Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4đ) Cho biểu thức
3 2 2
:
4 3
2 2( 1)
A
x
(Với 1 12
2 x
� �
, x� 1;3) a) Rút gọn A
b) Tìm x Q� để A có giá trị là số nguyên tố
Câu 2:(4đ) Cho hệ phương trình
2
2 4
�
�
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất y 3x
b) Tìm m Z� để hệ có nghiệm duy nhất sao cho y
x có giá trị là số nguyên
Câu 3:(8đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), các đường cao AA1,
BB1, CC1 cắt nhau tại H
a) Chứng minh H cách đều ba cạnh của tam giác A1B1C1
b) Chứng minh OA vuông góc với B1C1
c) Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHC, CHA, AHB Tính diện tích tam giác O1O2O3, biết diện tích tam giác ABC là
10 (đơn vị diện tích)
Câu 4:(2đ)
Cho ,a b là các số thực dương thoả mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
a b M
Câu 5: (2đ)
Giải phương trình sau:
2x2 5x 4 2 x 3 2x x2 6
……….Hết……….
Trang 2ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM
Câu 1: (4đ)
a) (2đ)
3 2 2 2
2 2
:
4 3
2 2( 1)
26 2 10 2 1 26 2 10 2 1 ( 3) ( 3)
:
5 2 1 5 2 1 ( 1)( 3)
.
5
x
x
b) (2đ)
2 2
2
5
2 2 5
5 2
0 5 2 0 2
x
A
A
Vì A là số nguyên tố suy ra A=2
Thay A=2 vào ta tìm được x=1/2; -1/2 ( Thoả mãn các đk)
Câu 2: (4đ)
a) (2đ)
Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 1 2 1
2
m
m m
�۹
2 (2 1) 2 5(1)
2 4(2)
�
Lấy (1) cộng với (2) ta có (m-1)x=m2-1
�x m 1 Thay vào (2) ta được
2 4
2
0,5
0,75 0,75
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 3Vì y=3x nên ta có
2 4 3( 1)
2
m
Thu gọn ta được
m2 7m 10 0
Giải ta được m=-2; m=-5 (Thoả mãn các đk)
KL: Vậy m=-2 hoặc m=-5
b) (2đ)
ta có
2
m
Vì y
x là số nguyên nên 2 y
x cũng là số nguyên 4
1
Nên m+1 thuộc tập Ư(4) Ta có bảng
2y
x
y
x
Vậy m=-5; -2; 3
Câu 3: (8đ)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 4O1
C1
B1
A1
H
C B
A
O
a) (3đ) Chứng minh tứ giác AC1HB1 nội tiếp �C AH C B H�1 �1 1 (2góc nội tiếp cùng chắn cung C1H)
Chứng minh tứ giác BAB1A1 nội tiếp �C AH�1 HB A�1 1 (2góc nội tiếp cùng
chắn cung BA1)
�C B H�1 1 HB A�1 1 ( C AH�1 )
�B1H là tia phân giáccủa C B A�1 1 1
Chứng minh tương tự ta có C1H là tia phân giác của �A C B1 1 1
�H là giao điểm ba đường phân giác của A B C1 1 1
�H cách đều ba cạnh của A B C1 1 1
b) (3đ)
Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với (O)
Chứng minh được tứ giác BCB1C1 nội tiếp
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
Trang 5� �
1 1
ACB AC B
� (Cùng bù với �BC B1 1)
Mà �ACB B �Ax(Góc tạo bởi tia tiép tuyến và…)
1 1
Ax
� Mà hai góc này ở vị trí đồng vị �Ax//B1C1 (1)
Vì Ax là tiếp tuyến của (O) (Cách dựng)
1 1
Ax B C
Từ (1) và (2) suy ra B C1 1 OA
c) (2đ)
Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua BC
chứng minh được tứ giác AHO1O là hình bình hành �HO1=OA=R
chứng minh được tam giác BOO1 cân tại B �O1B=OB=R
chứng minh được tam giác BCO1 cân tại O1 �O1B=O1C
�O1B=O1C=O1H=R
�O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp BHC
Gọi O2; O3 lần lượt là điểm đối xứng với O qua CA, AB�O2 ; O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp CHA AHB;
Chứng minh được tứ giác BO1HO3 là hình thoi (Tứ giác có các cạnh bằng
nhau và bằng R)
�O O1 3 BH
Mà BH AC
�O1O3//AC
�ACO1O3 là hình thang Mà O1C=O3A=R
�AC=O1O3
Chứng minh tương tự ta có
AB=O1O2; BC=O2O3
1 2 3 ( )
�
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 61 2 3 10
ABC O O O
Câu 4: (2đ)
Biến đổi ta có
2 2
8 4(1 3 ) 4(1 3 )
a b
Vì a b, f 0;a b 1nên 1-3abf 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm ta c/m được *) 1 4(1 3 ) 2
4(1 3 )ab ab �
Dấu “=” xảy ra khi ab=1/4
*) 4 1 2
4
ab ab
Dấu “=” xảy ra khi ab=1/4
*) a2 b2 � 2ab�a2 b2 2ab� 4ab
ab
Do đó
2 2 3 4 3
M M
�
�
Vậy GTNN của M là 3 Dấu “=” xảy ra khi
1
4 1 2
a b
�
Câu 5: (2đ)
ĐKXĐ: x ≥ -3
2x 5x 4 4(x 3) x 2x 6
�
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 7Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm có
( 3) 4 7
Do đó
2 2
2 5 4 4( 3)
Dấu “=” xảy ra khi (1) và (2) xảy ra dấu “=”
2
2 5 4 1
3 4
x
�
� �
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là x=1
0,5
0,5
0,5
* Lưu ý: Các lời giải khác đúng cho điểm tương đương.