Dao động tự do của tấm FG SANDWICH trên nền đàn hồi hai tham số dựa theo lý thuyết biến dạng cắt hàm sin nghịch đảo

Bài báo này giới thiệu một mô hình số phân tích dao động tự do của tấm vật liệu chức năng dạng sandwich với các thuộc tính vật liệu thay đổi hàm số mũ theo chiều dày tấm. Tấm này có đặc điểm vượt trội so với tấm sandwich thông thường là thỏa mãn điều kiện ứng suất tại mặt tiếp giáp của các lớp vật liệu khác nhau. Mời các bạn tham khảo!

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TÇM FG SANDWICH

TR N NỀN ĐÀN HỒI HAI THAM SỐ DỰA THEO LÝ THUYẾT

BIẾN DÄNG CẮT HÀM SIN NGHÐCH ĐÂO

Nguyễn Ngọc Hưng 1

1.Trường Đại học Thủ Dầu Một

Tóm tắt

Bài báo này giới thiệu một mô hình số phân tích dao động tự do của tấm vật liệu chức năng dạng sandwich với các thuộc tính vật liệu thay đổi hàm số mũ theo chiều dày tấm Tấm này có đặc điểm vượt trội so với tấm sandwich thông thường là thỏa mãn điều kiện ứng suất tại mặt tiếp giáp của các lớp vật liệu khác nhau Lý thuyết biến dạng cắt hàm sin nghịch đảo (R-QSDT) được hiệu chỉnh để phù hợp với phương pháp nội suy Moving Kriging (MK) Các ví dụ số được trình bày trong bài báo này được so sánh kết quả của các nghiên cứu đã công bố trước đó nhằm kiểm chứng sự chính xác của mô hình phân tích được đề xuất

1 Giới thiệu

Vật liệu composite là loại vật liệu bao gồm hai hoặc nhiều vật liệu khác nhau được ghép chồng lại Nhằm mục đích tạo ra vật liệu mới có tính ưu việt hơn vật liệu cũ về khả năng chịu lực, nhiệt, chịu uốn,…hoặc thẩm mỹ Vật liệu này tuy có nhiều ưu điểm nhưng cũng có nhược điểm trong phân tích tính cơ học của nó Tấm sandwich là tấm có các lớp vật liệu khác nhau được xếp chồng lên nhau Đây là nguyên nhân làm cho ứng suất tại vị trí tiếp giáp của các lớp vật liệu phức tạp, gây khó khăn trong qua trình tính toán Gần đây, các nhà nghiên cứu thường

sử dụng vật liệu chức năng có tính chất thay đổi theo độ dày để giải quyết vấn đề này Bằng cách tại các vị trí tiếp xúc, thay vì sử dụng vật liệu thông thường có tính chất vật lý khác nhau hoàn toàn thì bây giờ được sử dụng với vật liệu chức năng sao cho luôn đảm bảo vị trí tiếp xúc có cùng tính chất vật liệu Khi đó, các vị trí tiếp xúc không còn có sự nhảy vọt về tính chất vật liệu mà sẽ biến đổi dần dần đến khi mặt còn lại sẽ là vật liệu khác Loại tấm dạng như trên được gọi là tấm sandwich với các vật liệu theo từng lớp không còn là vật liệu đồng nhất

mà là vật liệu chức năng Bài báo này nghiên cứu tấm sandwich được cấu tạo bởi vật liệu chức năng được gọi là tấm FG sandwich

Một số tác giả đã phân tích ứng xử của tấm sandwich trên nền đàn hồi dựa trên các phương pháp số Sobhy 2013) đã trình bày lời giải chính xác của lực tới hạn và dao động tự nhiên của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt hình sin với các điều kiện biên khác nhau kavci 2016) đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt hyperbol và lý thuyết biến dạng cắt thông thường để phân tích tần số dao động của tấm sandwich Li et al 2017) đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) kết hợp với phương pháp Fourier-Ritz để nghiên cứu dao động

của các tấm sandwich dày với điều kiện biên thông thường Dao động tự do và phân tích chuyển của các tấm sandwich FG sử dụng các điều kiện biên khác nhau được Singh và Harsha (2018) phát triển từ lý thuyết biến dạng cắt nghịch đảo hyperbol

2 Tấm FG s nwich

Xét một tấm FG sandwich có dạng hình chữ nhật có kích thước 2 cạnh là a, b và có độ dày là h như hình 1 Mặt dưới và trên của tấm hoàn toàn là kim loại và gốm Mặt

phẳng xy nằm ở giữa tấm Chiều dương của trục z hướng lên trên Trong bài báo này, hệ số

Possion‟s được xem là không đổi của 2 loại vật liệu Ngược lại, môđun đàn hồi E , khối

lượng riêng  được xem là thay đổi liên tục theo chiều dàyztấm FG sandwich Theo đó,

