a Hãy biểu diễn chi phí như là một hàm của số lò nướng bánh được sản xuất, giả sử rằng đó là hàm bậc nhất; b Hệ số góc của hàm số trên cho biết điều gì?. Một ngân hàng cạnh tranh khác cũ
Trang 1BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1 Cho hàm sản xuất Q= −2
3 L
3
+10 L2, trong đó Q là sản lượng, L là số đơn vị lao động được sử dụng Tìm tập xác định trên thực tế của hàm này
2 Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một
tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100 000 đồng một tháng thì
có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống Thiết lập hàm số để tính số tiền công ti thu được mỗi tháng khi tăng giá cho thuê mỗi căn hộ x (đồng/tháng)
3 Một nhà sản xuất thiết bị thấy rằng phải chi phí $9 000 để sản xuất 1000 lò nướng bánh mỳ một tuần và $12 000
để sản xuất 1500 lò nướng bánh mỳ một tuần
a) Hãy biểu diễn chi phí như là một hàm của số lò nướng bánh được sản xuất, giả sử rằng đó là hàm bậc nhất; b) Hệ số góc của hàm số trên cho biết điều gì?
c) Hệ số chặn của hàm số trên cho biết điều gì?
4 Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa: Qs=4 p−1;Qd= 4−p2
a) Tìm điều kiện của p để lượng cung và cầu đều dương;
b) Tìm giới hạn cao nhất của giá mua và giới hạn thấp nhất của giá bán;
c) Tìm giá và lượng cân bằng ( ´ p ; ´Q );
d) Tìm hàm cầu đảo
5 Cho hàm lợi nhuận π=−Q3
+ 3 Q2+1320 Q−10(Q ≥ 0) Tính π (0) và giải thích ý nghĩa kinh tế
6 Hàm cầu về hàng hóa A là Qd=200 p−0,5 Thị trường hàng hóa A có 2 hàm cung là:
Qs1=5 p0,5, Qs2=4 p0,75
Lập mô hình cân bằng thị trường hàng hóa A
7 Cho các số liệu sau về cung và cầu gạo 203 ở Hà Nội:
Giá (nghìn đồng/kg) 7 8 9 10 11 12
Lượng cung (tấn/ngày) 11 13 15 17 19 21
Lượng cầu (tấn/ngày) 20 19 18 17 16 15
a) Viết phương trình hàm cung, hàm cầu Xác định giá và sản lượng cân bằng
8 Tìm tổng giá trị thu được khi đầu tư 1 000USD trong 5 năm với lãi gộp là 8 %/ ¿năm tính theo quý.
9 Giả sử gửi tiết kiệm 500 USD sau 3 năm thu được 588,38 USD với lãi gộp định kì nửa năm r Tính r
10 Hai ngân hàng cạnh tranh nhau huy động vốn Ngân hàng A quy định lãi suất 5% tính theo kì 1 năm Ngân hàng
B cũng cho lãi suất 5%/năm nhưng tính theo kì nửa năm A lại cho phép tính theo kì là quý Để đối phó lại, B
cho phép tính theo kì là tháng, rồi tuần Hãy tính cho từng trường hợp xem tổng giá trị đạt được của 1 USD sau
một năm
$ 10 000 sau 5 năm Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% một năm có nên đầu tư dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó.
12 Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
Dự án 1: Chi phí hiện tại $2000 và đem lại $3000 sau 4 năm
Dự án 2: Chi phí hiện tại $2000 và đem lại $4000 sau 6 năm
Dự án 3: Chi phí hiện tại $3000 và đem lại $4800 sau 5 năm
Với lãi suất thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
13 Vào ngày 1/7/2012, Ngân hàng Nông nghiệp thông báo nhận gửi tiền USD với lãi suất 3,5%/năm tính gộp liên
tục Một ngân hàng cạnh tranh khác cũng đưa ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng như sau: tặng ngay $20 cho một khách hàng mới với điều kiện gửi ít nhất $1000 với lãi suất 3,5%, được tính gộp theo nửa năm Ông A quyết định chọn một trong 3 phương án sau để gửi $1000 vào ngày 1/7/2012:
14 Cho mô hình thị trường có hàm cung Qs=0,1 p2+5 p+10 và hàm cầu Qd= 50
p−2 Chứng tỏ rằng mô hình
trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3 ; 5)
15.
