BCKH Phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên sử dụng mô hình độ cứng động lực không cục bộ

15 2V: 49–64 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM BẬC NANO BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN SỬ DỤNG MÔ HÌNH ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC KHÔNG CỤC BỘ Phạm Tuấn Đạta, Trần Văn Liênb,∗, Ngô Trọng Đứcc

Trang 1

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2021 15 (2V): 49–64 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM BẬC NANO BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN SỬ DỤNG MÔ HÌNH

ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC KHÔNG CỤC BỘ Phạm Tuấn Đạta, Trần Văn Liênb,∗, Ngô Trọng Đứcc

a Viện Kỹ thuật công trình đặc biệt, Học viện Kỹ thuật quân sự,

236 đường Hoàng Quốc Việt, quận Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam

b Khoa Xây dựng dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,

55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam

c Fujita Corporation, 52 đường Lê Đại Hành, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam

Nhận ngày 15/03/2021, Sửa xong 05/05/2021, Chấp nhận đăng 06/05/2021

Tóm tắt

Bài báo này phát triển Mô hình độ cứng động lực (DSM) để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) trên cơ sở Lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET), gọi là mô hình DSM-NET NET có xét đến tham số tỷ lệ chiều dài nên có thể giữ lại các hiệu ứng tỷ lệ cho các cấu trúc nano khi xét đến tương tác của các nguyên tử và phân tử không liền kề Đặc trưng vật liệu dầm nano FGM thay đổi phi tuyến theo độ dày dầm Dầm bậc nano được mô hình hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko và các phương trình chuyển động được rút ra từ nguyên lý Hamilton DSM được sử dụng để thu được nghiệm chính xác của phương trình chuyển động có xét đến vị trí thực của trục trung hòa với các điều kiện biên khác nhau So sánh kết quả tính toán của DSM-NET với các kết quả đã công bố đã khẳng định độ tin cậy của mô hình Từ đó, các tác giả

đã tiến hành các khảo sát số nhằm đánh giá ảnh hưởng của tham số phân bố vật liệu, hình học, không cục bộ

và các điều kiện biên đối với dao động tự do của các dầm bậc nano FGM Nghiên cứu này có thể áp dụng cho nhiều kết cấu nano FGM khác như dầm liên tục hay khung nano nhiều bậc phức tạp hơn.

Từ khoá: mô hình độ cứng động lực; lý thuyết đàn hồi không cục bộ; vật liệu có cơ tính biến thiên; dầm bậc nano; tần số không thứ nguyên.

FREE VIBRATION ANALYSIS OF FGM STEPPED NANOBEAMS USING NONLOCAL DYNAMIC STIFF-NESS MODEL

Abstract

This paper presents a nonlocal Dynamic Stiffness Model (DSM) for free vibration analysis of Functionally Graded (FG) stepped nanobeams using the Nonlocal Elastic Theory (NET), called DSM-NET model The NET nanobeam model considers the length scale parameter, which can capture the small scale effect of nano structures considering the interactions of non-adjacent atoms and molecules Material characteristics of FG nanobeams are considered nonlinearly varying throughout the thickness of the beam The nanobeam is mod-elled according to the Timoshenko beam theory and its equations of motion are derived using Hamilton’s principle The DSM is used to obtain an exact solution of the equation of motion taking into account the neu-tral axis position with different boundary conditions The DSM-NET is validated by comparing the obtained results with published results Numerical results are presented to show the significance of the material distribu-tion profile, nonlocal effect, and boundary condidistribu-tions on the free vibradistribu-tion of nanobeams It is shown that the study can be applied to other FG stepped nanobeams as well as more complex of framed nanostructures.

Keywords: DSM; NET; FGM; stepped nanobeam; nondimensional frequency.

∗Tác giả đại diện Địa chỉ e-mail:lientv@nuce.edu.vn (Liên, T V.)

