Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - ĐH Kiến trúc

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm chung; Lý thuyết chung về phần tử hữu hạn; Tính toán phần tử một chiều;...Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP.HCM

KHOA XÂY DỰNG BỘ MÔN CƠ HỌC ỨNG DỤNG

BÀI GIẢNG MÔN HỌC

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

(Finite Element Method)

Phạm Văn Mạnh

Giới thiệu chung về môn học

Phân bổ thời gian

Học xong môn Cơ Học Kết Cấu 2

Ø Nắm các kiến thức cơ bản về Phương pháp Phần tử hữu hạn.

Ø Hiểu nguyên lý giải bài toán bằng phần mềm PTHH (SAP2000) dùng

để phân tích kết cấu.

Ø Dự lớp đầy đủ

Ø Tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo

Ø Làm bài tập, tiểu luận

Giới thiệu chung về môn học

Tài liệu học

5

1 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chu Quốc Thắng

2 THỰC HÀNH PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ KẾT CẤU BẰNG SAP2000

Chương 1: Khái niệm chung (5t)

Chương 2: Lý thuyết chung về PTHH ( FEM) (5t)

Chương 3 Tính toán phần tử một chiều (20t)

Chương 1: Khái niệm chung

1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị

î

σ ε u

v Trạng thái ứng suất – biến dạng – chuyển vị tại 1 điểm được biểu diễn bởi các vector:

(1.1)

v Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

[ ]

, , ,

;

2 1 1

;

2 1 1

v Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (dạng nghịch)

Phương trình biến dạng – chuyển vị 6 3 1

Phương trình ứng suất – biến dạng 6 3 1

1.3 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng

Π = U - W Với: U là năng lượng biến dạng của vật thể đàn

hồi tích luỹ trong quá trình biến dạng.

W là công của ngoại lực sinh ra trên các

chuyển dời do vật thể bị biến dạng.

(1.7)

(1.8) (1.9)

(1.10)

1.4 Mô hình

q MH của kết cấu là hình ảnh tưởng tượng của kết cấu thực, ở đó sơ đồ hình học, đặc điểm của vật liệu, tải trọng, điều kiện biên… đã được đơn giản hoá bằng cách loại bỏ những yếu tố không quan trọng.

1.4 Mô hình

L L L L

L

1

2 ( x 1) { }i

n

n

x x x

n

n

b b b

1.5 Đại số ma trận và PP khử Gaussian

1.5.3 Phép cộng và phép trừ ma trận.

úû

ùê

ùê

ë

é

-

+úû

-ùê

1

5

81

5

23

1.5.4 Nhân ma trận với hằng số

3 2 300 200100

ùê

ë

é

=úú

úû

ùê

ê

êë

é

´úû

ùê

ë

é

3638

7054

46

52

544

13

582

[ aij]

l A = l

C = A + B trong đó: c ij = a ij + b ij (m ´ n) (m ´ n) (m´ n)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

1.5 Đại số ma trận và PP khử Gaussian

1.5.6 Ma trận chuyển vị

(2 x 3) (3 x 2)

Cho ma trận vuông A = [a ij ], kích thước (n´ n) Định thức của ma trận A

được định nghĩa như sau:

1.6 Các hướng giải bài toán CHVR

PP SỐ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

PP HỖN HỢP

PP LỰC

PP CHUYỂN VỊ

PP SAI PHÂN HỮU HẠN

CÁC PP TÍCH PHÂN SỐ

MÔ HÌNH HỖN HỢP

MÔ HÌNH CÂN BẰNG

MÔ HÌNH TƯƠNG THÍCH

Chương 2: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ FEM

2.1 Khái niệm về FEM

q FEM không tìm dạng xấp xỉ trên toàn miền V mà chỉ tìm trong từng miền con Ve (e: phần tử)

q Trong FEM, V được chia thành một số hữu hạn các Ve – phần tử Các phần tử được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên (nút).

q Trong phạm vi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ trong dạng hàm đơn giản, gọi là các hàm xấp xỉ (approximation function).

q Các hàm này được nội suy (biểu diễn) qua giá trị của hàm (có thể

cả đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử ® là ẩn số chính của bài toán.

Back

2.1 Khái niệm về FEM

Các sai số thường gặp trong FEM

Ø Sai số mô hình: Sai số này tồn tại là do việc lý tưởng hoá bài toán vật lý thực thành mô hình toán Sai số này có thể giảm

bằng cách giảm thiểu các giả thiết.

Ø Sai số do rời rạc hoá Sai số này tồn tại là do việc chuyển mô

hình toán thành mô hình phần tử hữu hạn Sai số này có thể

giảm bằng cách chia mịn lưới phần tử

Ø Sai số tính toán. Sai số này phát sinh do việc tính toán số của máy tính Thường thì sai số này rất nhỏ, tuy nhiên nó có thể rất lớn nếu lưới phần tử được chia không hợp lý.

