KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ LỜI MỞ ĐẦU Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được...

SVTH: Đinh Thị Ngát



LỜI MỞ ĐẦU

Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm vàngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán họccũng như trong các nghành khoa học khác Kết quả quan trọng của nó đánh dấubởi bài toán đếm số phân hoạch cuả Leonhard Euler Trong toán học những kếtquả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hìnhhọc,…

Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quantrọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duynhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống.Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đạihọc và cao đẳng ở nước ta, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí sinh thườnggặp khó khăn khi giải các bài toán này Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia,thi toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khuvực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thísinh Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằngcách sử dụng các kiến thức về tổ hợp Em là người rất yêu thích toán tổ hợpnhưng mới chỉ bết sơ qua về nó khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông Vìvậy em lựa chọn đề tài: ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp

từ đó xây dựng một cách có hệ thống, có sáng tạo các bài toán đại số tổ hợp

Trong khóa luận này em đã tổng kết và phân dạng các bài tập đại số tổhợp Tuy các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận đã hệ thống và mởrộng một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa luận

Khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1: (Cơ sở lý thuyết về tổ hợp) chương này tập trung trình bày lý

thuyết về tổ hợp và một số lý thuyết về tập hợp làm cơ sở để phân dạng và giảicác bài toán đại số tổ hợp

Chương 2 : (Các dạng toán đại số tổ hợp) đây là chương chứa nội dungchính của khóa luận Chương này em phân dạng và hệ thống các bài toán đại số

tổ hợp Đặc biệt trong chương này em đã sáng tạo và tổng quát một số bài toán

để có được các bài toán hay và khó

Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu liên quanđến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp sưphạm ngành Toán, của các giảng viên Toán ở trường Đại học Hoa Lư, một sốgiáo viên Toán ở trường phổ thông, các bạn sinh viên chuyên nghành Toán vàcác em học sinh trương phổ thông Đồng thời tổng kết kinh nghiệm từ thực tếqua quá trình giảng dạy của thầy cô

Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn chế

về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh được nhữngthiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bùi Đức Lợi đã tận tình chỉ bảo,hướng dẫn và tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận Emcũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn Toán (khoakhoa học tự nhiên trường Đại học Hoa Lư), thầy Nguyễn Đức Hải (trườngTHPT Nho Quan B), bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ em hoànhthành tốt khóa luận

Ninh Bình, tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Đinh Thị Ngát

Chương I: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp

Chương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết cơbản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton, Các nộidung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản,nâng cao và hệ chuyên nghành toán

Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần

tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m, sao cho vớinhững phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau

Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai bộ

sắp thứ tự a a1, , ,2 a và m b b1, , ,2 b m bằng nhau khi mọi phần tử tươngứng bằng nhau

Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc T T1, 2, ,T có thể làm m

tương ứng bằng n n1 2, , ,n m cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm

đồng thời Khi đó số cách làm một trong việc đó là: n1n2 n m

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

1 Nếu X Y, là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì:

H có thể làm bằng 2 n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc H 1

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n n1 2 cách

Quy tắc nhân dạng tổng quát:

Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ Hcần thực hiện k công việc nhỏ là H1,

H có thể làm bằng k n k cách, sau khi đã hoàn thành công việc H k1.

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n n1 2 .n k cách

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu A A1, 2, ,A là n n tập hợp hữu hạnn 1, khi đó số phần tử của tích đềcác các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần

Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các

1 2 n

A A  A được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của A ,1

một phần tử của A ,…, một phần tử của 2 A Theo quy tắc nhân ta nhận được n

đẳng thức: A1A2  A n A A1 2 A n

1.3 Giai thừa và hoán vị

1 Giai thừa

Định nghĩa: Giai thừa n, kí hiệu là n! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1đến n.

Kí hiệu: P n là số các hoán vị của n phần tử.

P n n! 1.2 n 1  n

1.4 Chỉnh hợp

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Kết quả của việc lấy k

phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự

nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1) Mỗi tập con gồm k phần

tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1  n k )

Cho một tập hợp gồm n vật, trong đó có a vật loại A giống nhau, bvật loại

B giống nhau,…, l vật loại L giống nhau Với n a b   l, khi đó số

Cho n vật a b, , ,  l Một tổ hợp chập p có lặp lại gọi tắt là tổ hợp lặp của

n vật đó là một nhóm (không thứ tự) gồm p vật, trong đó mỗi vật có thể lặp lại

 Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tựcủa các phần tử không cần để ý.

- Số các số hạng của sự khai triển ( 1) a n là n 1

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng số mũ

1.7.2 Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức ( a b  )n có thể được sắp xếpthành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal)

n  1 5 10 10 5 1

… …

Như vậy Ck n+Ck n1=Ck n11

 (1 k n) được gọi là hệ thức Pascal

Chương II: Các dạng bài toán đại số tổ hợp

Chương một đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp Dựa trên cơ sở lýthuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày các dạng bài toánđại số tổ hợp Ở mỗi dạng khóa luận đã đưa ra những phương pháp, những chú ýkhi làm các bài tập và khóa luận cũng đưa ra hệ thống các bài tập đặc trưng chotừng dạng

2.1 Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn các phương

* Giả sử bất đẳng thức đúng với n k , tức là : k! >

k

k e

n i n

Với n 2 thì bất đẳng thức có dạng:

1 2

n 1 i n

i 1

n

n 1 i

n

i n

Bài 5: CMR: (n1)(n2) 2 ,n n  chia hết cho tích số 1.3 (2n  1).