Trang 2

Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

1 Giới thiệu

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) [1,2] là vật liệu tổng hợp thế hệ mới được tạo thành từ hai hoặc nhiều vật liệu thành phần với sự thay đổi liên tục về tỷ lệ các thành phần theo một hoặc nhiều hướng FGM được sử dụng trong các hệ thống cơ điện micro/nano (MEMS/NEMS) để đạt được độ nhạy cao và hiệu suất mong muốn Các cấu trúc có kích thước nano như dầm, tấm và vỏ được sử dụng rộng rãi trong các thiết bị NEMS, trong đó dầm bậc nano đặc biệt thu hút ngày càng nhiều sự chú ý

do các ứng dụng tiềm năng khác nhau của chúng

Lý thuyết đàn hồi cổ điển không thể nghiên cứu đầy đủ và chính xác ứng xử cơ học của cấu trúc nano do ảnh hưởng của hiệu ứng kích thước Do đó, lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET) lần đầu tiên được đề xuất bởi Eringen [3] với giả thiết rằng tensor ứng suất tại một điểm không chỉ là một hàm của biến dạng tại đó mà còn xét đến biến dạng của các điểm xung quanh Hiện nay, NET được sử dụng rộng rãi để thiết lập phương trình chuyển động của các cấu trúc nano sử dụng vật liệu đồng nhất [4 6] và vật liệu FGM [7] Reddy [8] đã thiết lập các phương trình dao động và ổn định của các dầm nano đồng nhất theo NET cho các lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Timoshenko, Reddy và Levinson Nhiều tác giả khác đã phát triển các phương pháp giải tích [9 12], phương pháp Rayleight-Ritz [13], phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [14–19], phương pháp biến đổi vi phân [20], phương pháp cầu phương vi phân [21], để nghiên cứu ứng xử uốn, ổn định và dao động tự do của các thanh nano từ các vật liệu đồng nhất Simsek và Yurtcu [22], Rahmani và Pedram [23] đã đồng thời nghiên cứu ứng

xử uốn và ổn định của dầm Timoshenko FGM bằng phương pháp giải tích Ngoài ra, Mechab và cs [24] đã nghiên cứu dao động tự do, trong khi Uymaz [25] nghiên cứu về dao động cưỡng bức của các dầm nano, cả hai đều sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Ebrahimi và Salari [26] đã ứng dụng một phương pháp bán giải tích để phân tích dao động của các dầm nano Euler - Bernoulli FGM có xét đến vị trí thực của trục trung hòa Narendar và Gopalakrishnan [27] đã phát triển phương pháp PTHH phổ để khảo sát dao động của dầm nano không cục bộ Các nghiệm giải tích tìm được ở trên đều có dạng chuỗi lượng giác kép Navier, do đó, chúng bị giới hạn cho các dầm với các điều kiện gối tựa đơn giản Đối với các điều kiện biên khác, các tác giả đã áp dụng FEM để phân tích ứng xử uốn

và dao động tự do của các dầm nano FGM theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli [28,29], và lý thuyết Timoshenko [30–32] Gần đây, các tác giả của [33] đã tìm được các tần số riêng và dạng dao động của các dầm nano với các điều kiện biên khác nhau bằng cách sử dụng khái niệm không gian trạng thái

Vì FEM được xây dựng dựa trên các hàm dạng đa thức không phụ thuộc vào tần số nên nó không dùng để tìm tất cả các tần số và dạng dao động, đặc biệt bậc cao Để khắc phục điều này, phương pháp

độ cứng động lực (DSM) đã được phát triển để thay thế FEM bằng cách sử dụng các hàm dạng phụ thuộc tần số [34–36] Mặc dù không dễ dàng tìm được các nghiệm giải tích chính xác như vậy cho các bài toán dao động của dầm nano nhưng nếu tìm được thì chúng cho phép nghiên cứu dao động chính xác của dầm trong dải tần số tùy ý Adhikari và cs [4,37] đã thu được ma trận độ cứng động lực của một thanh nano đồng nhất chịu dao động dọc Hàm đáp ứng tần số thu được dùng DSM được đề xuất cho thấy mật độ phổ cao gần tần số cực đại Gần đây, Taima và cs [38] đã sử dụng DSM để phân tích dao động cho dầm bậc nano đồng nhất theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli

Theo tìm hiểu của các tác giả, hiện nay chưa có nghiên cứu nào về phát triển DSM cho bài toán dao động của dầm nano FGM theo lý thuyết đàn hồi không cục bộ Trong bài báo này, các tác giả phát triển DSM để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano FGM trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko

và lý thuyết đàn hồi không cục bộ, gọi là mô hình NET So sánh kết quả thu được bằng DSM-NET với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình đề xuất Từ đó, các tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số không cục bộ, sự phân bố vật liệu và các tham số hình học đến ba tần

50

Trang 3

số dao động không thứ nguyên đầu tiên của dầm nano với các điều kiện biên khác nhau

2 Mô hình DSM-NET của dầm Timoshenko bằng vật liệu FGM

như sau

  

môđun đàn hồ , môđun cắ ật độ ối lượ  ỉ ố

( , ,



/

                 

ự

   



trong đó ần lượt là động năng và ế năng củ ầ





   

     







Dầm

b

h

x

z E t G t tt Trục trung hòa

E b G b bb

Hình 1 Dầm FGM Đối với một dầm nano FGM (Hình1), các đặc tính của vật liệu thay đổi theo chiều dày z như

sau [1]:

P(z) = Pb+(Pt− Pb) z

h +

1 2

!n

−h2 ≤ z ≤ h2

(1)

với P lần lượt là ký hiệu của môđun đàn hồi E, môđun cắt G và mật độ khối lượng ρ; các chỉ số dưới

tvà b liên quan đến các giá trị tương ứng của vật liệu lớp trên và lớp dưới cùng; n là chỉ số phần thể

tích, z là tọa độ từ mặt phẳng giữa của dầm Các chuyển vị của dầm Timoshenko là:

u(x, z, t) = u0(x, t) − (z − h0)θ(x, t); w(x, z, t) = w0(x, t) (2) trong đó u0(x, t), w0(x, t)lần lượt là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang của một điểm trên trục trung hòa;

h0là khoảng cách từ trục trung hòa đến trục x; θ là góc quay của mặt cắt quanh trục y Từ đó, ta nhận

được các biến dạng:

εxx=∂u0/∂x − (z − h0)∂θ/∂x; γxz=∂w0/∂x − θ = −ϕ (3) Các quan hệ vật lý không cục bộ cho dầm nano có thể được viết ở dạng [3]:

σxx− µ∂

2σxx

∂x2 =Eεxx; σxz− µ∂

2σxz

trong đó µ = e2

0a2 là tham số không cục bộ; e0là hằng số cho mỗi vật liệu; a là chiều dài đặc trưng

bên trong của dầm

Dựa trên nguyên lý Hamilton:

T Z

0

trong đó T và U lần lượt là động năng và thế năng của dầm:

δT =

L Z

0

"

I11

∂u0

∂t

∂δu0

∂t +

∂w0

∂t

∂δw0

∂t

!

− I12

∂u0

∂t

∂δθ

∂t +

∂θ

∂t

∂δu0

∂t

! +I22

∂θ

∂t

∂δθ

∂t

# dx

δU =

L Z

0

"

N∂δu0

∂x − M∂δθ

∂x +Q

∂δw0

∂x − Qδθ

# dx

(6)

Trang 4

N, M, Qlần lượt là lực dọc, mômen uốn và lực cắt của dầm:

N = Z

A

σxxdA; M =

Z

A (z − h0) σxxdA; Q =

Z

A

và

(A11, A12, A22) =

Z

A E(z)1, z − h0, (z − h0)2dA; A33=η

Z

A G(z)dA (I11, I12, I22) =

Z

A ρ(z)1, z − h0, (z − h0)2dA

(8)

ηlà hệ số hiệu chỉnh cắt, η = 5/6 đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật; vị trí của trục trung hòa h0và

I12có giá trị là:

h0= n(RE − 1)h

2(n + 2)(n + RE); I12= nbh2ρb

2(2 + n).

Rρ− RE

n + RE

; Rρ=

ρt

ρb

; RE =

Et

Eb

(9)

Từ (5), ta nhận được phương trình dao động tự do của dầm nano FGM có dạng:

A11

∂2u0

∂x2 − A12

∂2θ

∂x2 − I11

∂2u0

∂t2 +I12

∂2θ

∂t2 +µ I11

∂4u0

∂x2∂t2 − I12

∂4θ

∂x2∂t2

!