Hàm cầu về hàng hóa A là Qd=200 p−0,5 Thị trường hàng hóa A có hai hàm cung là Qs1=5 p0,5 và
Qs2=4 p0,75
a) Hãy lập mô hình cân bằng thị trường hàng hóa A;
b) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bằng không?
Trang 2BÀI TẬP CHƯƠNG 2
1. Chứng minh rằng hàm số
f ( x )= { x2
2 sin
1
x khi x ≠ 0
0 khi x=0
có đạo hàm tại mọi điểm x và tính f'
( x)
2. Cho hàm số f ( x )=(x −a) φ(x ), trong đó φ là hàm số liên tục tại x=a nhưng ∄ φ'
( a) Hãy tính f'( a)
3. Cho hàm số f ( x )= | x−a | φ(x), trong đó φ là hàm số liên tục tại x=a và φ (a)≠ 0 Chứng minh rằng
hàm số f (x) không có đạo hàm tại x=a
4. Chứng minh rằng nếu fcó đạo hàm tại x=a, thì
lim
x⟶ a
xf (a)−af (x ) x−a = f (a)−a f
'
( a)
5. Giả sử f có đạo hàm tại x0, chứng minh rằng
lim
h ⟶ 0
f ( x0+ h ) − f ( x0− h )
2 h
6. Xét tại x=0 tính liên tục và tính khả vi của
f ( x )= { x arctan 1
x khi x ≠ 0
0 khi x=0
7 Cho hàm doanh thu trung bình AR=240−0,5 Q, hàm chi phí là TC=40+12 Q−2Q2
+ 0,25 Q3 a) Tìm hàm doanh thu cận biên MR;
b) Xác định lợi nhuận cận biên Mππ tại Q=10
c) Có tồn tại điểm hòa vốn thuộc khoảng (10 ; 20)?
8. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra 1 sản phẩm: AC=Q2−12Q+60 (Q>0) Xác định biểu thức khảo sát sự thay đổi tuyệt đối và tương đối của AC theo Q.
9 Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là P=100− √ Q2+ 20
a) Tìm tốc độ thay đổi của P theo Q;
b) Tìm độ thay đổi tương đối của P theo Q;
c) Tìm giá trị cận biên của doanh thu
10 Cho hàm cầu có phương trình là Q= 60
P +ln ( 65−P
3 )
a) Xác định hệ số co dãn của Q theo P tại P=4;
b) Nếu giá giảm 2 % (từ 4 USD giảm còn 3,92 USD) thì lượng bán sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm?
c) Sự thay đổi giá ở b) làm tăng hay giảm doanh thu Hãy giải thích?
11 Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí trung bình AC(Q) và hàm chi phí cận biên MπC (Q), biết rằng TC=Q2+8 Q+18(Q>0) Hướng dẫn: Đạo hàm ( AC ) '= MπC− AC
Q
12 Cho hàm tổng chi phí TC=Q3−5 Q2+14 Q+144 (Q>0) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q, từ
đó nhận xét về sự mở rộng sản xuất
13 Cho hàm cung Qs và hàm cầu Qd về một loại hàng hóa: Qs=0,2 p2+5 p−10;Qd= 50
p−2 Xác định hàm
dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm này Chứng tỏ rằng tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong khoảng (3 ;5)
14 Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi R=240Q+57 Q2
− Q3 Tìm Q để doanh thu đạt tối đa Tìm doanh thu khi đó
15 Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là P=−5Q+30 Mức giá là bao nhiêu để có doanh thu tối đa.
Trang 316 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của nhà sản xuất tương ứng là:
TR=1400Q−7,5Q2;TC=750+140 Q−6 Q2+ Q3( Q> 0)
Với mức sản lượng nào thì lợi nhuận là tối đa?
17 Chi phí trung bình (tính bằng USD/1 đơn vị sản phẩm) được cho bởi hàm
AC=2 Q2−36 Q+210− 200
Q với 2 ≤Q ≤ 10.
Mức sản xuất Q nào trong [ 2;10 ] sẽ làm tối thiểu chi phí Tìm mức chi phí tối thiểu đó
18 Cho hàm chi phí trung bình AC= 12
Q −0,5 Q+0,25 Q
2
+ 10 a) Tìm hàm chi phí cận biên;
b) Khi giá p=106, tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận là lớn nhất.
19 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu p=40−0,03Q và hàm chi phí là TC=10 Q+ 120 Hãy xác định
lợi nhuận và mức giá p để tối đa hóa lợi nhuận.