 

P z  P PP V z Với V z   0.5 z hn (1)

Trong đó chỉ số t và b đại diện cho thành phần trên và dưới tương ứng;

V z  z h là thể tích thành phần; nlà chỉ số của hàm mũ, thể hiện sự gia tăng tỷ lệ của phần thể tích; zlà biến tọa độ theo chiều dày 0.5 h z 0.5h

Hình 1 Tấm FG sandwich: (a)Hình dạng tấm trong hệ trục Đề cát; (b) Tấm loại A;

(c) Tấm loại B

2.1 Tấm FG sandwich (loại A) có vật liệu chính đồng nhất và lớp vỏ vật liệu chức năng

Tấm FG sandwich loại A bao gồm phần lõi là tấm có vật liệu đồng nhất và được bao phủ bởi 2 lớp vật liệu chức năng có bề mặt kim loại nhiều ở vị trí zz1, zz4 và bề mặt phi kim nhiều ở zz2 và zz3, như được mô tả ở hình 1b Thể tích thành phần của lớp vỏ là vật liệu chức năng FGM được tính như sau:

1 2

2 1

n

c

z z

z z



2 3

1 , , ;

c

3 4

4 3

, ,

c

z z

z z

  



Trong đó z2 z1 và z3z4 là bề dày của lớp vỏ ở dưới và lớp vỏ ở trên Chỉ số độ dày cho mỗi lớp được định nghĩa như sau z4 z3 / z3 z2 / z2 z1 ví dụ như: 2/1/2; 2/2/1; …

2.2 Tấm FG sandwich (loại B) có vật liệu chức năng ở giữa và hai lớp vỏ vật liệu đồng nhất

Theo như hình 1.c tấm FG sandwich loại B bao gồm lõi chính ở giữa là tấm vật liệu chức năng và có hai lớp vỏ là vật liệu đồng nhất Do đó thể tích thành phần của tấm FG

sandwich này được tính như sau:

(1)

1 2

c

2 3

3 2

n

c

z z

z z



3 4

c

) Trong đó ( )i, 1, 2,3

c

V i  là thể tích thành phần tại lớp thứ i; z3z2 là bề dày lõi chính

2.3 Kết hợp R-QSDT với phương pháp nội suy không phần tử Galerkin

Giả thuyết miền  là miền con của 2

R là miền chứa chuyển vị tại giữa tấm Chuyển tại giữa tấm theo phương z z 0 là khác nhau Trong có gồm có 2 chuyển vị ngang u, và chuyển vị thẳng đứng w chứa x y z, , Có thể điều chỉnh dạng này thành 4 ẩn (Zenkour, 2013) như sau:

 

0

u x, y,z = u x, y  z w x, y  x f z w x, y x (4)

 

0

( , , ) ( , ) b( , ) s( )

v x y z v x y  z w x y  y f z w x, y y (5)

( ) b( ) s( ) ( )

Chúng ta có thể chuyển công thức ở trên sang dạng ma trận như sau:

0= u0 v0 w b T,

u u1=  w b x w b y 0T,u3=0 0 w sTvà u2= w   s x w s y 0T Mối quan hệ ứng suất chuyển vị được trình bày như sau:

  x y xy zT 0 z 1 f 2 g 3;

xz yz f g s

Khi

0 0 0

, 0

u x

v y

u y v x

 

      

ε

2 0

b b b

w x

w y

w x y

     

ε

2 0

s s s

w x y

     

0 0 , 0

s

w

 

 

 

  

 

 

s s

w x

 

   

Trong đó    2

2 1

sin z h

f   ze và g f  , khi f  và g  là đạo hàm bậc nhất theo biến z

Nguyên lý làm việc đơn giản của tấm vật liệu chức năng trên nền đàn hồi có 2 tham số được biểu diễn như sau:

2 / 2

2

1 0

0 1

2 1

h h

E z









ε D ε ε D ε

(9a,b,c,d)

Trong đó k và w k tương ứng là độ cứng mô đun biến dạng đàn hồi của Winkler và độ s

cứng mô đun biến dạng cắt của nền đàn hồi

2

, , , , , , , , , 1, , , , , , , , ,

h

h

A B D C E F L H O P  z z f g zf zg f fg g Q dz



 



D

 

,

0 0 1 2 2 0

1 2 1

0 1

Q= E z



 



 

1 2 4 5

2 3 6 7

4 6 8 9

5 7 9 10

I I I I

I I I I

I I I I

I I I I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

, , , , , , , , , 1, , , , , , , , ,

h

h

I I I I I I I I I I  z z z f g zf zg f fg g dz



 

Theo như hàm nội suy (MK), một hàm chưa biết uh x có thể được trình bày bởi vector theo dạng dựa trên điểm xii 1,n x  trong miền hỗ trợ    khi mà x n là tổng số những x