=0

A22

∂2θ

∂x2 − A12

∂2u0

∂x2 +A33

∂w0

∂x − θ

!

− I22

∂2θ

∂t2 +I12

∂2u0

∂t2 − µI12

∂4u0

∂x2∂t2 +µI22

∂4θ

∂x2∂t2 =0

A33

∂2w0

∂x2 − ∂θ∂x

!

− I11

∂2w0

∂t2 +µI11

∂4w0

∂x2∂t2 =0

(10)

và các điều kiện biên tương ứng

u0=0or A11

∂u0

∂x − A12

∂θ

∂x +µ I11

∂3u0

∂x∂t2 − I12

∂3θ

∂x∂t2

!

=0

w0=0or A33

∂w0

∂x − θ

! +µI11

∂3w0

∂x∂t2 =0

θ0 =0or A12

∂u0

∂x − A22

∂θ

∂x +µ I11

∂2w0

∂t2 +I12

∂3u0

∂x∂t2 − I22

∂3θ

∂x∂t2

!

=0

(11)

Đặt:

{U, Θ, W} =

∞ Z

−∞

{u0(x, t), θ(x, t), w0(x, t)} e−iωtdt (12) Phương trình dao động (10) trong miền tần số có dạng:

A11− µI11ω2d

2U

dx2 −A12− µI12ω2d

2Θ

dx2 +I11ω2U − I12ω2Θ =0

−A12− µI12ω2d

2U

dx2 +A22− µI22ω2d

2Θ

dx2 +A33

dW

dx − I12ω2U +I22ω2− A33

Θ =0

A33− µI11ω2d

2W

dx2 − A33

dΘ

dx +I11ω

2

W = 0

(13)

52

Trang 5

Đưa vào các ma trận và vectơ:

h ˜Ai

=





A11− µI11ω2 −A12− µI12ω2 0

−A12− µI12ω2 A22− µI22ω2 0





h ˜Bi

=





0 −A33 0





; h ˜Ci=





I11ω2 −I12ω2 0

−I12ω2 I22ω2− A33 0





; {z} =











U Θ W









 (14)

Phương trình (13) có thể viết dưới dạng ma trận:

h ˜Ai

z′′ +h ˜Bi

z′ +h ˜Ci

Chọn nghiệm của phương trình (15) dưới dạng {z0} = {d} eλxdẫn đến

λ2h ˜Ai+λh ˜Bi+h ˜Ci

Phương trình (16) có nghiệm khi

detλ2h ˜Ai+λh ˜Bi+h ˜Ci

Từ đó ta nhận được phương trình bậc ba của η = λ2: η3+aη2+bη + c = 0 Ký hiệu η1, η2, η3 là nghiệm của phương trình bậc ba và

λ1,4=±k1; λ2,5=±k2; λ3,6=±k3; kj = √ηj; j = 1, 2, 3 (18) Nghiệm tổng quát của phương trình (15) có dạng là {z0(x, ω)} =

6 X

j=1

n

djoeλj x Từ phương trình đầu tiên và phương trình thứ ba của (16), ta có:

{z0(x, ω)} =





α1C1 α2C2 α3C3 α4C4 α5C5 α6C6

β1C1 β2C2 β3C3 β4C4 β5C5 β6C6





·nek1 xek2 xek3 xe−k1 x e−k2 x e−k3 xoT

(19) trong đó {C} = (C1, , C6)T là các hằng số độc lập và

α1=

A12− µI12ω2k21+I12ω2

A11− µI11ω2 k2

1+I11ω2 =α4; β1 = A33k1

A33− µI11ω2 k2

1+I11ω2 =−β4 (20) Tương tự, α2=α5;β2=−β5;α3=α6;β3=−β6, phương trình (19) trở thành:

trong đó

[G(x, ω)] =







α1ek1 x α2ek2 x α3ek3 x α1e−k1 x α2e−k2 x α3e−k3 x

ek1 x ek2 x ek3 x e−k1 x e−k2 x e−k3 x

β1ek1 x β2ek2 x β3ek3 x

−β1e−k1 x

−β2e−k2 x

−β3e−k3 x







(22)

