Lí thuyết và một số ứng dụng định lí Ceva, Menelaus, Dirichlet

Lời giải: Áp dụng định lí Ceva trong tam giác ABO với ba đường đồng quy OI, AD, BC ta có: Tam giác AOB có K, D, C nằm trên đường thẳng cắt ba cạnh của tam giác nên theo Hay IA IB=KA KB đ

Chuyên đề 1.1: Đ NH LÝ MENELAUS ỊNH LÝ MENELAUS

I Phát biểu và chứng minh

1 Phát biểu:

Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm P,

Q, R tương ứng sao cho mỗi điểm không trùng với đỉnh tam giác Khi đó ba điểm P,

Bài 1: (Olympic Toán học Canada, 2001)

Cho tam giác ABC với AB > AC Gọi P là giao điểm của đường trung trực của BC vàđường phân giác trong của góc A Dựng các điểm X trên AB và Y trên AC sao cho

PX vuông góc với AB và PY vuông góc với AC Gọi Z là giao điểm của XY và BC Xác định giá trị tỉ số ZC BZ.

mà AY = YC, CY = BX nên CZ ZB = 1 hay ZC BZ = 1

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, biết AB = 12 và AC = 16

Điểm E và F lần lượt trên hai cạnh AC và AB sao cho AE = 2AF Các đường EF và

Kéo dài BC và EF cắt nhau tại H.

Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác FBH cát tuyến AGM ta có:

Bài 3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là các

tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP,

Gọi I là giao của QM và BD

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với 3 điểm Q, M, I thẳng hàng ta có

Ta có MB = NB, DQ = DP, PC = NC

NB ID PC ID NB

DP IB   PD IB NC  , do đó theo định lý Menelaus thì I, N, P thẳng hàng

Bài 4: Cho tam giác ABC và ba điểm A1, B1, C1 tương ứng nằm trên ba cạnh BC, AC,

AB sao cho các đường thẳng AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại O Giả sử ba cặp đường thẳng AB và A1B1, BC và B1C1, CA và C1A1 lần lượt cắt n.hau tại ba điểm C2, A2, B2 Chứng minh rằng C2, A2, B2 thằng hàng

B1 C1

A1

Áp dụng định lí Menelaus vào các tam giác và các điểm:

- Tam giác OAB và 3 điểm A1, B1, C2 ta có:

Bài 5 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn

(O) MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các

đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D Gọi I là giao điểm của

CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng

d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng

Ta có: ∠ EFB=∠ EBA (cùng phụ với góc EAB);

∠ EBA=∠ EMC(tứ giác AMEB nội tiếp)

N

F

Gọi M là trung điểm của BC, giả sử AD

∠ DCP=∠CAB ⇒∠ BCE=∠BAC =∠ ABC −∠BCE=∠ BAD−∠ DCP=∠DAC

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại B, D cắt

nhau tại P nằm trên tia AC Tiếp tuyến của (O) tại C cắt PD, AD tại Q, R AQ cắt (O) tại điểm thứ hai E Chứng minh rằng B, E, R thẳng hàng

T S

G F

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BE và CF cắt

nhau tại H Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC của đường tròn (O), MC cắt BE tại

L, FC cắt BM tại K Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của KL

Lời giải:

X K

M

H F

E O

L

A

Gọi X là giao điểm của EF và XL

Xét tam giác HKL cát tuyến EFX, theo định lí Menelaus ta có:

EC=

cos ABC

cosACB (3)Xét ∆ BKF và ∆ CLE có : ∠ KBF=∠ LCE (cùng bù ∠ ABM )

∠ KFB=∠ LEC (¿90 °)

Do đó: ∆ BKF ∆ CLE (g.g) suy ra BF EC=FK

EL

Thay vào (3) ta được: FK EL=cos ABC

cosACB (4)

Từ (1), (2), (4) suy ra XK XL=cos ABC

cosACB.cosACB cosABC = 1Vậy XK = XL, ta có điều phải chứng minh

Bài 10: (Bankal, Senior, 1995)

Cho hai đường tròn tâm O và O’ gặp nhau tại A và B sao cho OA vuông góc với OA’.OO’ cắt hai đường tròn tại C, E, D, F sao cho các điểm C, O, E, D, O’, F nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CA tại

M BD cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là L và cắt AF tại N Chứng minh rằng:

(do tam giác AOB cân và tứ giác ABCD nội tiếp)

Do đó chỉ cần chứng minh AM AC=AF

AN hay MN//CF

Thật vậy, ta có: ∠ MAN=∠CAF=180 °−(∠ ACF +∠ AFC )=135°

∠ MBN=∠EBA+∠ ABD=∠ EFA +∠ ACD=45 °

(do AFBE và ACBD nội tiếp)Suy ra AMBN nội tiếp, từ đó:

∠ AMN=∠ ABN =∠ ABD=∠ ACD=∠ ACF

Suy ra MN//CF, ta có điều phải chứng minh

Chuyên đề 1.2: Đ NH LÝ CEVA ỊNH LÝ MENELAUS

*Phần thuận:

Giả sử ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại

điểm O Từ A và C kẻ các đường thẳng song song

với BF, chúng lần lượt cắt CG và AE tại K, L

GB hay G≡G ' Vậy AE, BF, CG đồng quy (đpcm)

3 Dạng lượng giác của Định lí Ceva:

Gọi M, N, P lần lượt là ba điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Khi đó ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau tại một điểm K khi:

N P

Bài 1: Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B

sao cho AD cắt BC tại E các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K Tia OE cắt AB tại I Chứng minh rằng IA IB=KA

KB.

Lời giải:

Áp dụng định lí Ceva trong tam giác ABO

với ba đường đồng quy OI, AD, BC ta có:

Tam giác AOB có K, D, C nằm trên đường

thẳng cắt ba cạnh của tam giác nên theo

Hay IA IB=KA

KB (đpcm)

Bài 2 Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường

phân giác của góc BCA, N và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuốngđường phân giác của góc ABC Gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF và CL,

D là giao của BL và AC Chứng minh rằng DE song song với MN

Lời giải:

Kéo dài AM cắt BC tại G, kéo dài AN cắt

BC tại I, kéo dài CL cắt AB tại J

Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt

nhau tại F, theo định lý Ceva ta có

C

A

I K

J

I G

D

N

L M

A

F E

Vì BH = CH nên

CE DB

EL LD , suy ra DE // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN song song với DE

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB ≠AC Gọi V là giao điểm của phân giác góc A vớicạnh BC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC Nếu E và F tương ứng làcác giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và CB, hãychứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

Theo định lí Ceva AD, BE, CF đồng quy (đpcm)

Bài 4: Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là

phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy

Lời giải:

Từ A kẻ đường thẳng song song

với BC cắt HE, HD tại M và N

Vì HA là phân giác của góc A,

HA là đường cao nên AM = AN

suy ra AH, BE, CD đồng quy.

Bài 5 Cho ABC vuông tại A, đường cao AK Dựng bên ngoài tam giác những hình

vuông ABEF và ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy

Áp dụng định lý Ceva cho ABC thì AK, BG, CE đồng quy

Bài 6: (Thi chọn đội tuyển Hong Kong lần 1, 1998)

Cho tam giác ABC Các tam giác ABX, BCY và CAZ cân và đồng dạng nhau, chúng

ở ngoài tam giác ABC và thỏa mãn XA = XB, YB = YC, ZC = ZA Chứng minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng quy

Theo định lí Ceva AL, BM, CN đồng quy hay AY, BZ, CX đồng quy (đpcm).

Bài 7: Cho tam giác ABC và đường tròn (I) nội tiếp, tiếp xúc với BC, CA, AB lần

lượt tại D, E, F Gọi D’, E’, F’ là các điểm đối xứng qua I Chứng minh rằng các đường AD’, BE’, CF’ đồng quy

Lời giải:

T

V

E' Q J

P H

F'

D'

E

D I A

K

Qua D’, E’, F’ dựng các tiếp tuyến với (I)

Tiếp tuyến qua D’ cắt AB, AC tại H, P

Tiếp tuyến qua E’ cắt AB, BC tại J, Q

Tiếp tuyến qua F’ cắt AC, BC tại V, T

Suy ra: HP // BC, JQ // AC, VT // AB

Áp dụng định lí Ceva suy ra AD’, BE’, CF’ đồng quy (đpcm).

Bài 8 : (Bài đề nghị cho IMO của nước Anh, 2000)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực tâm của một tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng tồn tại các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho OD + OH = OE + EH = OF + FH và các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.Lời giải:

Kéo dài AH cắt đường tròn ngoại tiếp

tại L và cắt BC tại K D là giao điểm của

Tam giác HBK có BK vừa là đường cao

vừa là phân giác nên cân tại B Do đó

BK hay BC là đường trung trực của HL

Mà ∠OBL=∠OLB do tam giác OBL cân tại O nên∠OLB=∠ ABC

Suy ra ∠ BOL=180 °−2 ∠ ABC

Tương tự: ∠COD=180°−2∠ ACB

Áp dụng định lí hàm số Sin trong tam giác BDO và CODL:

E

D

L

O A

Chuyên đề 2: NGUYÊN LÝ DIRICHLET

*Nguyên lí Dirichlet hay còn gọi là nguyên lí “chuồng và thỏ” có phát biểu rất đơn giản: “Nếu nhốt 3 con thỏ vào 2 cái chuồng thì phải có một chuồng chứa ít nhất con thỏ” Thế nhưng trái với vẻ ngoài đơn giản và gần như hiển nhiên đó, nguyên lí này

có những ứng dụng rất hiệu quả và sâu sắc trong các chứng minh toán học, đặc biệt

là trong các chứng minh về sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn những tính chất nào đó.