điểm có trong miền hỗ trợ  được trình bày như sau: x

( ) ( ) ( ) ( )

u xh  p x A r x B u xT  T  hoặc

x

h

Trong đó ( )I x là hàm dạng của nội suy động ,  1 1 1

,

T   T 



A P R P P R 1



B R I PA ; I là

ma trận đơn vị; vectors T   1 ( ) 2 ( ) ( )

m



p x x x x và T( ) ( , ), 1  2 , ,  , 

n

đa thức với m dựa trên hàm cơ bản và hàm tương quan Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng hàm đa thức để làm ổn định hàm dạng MK Trong mặt phẳng làm việc dựa trên phương pháp không lưới nội suy động MK, miền chuyển vị của tấm có thể trình bày

T

b s

u v w w

I  u I v I w bI w sI

u Thay thế phương trình (11) vào phương trình (8), ta nhận được:

0

1

n

m

I 



1 1

n b

I 



2 1

n b

I 



3 1

n b

I 



1

n s

I 



ε B u (12a,b,c,d,e)

Trong đó

,

,

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

I x

I y

I







với

0 0

1

,

n

I 



1

,

n

I 



1

,

n

I 



1

n

I 



và

0

I

I







N

, 1

,

I x







N

, 2

,

0 0 0

0 0 0

I x





0 0 0

I

I



Kết quả số

Ví dụ 1: phân tích dao động tự do của tấm hình chữ nhật FG sandwich loại ) với 4 cạnh

tựa đơn được tạo bởi nhôm Al và gốm ZnO2 được đặt lên nền đàn hồi được xem như là bài toán

chuẩn để so sánh độ chính xác với các phương pháp khác Mô đun đàn hồi khối lượng riêng của nhôm tương ứng là E m 70GPa vàm 2707kg m3 Tương tự như nhôm tính chất của gốm là 151

c

E  GPa và c 3000kg m3 Cả hai nhôm và gốm được xem là vật liệu có cùng hệ số Poisson

0.3

  Hai tham số hệ số nền đàn hồi được cho tương ứng như sau 4

w w c

K k a D và K s k a D s 2 c

12 1

c c

D E h  

a

h n K w K s

Akavci (2016) Bài báo

Akavci (2016) Bài báo

Akavci (2016) Bài báo

Akavci (2016) Bài báo

5

0

0 0 1.1912 1.2028 1.1912 1.2028 1.1912 1.2028 1.1912 1.2028

10 10 1.5135 1.5202 1.5135 1.5202 1.5135 1.5202 1.5135 1.5202

102 102 3.0908 3.0941 3.0908 3.0941 3.0908 3.0941 3.0908 3.0941

2

0 0 0.9318 0.9211 0.9541 0.9333 0.9755 0.9665 0.9927 0.9836

10 10 1.3341 1.3279 1.3469 1.3334 1.3611 1.3554 1.3713 1.3655

102 102 2.6823 2.6852 2.7579 2.7608 2.7937 2.7973 2.8476 2.8506

10

0 0 0.8791 0.8685 0.8969 0.8721 0.9215 0.9111 0.9356 0.9233

10 10 1.3045 1.2987 1.3119 1.2970 1.3274 1.3216 1.3339 1.3271

102 102 2.5044 2.5070 2.6178 2.6206 2.6707 2.6746 2.7495 2.7523

102

0

0 0 1.3404 1.3003 1.3404 1.3003 1.3404 1.3003 1.3404 1.3003

10 10 1.6590 1.6275 1.6590 1.6275 1.6590 1.6275 1.6590 1.6275

102 102 3.3694 3.3570 3.3694 3.3570 3.3694 3.3570 3.3694 3.3570

2

0 0 1.0182 0.9880 1.0428 1.0036 1.0695 1.0374 1.0885 1.0557

10 10 1.4300 1.4095 1.4444 1.4173 1.4623 1.4399 1.4740 1.4508

102 102 3.3344 3.3287 3.3283 3.3196 3.3300 3.3232 3.3261 3.3189

10

0 0 0.9602 0.9319 0.9758 0.9373 1.0062 0.9768 1.0191 0.9891

10 10 1.3967 1.3783 1.4029 1.3772 1.4219 1.4022 1.4278 1.4074

102 102 3.3480 3.3434 3.3332 3.3255 3.3327 3.3273 3.3225 3.3168

aCác số trong ngoặc đơn biểu thị phần trăm sai số của kết quả bài báo với kết quả Akavci

Gradient index, n

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

2-1-2 2-1-1 1-1-1 2-2-1 1-8-1

4.55 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95 5.00 5.05 5.10

2-1-2 2-1-1 1-1-1 2-2-1 1-2-1 1-8-1

Chỉ số hàm số mũ n (b)