Trang 6

Xét một phần tử dầm nano FGM hai chiều như Hình2 Chuyển vị và các lực tại đầu nút của phần

tử có dạng:

n ˆU e o

={U1, Θ1, W1, U2, Θ2, W2}T; {Pe} = {N1, M1, Q1, N2, M2, Q2}T (23) trong đó

U1=z1(0, ω); Θ1=z2(0, ω); W1=z3(0, ω)

U2=z1(L, ω); Θ2=z2(L, ω); W2 =z3(L, ω)

N1=−hA11− µI11ω2∂xz1−A12− µI12ω2∂xz2

i x=0; Q1=−hA33− µI11ω2∂xz3− A33z2

i x=0

M1=−hA12− µI12ω2∂xz1−A22− µI22ω2∂xz2− µI11ω2z3

i x=0

N2=hA11− µI11ω2∂xz1−A12− µI12ω2∂xz2

i x=L; Q2=hA33− µI11ω2∂xz3− A33z2

i x=L

M2=hA12− µI12ω2∂xz1−A22− µI22ω2∂xz2− µI11ω2z3

i x=L

(24)

                  



trình đầu tiên và phương trình thứ ủ



        

trong đó





trong đó

M1

N2

N1

M2

W1

U2

W2

j

Q2

x

Q1

y

L

i

U1

Hình 2 Nút và lực nút của phần tử dầm Timoshenko Thay (21) vào (24), ta được

n ˆU e o

=

"

#

· {C} ; {Pe} =

"

−BF(G)x=0

BF(G)x=L

#

với [BF]là toán tử ma trân

[BF] =





A11− µI11ω2∂x −A12− µI12ω2∂x 0

A12− µI12ω2∂x −A22− µI22ω2∂x −µI11ω2

A33− µI11ω2∂x





(26)

Khử vectơ hằng số {C} trong (25) dẫn đến

{Pe(ω)} =

"

−BF(G)x=0

BF(G)x=L

#

·

"

#−1

·n ˆUeo=h ˆK

e(ω)i·n ˆUeo (27) trong đó h ˆKei

là ma trận độ cúng động lực của phần tử dầm nano FGM

54

Trang 7

Đối với một kết cấu dầm, khung gồm một số phần tử dầm nano FGM như trên, bằng cách cân bằng nội lực tại các nút của kết cấu, ta sẽ thu được ma trận độ cứng động lực ˆK(ω) và vectơ lực nút ˆP của toàn kết cấu Gọi ˆU là vectơ các chuyển vị nút của kết cấu, phương trình chuyển động của kết cấu theo DSM là

h ˆK(ω)i·n ˆUo=n ˆPo

(28)

Do đó, tần số dao động tự do {ω} = {ω1ω2 ωn} có thể được tìm thấy từ phương trình

3 Kết quả tính toán và thảo luận

3.1 So sánh kết quả tính toán với các kết quả công bố

Trong mục này, các kết quả tính toán số theo mô hình DSM-NET đề xuất được so sánh với kết quả

đã công bố để kiểm tra độ tin cậy của mô hình So sánh đầu tiên được thực hiện đối với tần số cơ bản không nguyên λ1 = ω1.L2.pρtA/EtI của một dầm nano đồng nhất không cục bộ đơn giản theo bốn

lý thuyết dầm không cục bộ: Euler-Bernoulli (EBT), Timoshenko (TBT), Reddy (RBT) và Levinson (LBT) Các kết quả từ mô hình DSM-NET đề xuất trong Bảng1khá phù hợp với các kết quả giải tích của Reddy [8] với các thông số không cục bộ khác nhau

Bảng 1 So sánh tần số cơ bản không thứ nguyên λ 1 = ω 1 L2.pρ t A/E t I của một dầm nano đơn giản với các

tham số không cục bộ khác nhau (tỷ số L/h = 10)

So sánh thứ hai được thực hiện cho một dầm nano FGM đơn giản với các thông số hình học và vật liệu là: L = 10 nm, b = h = L/10 = 1 nm ; Et = 70 Gpa, Gt = 26 Gpa, ρt = 2700 kg/m3;

Eb = 393Gpa, Gb = 157Gpa, ρb = 3960kg/m3 [30] Kết quả tính toán cho 3 tần số không thứ nguyên đầu tiên λi =ωi.L2.pρtA/EtI, i = 1, 2, 3đối với trục trung hòa (NA) và trục giữa mặt phẳng (MA) theo DSM-NET được so sánh với kết quả của Eltaher và cs [30] sử dụng FEM với 100 phần

tử được thể hiện trong Bảng2 Có thể thấy kết quả khá tốt, đặc biệt khi tính đến vị trí thực của trục trung hòa thì sai số nhỏ hơn 0,5% Các so sánh kết quả tính toán trên với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình DSM-NET đề xuất

Trang 8

Bảng 2 So sánh 3 tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm nano với kết quả của Eltaher và cs.