20 Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q=100 √ L(L>0) và giá sản phẩm p=4 USD, giá thuê lao động bằng
pL=20 USD Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa.
21 Hàm cầu về ngô có dạng Qd=200−50 p Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi phí tại mỗi cơ sở là TC=Q2
với Q là sản lượng ngô ở mỗi cơ sở Hãy xác định mức sản lượng Q để đồng thời tối đa hóa lợi nhuận và cân
bằng thị trường
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1 Một công ti sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q=53
√ K √ L, với Q, K, L được tính hàng ngày Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng ngày của công ti theo K và L, biết rằng giá sản
phẩm là $4, giá tư bản là $15, giá lao động là $8 và mỗi ngày công ti phải trả $50 cho chi phí khác
2 Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất Q=40 K
1
3L
5
6 và tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu
D ( p )=350−3 p Lập hàm số biểu thị tổng doanh thu theo K và L
3 Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 2 hàng hóa:
{ Qs1=−2+ p1
Qd1=18−3 p1+ p2; { Qs2=−2+3 p2
Qd2=12+ p1− 2 p2.
a) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá p1 và p2 phải thỏa các điều kiện nào? b) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa
4 Một công ti độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp là TC=3 Q12−2 Q1Q2+ 4 Q22, trong đó Qi là lượng sản phẩm thứ i Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm 1 và 2 tương ứng là:
Qd1=320−5 p1, Qd2=150−2 p2 Lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ti theo Q1,Q2
5. Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q=30 K23L
1 3
( K >0 , L>0)
a) Tính ∂ Q ∂ K và ∂Q ∂ L tại điểm ( K , L)=(27 ; 64 ) và giải thích ý nghĩa.
b) Chứng minh rằng MπP PK giảm khi K tăng và L không đổi.
c) Tính các hệ số co dãn riêng của Q theo K và L tại điểm ( K , L)=(27 ; 64 ) rồi giải thích ý nghĩa.
d) Tại điểm ( K , L)=(27 ; 64 ) cho ∆ K =0,1 , ∆ L=0,3 là các mức biến động của vốn và lao động Tính dKQ(27 ;64 ) , dLQ (27 ;64) , dQ(27 ;64) và giải thích ý nghĩa kinh tế của chúng
6 Một công ti sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q=80 √ K √3 L, với Q, K, L được tính hàng ngày a) Cho biết sản lượng khi đầu vào là: K=25, L=1000;
b) Nếu giá một đơn vị tư bản là $12, giá một đơn vị lao động là $2,5 và công ti sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức nêu trong ý a) thì công ti nên sử dụng thêm 1 đơn vị tư bản hay thêm một đơn vị lao động mỗi ngày?
Trang 47 Hàm cầu của hàng hóa trên thị trường hai hàng hóa là Q=6300−2 p12− 5
3 p2
2
, trong đó p1, p2 tương ứng là giá của hàng hóa 1 và 2 Tính hệ số co dãn của Q theo p1 và của Q theo p2 tại ( p1; p2) =(20 ; 30) và nêu ý nghĩa
8 Mức cầu Qd của một loại hàng hóa là Qd=1,5 Mπ0,3p−0,2, trong đó p là giá hàng hóa đó, Mπ là thu nhập của người tiêu dùng Mức cung của hàng hóa đó là Qs=1,4 p0,3
a) Xác định hệ số co dãn của Qd theo giá và theo thu nhập;
b) Xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bằng
9 Hàm lợi ích của một hộ gia đình là U ( x , y )=10 xy −3 x2−2 y2, trong đó x, y tương ứng là số đơn vị hàng
hóa 1 và 2 (x >0 , y>0¿
a) Viết phương trình đường bàng quan tại ( x , y )=(2,2);
b) Tìm độ dốc của đường này tại điểm ( x , y )=(2,2) và giải thích ý nghĩa
10 Một công ti độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng là
C1=128+0,2 Q12;
C2=156+0,1 Q22 Hàm cầu đảo của công ti là p=600−0,1(Q1+ Q2) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hóa lợi nhuận
11 Một công ti độc quyền sản xuất một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu tương ứng là
Q1=24−0,2 p1;Q2=10−0,05 p2và hàm chi phí kết hợp là C=35+40(Q1+ Q2) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa
12.Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trên hai thị trường là:
Q1= 40−2 p1− p2;Q2=35− p1− p2và hàm tổng chi phí là TC=Q12+2Q22+ 10 Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa Tính mức giá khi lợi nhuận tối đa.