Ứng dụng FEM trong các lĩnh vực khoa học

q Bài toán cơ học / hàng không – vũ trụ / ô tô…

q Bài toán phân tích kết cấu ( tĩnh học/động học, tuyến tính/phi tuyến).

q Bài toán nhiệt độ, tính lưu lượng dòng chảy.

q Bài toán điện tử

q Bài toán cơ khí…

Marina Bay Sands-Singabo

Tại sao học FEM ?

nhận:

Ø Hiểu biết tốt về bài toán

Ø Biết cách xây dựng mô hình

Ø Biết bản chất của FEM

Ø Biết điểm hạn chế của phần mềm

Ø Biết cách định dạng dữ liệu và biết kiểm tra kết quả

Các loại phần tử trong FEM

2.2 Trình tự phân tích bài tốn theo FEM

Bước 1: Rời rạc hố miền khảo sát: V chia thành các miền con Ve

Chọn hàm xấp xỉ thích hợp: Thường chọn dạng đa thức (thương đơn giản và dễ thoảmãn các tiêu chuẩn hội tụ) Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị (cả đạo hàm)của nĩ tại các nút của phần tử qe

Bước 3: Ghép nối các phần tử trên cơ cở mơ hình tương thích:

K q = f là ma trận cứng tổng thể.

là vectơ tải tổng thể.

là vectơ chuyển vị nút tổng thể

ì ï í ï ỵ

K F q

2.2 Trình tự phân tích bài toán theo FEM

Áp đặt điều kiện biên về chuyển vị nút (qi = 0) của bài toán vào pt (1) và

nhận được hệ pt để giải như sau:

1 2

*

n N

q q q

Bước 4: Giải hệ phương trình đại số:

Bước 6: Tìm biến dạng, ứng suất và nội lực trong các phần tử.

à Tìm ma trận độ cứng tổng thể bằng cách ghép nối các ma trận độ cứng phần tử Ke

à Tìm véc tơ tải tổng thể bằng cách ghép nối các véc tơ tảo phần tử fe

2.3 Hàm xấp xỉ–Đa thức xấp xỉ – Phép nội suy

v Trong FEM, đại lượng cần tìm (chuyển vị) được xấp xỉ hĩa trong từng phần

tử theo 1 hàm xấp xỉ đơn giản dạng đa thức: ue = P qe

Ma trận các đơn thức

Vectơ các tham số của đa thức xấp xỉ

v Chọn bậc của đa thức xấp xỉ thường chú ý:

ü Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ.

ü Số phần tử của ma trận a tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do của phần tử trong véctơ qe

v qe là vectơ chuyển vị nút phần tử trong kết cấu và là ẩn số của bài toán

khi phân tích theo FEM.

e u

1 2 3 4 5 6

i i j e

j k k

v Đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo qe Þ các tham số a sẽ được XĐ mộtcách duy nhất qua qe à đảm bảo tính đồng nhất.

, ,

e

e e

r

Ma trận vuông:

tại n tại n tại n

2.3 Hàm xấp xỉ – Đa thức xấp xỉ – Phép nội suy

v Các hàm thành phần trong N phản ánh dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử ứng với các chuyển vị bằng đơn vị

(2.6) (2.5)

là vectơ tải phần tử.

e

T e

1 2

Thế năng hệ:

(2.14)

(2.15)

Ma trận độ cứng tổng thểVectơ tải tổn

e e NE

=

=

å å

(2.16)

(2.17)

phần tử với bậc tự do thứ

kể thêm các ngoại lực tập trung đặt tải nút

là đối xứng, dạng ba

êng, suy biến

+ Để ghép nối phần tử người ta không sử dụng mà sử

dụng ma trận liên hệ Boolean hay ma trận chỉ số

Để giải được, cần áp đặt điều kiện biên động

2.6 Phép chuyển trục tọa độ

· Hệ trục tọa độ địa phương (local coordinate system) là xyz

· Hệ trục tọa độ tổng thể (gobal coordinate system) là x’y’z’.

e NE

K

f

trong đó: Ma trận độ cứng tổng thể trong hệ tọa độ tổng thể

Vectơ tải tổng thể trong hệ tọa độ tổng thể với vectơ tải trọng tập trung tại nút no( dal load vector)

(2.18)

(2.19) (2.20)

(2.21)

Deã thaáy: k k k

=

2.8 Áp đặt điều kiện biên:

Chương 3: Tính toán cho phần tử một chiều

Vì vecto qe chỉ có 2 bậc tự do là u i và cuối u j nên ma trận a sẽ có 2 tham

số

1

2

i e

0 1

Giả sử có 1 phần tử thanh dàn chịu

nén dọc trục: chiều dài L , diện tích mặt

cắt ngang A , chuyển vị hai đầu thanh

là ui , uj

x x

N x

L

-ïïí

vị nút

a Chọn hàm xấp xỉ - XĐ ma trận hàm dạng

q Ma trận tính biến dạng:

{ } { }

[ ]

x

x

x E

e s

112

L e

L x

dx x

T e

x L

x L

pL 2

c Ma trận tính nội lực & tính biến dạng

q Biến dạng trong thanh:

q Ứng suất trong thanh:

4

(3)

2P

q Hệ tọa độ địa phương xy

3.1.2 Thanh dàn có phương bất kỳ

a Véc tơ chuyển vị nút

1 2 3 4

i i j j

Với : l ij , m ij là cosin chỉ phương của trục phần tử đối với hệ trục tọa độ

i j

x y

x'

y'

e

y' y'

x' x' i

b Ma trận cứng trong hệ tọa độ tổng thể

j i

x y

x'

y'

e

y' y'

x' x' i

´

T

( 4 2 ) ( 2 2 ) ( 2 4 ) ( ) 4 1 ( 4 2 ) ( ) 2 1

'

c Ma trận tính nội lực

j i

x y

x'

y'

e

y' y'

x' x' i

3.2 Phần tử thanh dầm chịu uốn

3.2.1 Chọn hàm xấp xỉ - Xác định ma trận hàm dạng N

3.2.2 Xác định ma trận cứng phần tử - véctơ tải phần tử

3.2.3 Nội lực trong phần tử dầm chịu uốn

3.2.4 Bài tập áp dụng

3.2.1 Chọn hàm xấp xỉ - tính ma trận hàm dạng

Giả sử phần tử dầm chịu uốn có

chiều dài L, độ cứng EI, chuyển vị 2

2 3

3 4

1

a a

a a

Vì vecto qe chỉ có 4 bậc tự do nên ma trận a sẽ có 4 tham số

T T

3 4

a a x

( ) ( ) ( ) ( )

1 nút

0 1 2 3

2 3 nút

A a

q Thực hiện đồng nhất:

q Hàm chuyển vị biểu diễn qua hàm dạng và chuyển vị nú:

3.2.1 Chọn hàm xấp xỉ - tính ma trận hàm dạng

q Quan hệ chuyển vị dọc

trục và độ võng

3.2.2 XĐ ma trận cứng phần tử & véc tơ tải PT

A' y B'

B A

=

ìï

=

í

ï =î

σ ε D

´ ´ ´

´

-

M 1

§ Q i , x Qi là lực tập trung và hoành độ điểm đặt lực.

§ M i , x Mi là momen tập trung và hoành độ điểm đặt

§ nQ, nM là số lực tập trung và momen tập trung trên chiều dài phần tử.

3.2.2 XĐ ma trận cứng phần tử & véc tơ tải PT

2 3 0

2 3

2

2 3

0 2

2 2

12

2 12

o

L e

( )

2 3

2 3

2 3 12

2

T e

P

e

L 2

3.2.2 XĐ ma trận cứng phần tử & véc tơ tải PT

q Momen uốn nội lực:

• M e = EI N’’ qe là momen do chuyển vị nút gây ra

• Để đầy đủ hơn cần cộng thêm momen uốn nội lực do tải trọng tác

dụng trên phạm vi phần tử (M 0) khi xem tất cả các nút được gắncứng

3.2.3 Nội lực trong phần tử dầm chịu uốn

q Vecto chuyển vị nút trong tọa độ

địa phương x’y’

q Vecto chuyển vị nút trong tọa độ

x y

sin

x x

Ke có kích thước (6´6) được thiết lập từ 2 ma trận con (2´2) và (4´4):

q q q

I L

q q

3.3.2 Ma trận cứng phần tử tọa độ địa phương

Chú ý: qe gây ra các biến dạng độc lập với nhau Cụ thể:

T e

q q

{ 2 3 5 6}

T e

à PT dàn chịu nén dọc trục

à PT dầm chịu uốn

I B

ï = ỵ

K

đx diện tích với: mặt cắt ngang

q Nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc đến chuyển vị, ta có K’eở dạng đơn giản như sau:

2 3

q Momen uốn nội lực tính theo q’ e :

( )

1 2

BT2: Bài tập 2 lò xo

Giả thuyết u 1 = 0 và F 2 = F 3 = P

è

è

BT3: Áp dụng

(a) Xác định ma trận cứng tổng thể(b) Chuyển vị tại nút 2 và 3

(c) Phản lực tại nút 1 và 4

LOGO