µ

(10 −19 ) Frqs(λ i ) (Kết quả)MA (Kết quả)NA MA[ 30 ] [NA30 ] (Kết quả)MA (Kết quả)NA MA[ 30 ] [NA30 ]

0

2 37,0962 37,0962 37,0382 37,0382 51,8360 52,1179 52,7163 52,1595

3 78,1547 78,1547 77,9135 77,9135 110,6544 110,1423 119,2343 110,3186

1 17,0278 16,7305 17,1057 16,7366 17,6526 17,5472 17,6845 17,5542

2 64,1874 64,2634 65,6963 64,3491 67,2760 67,3039 67,8750 67,4009

3 136,4469 136,2956 139,3094 136,6522 142,5265 142,4755 143,8072 142,8763

2,0

2 27,7303 27,7303 27,6870 27,6870 38,8463 38,9595 42,3969 38,9905

3 46,9034 46,9034 46,7622 46,7622 66,5345 66,1005 71,5567 66,2061

1 15,5611 15,2894 15,6323 15,2950 16,1321 16,0358 16,1613 16,0421

2 48,0080 48,0385 49,1097 48,1026 50,3002 50,3114 50,7383 50,3839

3 81,9216 81,7958 83,6044 82,0098 85,5480 85,5045 86,3037 85,7451

4,0

2 23,0989 23,0989 23,0628 23,0628 32,3883 32,4527 35,3159 32,4785

3 36,6272 36,6272 36,5169 36,5169 51,9778 51,6184 55,8791 51,7008

1 14,4179 14,1662 14,4840 14,1714 14,9470 14,8578 14,9741 14,8637

2 39,9980 40,0154 40,9076 40,0687 41,9022 41,9086 42,2642 41,9690

3 63,9788 63,8749 65,2873 64,0420 66,8071 66,7711 67,3952 66,6590

3.2 Dao động tự do của dầm bậc nano FGM

ới các điề ệ

g) cho điề ệ

j) cho điề ệ S, và lên đế điề ệ

ầ ết các trườ ợ

hơn so với do độ ộ ậ

ỷ ệ bước tăng lên, các tầ ố ứ ứ ớ các điề ệ

ề

h1

L

L1

h

ề ộ

ụ ầ ậ ớ ố ọ ậ ệu như sau:

đượ ứ ế ả đượ ầ ố ứ đầ

     có xét đế ụ ớ các điề ện biên: đơn giả

hai đầ – ố ự ớ trườ ợ ứ

ầ ề ậ ạ ị /L = 0, 0,1, , 1,0 trong đó

/L = 0 tương ứ ộ ầ tương ứ ộ ầ

ầ ề ộ ậ ạ ị đó b /b = 0 tương ứ ộ ầ /b = 1 tương ứ ộ ầ

ầ ề ậ ạ ị ớ ỷ ệ

ầ ề ộ ậ ạ ị ớ ỷ ệ

ể ệ ự thay đổ ầ ố ứ đầ ủ ầ ậ ớ

ị ậ ố ụ ộ và điề ệ ể ệ ự thay đổ ủ ầ ố đầ ủ ầ ậ ạ ị ớ ỷ ệ bướ ố

ụ ộ và điề ệ ừ ẽ ậ

ồ ạ ị ậ ầ ảnh hưở ớ đế ộ ầ ố ứ ấ

đị ị đượ ọ ị ớ ạ đố ớ ộ ầ ố cho trướ ị trí điể ớ ạ ừ đầ ầ là 0,5L đố ớ ầ ố đầ ứ ới các điề ệ

