SKKN TOÁN Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán

Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán.

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG

TRONG GIẢI TOÁN

BỘ MÔN: TOÁN

Năm học 2020 – 2021

MỤC LỤC

Thông tin chung về sáng kiến

Tóm tắt sáng kiến

Mô tả sáng kiến

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

2 Cơ sở lý thuyết của vấn đề

3 4 18 20 21

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy ôn học sinh giỏi môn Toán khối lớp

6, 7, 8, 9 và ôn thi vào lớp 10 THPT

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:

6 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

– Học sinh khối 9 nắm chắc các kiến thức trong chương trình THCS.– Thày cô giáo giảng dạy môn Toán trong các trường THCS

7 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2017 – 2018

SÁNG KIẾN

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong những năm qua, các đề thi khảo sát chất lượng, đề thi học sinh giỏimôn Toán 6, 7, 8, 9 và đặc biệt là tuyển sinh vào THPT không chuyên hoặctrường chuyên thường rất phong phú về các dạng toán Có những bài cơ bản,nhưng cũng không ít bài nâng cao, cách giải tương đối phức tạp Mỗi dạngtoán lại ẩn chứa những kiến thức mà nếu như học sinh không cẩn thận thì rất

dễ dàng bị thiếu sót

Qua nhiều năm dạy ôn thi, tôi nhận thấy để được điểm cao trong các kì thikhảo sát hay quan trọng hơn là kì thi vào lớp 10 THPT thì ngoài việc nắmchắc các kiến thức, các dạng toán thì việc xác định được các mối quan hệ giữacác bài tập với nhau là rất quan trọng, nó giúp cho chúng ta có hướng giảiquyết bài toán một cách nhanh chóng, chính khác và không bị nhầm lẫn.Chính điều đó đã thôi thúc tôi viết sáng kiến này

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

Sáng kiến này được áp dụng trong việc dạy trên lớp, ôn thi cho các kì thikhảo sát chất lượng và thi vào lớp 10 THPT chuyên, không chuyên Đốitượng sử dụng là các thày cô giáo dạy ôn thi học sinh giỏi các lớp 6, 7, 8, 9 và

ôn thi vào THPT cùng các em học sinh

3 Nội dung sáng kiến

Trong những năm gần đây, các đề thi khảo sát chất lượng, đề thi học sinhgiỏi của các khối lớp và đề thi vào lớp 10 THPT thì ngoài các câu hỏi thôngthường thì còn có những câu hỏi, bài tập khó hơn mà đều bắt nguồn từ nhữngbài toán cơ bản trong sách giáo khoa, sách bài tập và được phát triển lên Do

đó nếu các em đã nắm vững dạng toán cơ bản, nắm được tính chất và đã quenthuộc với hướng phát triển bài toán thì các em sẽ không bị bỡ ngỡ khi gặp cácbài toán đó Hơn nữa, các bài toán đó lại trở nên quen thuộc đối với các emhọc sinh Nội dung chuyên đề này hướng dẫn các em cách sử dụng tính chất

của số chính phương để giải toán Từ đó giúp các em tìm được hướng giảiquyết bài toán cũng như tránh được sai lầm trong việc giải toán

Khi chưa được hướng dẫn, đúc rút kinh nghiệm về cách sử dụng tính chấtcủa số chính phương trong giải toán Tôi thấy rất nhiều em học sinh còn lúngtúng trong việc xác định hướng giải quyết các bài toán này hoặc mắc sai lầm,dẫn đến bị mất điểm Sau khi thực hiện việc áp dụng tính chất của số chínhphương trong giải một số bài toán, tôi thấy các em đã nắm được nội dung kiếnthức, biết phát hiện và áp dụng thành thạo vào việc xác định hướng giải quyếtcác bài tập Nhất là các bài toán đòi hỏi có sự tư duy sâu hơn, không làm theocách thông thường được Điều đó đã khẳng định được lợi ích thiết thực củasáng kiến này

Sáng kiến này không viết về các dạng toán cụ thể mà là một số ví dụ vềviệc áp dụng tính chất của số chính phương trong giải một số bài toán ở mức

