BAI TAP NHI THUC NEWTON CONG THUC TO HOP

Bài tập trắc nghiệm đầy đủ về các phép toán liên quan đến công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; nhị thức newton. Phân dạng cụ thể theo từng bài ,chia theo từng mức độ ( nhận biết,thông hiểu, vận dụng) và có lời giải đáp án rõ ràng. Phù hợp với học sinh tự học và giáo viên làm tài liệu giảng dạy. Đặc biệt: font TimesNew Roman chuẩn, các công thức toán đều có định dạng mathtype .

ĐẠI SỐ 11 -CHƯƠNG II – PHẦN 2

CÁC PHÉP TOÁN VỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP -TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON

HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

þ

Dạng 08: Tính toán, rút gọn biểu thức chứa P,A,C

Câu 1. Kết quả nào sau đây sai:

C − =n

Lời giải

Chọn C

Vì C n1=n nên câu C sai

Câu 2. Cho biết C n n k− =28 Giá trị của n và k lần lượt là:

A.8 2 và . B. 4 2 và C. 8 4 và D. 8 3 và .

Lời giải Chọn A

Vì phương trình C n n k− =28 có 2 ẩn nên không giải trực tiếp được.

Dùng phương pháp làm ngược thử từng đáp án thì đáp án C thỏa mãn

Câu 3. Cho các số nguyên k n, thỏa mãn 0 k n< ≤ Công thức nào dưới đây đúng ?

=

k n

n A

k n k

=

− . D. ( ! )!

k n

n A

+

= n n n

Cứ hai đỉnh của đa giác n (n∈¥,n≥3)

đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác vàđường chéo)

Khi đó số đường chéo là: n2 44 ( 2 !.2!!) 44

B.

12018

2018!

C.

12017

2018!

D.

12017

n A

12

121

Giải phương trình ta tìm được: x=7.

Câu 17.Giá trị của n∈¥ thỏa mãn + 83 5 3 6

17

1732

11

33

Câu 19.Cho biết C n n k− =28 Giá trị của n và k lần lượt là:

5

55

1732

n n

=



⇔  = .Vậy Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 1 21 1 4

n n

n n

Câu 34.Giải hệ phương trình sau:

17

1732

+ Tính (CALC) lần lượt với X =18 (không thoả); với X =16 (không thoả); với X =15 (thoả), với

310

n n

n

n P n

Dạng 12: Max-Min biểu thức đại số tổ hợp

Câu 41.Cho tập hợp A có n phần tử (n>4) Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử gấp 26 lần số tập

con của có 4 phần tử Hãy tìm k∈{1, 2,3, ,n} sao cho số tập con gồm k

phần tử của A là nhiều nhất.

Lời giải

Chọn A

Số tập con có k của tập hợp A có n phần tử là: !( ! )!

k n

n C

k n k

=

−

.Theo đề bài ta có

Vậy k=10thỏa yêu cầu bài toán.

Phương pháp trắc nghiệm: Khi tìm được n a= thì C đạt giá trị lớn nhất khi n k 2

a

k =

NHỊ THỨC NEWTON

þ

Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng

Câu 42.Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ( )2018

2x−3

Lời giải

Chọn B

Trong khai triển nhị thức ( )n

a b+ thì số các số hạng là n+1 nên trong khai triển ( )2018

nên khai triển có 7 số hạng Vậy (I) đúng

Số hạng thứ 2 trong khai triển là T2 =C61.1 6 1− x1=6x Vậy (II) đúng.

Hệ số của x5 trong khai triển là C65.16 5− =6 Vậy (III) sai.

Câu 44.Trong khai triển

2 12

n x x

n n n

Câu 47.Khai triển P x( ) (= +x 2)2022 theo công thức nhị thức Niu tơn rồi lấy ngẫu nhiên hai số hạng trong

các số hạng khai triển được Gọi P là xác suất để lấy được hai số đều không chứa x k khi k là số tự nhiên lẻ Làm tròn P theo quy tắc làm tròn số để được một số thập phân có dạng a bcde, Tính

Gọi A là biến cố lấy được hai số đều không chứa x k khi k là số tự nhiên lẻ Vì số các số chẵn từ 0 đến

2022 là 1012 số nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A( )=C10122 .

2 1012 2 2023

Dạng 01: Khai triển một nhị thức Newton cụ thể

Câu 48.Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển của (1+2x)10 là:

Vậy 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x là:1, 20 , 180x x2

Câu 49.Trong khai triển ( )6

Mặt khác số lũy thừa giống nhau của ( )12

1 x+ và

18

2 1

x x

sau khi thu gọn là 32 5- =27

1

110!

k

k k k

=

110! x x

10!

