Bài giảng Cơ học môi trường liên tục

Chương VI: Bài toán phẳng trong hệ tọa độ ĐềcácChương V: Lý thuyết đàn hồi Chương IV: Lý thuyết về biến dạng và chuyển vị Chương III: Lý thuyết về ứng suất Chương I: Các khái niệm mở đầu

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG

LIÊN TỤC

Hà nội, 04/2011

Chương VI: Bài toán phẳng trong hệ tọa độ Đềcác

Chương V: Lý thuyết đàn hồi Chương IV: Lý thuyết về biến dạng và chuyển vị Chương III: Lý thuyết về ứng suất

Chương I: Các khái niệm mở đầu

Chương II: Khái niệm tenxơ

Chương VII: Bài toán phẳng trong hệ tọa độ cực

CHƯƠNG I – CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Thủy lực

Cơ học kết

Cơ học MTLT

1.1 MỞ ĐẦU

CƠ HỌC MTLT

Nhằm trang bị cho người học những nguyên lý và qui luật cơ học chung.

Môn học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của các nguyên nhân ngoài.

Phương pháp chung

nhất để giải quyết các

bài toán cơ học một

cách tổng quát.

1.2 CƠ HỌC, CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI, CƠ HỌC BIẾN DẠNG

-Lý thuyết Đàn hồi-Lý thuyết dẻo

CHKC

SBVL

-Lý thuyết từ biến

- Cơ học phá hủy -Cơ học compisite

…

Cơ học biến dạng

1.3 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

 CHMTLT nghiên cứu các chuyển động vĩ mô của môi trường

ở thể rắn, lỏng, khí (còn xét các môi trường đặc biệt khác

như trường điện từ, bức xạ, trọng trường, …)

- Lực: lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể

- Chuyển động: chuyển vị của các phần tử vật chất, biến

Cơ học MTLT

Lý thuyết đàn dẻo

Lý thuyết đàn hồi

…

Lý thuyết đàn nhớt

-Nhiệt đàn hồi-Dẻo từ biến-Nhiệt động học-Khí động học

- Lý thuyết Plasma

1.4 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

- Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất

hiện trong VRBD ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác.

- Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và đàn hồi tuyệt đối (tuân theo định luật thứ nhất của nhiệt động học về sự bảo toàn năng lượng của hệ cô lập).

SỰ KHÁC NHAU

do lý thuyết đặt ra

1.5 SỰ KHÁC NHAU GIỮA LTĐH VÀ MÔN SBVL

Ứng dụng: cơ sở cho tính toán về độ bền, dao động và ổn định trong chế tạo máy, trong xây dựng, và các ngành khoa học khác.

Lý thuyết đàn hồi tuyến tính: xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng

Lý thuyết đàn hồi phi tuyến: xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi tuyến vật lý)

1.6 CÁC GIẢ THUYẾT MÔN HỌC

và liên tục

Cần chính xác hoá khái niệm điểm, vì nó có thể là điểm không gian,

và cũng có thể là điểm vật chất của môi trường liên tục…

+ Đồng nhất: có tính chất cơ học như nhau tại mọi điểm

+ Đẳng hướng: tính chất cơ học tại một điểm là như nhau theo mọi phương

 Nghiên cứu một phần tử vật chất đại diện cho môi trường Chọn hệ trục toạ độ nghiên cứu một cách tùy ý.

-Vật liệu làm việc đàn hồi tuyệt đối

- Biến dạng của vật thể là rất nhỏ so với kích thước của vật thể.

+ Khối lượng vật chất trong toàn bộ thểtích V:

Nếu môi trường có ρ =const: môi trường đồng nhất

Nếu môi trường có ρ =const: môi trường đồng nhất

tb

m V

HẾT CHƯƠNG I

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ

Đại lượng vô hướng

Đại lượng có hướng

Đại lượng Tenxơ

Là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị

đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, …

Đặc trưng cho một trạng thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất,

…

Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô

tả chúng

2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.

