Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy

3 Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN (u ) có công bội q thỏa n q 1 Khi đó tổng<

= 1+ 2+ + n+

S u u u gọi là tổng vô hạn của CSN và

•limnk= +∞ với mọi k 0>

• limqn= +∞ với mọi q 1.>

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.

Quy tắc 1: Nếu limun= ±∞, limvn= ±∞ thì lim(u v ) được cho như n nsau;

limun limvn lim(u v )n n

v được coi như sau;

n

ulimv

• Để chứng minh limun=0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý >

luôn tồn tại một số n sao cho a un < ∀ >a n n a

• Để chứng minh limun=l ta chứng minh lim(un− =l) 0

• Để chứng minh limun= +∞ ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy >

ý, luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho M un>M n n ∀ > M

• Để chứng minh limun= −∞ ta chứng minh lim( u )− n = +∞

• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

2 a

3a

giả

Ví dụ 2 Chứng minh rằng dãy số = − n

n n(u ):u ( 1) không có giới hạn

2n

n

2 thì ta có: n 2− > ∀ > 0

M , n nn

n 2

4 lim(2n 1)+ = +∞ 5 1 n− 2= −∞

limn

Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau

Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau:

lim f(n) g(n) trong đó limf(n) limg(n)= = +∞ ta thường

tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm các giới hạn sau :

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau :

∑n i 2

2 Tính

→+∞∑=n +i−

n i 1 i 1

ulim

Chứng minh rằng dãy (u ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.n

4 Cho dãy số (u ) thỏa: n un+un 1+ ≥2un 2+ và dãy (u ) bị chặn Chứngnminh rằng dãy (u ) tồn tại giới hạn hữu và tìm giới hạn đó.n

5 Cho dãy (u ) được xác định bởi:n

+ +

6 Cho dãy số (u )n thỏa mãn:

7 Cho dãy số (x ) sao cho n

Bài 11 Cho dãy số (x ) xác định như sau: n

2 Chứng minh rằng dãy (x ) cũng có giới hạn hữu hạn.n

Bài 12 Tìm limu biết:n

1 Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn.

2 Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng.

Bài 14 Cho số thực α và xét dãy số (x ) với n

Chứng minh rằng dãy số (a ) hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.n

2 Cho dãy số (u ) được xác định như saun

giả

2 n

n 1 n 1

n

(2 cos2 )x cos(x ):x 1; x

(2 2cos2 )x 2 cos2 trong đó α là sốthực Đặt

x c c x , n 0,1,2 nếu các biểu thức dưới dấu căn không

âm Tìm tất cả các giá trị của c , để với mọi giá trị ban đầu x0∈( )0;c , dãy (x ) xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn.n

lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L

1.3 Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số y f(x) xác định trên = (a;+∞) có giới hạn là L khi

→ +∞

x nếu với mọi dãy số (x ):xn n>a và xn→ +∞ thì f(x )n →L Kí hiệu: →+∞ =

xlim f(x) L

* Ta nói hàm số y f(x) xác định trên = (−∞;b) có giới hạn là L khi

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi 0 −∞ hoặc+∞

2 Các định lí về giới hạn

khi x→x (hay0 x→ +∞ → −∞;x ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x→x (hay0 x→ +∞ → −∞;x )

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là

hữu hạn Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực

Ví dụ 2 Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn:

2

Ta có: limxn=limyn=0 và limf(x ) 1; limf(y ) 0.n = n =

Nên hàm số không có giới hạn khi x→0

2 Tương tự ý 1 xét hai dãy: = π = + ππ

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa

x 1

+

x 2

Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn :

1 f(x) sin= 1

x khi x→0 2 f(x) cosx khi = x→ +∞

Bài 3 Bằng định nghĩa hãy tìm các giới hạn sau

x 2

x 3 2xlim

giả

Ví dụ 2 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay

không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

lim f(x) lim ( x 3x 2) 2 lim f(x) lim f(x)

Vậy hàm số f(x) không có giới hạn khix→0

3

1 x 2Hàm số có giới hạn khi x→0 khi và chỉ khi + −

x 0 x 0lim f(x) lim f(x)

−

x 1lim (x 2) 1 x mx 1 m 1Hàm số có giới hạn khi x→1 khi và chỉ khi + −

x 1 x 1lim f(x) lim f(x)

⇔5m 1 m 1− = + ⇔m=1

2.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau:

2x 1 khi x 2

tạix→2

Bài 4 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay

không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ?

2x 1 khi x 2

tại x 2.=

Bài 5

x ax 1 khi x 2f(x)

5ax 3x 2a 1 khi x 0f(x)

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x x thì ta có : = 0

Chú ý :Nếu tam thức bậc hai ax2+bx+c có hai nghiệm x ,x thì ta 1 2luôn có sự phân tích 2+ + = − −

ax bx c a(x x )(x x )

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.Các lượng liên hợp:

− = − − −

nu(x) mv(x) ( u(x) c) ( v(x) c).n mTrong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả

ta phải phân tích như sau:nu(x)−mv(x) ( u(x) m(x)) ( v(x) m(x)),= n − − m −

x 7

x 2 x 20

B lim

x 9 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các gới hạn sau :

Bài 3 Tìm các gới hạn sau :

B lim

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau:

D lim

1 x x .

