SSKN TOÁN Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (CẤP HUYỆN)

Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆNVận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;

I PHẦN MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếmmột vị trí quan trọng trong chương trình bồi dưỡng với các dạng toán như:Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức,tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyên củaphương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết,…Do đó việc tìm ra cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thông minh, chínhxác là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh

Bồi dưỡng HSG môn Toán để học sinh đạt giải trong các kỳ thi họcsinh năng khiếu cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn nhiềucông sức của cả thầy và trò Việc tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả làrất cần thiết vì không những giúp học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn chocác em bản lĩnh kiên cường, tự tin khi bước vào kỳ thi

Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâusắc và thực hành thành thạo dạng toán trên để tăng số học sinh đạt giải, nângchất lượng giải trong các kỳ thi chọn học sinh năng khiếu môn toán 8 cấphuyện

2 Mục đích nghiên cứu:

Nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn trong các dạng bài tậpnâng cao có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử, giúp cho học sinh hiểusâu sắc và thực hành thành thạo dạng toán trên để nâng chất lượng trong quábồi dưỡng học sinh giỏi, đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứngdụng được tri thức vào thực tiễn cuộc sống

3 Đối tượng nghiên cứu:

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

4 Phạm vi nghiên cứu:

Nhóm học sinh giỏi Toán lớp 8 Trường THCS năm học 2018 – 2019

5 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu nội dung (lý thuyết và bài tập) về phân tích đa thức thànhnhân tử trong sách giáo khoa và sách tham khảo

- Tìm hiểu ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trongviệc giải các bài toán có liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận, thực tiễn

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp phân tích, tổng hợp

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

7 Thời gian nghiên cứu:

Từ ngày 15 tháng 9 năm 2018 đến ngày 10 tháng 12 năm 2018

II PHẦN NỘI DUNG:

1 Cơ sở lý luận:

Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đềcần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiệnđại; lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng

tự học, tính tích cực, sáng tạo và tự giác của học sinh Muốn phân tích đa thứcthành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì trước tiên phải hiểuphân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành tích củanhững đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phươngpháp nâng cao để phân tích, đó là:

Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đóthành một tích của những đa thức

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳngthức

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phươngpháp

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử

- Phương pháp tìm nghiệm của đa thức…

Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thứcthành nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thànhnhân tử thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thếnào ?

- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã chothành một tích của các đa thức,đơn thức khác

- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác Ví dụ:

+ Bài toán chứng minh chia hết

+ Rút gọn biểu thức

+ Giải phương trình bậc cao

+ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Trong chương trình Toán 8 tập I sách giáo khoa đã giới thiệu cho họcsinh rất kỹ về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cụ thể là:

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳngthức

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phươngpháp

Thời lượng để giảng dạy bốn phương pháp này là 6 tiết Qua 6 tiết họcnày học sinh có thể cơ bản nắm được cách phân tích đa thức thành nhân tử

Còn các phương pháp còn lại phân tích đa thức thành nhân tử bằngphương pháp:

được áp dụng khá nhiều trong các bài tập

- Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo,nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thíchhợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau,phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

- Suy luận kém, không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với cáckiến thức đã học

- Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic

- Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máymóc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó

3 Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

* Quy trình và cách thức:

- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đầu năm học

- Tổ chức thi tuyển chọn các em có năng khiếu về bộ môn Đặc biệt làphải học được môn Toán

- Tổ chức cho học ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau mỗichuyên đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh (Đề ra dạng như đề thi

- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ

mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải và cho các em luyện tập ít nhất là hailần bằng những bài toán tương tự trên lớp Sau mỗi buổi học Giáo viên giaobài tập về nhà cho các em luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạngtoán đã được ôn tâp

Người giáo viên trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh củamình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được cácdạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng caochất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kì thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn

đề tài sang kiến kinh nghiệm: “ Vận dụng một số phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS ” nhằm giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp phù hợp với từngbài cụ thể ở các dạng khác nhau

* Khảo sát thực tiễn

Khi chưa thực hiện sáng kiến này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lúngtúng, thời gian làm mất nhiều, thậm chí không tìm ra cách giải Để thực hiệnsáng kiến này tôi đã tiến hành khảo sát năng lực của học sinh thông qua một

số bài kiểm tra kết quả như sau:

4 Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Vân dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giảitoán

4.1 Phương pháp 1: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

Đối với các đa thức mà các hạng tử không có nhân tử chung, khi phân tích

ra nhân tử ta thường phải tách một hạng tử nào đó ra thành nhiều hạng tửkhác để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức để cho trong các nhóm cónhân tử chung, từ đó giữa các nhóm có nhân tử chung mới hoặc xuất hiện cáchằng đẳng thức quen thuộc

Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Cách 2: Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (thường tách hạng tử 1 hoặc

3)

