Khai thác các bài toán thuộc chương “ Đoạn thẳng – Hình học 6” để bồi dưỡng học sinh giỏi; Khai thác các bài toán thuộc chương “ Đoạn thẳng – Hình học 6” để bồi dưỡng học sinh giỏiL Khai thác các bài toán thuộc chương “ Đoạn thẳng – Hình học 6” để bồi dưỡng học sinh giỏiL Khai thác các bài toán thuộc chương “ Đoạn thẳng – Hình học 6” để bồi dưỡng học sinh giỏi Khai thác các bài toán thuộc chương “ Đoạn thẳng – Hình học 6” để bồi dưỡng học sinh giỏi
Trang 1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc.
BÁO CÁO:
BIỆN PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
Tên biện pháp: Khai thác các bài toán thuộc chương “ Đoạn thẳng – Hình học 6” để bồi dưỡng học sinh giỏi.
I Lí do chọn biện pháp:
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học va công nghệ hiện đại Việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở nghiên cứu các bộ môn khoa học khác đồng thời có thể hoạt động có hiệu qua trong mọi lĩnh vực của đời sống
Trong nha trường THCS có thể nói môn Toán la một trong những môn học giữ một vị trí hết sức quan trọng Bởi lẽ Toán học la một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logíc Những tri thức va kỹ năng toán học cùng với những phương pháp lam việc trong toán học trở thanh công cụ để học tập những môn khoa học khác va nó la cầu nối các nganh khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội va với mỗi cá nhân
Trong chương trình toán THCS, môn hình học la rất quan trọng va rất cần thiết cấu thanh nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học va đại số Hình học la một bộ phận đặc biệt của toán học Phân môn hình học nay có tính trừu tượng cao, học sinh luôn coi la môn học khó Khi nói đến môn hình học thì học sinh thường ngại học đặc biệt la quá trình vận dụng các kiến thức đã học vao bai tập va thực tiễn, quá trình lam bai tập đôi khi còn gặp nhiều bế tắc, vẽ
Trang 2hình còn không đúng, không biết bắt đầu từ đâu, không biết nhìn nhận phân tích hình vẽ để lam bai, quá trình giai thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn, trình baycẩu tha, tuỳ tiện Đa số học sinh chỉ lam những bai toán chứng minh hình học đơn gian Song thực tế nội dung của bai toán hình thì rất phong phú va có nhiều cách giai khác nhau Hơn nữa học sinh khai thác va phát triển bai toán thì rất hạn chế, ngay ca những học sinh khá giỏi cũng rất lúng túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức để giai bai toán hình học Vì thế, tỷ lệ học sinh ngại học môn hình học còn phổ biến va tỷ lệ học sinh khá giỏi môn toán chưa cao Hình học lớp 6 la phần chuyển tiếp từ giai đoạn học hình học bằng quan sát, thực nghiệm ở bậc Tiểu học sang giai đoạn tiếp thu kiến thức bằng suy diễn ở cấp THCS
Chương “ Đoạn thẳng” mở đầu chương trình Hình học lớp 6 có vai trò hết sức quan trọng Kiến thức về hai đường thẳng song song, trung điểm của đoạn thẳng được học trong chương “Đoạn thẳng” sẽ còn tiếp tục được nâng cao ở các lớp trên nên có thể nói chương “Đoạn thẳng” la nền móng của Hình học phẳng.Các bước phân tích , lập luận trong chương “Góc” có phần giống với các
bước phân tích , lập luận trong chương “ Đoạn thẳng” , vì vậy học sinh học tốt
chương “ Đoạn thẳng” thì chắc chắn sẽ học tốt chương “Góc”
1 Thực trạng:
Qua một số năm dạy bồi giỏi đội tuyển Toán 6 phần kiến thức thuộc chương Đoạn thẳng – phân môn Hình học, tôi nhận thấy có những thuận lợi, khó khăn như sau:
a Thuận lợi:
- Môn Toán la môn học được đa số học sinh yêu thích
- Việc chọn nguồn đội tuyển rất thuận lợi vì môn Toán la môn học rất được coi trọng nên được phụ huynh va đa số học sinh lựa chọn
b Khó khăn
- Việc nắm các khái niệm, tính chất hình học ban đầu đối với các em còn chậm
- Kĩ năng vẽ hình, đọc hình, kĩ năng sử dụng các thuật ngữ toán học còn kém, có
em ghi các kí hiệu toán học còn tùy tiện
Trang 3- Kĩ năng phân tích đề bai để tìm cách lam, kĩ năng lập luận, trình bay bai lam còn
kém
2 Nguyên nhân:
a Nguyên nhân chủ quan:
- Giáo viên không phân chia theo chủ đề, dạng bai để học sinh ôn luyện dẫn đến việc lĩnh hội kiến thức của học sinh sẽ không theo mạch
- Giáo viên không định hướng được phương pháp học cho học sinh thì học sinh thì học sinh sẽ dễ bị rối kiến thức, không có kĩ năng phân tích đề va kĩ năng trình bay bai lam
b Nguyên nhân khách quan:
- Trong chương trình toán ở Tiểu học các em chưa được định hình rõ phân môn hình học, chỉ bước đầu được lam quen một số hình học đơn gian như hình vuông, chữ nhật, tam giác, còn cấp Trung học cơ sở phân môn hình học đã được tách biệt rõ rang với phân môn số học, việc giai bai tập hình học đòi hỏi phai trình bay phần lập luận chứ không chỉ áp dụng công thức như ở Tiểu học Chính vì vậy việc tiếp nhận các kiến thức toán học nói chung va môn hình học nói riêng các
em còn bỡ ngỡ, còn chưa quen với phương pháp học tập
- Ở lớp 6, các em đã được tiếp cận với bộ môn hình học ngay từ đầu năm nhưng mỗi tuần chỉ có một tiết va bước đầu kiến thức còn rất đơn gian Các bai toán ma sách giáo khoa, sách bai tập đưa ra mới chỉ dừng ở mức độ nhận biết va thông hiểu được các khái niệm mở đầu của hình học phẳng, vận dụng ở mức độ vận dụng thấp, thiếu hẳn các bai tập ở mức độ vận dụng cao vì vậy chỉ bám vao sách giáo va sách bai tập thì không thể phát triển kha năng suy luận, kha năng tư duy của các em học sinh khá va giỏi, đặc biệt la các em học sinh thuộc đội tuyển toán
3 Yêu cầu cần giải quyết:
Sau khi học sinh thuộc đội tuyển Toán 6 học xong các chuyên đề thuộc chương Đoạn thẳng thì các em cần phai đạt được các yêu cầu sau:
* Kiến thức:
Trang 4- Nắm được các khái niệm: Điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng
- Nắm được các quan hệ: Điểm thuộc, không thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa hai điểm, so sánh hai đoạn thẳng
* Kĩ năng:
- Sử dụng đúng ngôn ngữ nói, viết, ký hiệu
- Thanh thạo vẽ hình, đọc hình
- Biết phân tích đề bai để tìm cách giai; kĩ năng suy luận , lập luận chặt chẽ; kĩ năng trình bay bai lam; những em học xuất sắc cần biết khai thác bai toán bằng cách thay đổi số liệu hoặc cách hỏi để được bai toán mới
* Thái độ: Học sinh không còn “sợ” môn hình học, học sinh yêu thích môn toán
nói chung va môn hình học nói riêng
II Mục tiêu:
+ Giúp ban thân hệ thống lại các dạng toán Hình học 6 sử dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
+ Đưa ra một số khai thác về các bai toán cơ ban trong sách giáo khoa va sách bai tập Hình học 6 để có những bai toán khó hơn phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
+ Qua đây tôi cũng tự đúc rút cho ban thân mình những kinh nghiệm để lam luận cứ cho phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi của mình những năm tiếp theo
III Nội dung và cách thực hiện giải pháp :
1 Khái quát nội dung:
1 1 Chia các dạng bai thuộc chương đoạn thẳng thanh 3 chủ đề Các bai tập thuộc mỗi chủ đề được phân dạng, mỗi dạng bai có một bai tập cơ ban lam ví dụ 1.2 Khai thác các bai tập cơ ban đó thanh các bai tập nâng cao
2 Nội dung cụ thể:
Trang 5A Chủ đề 1: Tính số đoạn thẳng, số đường thẳng, số giao điểm, số tia.
Bài toán 1:
a) Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ được một
đường thẳng.
Hỏi qua 3 điểm A, B, C kể trên thì ta vẽ được bao nhiêu đường thẳng
b) Cho đường thẳng a Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt A, B, C.
Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành?
* Phân tích đề bài: Đây la bai toán cơ ban chỉ yêu cầu ở mức độ thông hiểu thế
nao la đường thẳng, đoạn thẳng va nhận biết các đường thẳng, đoạn thẳng có trên hình
* Các bài toán khai thác :
Dạng 1: Trong các điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng
Bài 1: Xây dựng bai toán tổng quát:
a) Cho n điểm phân biệt Cứ qua hai điểm bất kì ta vẽ được một đường thẳng Hỏi từ n điểm đó ta vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
b) Cho n điểm phân biệt Nối hai điểm bất kì ta được một đoạn thẳng Hỏi từ n điểm đó ta vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng?
