a Chứng minh AE BF b Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân.. a Chứng minh các tứ giác BNCH và ABHN là hình bình hành.. a Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.. Chứng minh tứ g
Trang 1LỚP HỌC TOÁN CÔ DIỆP
SỐ 2 – NGÕ 426 – ĐƯỜNG LÁNG
SĐT: 0932 391 090
TRƯỜNG TIỂU HỌC – TRUNG HỌC CƠ SỞ PASCAL
Năm học 2018 – 2019
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ I
MÔN TOÁN 8
I Đại số
Dạng 1 Rút gọn và các câu hỏi phụ
Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:
a) ( x 8)( x2 2 x 9) ( x 1)3 b) (2 x 1)2 3( x 1)( x 2) ( x 3)2 c) 2( x 2)( x 2) ( x 3)(2 x 1) d) ( x 2)(2 x 1) 3( x 1)2 4 ( x x 2) Bài 2 Cho biểu thức: A ( x 4)( x 3) (3 x )2
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị biểu thức khi x 1 0,5
c) Tìm x để A = 2
Bài 3 Cho biểu thức: A 2(3 x 1)( x 1) 3(2 x 3)( x 4)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A tại x 2
c) Tìm x để A = 0
Dạng 2 Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 4 Phân tích thành nhân tử:
a) x2 10 x 25 b) x2 64 c) 25( x y )2 16( x y )2 d) x4 1 e) 2 xy 3 z 6 y xz f) 5 x2 5 xy x y
Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 2 xy y 2 xz yz b) y x y 2 2 xy2 y3 c) x2 25 y2 2 xy
d) ( x y )2 ( x2 y2) e) x2 4 x y 2 4 f) 2 xy x 2 y2 16
Bài 6 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 8 x 7 b) x2 5 x 6 c) x2 3 x 18 d) 3 x2 16 x 5
Dạng 3 Tìm số chưa biết:
Bài 7 Tìm x biết:
a) x x (2 7) 2 ( x x 1) 7 b) 3 ( x x 8) x2 2 ( x x 1) 2
c) 3 ( x x 7) 2( x 7) 0 d) 7 x2 28 0
e) (2 x 1) x x (2 1) 0 f) 2 x3 50 x 0
Trang 2Dạng 4 Chia đa thức, chia đơn thức:
Bài 8 Thực hiện phép chia
a) (15 x y3 2 6 x y2 3 x y2 2) : 6 x y2 b) 3 2 2 2 4
4 x y xy 7 xy 4 xy
c) (4 x2 9 ) : (2 y2 x 3 ) y d) ( x3 3 x y2 3 xy2 y3) : ( x2 2 xy y 2) Bài 9 Thực hiện phép chia
a) ( x4 2 x3 2 x 1) : ( x2 1) b) (8 x3 6 x2 5 x 3) : (4 x 3)
c) x3 3 x2 3 x 2) : ( x2 x 1) d) (2 x3 3 x2 3 x 1) : ( x2 x 1)
Bài 10 Tìm a để phép chia là phép chia hết
a) x3 x2 x a chia hết cho x 1
b) 2 x3 3 x2 x a chia hết cho x 2
c) x3 2 x2 5 x a chia hết cho x 3
d) x4 5 x2 a chia hết cho x2 3 x 2
II Hình học
Bài 1 Cho hình bình hành ABCD có AD 2 AB A , 60o Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC
và AD
a) Chứng minh AE BF
b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân
c) Lấy điểm M đối xứng A qua B Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật
d) Chứng minh M, E, D thẳng hàng
Bài 2 Cho tam giác MNP, gọi E là trung điểm của NP Gọi Q là điểm đối xứng của M qua N, D là giao điểm của QE và MP, gọi I là trung điểm của MD Chứng minh rằng:
a) NI là đường trung bình của MQD
b) DE // NI
c) MD = 2DP
Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC Gọi H là điểm đối xứng của
N qua M
a) Chứng minh các tứ giác BNCH và ABHN là hình bình hành
b) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác BNCH là hình chữ nhật
Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BG và CG
a) Tứ giác BNMC là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh MN // PQ; MN = PQ
c) Chứng minh BCN CMB
Trang 3d) Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật
Bài 5 Cho ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
b) Chứng minh BK AB
c) Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân
d) BK cắt HI tại G Tìm điều kiện của ABC để tứ giác HGKC là hình thang cân
Bài 6 Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE và BC = 8cm
a) Chứng minh rằng: Tứ giác BEDC là hình thang
b) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD Tính MN?
c) Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE Chứng minh rằng: MI IK KN Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC
a) Chứng minh rằng AH = DE
b) Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC Chứng minh rằng DI / / EK
III Một số bài toán khác
Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) x2 8 x 16 b) 4 x2 4 x 1 c) x2 10 x 25
d) x2 2 x 7 e) x2 8 x 9 f) 9 x2 6 x 11
g) 3 x2 6 x 5 h) 2 x2 3 x 5 i) x2 3 x 7
Bài 2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất
1
3
A
x
7 5
x B x
5 19 4
x C x
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
2
5 3(2 1)
2.( 1) 3
B x
2 2
8 2
x C x
Trang 4HƯỚNG DẪN GIẢI
I Đại số
Dạng 1 Rút gọn và các câu hỏi phụ
Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2 2
x 8 x 2x 9 x 1 x32x29x 8x 216x 72 x 22x 1
b) 2 2
2x 1 3 x 1 x 2 x 3 4x24x 1 3x 23x 6 x 26x 9 x 2 c) 2 x 2 x 2 x 3 2x 1 2x2 8 2x2 x 6x 3 4x25x 11
x 2 2x 1 3 x 1 4x x 2 2x2 x 4x 2 3x 26x 3 4x 28x
2
Bài 2
A x 4 x 3 3 x x23x 4x 12 9 6x x 2 5x 21
b) Ta có x 1 0 5 , x 1 0 5 x 1 5
Trường hợp 1 Với x 1 5 ,
Thay x 1 5 , vào biểu thức A ta có: A 5 1 5 21 , 13 5,
Trường hợp 2 Với x 0 5 ,
Thay x 0 5 , vào biểu thức A ta có: A 5 0 5 21 , 18 5,
c) A 2 5x 21 2 5x 23 x 23
5
Vậy với x 23
5
thì A 2
Bài 3 Cho biểu thức: A 2(3 x 1)( x 1) 3(2 x 3)( x 4)
a) Rút gọn biểu thức A
2(3 1)( 1) 3(2 3)( 4)
(6 2)( 1) (6 9)( 4)
29 38
A
A
A
A
x
b) Tính giá trị của A tại x 2
Thay x 2vào A 29 x 38, ta có:
96
A
A
.(-2)
c) Tìm x để A = 0
Trang 50 29x 38 0 29x 38
29
Vậy A 0 thì 38
29
x
Dạng 2 Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 4 Phân tích thành nhân tử:
a) x2 10 x 25 2
5 x
b) x2 64 x282x8 x8
c) 25( x y )2 16( x y )2 25( x y )2 16( x y )2
d) x4 1 2 2 2 2 2 2
e) 2 xy 3 z 6 y xz (2 xy xz ) (3 z 6 ) y
2 3 2 2 3
f) 5 x2 5 xy x y 5 x2 5 xy x y
5 ( x y ) x y x y (5 1)
Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2
c x y xy x xy y x y x y x y
2 ( )
y x y
e x x y x x y x y x y x y
f xy x y x xy y x y x y x y Bài 6 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x28x 7 x2 x 7x 7 (x1)(x7)
b) x25x 6 x23x2x 6 (x3)(x2)
Trang 6c) x 3x18x 6x3x18 ( x6)(x3)
d) 3x216x 5 3x215x x 5 3 (x x 5) (x 5) (x5)(3x1)
Dạng 3 Tìm số chưa biết
Bài 7
7
9
x
1 11
x
2
0
4
x x
x
x
2 2
)7 28 0 4 2
d x x x
2
1
1
2
x
x
3 2
2 ( 5) 0 0 5
x x x x
Dạng 4 Chia đa thức, chia đơn thức
Bài 8
3 2 2 2 2 2
1
:
x y
Bài 9 Thực hiện phép chia
) ( 2 2 1) : ( 1)
a x x x x
Đs: x22x1
) (8 6 5 3) : (4 3)
b x x x x Đs: 2x23x1
c x x x x x
Đs: x2
d x x x x x Đs: 2 1x
Bài 10 Tìm a để phép chia là phép chia hết
Trang 7a x x x a chia hết cho x1
Hd: x3x2 x a (x1)(x2 1) (a 1)
Để (x3x2 x a) ( x1) thì a 1 0 a 1
b x x x a chia hết cho x2
Hd: 2x33x2 x a (x2)(2x27x15) ( a 30) Đs: a30
c x x x a chia hết cho x3
Hd: x32x25x a (x3)(x2 x 8) (a 24) Đs: a 24
d x x a chia hết cho x23x2
Hd: x45x2 a (x23x2)(x23x 2) (a4) Đs a4
II Hình học
Bài 1
a) Chứng minh: AE BF
- Vì ABCD là hình bình hành ADBC AD BC, (tính chất)
- Mặt khác, ,E F lần lượt là trung điểm của BC AD, BEECFAFD
- Xét tứ giác ABCD có: EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD
- Mà AD2ABABBEFAFEFDECDC
- Xét tứ giác ABEF có: AB FA FE BE (cmt) ABEF là hình thoi (dhnb)