=

þ

Dạng 02: Tìm hệ số và số hạng trong khai triển

Câu 54.Trong khai triển(3x y− )7

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là:4. 3 −C73.3 4x y4 3 = −2835 .x y4 .

Câu 57.Hệ số của x7 trong khai triển(2 3 )− x 15 là

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9− −k 2k = ⇔ =0 k 3.

Khi đó số hạng không chứa x là:C93.83 =43008.

Câu 59.Trong khai triển (1 2 )− x 8, hệ số của x2 là:

Lời giải Chọn C

− =

 =

Vậy hệ số của số hạng chứa a b4 4 là 4 ( )4

− .

C.

5 11

C

−

8 11

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là:8. 3 −C113.

2 – a b

, hệ số của số hạng thứ ba bằng:

Trang 17/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841

k k k

.2

k k k k

=

Số hạng chứa x2 ứng với 20 3− k= ⇔ =2 k 6 Hệ số của x2 là C106.26 =13440.

Câu 66.Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 6 ( )10

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với 6 k =6.

Vậy hệ số của x trong khai triển là 6 6 10 6( )6 6 4( )6

10.2 3 10.2 3

Câu 67.Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của ( )10

2 3x− .

Theo giả thiết suy ra: k=6.

Vậy hệ số của x6trong khai triển là 6 10 6 ( )6 6 4 ( )6

2

x x

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=4.

Khi đó hệ số của số hạng chứa a b là:4. 4 C84.24 =1120.

Ta có x5 tương ứng với k=5 nên hệ số của x5 là C125 =729.

1

x+ ,hệ số của x5 là C x 72 5Trong khai triển ( )8

1

x+ ,hệ số của x5 là C x 83 5Trong khai triển ( )12

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=10.

Vậy hệ số đứng trước x y trong khai triển25. 10 (x3+ xy)15

Vậy tổng của hai số hạng trên là 4610a 2

Câu 77.Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( )10

1 2x− .

Câu 78.Trong khai triển ( )20

1 3x+ với số mũ tăng dần,hệ số của số hạng đứng chính giữa là

Số hạng chính giữa trong khai triển là T11=C1020.3 10x10.

x x

x x

 + 

3 9

0

1 k k k

k k k

x x

x x

2x x

+ với x≠0.

Để số hạng chứa x8 ta chọn k sao cho:24 4 - k = Û = 8 k 4

Vậy số hạng chứa x8 trong khai triển ( ) 3 24

12

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k= =m 3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là:3 3 C C63 63 =400.

Câu 87.Tìm số hạng thứ 4 trong khai triển ( )20

a − x

=

số hạng thứ 4 trong khai triển: T3 = −C203 23 17 3a x .

Câu 88.Trong khai triển nhị thức:

7

2 1

a b

7 5

2 7 0

1( ) (

k k

=

10 0

( )15 15 15 ( )

15 0

Câu 91.Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C n2−C n1=44 Số hạng không chứa x trong khai triển của

Số hạng không chứa x khi 11k− = ⇔ =88 0 k 8 Do vậy số hạng cần tìm là C118 =165.

Câu 92.Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau: h x( )=x(2 3 )+ x 9

Lời giải : Chọn B

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=7.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x7 là:−C127 = −792.

Câu 94.Trong khai triển nhị thức: ( )5

2a b - hệ số của số hạng thứ ba là:

Lời giải Chọn D

k k

k k

36C x y

C.

2 2 2 4

k k k

Để số hạng không chứa x ta chọn k sao cho:12 4− k = ⇔ =0 k 3

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là số hạng thứ 4

x y− , hệ số của số hạng chứa x y8 3 là

A. −C113.

B.

5 11

C

−

8 11

C

3 11

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là:8. 3 −C113.

Câu 103. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C1n−C n2 =5 Tìm hệ số a của x4 trong khai triển của

biểu thức 2

12

n x

Hệ số a của x4 trong khai triển tương ứng với 10 3− k= ⇔ =4 k 2.

x x

x x

6220

729 x

−

220729

−

Lời giải

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển

1233

x x

Vậy số hạng của x trong khai triển là 4 C x85 24 4.5− =C x85 4.

Câu 108. Số hạng không chứa x trong khai triển của

12

2 1

x x

n x

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=7.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x7 là−C127 = −792.