2.1.1 Hệ thống ký hiệu

- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là:

- Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3 Do

đó:

ai biểu thị một trong ba phần tử a1 , a2 , a3

aij biểu thị một trong chín phần tử a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33

aIjk biểu thị một trong 27 phần tử a111 , a112 , , a333

Hệ thống các phần tử như ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống

hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; a ij là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử

Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử

,

,

, ij ijk

i a a a

2 n

2.1.2 Quy ước các chỉ số

Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến

3 Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác

-Thí dụ: aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = akbk

Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3

-Thí dụ, ai là hệ thống gồm a1, a2, a3

2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng

-Một hệ được gọi là đối xứng nếu: a i b j=a j b i Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều

chỉ số, chẳng hạn a ijk = a ikj thì hệ thống aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k

Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng

Ký hiệu Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như

sau:

2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không

Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( ϕ

Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( ϕ x1 , x2 , x3 , t ) của toạ độ các điểm

trong miền không gian x1 , x2 , x3 xác định của hàm và t là tham số thời gian

Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇

Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇ nabla”

Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương ϕϕ

i i

e x

e x

e x

e x

∂

∂+

1 1

(2-1)

Trong đó:

Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien với:

Phương trình: gọi là phương trình điều hòa Nghiệm của phương

trình điều hòa gọi là hàm điều hòa

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

grad

e x grad

e x grad

e x grad

grad v

3 3

2 2

1

∂ +

∂

∂ +

2 2

2

1 ∂ 

∂ +

x

2 3

2 2

2

2 2

1

2 2

x x

∂+

∂

∂+

Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép Nghiệm của

phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép

Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0);

B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ

2 ∇ = ∇ =

1

= +

+

c

z b

y a

x

c

z b

y a

x

+ +

=

ϕ

3 2

1

1 1

1

e c

e b

e a

(Hình 2-1)

Do vậy:

Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều)

2 2

2

3 2

1

1 1

1

1 1

a

e c

e b

e a grad

grad v

ϕ ϕ

3 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

1 2 2 2

2 2

a c c

b b

a

ab e

a c c

b b

a

ca e

a c c

b b

a

bc v

+ +

+ +

+

+ +

2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT

2.3.1 Các thành phần vectơ

Giả sử trong không gian thuộc hệ trục tọa độ Descartes vuông góc (Oxyz) có các vec tơ

đơn vị là cho một vec tơ đặt tại điểm M Gọi các hình chiếu của vec tơ trên các trục

x,y,z tương ứng là ax, ay, az Ta có thể viết:

Các côsin chỉ phương của vec tơ ký hiệu là l,m,n

2.3.2 Biến đổi các thành phần của vec tơ khi xoay hệ trục tọa độ:

a,Bảng các cosin chỉ phương:

Giả sử xoay hệ trục (Oxyz) quanh O trở thành hệ trục mới (Ox’y’z’) có các vec

tơ đơn vị tương ứng là: như hình vẽ

Ta có bảng cosin chỉ phương giữa hai hệ trục tọa độ như sau:i j k , ,

ur

r ur

z z'

x x'

y' y a

* Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’):

b/ Sự thay đổi của các thành phần vec tơ:

Gọi ( ) là hình chiếu của vec tơ trong hệ trục cũ

(Oxyz);( ) là hình chiếu của vec tơ trong hệ trục

mới (Ox’y’z’) thì ta có:

Theo định nghĩa ta lại có:

Hệ thức biểu diễn các hình chiếu của vec tơ trong hệ

tọa độ cũ (Oxyz)

(2-10)

Một cách tương tự ta có thể tìm được các hình chiếu của

vec tơ trong hệ tọa độ mới (Ox’y’z’) như sau:

cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là

(C):

(2-11)

Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C’):