2.2 Bài toán tính tổng

Các bài toán tổng tổ hợp rất đa dạng và nhiều cách giải Khóa luận chia ra làm

4 phương pháp tính: Sử dụng công thức, sử dụng đạo hàm, sử dụng tích phân, sửdụng công thức nhị thức Newton

1112 2014

1111.2238454

C1113

m i

k 0

CS

n m

k 0

i 1

CS

2.2.2 Sử dụng khai triển nhị thức Newton

Sử dụng các khai triển nhị thức thích hợp sẽ cho ta lời giải ngắn gọn cho cácbài toán tính tổng tổ hợp

Chú ý: Ta thường sử dụng các khai triển:







144

Theo bài 1 ta có:  1 2 2 os

40

Theo (3) của bài 3 có 2 1 2 1

0

Cn i

n i

Cn i

i i



 

Chú ý: Khi cho các giá trị x khác nhau ta được các tổng tổ hợp khác nhau.

Tùy thuộc vào bài toán ta chọn x thích hợp.

Tổng quát: Tính

m 1 n

k k m n

Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có:

Nhân vế với vế của (1) với (3) và đồng nhất hóa số hạng không chứa x của

k n S

2 12

1( 1)

00

n

i i

n k

n k

C S

C S

n i

C S

k k n

n k

C S

Chú ý: + Một số bài toán khi sử dụng ẩn phụ (đặc biệt là bài toán giải hệ

phương trình) cho ta lời giải ngắn gọn

+ Khi giải ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn để có kết quả chính xác

2.3.1 Giải phương trình

Bài 1: Giải phương trình 2C C x x x22C C x x2 3C C3x x x3100 (1)

Giải:

Điều kiện : 3

x x

x x

Vậy phương trình có nghiệm x 4

Bài 2: Giải phương trình 1 3 1 30 3 12 5

   

3 1

6103

x x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 3 hoặc x 4

Bài 3: Giải phương trình 2  1 2 2 2 3 5 5

3

2 3 5 03

Vậy nghiệm ( , )k x của phương trình là : (1, 3), (0, 3), (2, 3), (3, 3)

Bài 4: Giải phương trình 2n C x0 2n2 2C n 2n4 4C n  C n n2k 122 (1)(với k n  , và 2k n 2k 2)

Giải:

n n i i i

n i

Bài 2: Giải phương trình P A x x2 72 6 A x2 2P x

Bài 3: Giải phương trình 12 60 3 1

3 52

Bài tập tự giải

Bài 1: Giải bất phương trình C n5 2C n4 4C n3 n2 1

Bài 2 Tìm các số hạng âm của dãy:

4 1434

42

An

yn P

Pn n

x y

Vậy nghiệm của hệ là x y =;  7;3 

Điều kiện: x y 0; x y , .

Đặt

y x y x

x y y

x x y

Bài 2 Tìm x y,   sao cho : 1 1 1

Bài toán đếm là bài toán đặc trưng trong các dạng bài toán đại số tổ hợp và là

bài toán thường xuất hiện trong cuộc sống thực tiễn

Để thực hiện bài toán đếm ta thường sử dụng:

 Mô phỏng bài toán bằng tập hợp

 Sử dụng định nghĩa hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

 Sử dụng các quy tắc đếm cơ bản

Chú ý: Khi thực hiện bài toán đếm ngoài cách đếm trực tiếp theo yêu cầu bài

toán ta có thể đếm gián tiếp thông qua kiểu đếm bù

Bài toán lập số

Bài 1: Cho tập hợp các chữ số X 0, 1, 2, ,7  Từ tập hợp X có thể lậpđược:

a) Bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từng đôi một

b) Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một và là số tiến( chữ số saulớn hơn chữ số đứng trước nó)

Giải:

Gọi số cần lập là n=a a a a a , 1 2 3 4 5 a iX , a  1 0

a) Vì n là số chẵn nên a 5 0, 2, 4, 6 .