13 Một công ti độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy 1 và 2 với hàm chi phí cận biên tương ứng là
Mπ C1=2+0,2 Q1, Mπ C2= 6+0,04 Q2 (Qcải là lượng sản phẩm ở nhà máy thứ i) Công ti đó bán sản phẩm
trên thị trường với hàm cầu ngược là p=66−0,1 Q Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi nhà máy và
giá bán để thu được lợi nhuận tối đa
14. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng là U ( x , y )=5 x0,4
y0,4, trong đó x, y tương ứng
là số đơn vị hàng hóa 1 và 2 ( x >0 , y>0 ¿ Ngân sách tiêu dùng là $300, giá đơn vị hàng hóa 1 và 2 lần lượt là $3, $5 Tìm gói hàng hóa để lợi ích tiêu dùng lớn nhất;
15. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,3L0,5 Giả sử giá thuê tư bản là
$6, giá thuê lao động là $2 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $384 Doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?
16 Một công ti sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất là Q=K (L+ 5), trong đó Q, K, L tương ứng là sản
lượng, vốn, lao động (Q , K , L>0¿ Công ti này nhận hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm Cho biết phương án
sử dụng các yếu tố K và L sao cho việc sản xuất tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản là wK=70
và giá thuê lao động là wL=20
Ta tìm cực trị có điều kiện của hàm chi phí C=70 K +20 L với điều kiện 5600−K (L+5)=0
Đáp số : ( K , L)=(40 ; 135)
17 Một hộ nông dân trồng đậu và cà trên diện tích 8a Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3 000 000 đồng trên
mỗi a, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4 000 000 đồng trên mỗi a Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích
là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180
18 Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng là U ( x , y )=5 x0,4y0,4, trong đó x, y tương ứng là số đơn vị hàng
hóa 1 và 2 (x >0 , y> 0¿ Ngân sách tiêu dùng là $300, giá đơn vị hàng hóa 1 và 2 lần lượt là $3, $5 Tìm gói hàng hóa để lợi ích tiêu dùng lớn nhất;
Giải:
Tìm x,y để U(x,y) max
Trang 5Thỏa mãn: 3x + 5y = 300 Đặt g(x,y) = 3x + 5y
+ Hàm Lagrang: L = 5 x0,4y0,4 + t (300 - 3x - 5y)
+ Điều kiện cần:
Giải hệ pt: L’x = 2x-0.6y0.4 -3t = 0 (1)
L’y = 2x0.4y-0.6 -5t = 0 (2)
L’t = 300 – 3x – 5y = 0 (3)
Từ (1) và (2), ta đc: y = (3/5)x Thay vào pt (3), ta đc x = 50, vậy y = 30
Thay vào (1) ta đc: t = 0.25
Vậy nghiệm là M0 = (50,30,0.25)
+ Điều kiện đủ: Tại M0, ta có:
g’x = 3, g’y = 5
L’’x = -1.2x-1.6y0.4, L’’xy = 0.8x-0.6y-0.6, L’’yx = 0.8x-0.6y-0.6, L’’y = -1.2x0.4y-1.6
H =
|
3 L''x L''xy
5 L'' yx L'' yy
|
= 0.7456
Ta thay H >0
Tìm cực trị có đk của hàm 2 biến:
Z = f(x,y) - min (max) Mod 6 1 1 Nha ma tran – AC – Shift 4 -7 Shift 4-3 =
g(x,y) = b
C1: Từ g(x,y) = b, nếu ta rút đc x theo y hoặc y theo x một cách tường minh thì tat hay vào z, khi đó z là hàm 1 biến Lúc này ta tìm cực trị của hàm 1 biến
C2: Sử dụng pp Lagrang:
B1: Lập hàm Lagrang: L= f(x,y) + t [b-g(x,y)]
B2: Tìm đk cần:
Giải pt đạo hàm riêng cấp 1: L’x = 0
L’y = 0
L’t = 0
Giả sử hệ này có nghiệm là M0 = (x0, y0, t0)
B3: Kiểm tra đk đủ:
Tại M0, xét định thức:
H =
|
g' x L''xx L'' xy
g' y L'' yx L'' yy
|
+ Nếu H>0 thì M0 là điểm cực đại
+ Nếu H<0 thì M0 là điểm cực tiểu
+ Nếu H = 0 thì chưa kl