độ cao hơn, khó hơn nhưng vẫn trên cơ sở các lí thuyết cơ bản Từ đó giúpcác em dễ dàng phát hiện ra hướng làm, đưa bài toán trong các đề thi thànhcác bài toán cơ bản, quen thuộc Một điều hết sức quan trọng trong tất cả các

kì thi

4 Kết quả đạt được của sáng kiến

Trước và sau khi áp dụng sáng kiến, tôi đều có sự khảo sát để so sánh, đốichứng để kiểm định kết quả Qua sự khảo sát, tôi thấy bài làm của các em tốthơn rất nhiều so với trước khi áp dụng sáng kiến Điều đó đã khẳng định đượcgiá trị của sáng kiến này

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến

Để thực hiện tốt được sáng kiến này, giáo viên cần phải cho học sinh ônlại và các kiến thức về số chính phương trong chương trình THCS Sau đó hệthống lại thành dạng toán cho ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10 THPT.Giáo viên cần cho các em làm các bài tập áp dụng, phát hiện kiến thức từđơn giản đến phức tạp nhằm hình thành khả năng và thói quen tư duy cho các

em Dần dần các em sẽ có được hướng tư duy tích cực và chính xác hơn

Chúng ta đều biết, tính chất của số chính phương là một nội dung khótrong môn Toán Do đó đòi hỏi học sinh phải có sự tư duy, hiểu được bản chấtcủa bài tập Chính vì vậy các em cần phải tập trung để nắm vững được kiếnthức Từ đó hình thành lên hướng giải các bài tập đó.

Để sáng kiến được áp dụng tốt hơn thì giáo viên cần có các phương tiệncông nghệ thông tin để hỗ trợ như máy tính, máy chiếu đa năng…

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

1.1 Nội dung kiến thức

Trong các đề thi khảo sát chất lượng, đề thi học sinh giỏi và đề thi tuyểnsinh vào lớp 10 THPT Các bài toán có nội dung nâng cao thường xuất phát từnhững bài toán cơ bản, quen thuộc của các em học sinh Do đó nếu các embiết tư duy đúng hướng, biết cách phát hiện rằng các bài toán đó được bắtnguồn từ bài toán cơ bản, quen thuộc thì việc giải quyết bài toán trong đề thi

là điều không quá khó khăn đối với các em,

Để giải quyết tốt các bài toán này, ta phải nắm chắc lí thuyết, nắm chắccác dạng toán cũng như việc phân tích đề bài để tìm hướng làm, xác địnhchính xác điều kiện…

Các em học sinh cần hiểu, nắm chắc được lí thuyết, nắm chắc các dạngtoán Sau đó sử dụng kiến thức đó như một công cụ để hỗ trợ việc phát hiện rahướng giải quyết các bài toán khác Điều này rất quan trọng trong kiểm tra,thi cử Đặc biệt là trong việc ôn thi học sinh giỏi và thi vào THPT chuyên,không chuyên

1.2 Giáo viên

Khi giảng dạy trên lớp, giáo viên cần hệ thống và bổ sung cho các emnhững kiến thức trong quá trình học tập, ôn thi khảo sát và thi vào lớp 10THPT để các em chủ động nắm bắt kiến thức Từ đó hình thành được kiếnthức trong các em

Trong việc ôn cho các em thi học sinh giỏi hay thi vào THPT, giáo viêncần hình thành cho các em thói quen xác định dạng của mỗi bài toán để xácđịnh hướng giải quyết các bài toán này Đồng thời cũng cần hình thành chocác em thói quen phân tích bài toán, xác định điều kiện đã chuẩn chưa, hướnglàm đối với bài toán này đã chính xác chưa? Những bài toán có câu hỏi đặcbiệt thì làm thế nào…

1.3 Học sinh

Thực tế cho thấy, qua các kì thi khảo sát, đề thi học sinh giỏi và thi tuyểnsinh vào lớp 10 THPT Rất nhiều em đã giải được khá nhiều bài toán trong đềthi dựa trên cơ sở các bài toán, dạng toán quen thuộc Điều này là do các em