Gradient index, n

4.45

4.50

4.55

4.60

4.65

4.70

4.75

4.80

4.85

4.90

4.95

2-1-2 2-1-1 2-2-1 1-2-1

1.55 1.60 1.65 1.70 1.75

1.80

2-1-2 2-1-1 1-1-1 1-2-1

Chỉ số hàm số mũ n d)

10

s w

(d) K s0,K w102

Tần số dao động tự do không thứ nguyên được chuẩn hóa bởi 2

0 0

0 1

E  GPa và 01kg m3 Bảng 1 cho thấy kết quả so sánh tần số dao động tự do đầu tiên bởi phương pháp R-QSDT với 17 17  nút cách đều nhau với kết quả được tạo ra bởi lý thuyết cắt quasi-3D hyperbolic kavci, 2016) ở dạng bảng Từ bảng so sánh cho thấy rằng kết quả của phương pháp được trình bày có sự phù hợp tốt hơn kết quả của kavci, bất kể tỷ lệ chiều dài,

độ dày tấm, thông số hệ số nền hoặc chỉ số n của tấm FG Điều đáng chú ý là chỉ số hàm mũ

n của các lớp vật liệu chức năng tăng dẫn đến tần số dao động tự do của tấm giảm

Ví dụ 2: Các hệ số đàn hồi của nền ảnh hưởng lên dao động tự do tấm hình chữ nhật FG

sandwich loại B) Al Al O với tỷ lệ 2 3 a h  được nghiên cứu Modun đàn hồi và khối lượng 5 riêng của nhôm cho tương ứng như sau E c380GPa và c3800kg m3 Sự thay đổi tần số dao

động tự do của tấm FG sandwich được biểu thị ở Hình 2a-d Quan sát biểu đồ thấy rằng tần

số dao động tự do của tấm tăng lên với các điều kiện của tấm tăng lên Khi chỉ số hàm số mũ

số dao động tự nhiên cũng tăng lên Từ Hình 2c-d có thể kết luận rằng ảnh hưởng độ cứng hệ

số nềnK w của Winkler đến dao động tự nhiên của tấm là không đáng kể

3 Kết luận

Bài báo này trình bày về phương pháp không lưới dựa trên R_QSDT áp dụng tính toán dao động tự do của tấm FG sandwich được đặt trên nền đàn hồi hai tham số Độ chính xác của phương pháp này được so sánh với kết quả đã có trước đó với sự khác nhau của tỷ lệ cạnh/độ dày a h, chỉ số hàm mũ n của vật liệu FG, các thông số hệ số nềnK svà K w Có thể nhận thấy rằng tần số tự nhiên của tấm tăng lên cùng với sự tăng lên chỉ số hàm mũ n vật liệu FG đồng thời sự tăng lên của mô đun độ cứng chống cắt K s Mô đun độ cứng nền đàn hồiK w của Winkler có ảnh hưởng không đáng kể đến tần số dao động tự nhiên của tấm FG sandwich

TÀI LIỆU THAM HÂO

1 Akavci S.S (2016), Mechanical behavior of functionally graded sandwich plates on elastic

foundation, Comp Part B: Eng., 96, 136-152

2 Li H., Pang F., Wang X., and Li S (2017), Benchmark solution for free vibration of moderately thick functionally graded sandwich sector plates on two-parameter elastic foundation with general

boundary conditions, Shock and Vib., 35 pages

3 Pasternak P (1954), On a new method of analysis of an elastic foundation by means of two foundation constants, Gosudarstvennoe izdatelstvo literaturi po stroi- telstvu i arkhitekture,

Moscow

4 Singh S J and Harsha S P (2018), Exact solution for free vibration and buckling of sandwich

S-FGM plates on pasternak elastic foundation with various boundary conditions, Int J Struct Stab and Dyn 19 (3)

5 Singh S.J., Harsha S.P (2019), Nonlinear dynamic analysis of sandwich S-FGM plate resting on

pasternak foundation under thermal environment, Euro J Mech - A/Solids,76, 155-179

6 Sobhy M (2013), Buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates resting on

elastic foundation under various boundary conditions Comp Struct., (99), 76–87

7 Tossapanon P., Wattanasakulpong N (2017), Flexural vibration analysis of functionally graded sandwich plates resting on elastic foundation with arbitrary boundary conditions: Chebyshev

collocation technique, J Sand Struct & Mat

8 Vu T.V., Curiel-Sosa J.L., Bui T.Q (2018), A refined sin hyperbolic shear deformation theory for

sandwich FG plates by enhanced meshfree with new correlation function, Int J Mech and Mat., 15, 647-669

9 Zenkour A.M (2013), A simple four-unknown refined theory for bending analysis of functionally

graded plates, Appl Math Model 37 9041-9051