ới các điề ệ

ầ ố ứ ới điề ệ ới các điề ệ

ầ ố đầ ủ ầ ậ ạ ả ấ ớ ị ậ ỷ ệ ậ và các điề ệ

biên Độ ệ ớ ấ ủ ầ ố đầ a) cho điề ệ

g) cho điề ệ

j) cho điề ệ S, và lên đế điề ệ

ầ ố ứ ứ ớ điề ệ ất sau đó ần lượ

ầ ết các trườ ợ ự thay đổ ủ ầ ố ứ do độ ậ ạ ị ệ

hơn so với do độ ộ ậ

ố ụ ộ µ tăng, độ ệ ớ ấ ủ ầ ố ứ ứ ớ điề ệ ảm trong khi độ ệ ớ ấ ủ ầ ố đầ ứ ớ ầ công xôn tăng lên đế ả ữ ầ

ố ế ả ố ố ụ ộ tăng.

ỷ ệ bước tăng lên, các tầ ố ứ ứ ớ các điề ệ

S tăng trong khi các tầ ố ứ ứ ớ điề ệ ả Đây đượ ọ ị ụ ộ , đã đượ ộ ố ả đề ập đến cho trườ ợ ậ ệ

đồ ấ

ấ ự thay đổ ầ ố ứ đầ ủ ầ ậ ạ

ị ậ ọ ầ ớ ố ụ ộ ỉ ố ầ ể ới các điề

b 1

b

L

L 1

ề o

h

L

ề ộ

(b) Chiều cao

Hình 3 Dầm nano FGM thay đổi dạng bậc Trong mục này, dầm bậc nano FGM với các thông số hình học và vật liệu như sau: L = 10 nm,

b = h = 1nm, Et = 70Gpa, ρt =2700kg/m3; Eb =393Gpa, ρb = 3960kg/m3, vt = vb = 0,3, n = 0,5 [30] sẽ được nghiên cứu (Hình4) Các kết quả được tính toán cho ba tần số không thứ nguyên đầu tiên λi=ωi.L2.pρtA/EtI; i = 1, 2, 3có xét đến trục trung hòa với các điều kiện biên: đơn giản (S-S), công xôn (CF), ngàm hai đầu (CC) và ngàm – gối tựa (C-S ) với 4 trường hợp nghiên cứu:

56

Trang 9

ậ

S) tăng lên khi chỉ ố ầ ể tích tăng và tham số ụ ộ ả a) Ngượ

ỷ ệ ậ tăng lên, các tầ ố cơ bả ứ ứ ớ điề ệ

ột xu hướng tăng trong khi các tầ ố trong điề ệ ả

(a)

ậ

S) tăng lên khi chỉ ố ầ ể tích tăng và tham số ụ ộ ả a) Ngượ

(b)

ủ ầ ậ ạ ị ớ ỷ ệ ậ ố ụ ộ ỉ ố ầ ể ới các điề ệ ừ các đồ ị

ậ

ầ ố cơ bả ứ ủ ầ ậ ứ ớ điề ệ

S) tăng lên khi chỉ ố ầ ể tích tăng và tham số ụ ộ ả a) Ngượ ạ ầ ố cơ bả ứ ủ ầ ậ ứ ớ điề ệ F tăng khi chỉ ố ầ ể ố ụ ộ tăng (Hình

ự thay đổ ủ ầ ố cơ bả ứ ỉ ố ầ ể ệ hơn so

ớ ố ụ ộ

(c) (

(c)

ậ

ầ ố cơ bả ứ ủ ầ ậ ứ ớ điề ệ

S) tăng lên khi chỉ ố ầ ể tích tăng và tham số ụ ộ ả a) Ngượ ạ ầ ố cơ bả ứ ủ ầ ậ ứ ớ điề ệ F tăng khi chỉ ố ầ ể ố ụ ộ tăng (Hình

ự thay đổ ủ ầ ố cơ bả ứ ỉ ố ầ ể ệ hơn so

ớ ố ụ ộ

(d)

Trang 10

phi địa phương và điề ệ

(k)

phi địa phương và điề ệ

(l)

Hình 4 Ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc nano với các vị trí bậc, tham số phi địa

phương và điều kiện biên khác nhau

58

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	4,61 MB