đã được ôn tập kĩ dưới sự hướng dẫn của thầy cô giáo

Khi đã hiểu và vận dụng được tính chất của số chính phương vào giảitoán Các em dễ dàng tìm ra con đường giải quyết các bài toán về số chínhphương mà các em đang cần phải thực hiện trong các đề thi Tôi thấy các emhọc sinh đã thực hiện khá tốt việc vận dụng những kiến thức đó vào việc pháthiện hướng giải quyết các bài toán, từ bài dễ đến các bài khó hơn Qua đó tathấy được tầm quan trọng của việc nắm vững tính chất và cách vận dụng tínhchất của số chính phương trong giải toán

2 Cơ sở lý luận của vấn đề

Như đã nói ở trên, việc xác định đúng dạng toán, biết được bài toán trong

đề thi thực chất là bài toán mà các em đã biết cách làm quyết định hướng làmcủa bài toán Các em đã xác định đúng dạng toán thì việc phát hiện ra hướnggiải quyết bài toán là thuận lợi hơn rất nhiều Việc xác định chính xác nhữngđiều kiện ẩn giấu trong đề bài kết hợp với việc nắm vững lí thuyết và dạngtoán giúp cho các em không bị mất điểm trong thi cử Đó chính là mục tiêucủa chuyên đề này

3 Thực trạng của vấn đề

3.1 Nội dung chương trình

Trong quá trình học tập cũng như ôn thi cho các kì thi khảo sát, thi họcsinh giỏi và thi tuyển sinh vào THPT chuyên, không chuyên Thực tế đã có rấtnhiều đề thi trong những năm gần đây đã có những bài tập về số chínhphương mà nếu các em để ý thì sẽ thấy được rằng các bài toán đó được pháttriển từ các bài toán mà các em đã từng được ôn Để giải quyết các bài tậpnày, ngoài việc nắm chắc kiến thức thì các em học sinh phải có sự chăm chỉ

và có năng lực tư duy nhất định cũng như phải có tính cẩn thận trong trìnhbày bài thi Việc phát hiện được bài tập trong đề thi chính là bài toán quen

thuộc nào đó mà các em đã được học sẽ góp phần không nhỏ trong việc tưduy, phân tích của các em Từ đó giúp các em có được hướng giải quyết bàitoán đơn giản hơn Và quan trọng hơn là giúp các em không bị mất điểmtrong bài thi – điều cần thiết nhất đối với bất kì học sinh nào

3.2 Phương tiện dạy học, phương pháp dạy học và tổ chức lớp của giáo viên

Ngoài phương tiện truyền thống như phấn, thước, bảng viết Máy tính,máy chiếu, cũng góp phần hỗ trợ trong việc thực hiện chuyên đề này

Giáo viên sử dụng phương pháp khái quát hóa để hình thành kiến thức.Sau đó dùng phương pháp phân tích, dùng kiến thức đã có để phát hiện kiếnthức, tổng hợp thành kiến thức mới cần thiết cho việc giải quyết bài toán mới.Giáo viên tổ chức lớp có thể dưới các hình thức hoạt động cá nhân đối vớinhững bài đơn giản, có thể hoạt động tập thể, nhóm đối với những nội dungkiến thức khó hơn

4 Các giải pháp, biện pháp thực hiện.

Trong quá trình thực hiện chuyên đề vận dụng tính chất của số chínhphương trong giải toán Tôi đã thực hiện trên các lớp 6, 7, 8, 9 Dưới đây là líthuyết cơ bản và một số bài toán:

4.1 Tính chất cơ bản của số chính phương.

4.1.1 Định nghĩa:

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên

4.1.2 Tính chất:

+ Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9;không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa

+ Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ

số chẵn

+ Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

+ Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

+ Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

+ Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

+ Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

4.2 Một số bài toán về số chính phương.

Bài 1 Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

(Trích đề thi HSG lớp 8 của huyện Thủy Nguyên – Hải Phòng năm học

Bài tập tương tự Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương.

Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5

 A chia hết cho 5 mà A không chia hết cho 25

 A không là số chính phương

Bài 5 Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n  N và

n > 1 không phải là số chính phương

(Trích đề thi HSG lớp 9 huyện Nghi Xuân – Hà Tĩnh năm học 2015 – 2016)

 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Mà n2(n + 1)2 là số chính phương nên A = n2(n + 1)2.(n2 – 2n + 2) không

là số chính phương

Bài 6 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 2 số nguyên lẻ bất kỳ

không phải là số chính phương

(Trích đề thi HSG lớp 8 huyện Can Lộc – Hà Tĩnh năm học 2016 – 2017)

Do 4(k2 + k + m2 + m) chia hết cho 4; 2 không chia hết cho 4

 a2 + b2 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 không chia hết cho 4

Mà a2 + b2 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 chia hết cho 2

 a2 + b2 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 không là số chính phương

Vậy tổng các bình phương của 2 số nguyên lẻ bất kỳ không phải là sốchính phương.

