skkn TOÁN THCS Phân loại dạng toán vi ét và ứng dụng

Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS

1 Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến 6

biết tổng và tích của chúng Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lậpphương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình còn lúng túng, khó khăntrong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên quan

Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi-ét rất phong phú đa dạng, nó đòihỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách giải linh hoạt, sáng tạo, độc đáo Yêu cầuhọc sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy ở các trườngTHCS huyện nói chung và trường TH&THCS nói riêng

Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đối với học sinh THCS là khó và mới,các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này Có nhữngbài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chươngtrình đã học? Làm thế nào để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiệncủa bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởngqua môn toán, hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu chomột công việc cụ thể trong cuộc sống sau này

Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi chọn họcsinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Qua một số năm giảng dạy môn toán lớp 9 và được phân công bồi dưỡnghọc sinh giỏi môn toán lớp 9 nên tôi rất quan tâm đến các dạng toán về hệ thức Vi-

ét Với thời gian hạn chế nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề: “Phân loại dạng toán Vi-ét và ứng dụng” ở trường TH&THCS

CÁC TỪ VIẾT TẮT

1 TH&THCS Tiểu học và trung học cơ sở

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn sáng kiến

Là một giáo viên giảng dạy môn toán lớp 9 ở trường TH&THCS , nhiềunăm được nhà trường phân công bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn tập cho học sinh thivào lớp 10 THPT Tôi nhận thấy hầu hết các đề thi vào trường THPT và thi họcsinh giỏi môn toán lớp 9 trong tỉnh Lạng Sơn đều có một phần kiến thức về hệ thứcVi-ét, cụ thể số bài toán có dạng toán Vi-ét và ứng dụng của nó luôn chiếm khoảng20% số điểm trong các đề thi nói trên Chính vì thế, tôi đã tiến hành nghiên cứu

SGK, SBT, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên toán lớp 9 và các tài liệu tham

khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét Sau đó tôi đã tiến hành “Phân loại

dạng toán Vi-ét và ứng dụng” phù hợp với học sinh trường TH&THCS nói riêng

và học sinh trong huyện nói chung

2 Mục tiêu của sáng kiến

- Sáng kiến này giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liênquan đến hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đàosâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp dạy và học có hiệu quả, giúphọc sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này

- Thực hiện sáng kiến này tôi thấy được những thuận lợi và khó khăn khidạy học nội dung hệ thức Vi-ét Qua đó có định hướng nâng cao chất lượng dạy vàhọc môn Toán ở trường TH&THCS

- Giúp học sinh nâng cao kết quả trong việc giải toán về hệ thức Vi-ét vàcủng cố được nhiều kiến thức toán học khác Từ đó góp phần nâng cao kết quả thitrong các kì thi chọn học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT cho học sinh trường tôi

và tạo tiền đề vững chắc cho các em trong quá trình học tập sau này

3 Phạm vi của sáng kiến

- Đối tượng: Học sinh lớp 9

- Không gian: Lớp 9 trường TH&THCS

- Thời gian thực hiện: Từ tháng 01 năm học 2017 – 2018

II CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

Như chúng ta đã biết mục tiêu của giáo dục THCS là “Nhằm giúp học sinhcủng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấnTHCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đivào cuộc sống lao động”

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kếtheo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hànhbảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạtđộng ngoại khóa

Trong chương trình môn toán lớp 9, học sinh được học 2 tiết:

- 1 tiết lý thuyết: học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét

để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìmhai số biết tổng và tích của chúng

- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừahọc

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không cónhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm vàvận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên chúng ta cần phải bồi dưỡng

và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này

2 Cơ sở thực tiễn

2.1 Đối với giáo viên

Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình môn toán THCS thời lượngkhông nhiều chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập Thông thường giáo viên chỉthực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu

tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét Bên cạnh đó các bàitập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơbản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thivào THPT Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-étthường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học

2.2 Đối với học sinh

Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập cácbài toán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi nhận thấy rằng

đa số các học sinh trường tôi thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi–ét trongcác kì thi tuyển sinh vào trường THPT và thi chọn học sinh giỏi lớp 9

Nguyên nhân:

- Học sinh không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiệncần tìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập

III NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1 Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến

Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 9 THCS, học sinh đượclàm quen với phương trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phương trình bậchai, đặc biệt là định lý Vi-ét và ứng dụng trong việc giải toán như: Tính nhẩmnghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lậpphương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệmcủa phương trình bậc hai

Trước đây trong quá trình lên lớp, giáo viên thường chỉ nhắc lại các kiếnthức đã học theo chương trình trong sách giáo khoa, tuân thủ gần như tuyệt đốisách giáo khoa, lên lớp các tiết học lý thuyết cũng như các tiết luyện tập giáo viênchỉ chú trọng hướng dẫn, giải các bài tập theo trình tự trong sách giáo khoa, sáchbài tập chứ không chú trọng, không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bàitập về hệ thức Vi-ét Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượngkhông nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thứckhi giải bài tập dạng này, nên trong quá trình giải các bài tập mới đặc biệt là cácdạng bài tập thường xuyên có trong các đề thi vào lớp 10 THPT và các đề thi chọnhọc sinh giỏi thì đa số học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình yếu thường lúngtúng không nhận dạng được dạng bài toán hoặc chỉ áp dụng một cách máy móc cácbước giải hoặc phải biến đổi qua nhiều bước mới đi đến kết quả cuối cùng Chính

vì vậy tôi đã tiến hành phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét và với từng dạng đềuchỉ rõ ứng dụng của nó

1.1 Dạng toán 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

1.1.1 Phương pháp:

Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một

ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau:

* Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

a

Chú ý: Thuật toán trên được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại

và đưa ra lời kết luận nghiệm.