b) Chứng minh: BFDC là hình thang cân
- Vì FAABBFA cân mà 60FAB FAB đều 60FBA
- Chứng minh tương tự: 60FBE
- Vì ABCD là hình bình hành DCA 60 FBC DCA 60
- Vì DF BC BFDC là hình thang, mà 60FBCDCA BFDC là hình thang cân
M E
F
C
B
Formatted: Font: (Default) Palatino Linotype, Bold Formatted: Tab stops: 3.22 cm, Left
Trang 8c) Chứng minh: BMCD là hình chữ nhật
- Xét tứ giác BMCD có: BM CD BM , CDBMCD là hình bình hành (1)
- Xét AMD có: AMAD2ABAMD cân tại A
- Có 60MAD MAD là tam giác đều AMMDADM cân tại D
- Có BD là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao BDAM 90MBD (2)
- Từ (1) và (2) BMCD là hình chữ nhật
d) Chứng minh: , ,M E D thẳng hàng
- Hình chữ nhật BMCD có E là trung điểm của đường chéo BC E là trung điểm của
, ,
MDM E D thẳng hàng
Bài 2
a) NI là đường trung bình của MQD
ta có NM = NQ (vì Q đối xứng với M qua N)
MI = ID (vì N là trung điểm của MD)
NI là đường trung bình của MQD
b) DE / /NI
Xét PIN
Ta có NI // QD ( vì NI là đường trung bình)
=> ED // NI (1)
Mà E là trung điểm của NP (2)
Từ (1) và( 2) ta có D là trung điểm của IP (tính chất 1 đường trung bình trong tam giác)
c) MD = 2DP
Ta có ID = IM (gt)
ID = DP( câu b)
IM = ID = DP mà MI + ID = MD
MD = 2 DP
N M
Q
D I
Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed
Trang 9Bài 3
a) Do M là trung điểm của BC Mặt khác H là điểm đối xứng của N qua M nên M là trung điểm của HN
Nên tứ giác BNCH là hình bình hành ( vì có hai đường chéo BC và HNcắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình của tam
2
=>HN AB ;(1)
Do M là trung điểm của HN nên
1 2
MN NHABNH.(2)
Từ 1 và 2 =>ABHN là hình bình hành
b) Tứ giác BNCH là hình chữ nhật thì BNC900BNNC.hay BNAC
Mặt khác N là trung điểm của AC nên BN là đường cao đồng thời là đường trung tuyến Suy ra ABC là tam giác cân tại B
Vậy ABC là tam giác cân tại B thì tứ giác BNCH là hình chữ nhật
Bài 4 a) CM: ABC cân tại A B C AB AC;
+) MN là đường trung bình của ABC cân tại A
MN BC ; MN =
/ /
2
BC (1)
Do đó BNMC là hình thang cân (hình thang có hai
góc kề một đáy bằng nhau)
b) +) PQ là đường trung bình của GBC
BC ; =
/ /
2
BC
PQ PQ (2)
Từ (1) và (2) MN/ / / /BC ; MN = PQ =
2
BC
c) +) Chứng minh BN = CM
+) BCN = CMB (c-g-c )
d) Từ kết quả câu b) suy ra MNPQ là hình bình hành ( tứ giác có một cặp cạnh song song và bằng nhau)
+) Chứng minh được: NQ = MP
Do đó MNPQ là hình chữ nhật ( hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau )
Bài 5
Q P
G
M N
A
Trang 10a) Vì K đối xứng với H qua M nên:M là trung
điểm của HK
Mà: M là trung điểm của BC (gt)
Tứ giác BHCK có hai đường chéo cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
b) Tứ giác BHCK là hình bình hành nên: BK CH//
Mà: CH AB (gt)
Suy ra BKAB
c) Vì I đối xứng với H qua BC nên BC là đường
trung trực của HI HIBC
Mà HD BC (gt)
Suy ra 3 điểm H, D, I thẳng hàng và D là trung
điểm của HI
Lại có: M là trung điểm của HK
Do đó DM là đường trung bình của HIK
//
hay BC IK//
Suy ra tứ giác BIKC là hình thang
* Chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân:
- Cách 1:
Ta có: BC là đường trung trực của HI nên CH CI
Mà: BHCK là hình bình hành nên CH BK
Suy ra: CI BK
Hình thang BHCK có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân
- Cách 2:
Ta có: BHCK là hình bình hành nên BH KC// HBC BCK (so le trong) (1) Lại có: BC là đường trung trực của HI nên HBC IBC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCKIBC
Hình thang BHCK có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân
d) Ta có: KG CH// ( do BK CH// ) nên tứ giác HGKC là hình thang
Hình thang HGKC là hình thang cân GHC HCK
GHC CHE (do HCK CHE (so le trong))
HDC HEC
HCD HCE
CH là phân giác của ACB
ABC cân tại C ( vì CH vừa là đường cao vừa là phân giác)
Vậy tứ giác HGKC là hình thang cân ABC cân tại C
G
M
H F
E
D B
A
C
Trang 11Bài 6
a) Chứng minh: Tứ giác BEDClà hình thang
Xét ABCcó E là trung điểm AB
D là trung điểm AC
nên DE là đường trung bình ABC(định nghĩa)
Xét tứ giác BEDC có: DE/ /BC(cmt)
nên tứ giác BEDClà hình thang (dhnb)
b) Trong hình thang BEDCcó: M là trung điểm BE
N là trung điểm CD
Nên MNlà đường trung bình của hình thang BEDC(đn)
Do đó: / / / / ; 1( ) 1(4 8) 6( )
MN DE BC MN DE BC cm
c) Chứng minh: MIIKKN
Xét BED có M là trung điểm BE ; MI/ /ED
I
là trung điểm BD
Do đó MI là đường trung bình BED
1
2
(t/c) (1)
Chứng minh tương tự đối với: KNcũng là đường trung bình CED
2
NK ED t c (2)
Chứng minh tương tự đối với: KM cũng là đường trung bình BCE
MK BC t c MI IK DE ED IK DEIK ED
Từ (1);(2);(3)có:MIIKKN
Bài 7
Trang 12a) Xét tứ giác ADHE có 90DAEAEH ADH tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật suy ra AHDE
b) Áp dụng tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông BDH ta có IDIBIH, suy ra
BDI
cân tại IDIH2Bˆ (1)(tính chất góc ngoài của BDI)
Cm tương tự ta có CEK cân tại KEKH2C (2)(tính chất góc ngoài của CEK )
Từ (1) và (2) ta suy ra 180DIHEKH , mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía suy ra
//
DI EK
III Một số bài toán khác
Bài 1
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x 4 0 x 4
Vậy Min x28x 16 0 tại x4
4x 4x 1 2x 1 0 x
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi 2x 1 0 1
2 x
Vậy Min 4x24x 1 0 tại 1
2
x
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x 5 0 x 5
Vậy Min x210x 25 0 tại x5
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x 1 x 1
Vậy Min x22x 7 6 tại x1
K I
E D
H A
Trang 13Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x 4 0 x 4
Vậy Min x28x 9 25 tại x4
9x 6x11 3x 2.3x 1 10 3x1 10 10 x
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi 3 1 0 1
3
x x
Vậy Min 9x26x11 10 tại 1
3
x
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x 1 0 x 1
Vậy Min 3 +6x 5 2x2 tại x 1
h)
2
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi 3 0 3
x x
8
x tại 3
4
x
i)
2
x x x
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi 3 0 3
x x
3x 7
4
x tại 3
2
x Bài 2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất
1
3
A
x
đạt GTNN x 3là số nguyên âm lớn nhất x 3 1 x 2
Vậy MinA 1 x 2
1
x
B
5 x
đạt GTNN x 5là số nguyên âm lớn nhất
Vậy MinB 3 x 4
5
x
C
4 x
đạt GTNN x 4là số ngyên âm lớn nhất
Trang 14
Vậy MinC 4 x 3
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
2
5 3(2 1)
A x
(2x1) 0, x 3(2x1) 0, x 5 3(2x1) 5, x
2
x x x
2 MaxA x
2
1
2.( 1) 3
B
x
2
2( 1) 3 3
x
Dấu “=” xảy ra (x1)2 0 x 1 0 x 1
3
MaxB x
2
x
C
Vì
2
6
2
4,
x x
Dấu “=” xảy ra x2 0 x 0
Vậy MaxC 4 x 0