I Phát biểu và chứng minh

1 Phát biểu:

Nếu nhốt n.m + r (m, n, r là các số nguyên dương) con thỏ vào n cái chuồng thì phải

có ít nhất một chuồng chứa không ít hơn m + 1 con thỏ

2 Chứng minh

Giả sử ngược lại, mỗi chuồng chứa không quá m con thỏ thì tổng số thỏ sẽ không vượt quá m.n con, mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ bằng m.n + r con

Vậy giả sử sai Ta có điều phải chứng minh

II Ứng dụng: Một số dạng áp dụng nguyên lí Dirichlet

Dạng 1: Phân chia tập hợp để tạo các n-tập xem như các “chuồng”

Nội dung cơ bản của phương pháp là chia một đối tượng lớn thành nhiều đối tượng nhỏ Sau đó áp dụng nguyên lí Dirichlet cho một hoặc nhiều đối tượng nhỏ nào đó

Ví dụ 1: Trong hình vuông có cạnh bằng 1 đặt 51 điểm bất kì phân biệt Chứng minh

rằng có ít nhất ba trong số 51 điểm đó nằm trong một hình tròn có bán kính bằng 17.Lời giải:

Chia hình vuông đã cho thành 25 hình vuông con có độ dài cạnh bằng 0,2

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD và 25 đường thẳng Mỗi đường thẳng chia

ABCD thành hai hình thang với tỉ số diện tích là 13 Chứng minh rằng trong 25 đường thẳng đó có 7 đường thẳng đồng quy

Lời giải: Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC, BD

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AB, BC, CA, AD

K, H, I, J lần lượt là trung điểm các đoạn OQ, ON, OM, OP

F

H K

J

I

N Q

Gọi d là đường thẳng bất kì qua K, cắt AB, DC lần lượt tại E, F

Ta có: S AEFD

S EBCF=

1 3Tương tự với các điểm J, H, I ta thấy bất kì đường thẳng nào đi qua 1 trong 4 điểm đều chia hình bình hành ABCD thành 2 hình thang với tỉ số diện tích là 1:3

Theo nguyên lí Dirichlet xét 25 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm ấy tồn tại 1 điểm

có ít nhất 7 đường thẳng đi qua

Vậy ít nhất 7 trong 25 đường thẳng này sẽ đồng quy tại 1 trong 4 điểm K, H, I, J (đpcm)

Ví dụ 3: Trong hình tròn (ϖ) tâm O bán kính R = 2,5 cho 10 điểm bất kì Chứng minh rằng có 2 điểm mà khoảng cách của chúng nhỏ hơn 2

Lời giải:

Chia hình tròn thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ

Theo nguyên lí Dirichlet thì có 1 phần chứa ít nhất 2 điểm trong 10 điểm đã cho.Gọi 2 điểm đó là A và B, ta xét 2 trường hợp:

-Hai điểm A, B nằm trong hình tròn nhỏ: AB < 2

-Hai điểm A, B nằm trong hoặc trên các cạnh của

một trong các hình thang cong còn lại

Giả sử hình thang cong đó là MNPQ

 Nếu A, B không nằm hoàn toàn trong hình

thang: trên OM, ON lấy điểm A’, B’ sao cho OA’ = OA, OB’ = OB

Vì OA’ = OA, OB’ = OB và ∠ AOB ≤∠ A ' OB nên suy ra AB ≤A’B’ < 2

Q

P O

A B

M

N A'

B'

Vậy AB luôn lớn hơn 2 (đpcm).

Dạng 2: Xây dựng các n – tập theo đối tượng xuất phát

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng cho 2009 điểm Biết rằng trong 3 điểm bất kì lấy từ các

điểm đã cho luôn có hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng có 1005 điểm nằm trong hình tròn bán kính 1

Lời giải:

Lấy điểm M nằm trong 2009 điểm đó và xét hình tròn (ω¿ tâm N, bán kính 1

-Nếu tất cả các điểm thuộc (ω¿ thì (ω¿ là hình tròn cần tìm

-Nếu có điểm N sao cho MN ≥ 1 thì xét hình tròn (ω '¿ có tâm N, bán kính 1 Khi đó với mọi điểm P trong 2007 điểm còn lại luôn xảy ra một trong 2 khả năng:

[PN<1 PM <1⇒ P ∈(ω) ⇒ P ∈(ω')(vì MN < 1) Từ 2007 điểm này sẽ có ít nhất 1004 điểm cùng thuộc (