Cách 3: Một số tam thức bậc hai ax2 bxc có dạng đặc biệt

+ Nếu a + b + c = 0 thì   x ax c

a

c x x a c bx

Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản và dễ làm nhất Ở đây

ta đã tách số hạng bậc nhất - 6x thành hai số hạng - 2x và - 4x Trong đa thức

x2 - 2x - 4x + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; - 2; - 4; 8 các hệ số thứ 2 và

thứ 4 đều gấp ( 2) lần hệ số liền trước, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x 2)

-Trong ví dụ trên x2 - 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8

Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của hai thừa số, hai thừa số nàycùng dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúngbằng - 6);

Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2

= 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2

= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)

= 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

b Đối với đa thức f(x)có bậc từ ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tùy theo đặc điểm của các hệ số tỉ lệ ta có cách tách riêng cho phù hợp để

vận dụng phương pháp nhóm hoặc sử dụng phương pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử n3 – 7n + 6

= (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)

c Đa thức bậc hai ax 2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách 2 sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x 2 - k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỉ.

Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + 6 có tích a.c bằng 6 bằng 1.6, bằng 2.3 không

có hai thừa số nào có tổng bằng 4

Còn theo cách 2 thì: x2 + 4x + 6 = (x2 + 4x + 4) + 2

= (x + 2)2 + 2

= (x + 2)2 - (- 2)

(-2) không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào

Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích được thành tích

 Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử

 Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếptheo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụngphương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếptheo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tửchung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bướctiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặcdùng hằng đẳng thức

- Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở

hai bước liền Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở haibước liền

Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bướcliền

4.1.3 Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

4.2.1 Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện bình phương của một tổng hoặc hiệu:

Phương pháp này được áp dụng trong các bài tập chứng minh đẳngthức lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0 với mọi số thực, tìm GTLN, GTNN Học sinhnắm vững hằng đẳng thức số 1 và 2

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x4 + 81

Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phương (2x2)2 + 92 tương ứng

với hai số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 còn thiếu 2AB.Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức

 Khai thác bài toán:

* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4

Hướng dẫn giải:

Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 (làm xuất hiện hằng đẳng thức)

x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2

= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)

4.2.3 Thêm và bớt một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 + x2 + 1

Ví dụ 2: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử

Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử

chung)

….; tổng quát những đa thức dạng x 3m+2 + x 3n+1 + 1 hoặc x 3 – 1, x 6 – 1 trong

đó 3m + 2 chia 3 dư 2, 3n + 1 chia 3 dư 1 thông thường đều có một chứa nhân tử x 2 + x + 1, do vậy hãy thêm bớt hạng tử để từ đó đưa về tích có chứa nhân tử x 2 + x + 1

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x – 1

Ta thấy: 5 chia cho 3 dư 2, 1 chia cho 3 dư 1 nên đa thức x5 + x – 1 có một

1 1

1 1

2 3 2

2 2

2 3

2

2 2 5

x x x x

x x x

x

x x x x

x

x

4.2.4 Bài tập vận dụng:

Bài 1: Chứng tỏ rằng:

a/ x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x b/ 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Bài 2: Tìm GTNN của đa thức:

a/ P = x2 – 2x + 5 b/ Q = 2x2 – 6x

Bài 3: Tìm GTLN của đa thức:

4.3 Phương pháp 3: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thườngdùng cách tìm nghiệm của đa thức

4.3.1 Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức

a Định nghĩa nghiệm của đa thức:

Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đathức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a Khi xét nghiệm của đathức ta cần nhớ các định lý sau:

b Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm

của đa thức

c Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn

bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì - 1 là nghiệm của đa thức

d Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì

nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do

Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm của

q thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.

4.3.2 Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức:

Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 có nghiệm nguyên là

x = x0 thì x0 là một ước của hệ số tự do a0, khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x)

có chứa nhân tử x - x0 Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nêntìm lấy một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích ra nhân tử

Nguyên tắc:

+ Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du tacó: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phépchia đa thức ta có:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phântích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên

+ Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta cóthể phân tích đa thức thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x)

P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a +b)x + ab, ta có thương đúng của phép chia là Q(x) Sau đó lại áp dụng để phântích tiếp Q(x)

+ Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:

- Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1

 đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)

- Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b + d đa thức

có x = -1

 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)

- Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ số tự

do d (hệ số không đổi) Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0thì ước đó là nghiệm

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 8x - 4

Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 - 5 + 8 - 4 = 0, nên 1 lànghiệm của đa thức Đa thức đã cho chứa thừa số là x – 1

Giải

x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - 4

= x2 (x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)

= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 3x + 9

Ta thấy các hệ số của đa thức 1 + 3 = - 5 + 9, nên đa thức đã cho cónghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x + 1

Giải

x3 - 5x2+ 3x + 9 = x3 - 6x2 + x2 - 6x + 9x + 9

= x2(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1)

= (x + 1)(x2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)2

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4

Ta nhận thấy đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là -1 và 2

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4

Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4

Ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0; đa thức có nghiệm là x = 2, do đóchứa thừa số x - 2

Giải

Ta có: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4

= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)

= (x - 2)(x2 + x + 2)

Ví dụ 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x3 + 3x2 – 4

Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x – a) thì nhân tửcòn lại có dạng x2 + bx = c suy ra – ac = – 4 suy ra a là ước của – 4