Bài 2: Cho trước 20 điểm Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu la hai trong các điểm đã
cho Tính số đoạn thẳng ma hai mút thuộc tập 20 điểm đã cho nếu trong các điểm
đã cho không có ba điểm nao thẳng hang
Dạng 2: Trong các điểm đã cho có một số điểm thẳng hàng
Bài 1: Cho 100 điểm trong đó có đúng bốn điểm thẳng hang, ngoai ra không có
ba điểm nao thẳng hang Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng Hỏi có tất
ca bao nhiêu đường thẳng?
Bài 2: Cho trước 20 điểm Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu la hai trong các điểm
đã cho Tính số đoạn thẳng ma hai mút thuộc tập 20 điểm đã cho nếu trong các
điểm đã cho có đúng năm điểm thẳng hang
KẾT LUẬN: Nếu trong các điểm đã cho có một số điểm thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được sẽ thay đổi nhưng số đoạn thẳng vẽ được là không thay
Trang 6Dạng 3: Biết số đường thẳng (số đoạn thẳng) vẽ được, yêu cầu tìm số điểm có ban đầu.
Bài 1: Cho trước n điểm Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu la hai trong các điểm đã
cho Biết vẽ được tất ca 36 đoạn thẳng Tính giá trị của n?
Bài 2:
Cho n điểm trong đó không có ba điểm nao thẳng hang Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm Tìm n biết rằng nếu có thêm 1 điểm (không thẳng hang với bất kì 2 điểm nao trong số n điểm đã cho) thì số đường thẳng vẽ được tăng thêm la 8
Bài toán 2:
Vẽ ba đường thẳng đôi một cắt nhau, hỏi có tất cả bao nhiêu giao điểm?
*Phân tích đề bài: Đây la bai toán cơ ban chỉ yêu cầu ở mức độ thông hiểu thế
nao la giao điểm va nhận biết các giao điểm có trên hình
* Các bài toán khai thác :
Dạng 1: Trong các đường thẳng đã cho không có 3 đường thẳng nào đồng quy.
Bài 1: Xây dựng bai toán tổng quát:
Cho n đường thẳng phân biệt, trong đó không có ba đường thẳng nao đồng quy Biết rằng cứ hai đường thẳng cắt nhau thì cho ta một giao điểm Hỏi nếu n đường thẳng đó đôi một cắt nhau thì cho ta bao nhiêu giao điểm?
Bài 2: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nao cũng đều cắt
nhau, không có ba đường thẳng nao đồng quy Tính số giao điểm của chúng
Dạng 2: Trong các đường thẳng đã cho có một số đường đường thẳng đồng quy.
Bài 1: Cho 15 đường thẳng đôi một cắt nhau.Nếu trong 15 đường thẳng đó có
đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có tất ca bao nhiêu giao điểm của chúng?
KẾT LUẬN: Nếu trong các đường thẳng đã cho có một số đường thẳng đồng quy thì số giao điểm vẽ được sẽ giảm.
Bài toán 3: Trên đường thẳng xy cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó.
Trang 7a Liệt kê tất cả các tia được xác định trên đường thẳng đó.
b Liệt kê tất cả các cặp tia đối nhau.
c Liệt kê tất cả các tia có gốc A trùng nhau.
* Phân tích đề bài: Đây la bai toán cơ ban chỉ yêu cầu ở mức độ thông hiểu thế
nao la tia, thế nao la hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau va nhận biết tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau có trên hình
* Các bài toán khai thác :
Bài 1: Cho đường thẳng xy Trên đường thẳng xy theo thứ tự lấy 15 điểm A1; A2;
A3; …A15 Trên hình có bao nhiêu tia , giai thích?
B Chủ đề 2: Tính độ dài đoạn thẳng.
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài toán 4: Trên tia Ox vẽ ba đoạn thẳng OA, OB, OC sao cho OA = 2cm, OB =
5cm, OC = 8cm So sánh BC và BA.
* Phân tích đề bài: Đây la bai toán cơ ban chỉ yêu cầu ở mức độ vận dung thấp
Học sinh chỉ cần chỉ ra: OA < OB
=> A nằm giữa O va B
=> OA + AB = OB
=> AB = OB – OA = 3cm
Tương tự tính được BC, sau đó so sánh AB va BC
* Các bài toán khai thác :
Cái khó nhất đối với học sinh khi giải các bài tập thuộc chương “Đoạn thẳng” là cách lập luận để chứng tỏ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại và trong một số bài tập cần phải sử dụng cả các phép biến đổi đại số để có được biểu thức theo yêu cầu Chính vì vậy các bài tập nâng cao của dạng bài tập này sẽ thay đổi cách hỏi nhằm thay đổi cách lập luận để chứng tỏ 1 điểm nằm giữa 2 điểm còn lại và đi sâu hơn về các phép biến đổi đại số được vận dụng vào trong hình học.
Trang 8Bài 1: Cho độ dai ba đoạn thẳng AB = c ; BC = a ; CA = b Hỏi điểm nao nằm
giữa hai điểm còn lại nếu thỏa mãn đồng thời ca ba điều kiện: 0 < b < a; 0 < c < a
; a < b + c
Bài 2: Trên tia Ox lấy hai điểm M va N sao cho : OM = 3ON, MN = 4cm Tính
OM, ON?