BÀI 4: PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU

Câu 112. Hệ số củax12 trong khai triển ( 2)10

Để số hạng chứa a b4 4 ta chọn k sao cho:8− = ⇔ =k 4 k 4

Vậy hệ số của số hạng chứa a b4 4 trong khai triển là ( 2) − 4C84 =1120.

Câu 114. Số hạng không chứa x trong khai triển

12 3

2

x x

T+ =C x − −y = − − C x − y

Để số hạng chứa x y4 3 ta chọn k sao cho:7− = ⇔ =k 4 k 3

Vậy số hạng chứa x y4 3 trong khai triển là 3 4 3 4 3 4 3

7( 1) 3 − C x y = −2835x y

Câu 116. Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển

9 31

x x

Số hạng chứa x3 tương ứng với k thỏa mãn 4 k− =9 3 ⇔ =k 3 (tháa m· n k∈¥)

Do đó hệ số của số hạng chứa x3 là C93 =84

Câu 117. Tìm hệ số của x10 trong khai triển biểu thức

5 3

2

2

3x x

k k

k k

Câu 121. Hệ số đứng trước x y trong khai triển 25. 10 ( 3 )15

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=10.

Vậy hệ số đứng trước x y trong khai triển 25. 10 (x3+ xy)15

T chứa x3 khi và chỉ khi 9 3− k= ⇔ =3 k 2.

Suy ra hệ số của x3 trong khai triển là 2( )2

Câu 124. Trong khai triển

2 12

n x x

Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là: 9 C11932+2.C11833 =9405.

− .

C.

5 11

C

−

8 11

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k=3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là: 8. 3 −C113.

1+ax 1 3− x với a∈¡ thì hệ số của số hạng chứa x3 là 405 Tính

Theo giả thiết 9aC62−27C63 =405⇒ =a 7.

Câu 128 [1D2-2] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

2 1 n

x x

k k

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 45 3− k= ⇔ =0 k 15.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là −C4515.

Ta có số hạng thứ k+1 0( ≤ ≤k 5) trong khai triển ( )5

0, 2 0,8+ là ( ) ( )5

5k 0, 2 k 0,8 k

C − Vậy số hạngthứ tư trong khai triển (ứng với k =3) là 3 ( ) ( )5 3 3

Trong khai triển ( )6

x x

Hệ số của số hạng chứa x4 ứng với k thỏa mãn: 4 k− = ⇔ =8 4 k 3.

Vậy hệ số của số hạng chứa x4 là: 3( )3 5

2 n

x x

Số mũ của x bằng 31 khi và chỉ khi 40 3− k=31 ⇔ k =3.

 + 

  (x≠0 và n là số nguyên dương), biết

rằng tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba trong khai triển bằng 46

k k

k k

k k k k

+) Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với

Ta có:

8

8 0

k i

=



 =

Vậy hệ số của x trong khai triển là 5 C C10 100 530+C C101 92 13 =1332.

Câu 141. Cho số tự nhiên n thỏa mãn A n2+2C n n =22 Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển của biểu thức (3x−4)n bằng

3 k 4 k

k k

=

5 0

Câu 142. Trong khai triển

2 13

n x

n x

x

 − 

  (x≠0), biết rằng 1.C1n+2.C n2+3.C n3+ + nC n n =256n ( k

n x x

= − ÷

  9 ( ) 9 18 3

9 0

 − 

  nếu 18 3− k=0 hay k=6.Suy ra số hạng cần tìm là 6( )6 3

Dễ dàng kiểm tra n=1, n=2 không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với n≥3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích

Câu 147. Hệ số của số hạng chứa x7trong khai triển ( 2 )6

k k k

k k C

k k

 + 

n x

Câu 154. Đồ thị của hàm số y= − +x3 3x2+5 có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam

giác OAB với O là gốc tọa độ.

103

uuur

Trang 41/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841

Phương trình đường thẳng AB qua A( )0;5

có véc tơ pháp tuyến nr= −( 2;1): 2x y− + =5 0.

( )2 2

n x

10 0

 − 

x x

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuốilớn hơn 8 Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C C C C 83 ,32 84 40

Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 2( ) 8

 + 

  , x≠0 trong đó tổng các hệ số của khai triển nhị thức đó là 1024 Khi

đó số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức đã cho bằng

Số hạng không chứa x tương ứng với 10 2− k= ⇔ =0 k 5.

Vậy số hạng không chứa x bằng C105 =252.

