Chỉ số khả quy và bội bất khả quy của môđun trên vành giao hoán noether

Trong bài báo [7], Emmy Noether đãchỉ rằng mọi iđêan I trong vành giáo hoán NoetherR có thể biểu diễn thành giaocủa hữu hạn các iđêan bất khả quy và số iđêan bất khả quy trong một phân t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SOUPHALAK PHETSALAD

CHỈ SỐ KHẢ QUY VÀ BỘI BẤT KHẢ QUY

CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH

GIAO HOÁN NOETHER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SOUPHALAK PHETSALAD

CHỈ SỐ KHẢ QUY VÀ BỘI BẤT KHẢ QUY

CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH

GIAO HOÁN NOETHER

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2021

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bịtrùng lặp với các luận văn trước đây Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thànhluận văn là các nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đãđược ghi rõ nguồn gốc

Thái nguyên, tháng 7 năm 2021Người viết Luận văn

SOUPHALAK PHETSALAD

của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Trần Nguyên An

Mục lục

Lời nói đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Môđun Noether và Artin 4

1.2 Độ dài của một môđun 8

1.3 Chiều Krull 11

1.4 Vành và môđun phân bậc 14

Chương 2 Chỉ số khả quy và bội bất khả quy 17

2.1 Sự phân tích bất khả quy 17

2.2 Chỉ số khả quy của môđun Noether 22

2.3 Tính đa thức của chỉ số khả quy 29

2.4 Bội Hilbert-Samuel và bội bất khả quy 34

KẾT LUẬN 39

LỜI NÓI ĐẦU

Định lí cơ bản của số học phát biểu rằng mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 có thểphân tích một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự thừa số) thành tích

nZ= pα1

1 Z∩ pα2

2 Z∩ ∩ pαk

k Z.Các iđêan pα1

i Z không phải là các iđêan nguyên tố với αi > 0 nhưng là nhữngiđêan đặc biệt, không viết được thành giao của các iđêan thực sự chứa nó Kếtquả này được tổng quát bởi Emmy Noether năm 1921 [7, Satz II and Satz IV]cho vành có tính chất đặc biệt mà sau này được gọi là vành Noether và trở thành

một kết quả cơ bản trong Đại số giao hoán Trong bài báo [7], Emmy Noether đãchỉ rằng mọi iđêan I trong vành giáo hoán NoetherR có thể biểu diễn thành giaocủa hữu hạn các iđêan bất khả quy và số iđêan bất khả quy trong một phân tíchbất khả quy thu gọn là một hằng số độc lập với cách chọn sự phân tích Số này

được gọi là chỉ số khả quy và được ký hiệu là irR(I) Các kết quả và khái niệmtrên cũng được mở rộng tự nhiên cho môđun Phân tích bất khả quy là vấn đềquan trọng trong Đại số giao hoán, có ứng dụng trong Hình học đại số Vấn đề

này đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Mục đích chính thứ nhất của luận văn là tìm hiểu chỉ số khả quy của môđunNoether, một số cách tính chỉ số khả quy đơn giản Mục đích chính thứ hai củaluận văn và tìm hiểu kết quả chỉ số khả quy của môđun con InM, trong đó I làiđêan nguyên sơ là một đa thức bậc dim M − 1 khi n đủ lớn Đây là kết quả trongbài báo [5] của Nguyễn Tự Cường, Phạm Hùng Quý và Hoàng Lê Trường Cũng

từ đó Hoàng Lê Trường [11] đã giới thiệu khái niệm bội bất khả quy tương tự nhưbội Hilbert-Samuel và đưa ra một số đặc trưng của môđun thông qua bội này.Trong [1], Trần Nguyên An và Kumashiro đã đưa ra liên hệ giữa bội bất khả quy

và bội Hilbert-Samuel Mục đích chính thứ 3 của luận văn là trình bày lại kết quảtrên của Trần Nguyên An và Kumashiro