Ta có: 3x3−3x2+ x2−2x ( x= 3 3−3x2− +x) ( x2−2x x)+

2 3

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau:

x 0

2

1 2x 1 3xx

B lim

1 cos2xxMà:

x 1 x x 1 x khi x→ +∞.

Do đó: B 0.=

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm giới hạn sau:

D lim (sin x 1 sin x)

Bài 5 Tìm các giới hạn sau

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lý 2 Các hàm số y f(x), y g(x) liên tục tại = = x Khi đó tổng, 0hiệu, tích liên tục tai x0, thương y= f(x)

g(x) liên tục nếu g(x ) 0.0 ≠

Định lý 3 Cho hàm số f liên tục trên đoạn a;b 

Nếu f(a) f(b) và M là một số nằm giữa f(a) ,f(b) thì tồn tại ít nhất ≠

một số c∈( )a;b sao cho f(c) M =

Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn a;b 

Nếu f(a) f(b) 0 thì tồn tại ít nhất một số < c∈( )a;b sao cho f(c) 0.=

Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :

Cho hàm số f liên tục trên đoạn a;b Nếu  f(a) f(b) 0 thì phương <

=

f(x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b)

giả

Vấn đề 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một

điểm

Phương pháp:

• Tìm giới hạn của hàm số y f(x) khi = x→x và tính 0 f(x )0

• Nếu tồn tại x x0lim f(x) thì ta so sánh → x x0lim f(x) với → f(x ) 0

f(x) khi x xy

k khi x x liên tục tại = 0⇔ → =

f (x) khi x x liên tục tại điểm x x khi và chỉ khi= 0

f(x) khi x xy

k khi x x liên tục tại x x khi và chỉ khi= 0

f(x) khi x xy

g(x) khi x x liên tục tại x x khi và chỉ khi= 0

Vậy hàm số gián đoạn tại x 3.=

Ví dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Vậy hàm số gián đoạn tại x= −1

Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x 2=

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số y f(x) tại điểm chỉ ra=

32x 8 2f(x)

Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức,

lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó

giả

Với x 2 ta có = + +

x 2 x 2lim f(x) lim (1 a)x 2(1 a) f(2)

x 2 2Hàm số liên tục trên ¡ ⇔ hàm số liên tục tại x 2=

2.Vậy a= −1,a=1

2 là những giá trị cần tìm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Xác định tính liên tục của hàm số sau trên ¡

x 1f(x)

• Để chứng minh phương trình f(x) 0 có ít nhất một nghiệm trên D, =

ta chứng minh hàm số y f(x) liên tục trên D và có hai số = a,b D sao∈

cho f(a).f(b) 0.<

• Để chứng minh phương trình f(x) 0 có k nghiệm trên D, ta chứng =

minh hàm số y f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau=

Nên phương trình f(x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc = (−1;0 )

Giả sử phương trình có hai nghiệm x ,x 1 2

Nên phương trình f(x) 0 có ít nhất một nghiệm=

Giả sử phương trình f(x) 0 có hai nghiệm = x ,x1 2

Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

2 Ta có hàm số f(x) x sinx xcosx 1 liên tục trên R và= 2 + +

π = −π <

f(0).f( ) 0 Suy ra phương trinh f(x) 0 có ít nhất một nghiệm =

thuộc (0; ) π

Ví dụ 3 x5+2x3+15x2+14x 2 3x+ = 2+ +x 1 có đúng 5 nghiệm phân biệt

Mặt khác f(x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân

Bài 4 Chứng minh rằng phương trình :

1 x4+x3−3x2+ + =x 1 0có nghiệm thuộc khoảng (−1;1)

2 x5−5x3+4x 1 0 có năm nghiệm thuộc khoảng − = (−2;3)

3 a x b x c( − ) ( − +) (b x c x a− ) ( − +) (c x a x b− ) ( − )=0 ; a,b,c 0 có hai >

nghiệm phân biệt

4 (1 m )x− 2 5−3x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m− =

5 m (x 2) m(x 1) (x 2)2 − + − 3 − 4+3x 4 0 có nghiệm với mọi m − =

Bài 5 Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m; mp n và< < 2

rằng tồn tại ít nhất một số c 0 sao cho ≥ f(c) c =

3 Tìm tất cả các hàm số f :¡ →¡ liên tục tại x 0 thỏa: = f(3x) f(x) =

4 Cho hàm số f : 0;1  →  0;1 liên tục trên  0;1 và thỏa  f(0) f(1) =

1 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm x ;x ; ;x1 2 n∈ a;b 

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c∈ a;b sao cho

nf(c) f(x ) f(x ) f(x )

2 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số 0< α < β <1 sao cho

α = α2cos và βtanβ =1