Câu 160. Hệ số của x y trong khai triển 3 3 (1+x) ( )6 1+y6

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k= =m 3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa x y là: 3 3 C C63 63 =400.

Câu 161. Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g x( ) 8(1= +x)8+9(1 2 )+ x 9+10(1 3 )+ x 10

Lời giải : Chọn A

nên ta suy ra hệ số của x k trong khai triển (1+ )n

ax là C a Do đó: n k k

Hệ số của x8 trong khai triển (1+x là: )8 C88

Hệ số của x8trong khai triển (1 2 )+ x là: 9 C98.28

Hệ số của x8 trong khai triển (1 3 )+ x 10 là:C108.38.

Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển g x( ) thành đa thức là:8C88+9.2 8C98+10.3 8C108 =22094.

Trang 43/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841

Câu 162. Trong khai triển

62

x x

Dạng 03: Hệ số lớn nhất, nhỏ nhất trong khai triển

* Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

a

Lời giải : Chọn C

n

a a

k k k

a + + + =

Tìm hệ số lớn nhất ?

Lời giải Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển (1 2+ x)n là k.2 k k

n

C x , 0 k n≤ ≤ , k∈¥ Vậy hệ số của số hạngchứa x k là C n k.2k ⇒a k =C n k.2k.

n

n

a a

Vậy số tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn là 219 −1 phần tử.

Câu 173. Thu gọn biểu thức A C= n0+5C1n+52C n2+ + 5n C n n

A 0 trong mọi trường hợp B 0 nếu n lẻ.

C 0 nếu n hữu hạn D 0 nếu n chẵn

Lời giải : Chọn D

Ta có

1 2

2 1

11

+ −

+

n S

n C

31

+ + +

=+

k k n C n

1

1

+ +

a có: 1

13

Vì

1 1

=+

+

−

=+

n n S

Lời giải : Chọn C

+ +

3 1

11

+ −

+

n S n

Suy ra:

3 21

n

Trang 49/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841

n n

C −−

Lời giải : Chọn A

Do đó ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 ( )2

2 n n

þ

Dạng 05: Tính tổng hữu hạn các C (Newton và đạo hàm)

Có g n′( ) =2n−1+n.2 ln 2 0n−1 > ,∀ ≥n 1 nên g n( )

đồng biến [1;+∞) Do đó phương trình g n( ) =0 cónhiều nhất 1 nghiệm Mà g( )8 =1024nên n=8.

C +C + +L C − = Tính tổng( )

Lời giải : Chọn A

( 1) ( 1)

+ +

1

( 1)2( 1)

+ +

=

n k

n n

ê ë

=-Xét số hạng thứ k+ trong khai triển: 1

Số hạng không chứa x trong khai triển thì 6 2- k= Û = Vậy số hạng cần tìm là0 k 3( )3

16B 17C 18C 19A 20D 21C 22C 23B 24A 25A 26D 27A 28C 29D 30C

31A 32B 33C 34D 35D 36A 37B 38A 39A 40B 41A 42B 43C 44A 45D

46A 47B 48C 49D 50A 51A 52B 53B 54C 55B 56D 57A 58C 59C 60B

61B 62D 63C 64C 65A 66A 67A 68C 69B 70B 71D 72D 73D 74B 75C

76C 77A 78C 79D 80C 81A 82D 83A 84B 85A 86C 87D 88D 89D 90D

91D 92B 93C 94D 95D 96D 97B 98C 99B 100

B

101 C

102 A

103 A

104 A

105 D 106

D

107

C

108 C

109 B

110 A

111 B

112 A

113 A

114 C

115 D

116 B

117 A

118 B

119 D

120 C 121

A

122

B

123 B

124 A

125 A

126 B

127 A

128 B

129 D

130 C

131 D

132 C

133 B

134 C

135 B 136

B

137

B

138 D

139 D

140 C

141 A

142 D

143 A

144 B

145 C

146 D

147 A

148 B

149 A

150 A 151

D

152

B

153 C

154 A

155 C

156 B

157 D

158 A

159 C

160 A

161 A

162 C

163 B

164 D

165 A 166

C

167

B

168 D

169 B

170 A

171 D

172 C

173 B

174 D

175 C

176 C

177 A

178 C

179 A

180 D 181

B

182

C

183 B

184 D

185 B

186 A

187 A

188 B

189 D

190 A

191 C

192 A

193 B

194 A

195 B 196

C

197

A

Trang 55/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841