Bài 7 Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu

tiên thì p – 1 và p + 1 không thể là các số chính phương

(Trích đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Hà Tĩnh năm học 2019 – 2020)

Hướng làm

Ta sử dụng tính chất chẵn lẻ của số chính phương, dạng tổng quát của sốchính phương kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng

Bài giải

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p  2 và p không chia hết cho 4 (1)

*) Chứng minh p + 1 không phải số chính phương:

Giả sử p + 1 là số chính phương Đặt p + 1 = m2 (Với m  N)

Vì p chẵn nên p + 1 lẻ  m2 lẻ  m lẻ

Đặt m = 2k + 1 (k  N), ta có:

m2 = 4k2 + 4k + 1 p + 1 = 4k2 + 4k + 1

 p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1)  4 mâu thuẫn với (1)

 điều giả sử là sai  p + 1 không phải là số chính phương

*) Chứng minh p – 1 không phải số chính phương:

Do n > 1 nên p = 2.3.5 là số chia hết cho 3  p – 1 = 3k + 2 (với k N)

 p – 1 không là số chính phương

(Do số chính phương không có dạng 3k + 2 với k  N)

Vậy nếu p là tích của n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1không là số chính phương

Bài 8 Giả sử N = 1.3.5.7 2009 2011 Chứng minh rằng trong 3 số

nguyên liên tiếp 2N – 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương

(Trích đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Thái Bình năm học 2018 – 2019)

Hướng làm

Ta sử dụng tính chất chẵn lẻ của số chính phương, dạng tổng quát của sốchính phương kết hợp với tính chất một số chia hết cho số nguyên tố mà

không chia hết cho bình phương số nguyên tố đó thì số đã cho không phải là

 N không chia hết cho 2 và 2N  2

 2N không chia hết cho 4

 2N không là số chính phương

+) Ta có 2N + 1 = 2.1.3.5.7 2011 + 1

 2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4

Mà 2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 chia cho 4 không dư 1

 2N + 1 không là số chính phương

Bài 9 Cho a    111 1

2010 ch÷ sè 1và b 1 000 0 5   

2009 ch÷ sè 0 Chứng minh ab 1 là số tự nhiên

(Trích đề thi HSG lớp 9 huyện Vũ Thư – Thái Bình năm học 2018 – 2019)

Bài 10: Tìm số tự nhiên n sao cho số n2 + 2n + 12 là số chính phương

(Trích đề thi HSG Toán 8 huyện Đông Hưng–Thái Bình năm học 2017– 2018)

Hướng làm

Ta sử dụng định nghĩa số chính phương, tính chất số chính phương chiahết cho một số nguyên tố thì phải chia hết cho bình phương của số nguyên tốđó

Vậy n = 4 thỏa mãn đề bài

Bài tương tự Tìm a để các số sau là những số chính phương

+) 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33

+) 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0

 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là sốchính phương

Vậy n = 1; n = 3 thoả mãn đề bài

Bài 12 Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương

(Trích đề thi HSG Toán 8 huyện Xuân Thủy–Nam Định năm học 2015– 2016)

Hướng làm

Ta sử dụng định nghĩa số chính phương, tính chất của số chính phươngchia hết cho một số nguyên tố thì phải chia hết cho bình phương số nguyên tốđó

 (m + n) (m – n)  4 nhưng 2010 không chia hết cho 4

 Điều giả sử sai

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương

Bài 15: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là

các số chính phương thì n là bội số của 24

(Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An năm học

2015 – 2016)

Hướng làm

Dùng phương pháp chẵn lẻ kết hợp tính chất đồng dư của số chínhphương ta sẽ chứng minh được n  24.

Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1

Nên để k2 + m2  2 (mod3) thì k2  1 (mod3) và m2  1 (mod3)