Ma trận (C) và (C’) là hai ma trận trực giao

Khi hệ trục tọa độ O’x1x2x3 quay một góc θ ngược

chiều kim đồng hồ quanh trục x3 tạo thành hệ trục tọa

đồ mới O’x’1x’2x’3 lúc đó Ox3≡ Ox’3 lúc đấy ma trận biến

Đổi hệ trục tọa độ có dạng:

' ' ', i, i

i m n l

[ ] [ ] [ ]T

C C

' 3

' 3

' 2

' 2

' 2

' 1

' 1

' 1 '

n m

l

n m

l

n m

l C

0

0 cos

sin

0 sin

cos

θ θ

θ

θ

C

(Hình 2-4)

Chú ý: khi biến đổi hệ trục tọa độ thì véctơ a không thay đổi chỉ có các thành

phần của ve tơ a thay đổi

Bài tập chương II

Bài 2.1 Xác định hàng cuối của ma trận cấp 3 (3x3) cho dưới đây để được một

ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:

Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij:

31

10

0

05

45

3

c c

1 2

2

2

2 2

2 0

2

1 2

1 2

2(1 , 2 , 3),c( 2 , 1 , 1 )

b

c b

HẾT CHƯƠNG II

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

3.1 ĐỊNH NGHĨA

Nội lực: Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng

Ứng suất trung bình tại K:

Ứng suất tại điểm K:

Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi.

Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì ứng suất toàn phần là:

Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào:

+ Tọa độ tại điểm

+ Phương pháp tuyến của mặt cắt

3 3 2

2 1

1 e p e p e p

3

2 2

vn vv

(3-3)

(3-4)

Qui ước chiều dương của ứng suất khi:

- Đối với ứng suất pháp : Quy ước là dương nếu hướng theo pháp tuyến ngoài của mặt cắt

- Đối với ứng suất tiếp : Quy ước là dương nếu pháp tuyến của mặt cắt ( chỉ số thứ 2) hướng theo chiều dương hay chiều âm của trục tương ứng Ngược lại thì quy ước là âm

Như vậy trên 3 mặt vuông góc với các trục tọa độ tại điểm M bất kì ta có 9 thành phần ứng suất : 3 thành phần ứng suất pháp σx , σy , σz và 6 thành phần ứng suất tiếp τyz , τzy ,τxy , τyx , τxz ,τzx

Hệ thống kí hiêu ứng suât

Ngoài cách kí hiệu nêu trên (Bảng A) , người ta cũng dùng kí hiệu trong hệ trục x,y,z như sau: Xx = σx , Xx = σy , Zz = σz , Yz = τyz ,….(bảng B) và hệ thống kí hiệu ứng suất với 1 kí tự σ kèm 2 chỉ số tương ứng với hệ trục (xi) như sau : σ11, σ22 ,

3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

3.2.1 Đặt vấn đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:

Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên

Tại điểm M(x,y,z) ta lấy 1 phân tố hình hộp có các cạnh là dx,dy,dz Lực tác

dụng lên phân tố gồm:

Ngoại lực thể tích có hình chiếu trên các trục tọa độ là : X.dτ, Y.dτ ; Z.dτ

Nội lực là ứng suất trên 6 mặt của phân tố Các ứng suất này là các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z) và được biểu diễn trên hình

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục x đi qua điểm (x+dx; y,z) ta có các ứng suất :

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục y đi qua điểm (x; y+ dy,z) ta có các ứng suất

Σ X = ( σ x + ∂ σ x

∂x dx )dydz - σ x dydz+(τxy + ∂τ xy

∂y dy )dxdz-τxy dxdz +(τxz + ∂τ∂zxz

dz )dxdy-τxzdxdy + Xdxdydz =0

Xét cân bằng phân tố Chẳng hạn phương trình chiếu lên trục x là:

Sau khi rút gọn và chia cho dτ = dxdydz ta được :