Trường hợp 1: Nếu a  5 0  a5 có 1 cách chọn

Khi đó a a a a1, 2, ,3 4 là một bộ phân biệt có thứ tự được chọn từ X\{0} do

a) Bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.

b) Bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ Giải:

Nếu tổng (a1a2 a3 a4) là số lẻ thì ta có thể chọn a {0, 2, 4, 6,8}.5

Mà a có 9 cách chọn (1 a10)

a có 10 cách chọn ( i i=2, 3, 4)

Mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số mà tổng của 5 chữ số này

là số lẻ

Vậy có tất cả 9.10.10.10.5=45000 số thỏa mãn điều kiện

Bài 4: Cho A 0, 1, , 5 , có bao nhiêu số có 6 chữ số mỗi chữ số xuấthiện nhiều nhất một lần Tính tổng tất cả các số đó

Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số và lớn hơn 685000 lập từ

Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số và chữ số đứng sau bé hơn chữ

2.4.2 Bài toán chọn vật, chọn người, sắp xếp.

Bài 1: Một thầy giáo có 20 cuốn sách đôi một khác nhau Trong đó có 5 cuốn

sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A B C D E F, , , , , mỗi em một cuốn sao chosau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họađều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Giải:

Có C cách chọn 6 cuốn sách bất kỳ trong 12 cuốn trong đó.126

Có C C cách chọn 6 cuốn có 5 cuốn văn học.5 75 1

Có C C cách chọn 6 cuốn có 4 cuốn âm nhạc.4 84 2

Có C C cách chọn 6 cuốn có 3 cuốn hội họa.3 93 3

Vậy có C  (126 C C +5 75 1 C C +4 84 2 C C )=805 cách chọn thỏa mãn điều kiện.3 93 3

Với mỗi cách chọn ta có 6! Cách tặng

 Số cách tặng thỏa mãn là 805.6!=579600 cách

Chú ý: Đối với bài này ta có thể dùng cách phân chia trường hợp thỏa mãn

điều kiện (cách giải trực tiếp)

Bài 2: Đội thanh niên xung kích của trường A có 12 học sinh, gồm 5 học sinhkhối lớp 10, 4 học sinh khối lớp 11 và 3 học sinh khối lớp 12

a) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho học sinhthuộc không quá 2 khối lớp.

b) Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 6 người saocho tổ nào cũng có học sinh khối lớp 12 và có ít nhất hai học sinh khốilớp 10

Giải:

a) Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là C 124 495

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 em được tính như sau:

- Khối lớp 10 có 2 học sinh, các khối lớp 11, 12 có 1 học sinh có C C C52 14 31

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 3 học sinh5 4 52 3 1

khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 2 học sinh5 4 32 2 2

khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 2 học sinh5 4 33 2 1

khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 1 học sinh5 4 33 1 2

khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12

 Vậy có C C C +5 4 52 3 1 C C C +5 4 32 2 2 C C C +5 4 33 2 1 C C C = 600 cách chia tổ thỏa5 4 33 1 2

mãn đề bài

Bài 3: Có n nam, n nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) 2n người ngồi quanh một bàn tròn

b) 2n người ngồi vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối diện

 Vậy có ( !) 2n 2 n cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau

Bài 4: Một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chọn ngẫu

nhiên 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên b i lấy

ra không đủ cả 3 màu, biết rằng các viên bi là khác nhau

Giải:

 Có C cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng.54

 Có C cách chọn 4 viên không có màu vàng.54

 Có C cách chọn 4 viên không có màu trắng.74

 Có C cách chọn 4 viên không có màu đỏ.84

Trong C cách chọn 4 viên bi không có bi trắng có chứa 74 C cách chọn 4 viên54

Bài 1: Có 20 học sinh (8 nữ trong đó có Lan, 12 nam trong đó có Nam và Tí ).

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 7 người trong đó có nhiều nhất 2 trong 3bạn Tí, Nam và Lan

b) Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng dọc sao cho Lan đứng đầu và các bạnnam luôn đứng cạnh nhau nhưng Tí và Nam không đứng cạnh nhau

Bài 2: (ĐH Thăng Long, 1999) Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến

6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu? 3 quả cầu cùng số

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khácsố?

Bài 3: Trong kỳ thi kết thúc môn toán học rời rạc có 10 câu hỏi Có bao nhiêu

cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu hỏi ít nhất 5

điểm

Bài 4: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế Người ta

muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào bàn nói trên Hỏi cóbao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất kỳ hai học sinh ngồi cùng nhau hoặc đối diện nhau đều không cùng giớitính

b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện nhau đều không cùng giới tính

2.4.3 Các bài toán khác

Bài 1: Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng Số cònlại không có 4 điểm nào đồng phẳng Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong pđiểm đó.

a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?

b) Có bao nhiêu tứ diện

Giải:

Mỗi mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không đồng phẳng Trong p điểm

sẽ có C mặt phẳng ( nếu 3p p điểm này không có 4 điểm nào đồng phẳng)

Do trong p điểm có q điểm đồng phẳng tức là q điểm này chỉ xác định duynhất một mặt phẳng

Bài 2: Trong mặt phẳng cho 3 điểm A B C, , Từ A dựng m đường thẳng, từ B

dựng n đường thẳng, từ C dựng p đường thẳng Trong đó các đường thẳng

vừa dựng không có 3 đường thẳng nào đồng quy và không có cặp đường thẳngnào song song Tìm số các tam giác tạo bởi các giao điểm của các đường thẳngtrừ 3 điểm A B C, , .

Giải:

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ A là n p

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ B là m p

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ C là n m

 Tổng số giao điểm là: 1 ( ) ( ) ( )

2 m n p n m p  p m n mn np pm  .