) Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x   0, x 0

và có đạo hàm f x'  liên tục trên khoảng 0; thỏa mãn f x'   2x1  f2 x , x 0 và

53

f m   m m   m suy ra y f m  nghịch biến trên ; 2

Vậy phương trình f m 7 có duy nhất nghiệm m1

Với m  1 C 2 Suy ra   1  2 3

3

F x  x   Vậy có một giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán