Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI

Ba định luật cơ bản của quang hình học  Định luật truyền thẳng của ánh sáng: Trong một môi trường trong suốt đồng tính và đẳng hướng các tia sáng truyền theo đường thẳng.. Xác định biể

Chuyên đề:

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI Đặt vấn đề: Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốc gia và quốc tế những năm gần đây xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến phần quang hình có chiết suất môi trường biến đổi Những bài toán này là thường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nó đòi hỏi học sinh khả năng phân tích và kiến thức tổng hợp Nhằm giúp các em giải quyết những bài toán này tôi đã biên soạn chuyên đề “MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI” Vậy hướng giải quyết những bài toán này như thế nào?

B1: Chia khối trong suốt thành các lớp mỏng trong suốt sao cho chiết suất trong những lớp ấy gần như không đổi

B2: Dùng các định luật truyền thẳng, định luật phản xạ, định luật khúc xạ ánh sáng và hiện tượng phản xạ toàn phần áp dụng cho các lớp mỏng trong suốt

B3: Kết hợp kiến thức toán học: tích phân, các phép tính gần đúng… để tính toán Chuyên đề được chia làm hai phần:

Phần 1: Ôn tập những kiến thức cơ bản về các định luật truyền thẳng ánh sáng, định luật

phản xạ ánh sáng, định luật khúc xạ ánh sáng và hiện tượng phản xạ toàn phần

Phần 2: Phân chia dạng bài tập và một số bài tập minh họa và vận dụng

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Ba định luật cơ bản của quang hình học

 Định luật truyền thẳng của ánh sáng: Trong một môi trường trong suốt đồng tính và đẳng hướng các tia sáng truyền theo đường thẳng

Tia phản xạ và pháp tuyến lập một góc tới i’

Định luật phản xạ ánh sáng: Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng chứa tia tới và pháp tuyến, góc phản xạ bằng góc tối

n n

n  gọi là chiết suất tỉ đối của hai môi trường

Hiện tượng phản xạ toàn phần

2 Môi trường có chiết suất thay đổi

Trên thực tế rất khó có một môi trường trong suốt đồng nhất và có chiết suất không thay đổi theo vị trí mà luôn tồn lại môi trường có chiết suất thay đổi theo từng vị trí khác nhau

Ví dụ

 Chiết suất của các bản mỏng

 Chiết suất của lớp không khí thay đổi theo độ cao

 Chiết suất của lớp không khí trên khí quyển trái đất

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

DẠNG 1: Biết phương trình đường truyền tìm chiết suất n

Giả sử chiết suất môi trường n = n(y) Biết đường truyền tia sáng y = y(X)

Tia sáng bay vào môi trường nói trên tại điểm x0 với góc tới i0 biết chiết suất môi trường ngoài là n0 Hãy tìm qui luật biến đổi chiết suất

Bài 1: Trong một môi trường trong suốt có chiết suất biến đổi theo biến số y Một tia

sáng đơn sắc được chiếu vuông góc với mặt phẳng giới hạn môi trường tại điểm y=0 Chiết suất của môi trường tại đó có giá trị n0 Xác định biểu thức của chiết suất để ánh sáng truyền

trong môi trường theo một parabol

DẠNG 2: Biết qui luật biến đổi n tìm phương trình biểu diễn đường truyền

Từ : nn0sini0 1 ( ) y, 2 ,tìm được y’ lấy nguyên hàm ta tìm được y

Phương pháp: Ta chia thành các mặt phẳng có chiết suất gần như không đổi

Bài 1: Một bản song song có chiết suất biến đổi theo quy luật

a Xác định điều kiện  để tia sang không xuyên qua bản mỏng đó

b Tia sang đơn sắc SI chiếu vuông góc tới mặt giới hạn tại O có chiết suất n0=1 Sau khi ra khỏi bản mỏng một góc 

- Xác định góc lệch của tia sang so với phương ban đầu

- Xác định phương trình đường cong tia sang truyền trong bản

K

i

n n

Hướng dẫn:

Chia không khi trên sân bay thành các lớp n1, n2, … Song song với mặt đất

0 1sin 1 2sin 2 sin

Bài 3: Một tia sáng SI đi từ không khí vào một bản mặt song song có bề dày h với chiết

suất thay đổi theo độ sâu x với quy luật

0

14

x x

n



 (hình 3) Cho h = 0,3 m, x0 = 0,1 m

a Xác định quỹ đạo của tia sáng trong bản mặt song song?

b.Tìm điểm ló của tia sáng ra khỏi bản mặt? Cho biết góc tới 0 = 300, OI =

0, 63 m, chiết suất không khí bằng 1

Hướng dẫn:

a Khi đi từ không khí vào bản mặt song song thì có thể viết:

1 0

Ta chia bản mặt thành các mặt đẳng chiết

Sau khi tia sáng đi một đoạn nhỏ dh thì

2 1

Tiếp đó

n n n

n

n

n n

1 3

Ta nhận thấy rằng  là góc giữa tiếp tuyến của quỹ đạo tia sáng và phương đứng.Nếu

khảo sát quỹ đạo của tia sáng như một hàm dịch chuyển theo độ sâu thì: f '(x) tg (hệ số

góc của tiếp tuyến)

sintan

1sin

cot1sin

1

2

2 0

2

2 2

0

0

0 2 2 0

sin1

16

sinsin

sin)

('

x

x d x x

dx x x

2 2

2 2

1,064

,010

1642.20

1

10164

1012

1.10

110

164

)110(11010

110

164

)110(

(5)

Từ hệ tọa độ đã cho, ta chỉ lấy nghiệm: f x  x 2 C

1,064

,0)

,0)

(x   x

Quỹ đạo của tia sáng có dạng đường tròn bán kính r = 0,8 m

b Dựa vào hình vẽ ta có x = r -0,1 = 0,8 – 0,1 = 0,7 > 0,3 m

Chứng tỏ tia sáng đi sang mặt kia của bản mặt

Độ lệch của tia sáng so với điểm tới khi ra khỏi bản là

m

y 0,82 0,12  0,82 0,42 0,1009



Bài 4: Một sợi quang học gồm một lõi hình trụ, bán kính a, làm bằng vật liệu trong suốt

có chiết suất biến thiên đều đặn từ giá trị trên trục

, trong đó y là khoảng cách từ điểm có chiết suất n đến trục lõi, là hằng số dương Lõi

được bao bọc bởi một lớp vỏ làm bằng vật liệu có chiết suất không đổi Bên ngoài sợi quang

là không khí, chiết suất Gọi Ox là trục của sợi quang học, O là tâm của một đầu sợi quang Một tia sáng đơn sắc được chiếu vào sợi quang học tại điểm O dưới góc trong mặt phẳng xOy

1 Viết phương trình quỹ đạo cho đường đi của tia sáng trong sợi quang và xác định biểu thức tọa độ x của giao điểm đường đi tia sáng với trục Ox

2 Tìm góc tới cực đại , dưới đó ánh sáng vẫn có thể lan truyền bên trong lõi của sợi quang

Hướng dẫn:

- Vì môi trường chiết suất biến đổi liên tục nên ánh sáng sẽ truyền theo đường cong Chia môi trường thành nhiều lớp mỏng song song mặt phẳng Ox Gọi  là góc phụ với góc tới của tia sáng tại M(x,y)

- Độ cao cực đại mà tia sáng đạt

được chính bằng biên độ:

- Những điểm cắt của chùm tia

với trục Ox thỏa mãn điều kiện y = 0

Vị trí đầu tiên có

2 Để ánh sáng vẫn có thể lan truyền bên trong lõi của sợi quang thì

Chú ý rằng từ điều kiện và

Bài 5: Một đoạn sợi quang thẳng có dạng hình trụ bán đối xứng của nó trùng với trục tọa

độ Ox Giả thiết chiết suất của chất liệu làm sợi quang kính R, hai đầu phẳng và vuông góc với

trục sợi quang, đặt trong không khí sao cho trục thay đổi theo quy luật: 2 1 2

3

n  r , trong

đó r là khoảng cách từ điểm đang xét tới trục Ox, có đơn vị là cm Một tia sáng chiếu tới một đầu của sợi quang tại điểm O dưới góc  xấp xỉ bằng 900 (sinα ≈ 1) như hình 3

1 Viết phương trình quỹ đạo biểu diễn đường truyền của tia sáng trong sợi quang

2 Tìm điều kiện của R để tia sáng truyền trong sợi quang mà không bị ló ra ngoài thành sợi quang

+ Xét điểm M có tọa độ (x, y) (y > 0) ở lớp có chiết suất nn0 1 2 y

Ta có: n0.sini0 = n.sini => 0.sin 0 1

y





Nguyên hàm hai vế ta được: 4x  3 8 yC

Điều kiện ban đầu: khi x = 0 thì y = 0 => C = 3

 phương trình quĩ đạo của tia sáng: 2

y  x  x

 Vậy quĩ đạo của tia sáng là đường parabol

2 C1 Điều kiện để tia sáng không bị ló ra ngoài thành sợi quang là tọa độ y của đỉnh

parabol phải nhỏ hơn R => 3 0,375

8

C2 Điều kiện để tia sáng không bị ló ra ngoài thành sợi

quang lớp chiết suất diễn ra phản xạ toàn phần của tia sáng phải

cách trục ox một khoảng nhỏ hơn R => 3 0,375

8

Bài 6 : Xác định sự sai lệch khi định vị góc nhìn một ngôi sao từ mặt đất dưới góc 450

áp suất khỉ quyển tại sát mặt đất là n=1,00003

Để giải quyết bài toán này, ta cần phải chia khí quyển thành các lớp vô cùng mỏng, và coi rằng trong các lớp đấy, môi trường là đồng nhất (chiết suất không đổi) và ánh sáng đi theo đường thẳng

Gọi là chiết suất của lớp thứ p

Là góc tới mặt phân cách của lớp thứ p và p+1

Vì  rất nhỏ nên cos 1;sin 

Thay vào (2) ta được:  (nh1)tgi h 0, 0003(rad)

Kết luận: Trong những bài toán dạng môi trường có chiết suất thay đổi, ta nên chia môi trường thành những lớp đẳng chiết để áp dụng định luật khúc xạ và tính Trong một số trường hợp cụ thể có thể sử dụng một số công thức gần đúng để thuận lợi cho việc tính toán

Bài 7: Một chùm sáng đơn sắc song song hẹp đến rọi vuông góc lên mặt của một bản

mặt song song bề dày b, chiết suất biến thiên theo độ cao theo quy luật n y n0ay Xác định

độ nghiêng của tia ló ra khỏi bản mặt

Nhận xét: Ta có thể chia môi trường thành nhiều lớp đẳng chiết Độ nghiêng của tia ló ra khỏi bản mặt có thể được tính bằng phương pháp tính phân

Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có:

n i n dn idi

Bỏ qua số hạng nhỏ:

cos( ) 1;sin( ) 1

n tgi di

Do chiết suất biến đổi nhỏ nên nn0

Sau đó ánh sáng ló ra khỏi không khí n=1

Bài 8: Chiết suất của không khí ở nhiệt độ 300K cà áp suất 1atm là 1,0003 đối với ánh

sáng ở khoảng giữa của quang phổ nhìn thấy Giả thiết khí quyển đẳng nhiệt ở 300K, hãy tính xem khí quyển của quả đất cần phải có mật độ lớn hơn bao nhiêu lần để ánh sáng bị cuốn theo mặt cong của quả đất tại mực nước biển? (về nguyên tắc khi bầu trời quang mây có thể ngắm mặt trời lặn cả đêm, tuy rằng ảnh của mặt trời khi đó bị nén mạnh theo phương thẳng đứng) Giả thiết rẳng chiết suất n có tính chất là n-1 tỷ lệ với mật độ (Gợi ý: dùng nguyên lí

Fermat) Độ cao 1/e của khí quyển đẳng nhiệt này là 8700m

Cũng theo đề bài không khí có mật độ đủ lớn để làm cho ánh

sáng bị cong theo mặt cong của trái đất ở mức nước biển như trên

hình vẽ sau:

A

B r



R

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Coi khí quyển của trái đất như một lớp trong suốt có chiết suất giảm theo độ cao

theo công thức: n n0 ah trong đó: n0 là chiết suất tại mặt đất, a là hằng số, ah rất nhỏ so với 1; bán kính trái đất là R

1 Một tia sáng phát ra từ điểm A, ở độ cao h0, chiếu theo phương nằm ngang, trong một mặt phẳng kinh tuyến Tính h0 để tia sáng truyền đúng theo một vòng tròn xung quanh trái đất, rồi trở lại điểm A

2 Một tia sáng khác, phát ra từ điểm B ở độ cao h bất kì Tia sáng này nằm trong một mặt phẳng kinh tuyến và làm với đường thẳng đứng tại đó một góc tới i0 Tính i0 để tia sáng đi qua điểm B’ nằm xuyên tâm đối với điểm B, sau khi phản xạ một lần ở tầng trên cao khí quyển

Bài 2: Giữa hai môi trường trong suất chiết suất n0 và n1 (n0  n1 1) có một bản hai mặt song song bề dày e Bản mặt được đặt dọc theo trục Ox của hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Chiết suất của bản mặt chỉ thay đổi theo phương vuông góc với bản mặt theo quy luật

   Từ môi trường chiết suất n0 có một tia sáng đơn sắc chiếu tới điểm

O trên bản mặt, theo phương hợp với Oy một góc 

1 Lập phương trình xác định đường truyền của tia sáng trong bản mặt

2 Xác định vị trí điểm tia sáng ló ra khỏi bản mặt

Bài 3: Một tia sáng thuộc mặt phẳng yOz đi vào vùng z<0 Tại y=0 và nghiêng một góc

0

 so với trục Oy Biết chiết suất môi trường ở vùng y<0 và y>0 kà n( )Y n0(1 | y a| ) với n0

là chiết suất của môi trường tại y=0

a Thiết lập phương trình xác định sự biến đổi của tia sáng trong vùng z>0

b Quỹ đạo của tia sáng bị hạn chế với a=0 Xác định điểm xa nhất mà tia sáng tới được so với trục Oz

Bài 4: Chiết suất khí quyển của một hành tinh X giảm theo độ cao h tính từ mặt đất theo

quy luật nn0 h: với n là chiết suất của khí quyển ở độ cao h so với mặt đất, n0 là chiết suất khí quyển ở mặt đất, a là hệ số không đổi, n và n0 có trị số lớn hơn 1 một chút còn ah luôn rất nhỏ hơn 1,bán kính hành tinh của R

1 Hãy xác định độ cao để tia sáng đi vòng quanh hành tinh ở độ cao không đổi

2 Một tia sáng khác xuất phát ở điểm B ở độ cao h bất kì Tia sáng này nằm trong một mặt phẳng kinh tuyến và làm với đường thẳng đứng tại đó một góc i0 Tính i0 để tia sáng

đi qua điểm B’ nằm xuyên tâm đối với điểm B sau khi phản xạ 1 lần trên tầng cao khí quyển

n





Bài 5: Một quả cầu có bán kính R làm bằng liệu trong suốt chiết suất biến thiên theo bán

kính theo quy luật ( )n r R a(a 0)

r a



Chiếu tia sáng từ chân không lên quả cầu dưới góc tới 

Xác định khoảng cách d gần nhất từ tia sáng đến tâm quả cầu

(1 sin )

Ra d

c) Hãy tính độ trễ xung thời gian ánh sáng truyền trong ống Biết chiều dài của sợi quang là l

Bài 7: Một tia sáng chiếu vuông góc lên một mặt phẳng ngăn cách môi trường có chiết

suất n(y) phụ thuộc vào tọa độ y tại điểm A

Dạng của hàm n(y) phải như thế nào để trong môi trường này, tia sáng truyền theo có dạng hình sin?

Cho: Chiết suất tại A là nA

- Phưởng trình đường truền tia sáng có dạng :

Bài 8 : Xét một bản mặt song song, trong suốt có chiết suất n biến thiên theo khoảng

cách z tính từ mặt dưới của bản Chứng minh rằng n A.sin n B.sin

Giả sử bạn đang đứng ở trong một sa mạc rộng và phẳng Bạn thấy ở đằng xa hình như

có mặt nước Nhưng khi bạn lại gần thì ‘nước’ lại lùi ra xa sao cho khoảng cách từ bạn đến nước luôn luôn không đổi Giải thích ảnh ảo đó ?

Ước lượng nhiệt độ của mặt đất (đề cập đến ở phần trên) với giả thiết mắt của bạn ở độ cao 1,6m so với mặt đất và khoảng cách từ bạn tới ‘nước’ là 250m Chiết xuất của không khí

ở nhiệt độ 150C và áp suất khí quyển chuẩn là 1,000276 Ở độ cao lớn hơn 1m so với mặt đắt thì nhiệt độ không khí được coi là không đổi và bằng 300 Áp suất khí quyển bằng áp suất tiêu chuẩn Gọi chiết suất không khí bằng n và giả thiết rằng n-1 tỉ lệ với khối lượng riêng của không khí Hãy ước lượng độ chính xác của kết quả thu được

IV KẾT LUẬN

Bài toán chiết suất thay đổi là phần kiến thức hay, khó và rất đa dạng, đặc biệt là yêu cầu rất nhiều kỹ năng toán học, đòi hỏi học sinh phải được trang bị công cụ toán học đủ mạnh, phải được vận dụng

nhiều mới thành thạo Các ví dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần nào cho chuyên đề này Rất mong các đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực sự bổ ích trong công tác giảng dạy đối với học sinh chuyên cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp Tôi xin chân thành cảm ơn

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 VŨ THANH KHIẾT,LƯU HẢI AN - Bài tập điện học - quang học - vật lý hiện đại

2 LÊ VĂN TUYỀN - Chuyên đề duyên hải 2009

3 Tuyển tập đề thi 30-4

4 UNG-KUO-LIM – Bài tập và lời giải quang học – Nhà xuất bản giáo dục

5 DAVID HALLIDAY- ROBERT RESNICK- JEARL WALKER; (2001),Cơ sở Vật lý- Tập 6- Quang Học; Nhà xuất bản Giáo dục

6 VŨ THANH KHIẾT- VŨ ĐÌNH TÚY; ( 2011), Các đề thi học sinh giỏi Vật lý

từ năm 2001 đến 2010); Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

7 website : thuvienvatly.com.vn