Trong trường hợp cân bằng tĩnh : vế phải các phương trình sẽ bằng không

Trong trường hợp cân bằng động ; vế phải các phương trình sẽ bằng các lượng trong ngoặc trong đó u,v,w là các thành phần chuyển vị của điểm M theo 3

phương ,y,z, các phương trình này gọi là phương trình cân bằng Navier-Cauchy

(3-5)

3.2.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Ta viết 3 phương trình cân bằng mô men của phân tố, chẳng hạn phương trình

Σmx =0 ta được : Σmx = (τyz dydz)dx -(τzy dxdy)dz =0

Suy ra là : τyz = τzy

Tương tự ta có:

Hệ thức trên biểu thị định luật đối ứng của các ứng suất tiếp

3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)

Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν với các cosin chỉ phương li = cos(ν, xi).Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên các trục tọa độ.

Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi

+

= +

+

= +

+

* 3 3

33 2

32 1

31

* 2 3

23 2

22 1

21

* 1 3

13 2

12 1

11

f l

l l

f l

l l

f l

l l

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG

Cân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là pν1 , pν2 , pν3 Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là li.

(3-7)

= +

+

= +

+

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 13

13 2

12 1

11

v v v

p l

l l

p l

l l

p l

l l

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

33 32

31

23 22

21

13 12

11

3 2 1

l l l

p p p

v v v

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

( ) ( ) ( )2

3

2 2

(3-9)

(3-10)

3.3.2 Ứng suất pháp và ứng suất tiếp

Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp

- Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất

trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó

- Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt

- Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét Như vậy trạng thái ứng suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường

3 3 2

2 1

2 2 22

2 1

vv v

23 22

21

13 12

11

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

σ

(3-14)

- Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất.

tb

D

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ

33 32

31

23 22

21

13 12

tb

T

σ σ

σ

σθ

0 0

0 0

0 0

σtb= (σ11 +σ22 +σ33 ) /3 gọi là ứng suất pháp trung bình

Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng

(3-15)

(3-16)

3.5 PHƯƠNG CHÍNH, MẶT CHÍNH, ỨNG SUẤT CHÍNH

- Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0

- Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính

- Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính

Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pνi trên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là:

Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là:

khai triển (2.19) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính σ là :

σ3 - I1σ2 +I2σ -I3=0Trong đó :

Phương trình (3.20) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σ1 > σ 2

> σ3 Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau:

൞

൞�� − �1൞ � + ��� � + ��� � = 0

��� � + ൫�� − �1൯.� + ��� � = 0

�2 + �2 + �2 = 1

Giải hệ (3-22) đối với l,m,n ta được các giá trị : l1 , m1 , n1 đây là cô sin chỉ

phương của phương chính thứ 1 tương ứng với ứng suất chinh σ1

VD 3-1- Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất cho bởi tenxo

Phương trình xác địn ứng suất chính là:

σ 3 - 8 σ 2 + 7 σ + 24 = 0 (a)

Nghiệm của (a) là :

σ 1 = 6,275 kN/cm2 ; σ 2 = 3,0kN/cm2 ; σ 3 = 1,275 kN/cm2

Xác định các phương của ứng suất chính

Phương trình thứ nhất ( tương ứng với σ 1 = 6,275 kN/cm2)

Thay σ 1 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có :

൞

൞4 − 6,275൞ � + 2 � + 1 � = 0

2 � + ൞0 − 6,275൞ � + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1 hay

൞

−2,275 � + 2 � + 1 � = 0

2 � − 6,275 � + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1

Giải hệ phương trình (b) ta được :

l1 = ± 0,645 ; m1 = ± 0,411 ; n1 = ± 0,645

Phương chính thứ hai ( tương ứng với σ 2 = 3,0 kN/cm2)

Thay σ 2 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có :

൞

൞4 − 3൞ � + 2 � + 1 � = 0

2 � + ൞0 − 3൞ � + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1 hay

Ví dụ 2-2: Cho ten xơ ứng suất �� = ൞