- Nếu tìm được một cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.

* Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0 Ta thực hiện theo các bước:

- Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là

- Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta

tính ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2

Nhận thấy phương trình có a + b+ c = 1 + (-5) + 4 = 0 Do đó phương trình

có một nghiệm là x1 = 1, x2 = c 4 4

a  1 b) x2 - 2x - 3 = 0

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-2) + (-3) = 0 Do đó phương trình

Ví dụ 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2017-2018):

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình: x2 - 12x +35= 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 5 và x2 = 7

* Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải

phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thứcnghiệm (công thức nghiệm thu gọn)

1.2 Dạng toán 2: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

1.2.1 Phương pháp:

Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trìnhbậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (tức là kiểm tra a 0,  0 ' 0 có thỏamãn không)

1.2.2 Ví dụ:

Ví dụ (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2015-2016)

Không giải phương trình bậc hai Hãy tính tổng và tích hai nghiệm của cácphương trình:

để suy ra giá trị của tham số.

1.4 Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

       Phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên

Ví dụ 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình):

Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích của hìnhchữ nhật bằng 54m2

Giải

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều kiện u, v > 0

Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có phương trình:

2.(u + v ) = 30  u + v = 15 (1)

Vì diện tích của hình chữ nhật bằng 54m2, nên ta có phương trình:

Ví dụ 3 (Dạng toán nâng cao cho bồi dưỡng học sinh giỏi)

Giải các hệ phương trình sau:

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta đã chuyển đổi việc giải hệ phương trình

sang giải phương trình bậc hai một ẩn; bên cạnh đó ta cần sử dụng thêm phép biếnđổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hằng đẳng thức

A B  A B  2AB Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần sửdụng tới ẩn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điều này

Ví dụ 4 (Dạng toán nâng cao cho bồi dưỡng học sinh giỏi)

Giải phương trình sau: x 9  x  x 9  x  (1)4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 16

1.5 Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

mà không giải phương trình

1.5.1 Phương pháp:

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c =

0 (a 0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2

Ta thực hiện theo các bước:

- Bước 1: Xét biệt thức  b2  4ac 0 thì phương trình có hai nghiệmphân biệt x1, x2 (hoặc  ' 0)

- Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vàobiểu thức

Ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,  0 hoặc

a 0, ' 0   )

- Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

- Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai

nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

* Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào

hệ thức (2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức

Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2

1.7 Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước.

1.7.1 Phương pháp:

Ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình

có nghiệm x1, x2 (tức là cho  0 hoặc  ' 0)

- Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: 1 2

- Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.

- Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.

1.7.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 62/SGK-Trang 64):

Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tínhtổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m

Giải

a) Phương trình có nghiệm    ' 0 m 1 2 7m2 0 (đúng với mọim).

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm

b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình

Cho phương trình x2 - 6x + m = 0 Tính giá trị của m, biết rằng phương trình

có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

y = x12 x22

Giải

a) Ta có  ' m 1 2  2m 4  m2  2m 1 2m 4   m 2 2 1 0với mọi m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt



* Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm

để chọn giá trị m thì cần chú ý trong trường hợp bài toán còn có điều kiện ràngbuộc khác (như ví dụ 3) ta cũng cần đối chiếu giá trị của m để loại bỏ giá trị khôngthích hợp

1.8 Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm.

- Phương trình có hai nghiệm âm 

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

Giải

a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu P c 1 m 0 m 1

a

Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x 1x2

Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 2 Cho phương trình mx2 - 6x + m = 0 Tìm m để phương trình có hainghiệm âm

Giải: Để phương trình có hai nghiệm âm x1x2 0

1.9 Dạng toán 9: Lập một phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

1.9.1 Phương pháp:

- Bước 1: Tìm tổng S và tích P của hai nghiệm phương trình bậc hai muốn lập.

- Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X2 – SX + P = 0

1.9.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 42, 43/SBT-Trang 44)

a) Lập phương trình có hai nghiệm là hai số 4 và 1 2

b) Cho phương trình x2 + px – 5 = 0 có nghiệm là x1 và x2 Hãy lập phươngtrình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

 = 0 hay 5x2 - px - 1 = 0

Ví dụ 2 Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 3x + 2 = 0 Không giảiphương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai ẩn là y và có các nghiệm:

1.10 Dạng toán 10: Một vài ứng dụng khác của hệ thức Vi-ét.

Ở trên tôi đã đề cập 9 dạng toán liên quan đến đến hệ thức Vi-ét và ứngdụng Tuy nhiên khi tìm hiểu sâu rộng hơn một chút thì tôi thấy có một vài ứngứng khác nữa của hệ thức Vi-ét khá là hay và hiệu quả Sau đây là một vài ứngdụng khác của hệ thức Vi-ét

1.10.1 Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.10.1.1 Phương pháp:

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có nghiệm là x1, x2 thì tam thức ax2 +

bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

1.10.1.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 Phân tích đa thức x2 – 5x + 4 thành nhân tử