ω¿ hoặc (ω'¿ Khi đó (ω¿ hoặc (ω'¿ là hình tròn cần tìm

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng cho 9 đường thẳng song song nằm ngang và 9 đường thẳng

song song nằm dọc Người ta đánh dấu các giao điểm của các đường thẳng này bởi hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng tồn tại 2 đường thẳng nằm ngang và 2 đường thẳng nằm dọc sao cho 4 giao điểm của chúng được tô cùng màu

Lời giải:

Xét 3 giao điểm đầu của các đường thẳng nằm ngang Trên mỗi đường thẳng này có

23 cách tô màu 3 giao điểm đầu Có 9 đường thẳng nằm ngang với 23 = 8 cách tô màu nên có 2 đường thẳng có cùng cách tô màu 3 điểm đầu tiên Trên 2 đường đó thì trong

3 cách tô màu phải có 2 màu trùng nhau, suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 8: Xét 100 số nguyên dương a1, a2,…, a100 với ai < 100 với i = 1,2,3,…,100 và a1

+ a2 + a3 + … + a100 = 200 Chứng minh rằng trong 100 số đó luôn tồn tại một vài số cótổng bằng 100

Lời giải:

đó hiệu của chúng là (m-k)t là số hữu tỉ, vô lí

Vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh

III Một số bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm

được 22 người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau

Bài 2: Trong một lưới ô vuông kích thước 5.5, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô

một trong các giá trị −1, 0 hoặc 1, 1, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng; theo cột

và theo hai đường chéo Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau.Lời giải:

Gọi các tổng lần lượt là S1,S2, S12 Có tất cả 1212 tổng

Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị {−5,−4…0,…4,5}

Có tất cả 1111 giá trị khác nhau

Theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh

Bài 3: Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù Chứng tỏ

rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau.Lời giải:

Gọi A là một trong 6 người

Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của A hoặc có ít nhất bangười là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ

Bài 4: Có 5 đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác Chứng

minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau

Lời giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là 0,1,2,3,4

Tuy nhiên vì không thể có cùng lúc một người đã đấu 4 trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa 4 loại số trận đã đấu

Theo nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có 2 người có cùng số trận đã đấu (đpcm)

Bài 5: Chứng minh rằng từ n số nguyên bất kì luôn tìm được một số hoặc một số số

có tổng chia hết cho n

Lời giải:

Gọi n số đó lần lượt là a1, a2,…, an Ta xét n số sau:

s1 = a1, s2 = a1 + a2,…, sn = a1 + a2 + … + an

Nếu trong n số s1, s2,…, sn có một số chưa hết cho n thì ta có điều phải chứng minh.Nếu trong n số đó không có số nào chia hết cho n thì các số dư nhận được là 1,2,…, n-1 Do đó ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho n Giả sử đó là si, sj với i < j Khi

đó sj – si = ai+1 + … + aj chia hết cho n Vậy các số ai+1, …, aj là các số cần tìm

Bài 6: Trong một giải bóng đá có 10 đội tham gia, hai đội bất kì phải đấu với nhau

đúng một trận Chứng minh rằng tại mọi thời điểm của giải đấu, luôn có hai đội có số trận bằng nhau

Lời giải:

Trong mọi thời điểm thì xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: có đội chưa đá trận nào, nghĩa là mỗi đội đá nhiều nhất với 8 đội, khi

Bài 7: Trên mặt phẳng cho 5 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có ba điểm nào

thẳng hàng Chứng minh rằng trong số các tam giác được tạo thành từ 5 điểm trên có

ít nhất 3 tam giác có diện tích nguyên

Bài 8: Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tùy ý luôn có thể chọn ra hai số có hiệu

bình phương chia hết cho 20

Lời giải:

Trong 11 số tự nhiên thì ít nhất 6 số cùng tính chẵn lẻ, giả sử các số đó là a1, a2, … , a6.

Khi đó ta có: (a i)2− ¿ chia hết cho 4

Các số (a i)2 khi chia cho 5 thì các số dư chỉ có thể là 0, 1, 4 nên tồn tại ít nhất hai số cócùng số dư khi chia cho 5, hai đó đó thỏa mãn đề bài

Bài 9: Trên đường tròn, một số cung được tô màu đen, phần còn lại tô màu đỏ Biết

tổng độ dài các cung màu đen nhỏ hơn nửa chu vi của đường tròn Chứng minh rằng

có thể kẻ được một đường kính của đường tròn với hai đầu mút màu đỏ

Bài 10: Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100 Chứng minh rằng có

thể chọn được 4 số a,b,c,d sao cho a < b < c và a + b + c = d

Lời giải:

Sắp xếp số thứ tự của 10 số lớn thứ 3 của các hàng là a1>a2>…>a10. Ta thấy có tối đa

là 20 số có thể lớn hơn a1 (là các số lớn nhất và lớn nhì của các hàng), do vậy a1≥ 80.

Tương tự có tối đa 28 số có thể lớn hơn a2