Bài 3: Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm Lấy hai điểm C va D nằm giữa A va B sao cho
AC + BD = 9cm
a) Chứng tỏ D nằm giữa A va C
b) Tính độ dai đoạn thẳng CD?
Bài 4: Trên tia Ox xác định các điểm A va B sao cho OA = a(cm), OB = b (cm)
a) Tính độ dai đoạn thẳng AB, biết b < a
b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = 2
1 (a+b)
Bài 5: Cho đoạn thẳng AB Lấy điểm O nằm giữa hai điểm A va B Lấy điểm I
nằm giữa O va B
a) Gia sử AB = 5cm, AO = 2cm, BI = 2cm Tính OI
b) Gia sử AO = a, BI = b Tìm điều kiện của a va b để AI = OB
Bài 6: Trên tia Ox cho 4 điểm A , B , C , D Biết A nằm giữa C va B, B nằm giữa
C va D; OA = 5cm , OD = 2cm , BC = 4cm va độ dai AC gấp đôi độ dai BD Tính độ dai các đoạn BD, AC
Bài 7: Cho 3 điểm thẳng hang A, B, C Biết rằng AB = 5cm, BC = 2cm Hãy tính
độ dai đoạn thẳng AC
Bài 8: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB có CA = b, CB = a Gọi I la điểm nằm
giữa A va B sao cho AB = 2AI Tính độ dai IC
Bài 9: Trên tia O x lấy hai điểm A, B sao cho OA = a(cm), OB = 2cm Hãy tính độ dai đoạn thẳng AB
Bài 10: Cho đoạn thẳng AB va trung điểm M của nó Lấy điểm O thuộc tia đối
của tia BA( O khác B) Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng
OA, OB
Trang 9Bài 11: Cho đoạn thẳng AB va một điểm C nằm giữa hai điểm A va B Gọi M va
N lần lượt la trung điểm của AC va CB
a) Biết AB = 20cm Tính độ dai của đoạn thẳng MN
b) Gia sử MN = a Tính độ dai của đoạn thẳng AB
Bài 12: Gọi C la một điểm của đoạn thẳng AB.( AC < CB) Gọi M la trung điểm
của AC, N la trung điểm của BC Biết MN + AB = 12cm
a) Tính MN, AB
b) Gọi I la trung điểm của MN Chứng minh: 2IC = 4 – AC
Bài 13: Cho đoạn thẳng AB va trung điểm M của nó.
a) CTR Nếu C la điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM = 2
CA CB+
b) CTR Nếu C la điểm nằm giữa M va B thì CM = 2
CA CB−
Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = a, điểm C nằm giữa A va B Các điểm M va N
theo thứ tự la trung điểm của AC va CB
a) Hãy chứng tỏ rằng MN = 2
a
b) Kết qua ở câu a còn đúng không nếu điểm C thuộc đường thẳng AB?
Bài 15: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB có CA = b, CB = a Gọi I la trung
điểm của AB Tính độ dai IC
Dạng 2: Xác định vị trí của một điểm để thỏa mãn một điều kiện nào đó Bài 1 : Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia
đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM
a) Tính BN khi BM = 2cm
b) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dai lớn nhất
Bài 2: Gọi O la một điểm của đoạn thẳng AB = 4cm Xác định vị trí của điểm O
để:
a) Tổng AB + BO đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 10b) Tổng AB + BO = 2BO
c) Tổng AB + BO = 3OB
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB Gọi M va N theo
thứ tự la trung điểm của OA, OB
a) Chứng tỏ OA < OB
b) Trong ba điểm O, M , N điểm nao nằm giữa hai điểm còn lại?
c) Chứng tỏ rằng độ dai đoạn thẳng MN không phụ thuộc vao vị trí của điểm O ( O thuộc tia đối của tia AB)
Bài toán 5:
Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 8cm Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
AB, tính độ dài đoạn thẳng AM?
*Phân tích đề bài:
Đây la bai toán cơ ban chỉ yêu cầu ở mức vận dụng thấp kiến thức: Khi M
la trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = AB : 2
* Các bài toán khai thác :
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 2100cm Gọi M1 la trung điểm của đoạn thẳng AB;
gọi M2 la trung điểm của đoạn thẳngM1B ; gọi M3 la trung điểm của đoạn thẳng
2
M
B , gọi M100 la trung điểm của đoạn thẳngM99B Tính độ dai của đoạn thẳng
1 100
M M
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = 22020 cm Gọi C1
la trung điểm của đoạn thẳng AB Gọi C2
la trung điểm của đoạn thẳng AC1
Gọi C3
la trung điểm của đoạn