Luận văn được chia làm 2 chương Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn

bị về môđun Noether, môđun Artin, độ dài của môđun, chiều Krull, vành và

môđun phân bậc Chương 2 là chương chính của luận văn Mục 2.1 trình bày vềmôđun con bất khả quy, mô tả môđun bất khả quy trong một số lớp vành đặcbiệt, chỉ ra mọi môđun của môđun Nother được biểu diễn thành giao của hữu hạn

các môđun con bất khả quy (Định lý 2.1.4) Mục 2.2 tìm hiểu về chỉ số khả quycủa môđun Noether Định lý 2.2.5 chỉ ra số thành phần bất khả quy của một phântích bất khả quy thu gọn của môđun con của môđun Noether là một bất biếnkhông phụ thuộc vào cách chọn sự phân tích Chứng minh định lý này tương tự

như kết quả của Noether cho iđêan [7] Mục này cũng trình bày một số cách tínhchỉ số bất khả quy Mục 2.3 tìm hiểu tính đa thức của chỉ số khả quy của môđuncon InM khi n đủ lớn (Định lý 2.3.10) Mục 2.4 Tìm hiểu về bội Hilbert-Samuel

và bội bất khả quy (Định lý 2.4.9)

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS TrầnNguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãhướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm

việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán

học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, độngviên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,Khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi họctập.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộtôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình

Thái nguyên, ngày 16 tháng 7 năm 2021

Người viết Luận văn

SOUPHALAK PHETSALAD

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị về môđun Noether,môđun Artin, độ dài của một môđun, vành và môđun phân bậc, chiều Krull của

vành Trong suốt luận văn này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán có đơn vị

1.1 Môđun Noether và Artin

Mệnh đề 1.1.1 Cho M là mộtR-môđun Khi đó các điều kiện sau đây là tươngđương

(i) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại

(ii) Mỗi dãy tăng các môđun con của M

M 0 ⊆ M 1 ⊆ ⊆ M n ⊆

là dừng, nghĩa là tồn tại t ∈ N để Mk = Mk+1 với mọi k ∈N, k ≥ t.

(iii) Mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.1.2 Một R-môđun M được gọi là một R-môđun Noether nếu mỗi

môđun con của M đều hữu hạn sinh Vành R được gọi là một vành Noether nếu

nó là một R-môđun Noether

Nhận xét 1.1.3 Một tập ∅ ̸= M ⊆ R là một R-môđun con của R-môđun R khi

và chỉ khi M là iđêan của R. Do đó R là một vành Noether khi và chỉ khi R thỏa

mãn một trong ba điều kiện tương đương sau đây:

(i) Mỗi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại.

(ii) Mỗi dãy tăng các iđêan của R,

I0 ⊆ I1⊆ ⊆ In ⊆

đều dừng, nghĩa là tồn tại t ∈N để với mọi k ∈N, k ≥ t thì Ik = Ik+1.

(iii) Mỗi iđêan của R đều hữu hạn sinh

Ví dụ 1.1.4 (i) Mỗi trường đều là vành Noether vì mỗi trường chỉ có duy nhấthai iđêan là {0} và chính nó

(ii) Mỗi vành chính đều là vành Noether vì mỗi iđêan của nó đều hữu hạnsinh, sinh bởi một phần tử Suy ra vành các số nguyên Z và vành đa thức mộtbiến K[x] trên trường K là những vành Noether

(iii)Mỗi không gian véctơV trên trườngKlà mộtK-môđun nênV làK-môđunNoether khi và chỉ khi dimKV < ∞.

(iv) Vành đa thức vô hạn biến A = R [X1, X2, , Xn, ] không phải là mộtvành Noether, vì tồn tại

(X1) ⊂ (X1, X2) ⊂ ⊂ (X1, X2, , Xn) ⊂ ,

là dãy tăng vô hạn các iđêan trong A.

Mệnh đề 1.1.5 Cho vành R và dãy khớp ngắn các R-môđun

0 → N → Mf → P → 0.g

Khi đó M là R-môđun Noether khi và chỉ khi P và N là các R-môđun Noether

Hệ quả 1.1.6 Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun Noether là một

R-môđun Noether

Hệ quả 1.1.7 Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R là một

R-môđun Noether

Định nghĩa 1.1.8 Cho R là một vành Một tập hợp R′ được gọi là R-đại số,hay còn gọi là đại số trên R, nếu R′ là một R-môđun và tồn tại một phép toánhai ngôi

f : R′× R′ −→ R′, f (a, b) = ab

gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

x(ab) = (xa)b = a(xb),

c(xa + yb) = xca + ycb,

(xa + yb)c = xac + ybc,

trong đó x, y ∈ R và a, b, c ∈ R′ là những phần tử tùy ý

Một tập hợp con Re của R′ được gọi là đại số con của R′, nếu nó là một Rmôđun con và đóng kín với phép nhân của R′, nghĩa là Re cũng là một R-đại sốvới phép nhân cảm sinh

-Định nghĩa 1.1.9 Cho R′ là một R-đại số Khi đó

(i) Với mỗi tập con M ⊊R′, ta đặt

R[M ] = \

T ⊃M T

trong đó T là R-đại số con của R′ chứa M Theo cách đặt trên ta thấy R[M ] là

R-đại số con nhỏ nhất của R′chứa M và R[M ] được gọi là R-đại số con sinh bởi

M Nếu M = {c1, , cn} là hữu hạn thì ta viết R[M ] = R[{c1, , cn}] cũng như là

(i) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu.

(ii) Mỗi dãy giảm các môđun con của M

M0⊇ M1 ⊇ ⊇ Mn ⊇

đều dừng, nghĩa là tồn tại t ∈ N để Mt= Mk với mọi k ∈N, k ≥ t.

Định nghĩa 1.1.12 Cho vành R, một R-môđun M được gọi là một R-môđunArtin nếu mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu Vành

R được gọi là một vành Artin nếu nó là một R-môđun Artin

Ví dụ 1.1.13 (i) Mỗi trường đều là một vành Artin

(ii) Vành số nguyên Z không phải là một vành Artin vì tập các iđêan chính

Khi đó, M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu N và P là R-môđun Artin

Hệ quả 1.1.16 Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun Artin là một

R-môđun Artin

Hệ quả 1.1.17 Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin là một R-môđunArtin

Vành Artin có các tính chất sau

Mệnh đề 1.1.18 (i) Mỗi vành Artin chỉ có một số hữu hạn các iđêan cực đại

(ii) Trong một vành Artin, căn lũy linh là một iđêan lũy linh

1.2 Độ dài của một môđun

Ta đã biết một k-không gian véctơ V gọi là có chiều d nếu các cơ sở của V

gồm d phần tử Giả sử {e 1 , e 2 , , ed} là một cơ sở của V và V i là không gian concủa V có cơ sở là {e1, e2, , ei}, khi đó ta có chuỗi:

V = Vd ⊃ Vd−1 ⊃ ⊃ V0= {0}.

Trong đóVi/Vi−1 ∼= K là cáck-không gian véctơ một chiều, những đối tượng không

thể phân chia được Ta dễ dàng chỉ ra được, một k-không gian véctơ có chiều d

khi và chỉ khi tồn tại một dãy có độ dài d như trên Cách nhìn nhận về chiều củakhông gian véctơ như trên đã giúp người ta nhận ra một lớp rộng lớn các môđun,

mà ở lớp các môđun này có thể không tồn tại cơ sở trong chúng

Ta bắt đầu từ sự nhìn nhận khác về không gian véctơ1-chiều, đó là một khônggian chỉ chứa hai không gian con là {0} và chính nó Mở rộng sang môđun, ta cókhái niệm sau

Định nghĩa 1.2.1 Cho R-môđun M khác môđun không M được gọi là một

môđun đơn nếu M không có môđun con thực sự nào khác môđun không

Nhận xét 1.2.2 Cho M là một R-môđun đơn và 0 ̸= x ∈ M. Khi đó M = Rx.

Dễ kiểm tra được ánh xạ ϕ : R → Rx = M là toàn cấu và Ker ϕ = Ann(x). Suy

ra M = Rx ∼ = R/Ann(x). Vì thế M là một R-môđun đơn khi và chỉ khi vành

thương R/Ann(x) chỉ có đúng hai iđêan là không và chính nó, hay R/ Ann(x) làmột trường Điều này chứng tỏ M là môđun đơn khi và chỉ khi Ann(M ) là iđêancực đại của R

Định nghĩa 1.2.3 Một dãy hợp thành của một R-môđun M là một dãy giảm

gồm một số hữu hạn các môđun con của M

M = M0 ⊃ M1⊃ ⊃ Mn = {0}

sao cho Mi/Mi+1 (0 ≤ i ≤ n − 1)là các môđun đơn Khi đó số n được gọi là độ dàicủa dãy hợp thành này Môđun M có một dãy hợp thành được gọi là một môđun

có dãy hợp thành

Ví dụ 1.2.4 Một không gian véctơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiềuhữu hạn Khi đó, độ dài của dãy hợp thành đúng bằng chiều của không gian véctơ.Vành số nguyên Z là một Z-môđun không có dãy hợp thành Vì nếu Z có mộtdãy hợp thành là

Bổ đề 1.2.5 Giả sử R-môđun M có dãy hợp thành và N là một môđun con của

M. Ta kí hiệu ℓ(M ) là độ dài của dãy hợp thành có độ dài nhỏ nhất Khi đó ta cócác khẳng định sau

(i) N cũng có dãy hợp thành với ℓ(N ) ≤ ℓ(M ), ℓ(N ) = ℓ(M ) khi và chỉ khi

N = M.

(ii) Môđun thương M/N cũng có dãy hợp thành với ℓ(M/N ) ≤ ℓ(M ).

Định lý 1.2.6 (Định lí Jordan-Holder) Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành

với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa,mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượtquá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợpthành

Định lí 1.2.6 là cơ sở giúp ta đưa ra khái niệm sau

Định nghĩa 1.2.7 Nếu R-môđun M có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợpthành của M có cùng một độ dài, độ dài đó được gọi là độ dài của môđun M và

kí hiệu là ℓR(M ) (hoặc ℓ(M ) khi R đã rõ) Nếu môđun M không có dãy hợp thànhthì ta quy ước độ dài ℓR(M ) = ∞ và là môđun có độ dài vô hạn

Ví dụ 1.2.8 Độ dài của một không gian véctơ chính là chiều của không gian đó.Vành số nguyên Z có độ dài vô hạn

Định lý 1.2.9 Một R-môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa làmôđun Noether vừa là môđun Artin

Định lý 1.2.10 (Tính cộng tính của độ dài) Cho vành R và dãy khớp ngắn các

R-môđun 0 → N → M → P → 0. Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và

P có độ dài hữu hạn, hơn nữa ta luôn có

ℓR(M ) = ℓR(N ) + ℓR(P ).

Hệ quả trực tiếp của Định lí 1.2.10 là các kết quả sau

Hệ quả 1.2.11 (i) Cho N là một R-môđun con của R-môđun M thì ℓR(M ) =

Hệ quả 1.2.13 Một vành R là một vành Artin khi và chỉ khi R là vành Noether

và mọi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan cực đại

Hệ quả 1.2.14 Cho R là một vành Artin và M là một R-môđun hữu hạn sinh.Khi đó M là một R-môđun có độ dài hữu hạn

1.3 Chiều Krull

Định nghĩa 1.3.1 (i) Cho R là vành giao hoán Một dãy giảm các iđêan nguyên

tố p0 ⊃p1 ⊃ ⊃pn củaR được gọi là một xích nguyên tố Có độ dài là n

(ii) Cho p là iđêan nguyên tố của R Cận trên của tất cả các độ dài của xíchnguyên tố bắt đầu bằng p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p),

ht(p) = sup{n|p=p0⊃p1 ⊃ ⊃pn là một xích nguyên tố }

(iii) Với I là iđêan của R, độ cao của I, kí hiệu là ht(I), được xác định bởi

ht(I) = inf{ ht(p)|p∈ V (I)},

trong đó V (I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I

(iv) Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều

của vành R, kí hiệu là dim R (còn gọi là chiều Krull của R)

(v) Với M là một R−môđun thì chiều của M, kí hiệu là dim M, được xác địnhbởi

dim M = dim(R/AnnM)

Ví dụ 1.3.2 (i) dim Z =1 vì mọi xích nguyên tố của Z đều có dạng 0 ⊂ pZ, với

p là một số nguyên tố bất kì

(ii) Khi k là một trường thì dim k = 0 vì k có duy nhất một iđêan nguyên tố

là 0

(iii) Nếu k là một trường thì dim k[x] = 1 vì mọi xích nguyên tố của k[x] đều

có dạng 0 ⊂ (f (x)), với f (x) là đa thức bất khả quy trên k[x]

(iv) Với k là một trường thì dim k[x1, , xn] = n

(v) R là một vành Noether, ta có dim R[x1, , xn] = dim R + n

(vi) Cho R = R[x, y] và I = (x2, xy) Khi đó I = (x2, y) ∩ (x2, x) = (x2, y) ∩ (x) làmột phân tích nguyên sơ của I Suy ra

ht(I) = inf {ht(x), ht(x2, y)} = 1.

Đặt Q 1 = (x), Q 2 = (x2, y) Khi đó nếu p là iđêan nguyên tố chứa Q 1 ∩ Q 2 thì

p ⊇ Q1 hoặc p ⊇ Q2 theo định lý tránh nguyên tố Từ đó suy ra xích nguyên tốtrong R chứa Q1∩ Q2 là xích nguyên tố trong R chứa Q1 hoặc Q2, và dim(R/I)

= dim(R/Q1∩ Q2) = sup{dim(R/Q1), dim(R/Q2) } Từ dim(R/I) = dim(R/ √

I),suy ra

dim(R/ √

I) = sup{dim(R/ √

Q1), dim(R/ √

Q2)}

= sup{dim(R/(x)), dim(R/(x, y))}

Vì R/(x, y) ∼ = R, R/(x) ∼ = R[y] nên dim(R/I) = 1.

Nhận xét 1.3.3 (i) Giả sửR là vành Noether,I là iđêan củaR Giả sửI có phântích nguyên sơ thu gọnI = Q1∩ ∩Qn, Qilà iđêan pi−nguyên sơ Theo định nghĩathì ht(I) = inf{ht(p)i|i = 1, 2, , n} = inf{ht(p)i|pi tối tiểu trong {p1, ,pn}}.(ii) Giả sử 0 = Q 1 ∩ ∩ Q n là phân tích nguyên sơ của iđêan 0 của R với Q i là

pi−nguyên sơ Theo định nghĩa

dim R = sup{dim(R/pi|i = 1, , n)}

= sup{dim(R/p)i|pi tối tiểu trong {p1, ,pn}}

(iii) ChoR là vành địa phương với iđêan tối đại m Khi đó ta có dimR = ht(m).(iv) Cho p là iđêan nguyên tố của vành R Khi đó Rp là vành địa phươngvới iđêan cực đại duy nhất pRp Vậy dimRp = ht(pRp) Mặt khác Spec(Rp) ={QR p |Q ∈Spec R, Q ⊆p } suy ra dim R p = ht(pR p) = ht(p)

Mệnh đề 1.3.4 Cho R là vành Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh Khi đó,các mệnh đề sau tương đương:

(i) M có độ dài hữu hạn

(ii) R/AnnM là vành Artin

(iii) dim M = 0

Chứng minh (ii) ⇒ (iii)Giả sửR/AnnM là vành Artin Khi đó, mọi iđêan nguyên

tố p khác 0 của R/AnnM đều tối đại (tính chất của vành Artin) Vậy dimM =dimR/AnnM = 0

(iii) ⇒ (ii) Giả sử dimM = 0 Khi đó dim(R/AnnM) = 0 VìR là Noether nên

R/AnnM là Noether Mặt khác, nếu p̸= 0 là một iđêan nguyên tố của R/AnnM

thì p thuộc một iđêan tối đại q, suy ra có xích nguyên tố q⊇p Do dim(R/AnnM)

= 0 nên q=p, suy ra p là tối đại Vậy R/AnnM là vành Artin

(ii) ⇒ (i) Giả sử R/AnnM là vành Artin Do M là R−môđun Noether nên M

là hữu hạn sinh, M = Rm1+ + Rmn với m1, , mn ∈ M

Xét tương ứng

φ : R × × R −→ M

sao cho φ(a1, , an) = a1m1+ + anmn.

Hiển hiên φlà ánh xạ và là R-đồng cấu môđun Ta có φ cảm sinh ánh xạ

φ : (R/AnnRM )n −→ M

sao cho φ(a1, , an) = a1m1+ + anmn (φlà ánh xạ vì nếu (a1, , an) = (b1, , bn)

thì ai = b1 ∈AnnRM, suy ra (ai+ bi)mi = 0 hay aimi = bimi, ∀i = 1, n) Hơnnữa φ là toàn cấu môđun Vì R/AnnRM là R−môđun Artin nên (R/AnnRM )n = (R/AnnRM ) × × (R/AnnRM )làR−môđun Artin, suy ra(R/AnnRM )n/Ker(φ) ∼ =

M là R−môđun Artin Suy ra M có độ dài hữu hạn

(i) ⇒ (ii) Xét tương ứng

ψ : R −→ Mn = M × × M

sao cho ψ(a) =(am1, , amn) Rõ ràng ψ là ánh xạ và là đồng cấu môđun Ta xét

a ∈ R, khi đóψ(a) = 0 khi và chỉ khi ami= 0, ∀mi∈ M, i = 1, , n haya ∈ AnnRM.Vậy R/AnnRM ∼ = Imψ

Xét tương ứng

ψ : R/AnnRM −→ Mn

sao cho ψ(a) = (am1, , amn)

ψ là ánh xạ vì nếu a = b thì a − b ∈AnnRM, do đó (a − b)mi = 0 suy ra ami =

bm i , ∀i = 1, , n Hơn nữa ψ là đồng cấu môđun và ψ là đơn cấu vì ψ là đơn cấu

Do R/AnnRM ∼ =Imψ Vì M là môđun Artin trên Mn là Artin Do Imψ là môđuncon củaMn nên Imψ cũng là môđun Artin Từ đó suy raR/AnnRM là Artin

Nhóm con Rn được gọi là thành phần thuần nhất thứ n của R. Khi đó mỗi phần

tử x ̸= 0 của R n được gọi là phần tử thuần nhất bậc n, kí hiệu deg(x) = n. Ta quyước phần tử 0có bậc tùy ý Mỗi phần tử a ∈ R được viết một cách duy nhất dướidạng tổng của hữu hạn các phần tử thuần nhất Hơn nữa R0 là một vành và mỗi

Rn là một R0-môđun

Nếu R = R 0 [R 1 ] thì R được gọi là vành phân bậc thuần nhất

Ví dụ 1.4.2 (i) Mọi vành R đều có thể xem là vành phân bậc với phân bậc tầm

n được gọi là một đơn thức bậc α1+ + αn

của R Ta quy ước phần tử 0 có bậc tùy ý Một đa thức f ∈ R được gọi là thuầnnhất bậc n nếu f là tổng của các từ, mỗi từ đều có bậc n. Với mỗi n ≥ 0, đặt Rn

là tập các đa thức thuần nhất của R có bậc n Khi đó dễ thấy Rn∩ Rm = 0, vớimọi n ̸= m. Vì thế Rn, n ≥ 0 là nhóm con của nhóm cộng R và

R = R0[x1, , xn]. Đặc biệt R là Noether khi và chỉ khi R0 là Noether và R là

R0-đại số hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.4.4 Cho R là vành phân bậc Một R-môđun phân bậc là một

R-môđunM cùng với một họ(Mn)n≥0 các nhóm con của nhóm cộng M thỏa mãnđiều kiện

Ví dụ 1.4.5 Cho K = Q[x] là vành đa thức một biến trên trường các số hữu

tỉ Q, xét như một vành phân bậc, M = R[x] là tập các đa thức một biến x trêntrường số thực R. Khi đó M có cấu trúc là

K-môđun với phép cộng các đa thức trong R[x]và tích vô hướng là phép nhân các

đa thức trong Q[x] với các đa thức trong R[x]. Dễ thấy rằng M là một K-môđunphân bậc với cấu trúc phân bậc tự nhiên

Định nghĩa 1.4.6 (Vành và môđun Rees) (i) Cho I là một iđêan của vành R,

đặt RR(I) = Ln⩾0In Ta có InIm = In+m Khi đó RR(I) là một vành phân bậc,

ta gọi nó là vành Rees của R đối với iđêan I

(ii) Cho M là một R-môđun và I là iđêan của R, đặt RM(I) = n⩾0InM Khi

đó RM(I)là RR(I)-môđun phân bậc, ta gọi là môđun Rees của M đối với iđêan I

Định nghĩa 1.4.7 (Vành và môđun phân bậc liên kết) (i) Cho I là iđêan của

vành R, đặt GR(I) = Ln⩾0(In/In+1) Cho ξ ∈ In/In+1 và µ ∈ Im/Im+1 Giả sử

ξ = x + In+1 với x ∈ In, µ = y + Im+1 với y ∈ Im Ta đặt ξµ = xy + In+m+1, với

xy ∈ In+m Ta thấy phép nhân đó không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đạidiện Khi đó GR(I) là một vành phân bậc, nó được gọi nó là vành phân bậc liênkết đối với iđêan I

(ii) ChoM là mộtR-môđun vàI là iđêan củaR, đặtGM(I) = Ln⩾0InM/In+1M.Khi đó GM(I) là GR(I)-môđun phân bậc, ta gọi là môđun phân bậc liên kết của

M đối với iđêan I

Mệnh đề 1.4.8 Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M là R-môđun.Khi đó

(i) RR(I), GR(I) là các vành Noether

(ii) RM(I) là RR(I)-môđun Noether, GM(I) là GR(I)-môđun Noether

Chương 2

Chỉ số khả quy và bội bất khả quy

Trong chương này ta luôn giả thiết các vành là giao hoán, có đơn vị

2.1 Sự phân tích bất khả quy

Định nghĩa 2.1.1 Môđun con N của M được gọi là môđun con bất khả quy của

M nếu N ̸= M và N không thể biểu diễn thành giao của hai môđun con thực sựchứa N Nếu N có biểu diễn thành giao của hai môđun con thực sự chứa nó thì

N được gọi là môđun con khả quy của M

Một iđêan của vành R được gọi là iđêan bất khả quy nếu nó là R-môđun bấtkhả quy

Ví dụ 2.1.2 (i) Mọi iđêan nguyên tố là bất khả quy

(ii) Các iđêan bất khả quy của Z có dạng piZ, i ∈N.

(iii) Xét vành thương R/I Ta có các iđêan bất khả quy của R/I là J/I, I ⊆ J,

J bất khả quy của R

(iv) Cho N làR−môđun con của R-môđun M CácR-môđun con bất khả quycủa M/N là H/N, N ⊆ H, H là môđun con bất khả quy của M

Chứng minh (i) Giả sử p là iđêan nguyên tố của vành R Giả sử p = I ∩ J,p ⊊

I,p ⊊J Khi đó tồn tại a ∈ I \p, b ∈ I \p Ta có ab ∈ I ∩ J =p Vô lý với giả thiết

p nguyên tố

(ii) Nhắc lại rằng các iđêan của Z có dạng mZ, m ∈N Giả sử p là số nguyên

tố,i ∈N ĐặtI = piZ Giả sửI = aZ∩bZ Ta cóaZ∩bZ= [a, b]Z, [a, b] là bội chungnhỏ nhất của a, b Do đó aZ∩ bZ = piZ kéo theo a = ±pi, b = ±pj, 0 ≤ i, j ≤ n VìMax{i, j} = n nênpmZ= aZ hoặc pnZ= bZ Vì vậy piZ bất khả quy.

Ngược lại, giả sử I = mZ, m ∈ N bất khả quy Vì I ̸=Z nên m > 1 Giả sử m

không là lũy thừa của số nguyên tố, ta có m = a.b, (a, b) = 1, 1 < a, b < m Ta có

I = aZ∩ bZ, I ⊊aZ, I ⊊bZ.

Điều này là vô lý Vậy m = pi, i ∈N.

(iii) Điều này được suy ra từ việc các iđêan của R/I có dạng J/I, I ⊆ J.(iv) Điều này được suy ra từ việc các môđun con của M/N có dạng H/N, N ⊆

H

Tiếp theo ta đưa ra một lớp iđêan bất khả quy quan trọng trong vành đa thứcnhiều biến Kết quả này đã được trình bày trong luận văn thạc sĩ của AmmonePhomphiban [2] Cho R là vành giao hoán có đơn vị, d là một số nguyên dương

Xét vành đa thức nhiều biến R[x 1 , , xd]. Ta gọi một đơn thứ c là một biểu thức

có dạng xa1

1 xad

d , trong đó a1, , ad ∈ N Một iđêan của R[x1, , xd] được gọi làmột iđêan đơn thức nếu nó được sinh bởi các đơn thức Một iđêan đơn thứcJ ⊊R

được gọi là m-khả quy nếu có các iđêan đơn thức J1, J2 ̸= J sao cho J = J1∩ J2.

Một iđêan đơn thứcJ ⊊R được gọi là m-bất khả quy nếu nó không là m-khả quy

Dễ thấy, một iđêan đơn thức J ⊆ Rlà m-bất khả quy nếu và chỉ nếu nó thỏa mãncác điều kiện sau:

(i) J ̸= R.

(ii) Có hai iđêan đơn thức J1, J2sao choJ = J1∩J2 thì hoặcJ1= J hoặcJ2 = J.

Tổng quát J là m-bất khả quy và J1, , Jn là các iđêan đơn thức (với n ⩾2) saocho J = ∩ni=1Ji thì tồn tại chỉ số i sao cho J = Ji.

Định lý 2.1.3 Đặt S = R[x1, , xd] và cho J là một iđêan đơn thức, khác