Sáng kiến môn toán lớp 9 cấp huyện định lý viét

Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Viét trong chương trình toán 9; Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Viét trong chương trình toán 9; Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Viét trong chương trình toán 9; Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Viét trong chương trình toán 9; Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Viét trong chương trình toán 9; Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Viét trong chương trình toán 9; Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Viét trong chương trình toán 9

1 Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến 7

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

Sáng kiến: “Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét trong chương trình toán 9” đã ôn lại lí thuyết về hệ thức Vi-ét và khai thác sâu

các ứng dụng của nó vào giải toán Đại số 9

Các dạng toán được phân theo dạng (gồm 10 dạng hay gặp), mỗi dạngtoán đưa ra đều có phương pháp giải tổng quát và kèm theo các ví dụ minh họa

cụ thể, chọn lọc trong Sách giáo khoa (SGK), Sách bài tập (SBT), đề thi tuyểnsinh môn Toán 9 cùng lời giải chi tiết Bên cạnh đó với mỗi dạng có nhận xétđánh giá ví dụ vừa đề cập nhằm nhấn mạnh những khó khăn, những sai sót màhọc sinh hay mắc phải khi giải toán và cách khắc phục

Sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi - ét trong chương trình toán 9” có khả năng áp dụng rộng rãi cho giáo

viên dạy toán lớp 9 ở các trường đại trà Giúp giáo viên có tài liệu và phươngpháp giảng dạy, ôn tập các kiến thức về hệ thức Vi-ét một cách đầy đủ khoa học.Giúp học sinh nâng cao kết quả trong việc giải toán về hệ thức Vi-ét và củng cốđược nhiều kiến thức toán học khác Từ đó góp phần nâng cao kết quả thi vàoTHPTcho học sinh và tạo tiền đề vững chắc cho các em trong quá trình học tậpsau này

Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ

sở, là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xãhội Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kỹ năng tính toán cầnthiết, mà còn rèn luyện cho con người khả năng tư duy lô gic, một phương phápluận khoa học

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán đểvận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế trong cuộc sống Nội dung kiếnthức toán học được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lýthuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bàitoán, nhưng để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phảibiết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kếthợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích lũy được để giải quyết các bài tập cóliên quan Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kỹ năng vận dụngkiến thức đã học vào giải bài tập, kỹ năng trình bày, kỹ năng sử dụng máy tính

bỏ túi, đồ dùng dạy học Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sángtạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh

Đối với học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu là học sinhlớp 9 nói riêng, mặc dù các em không phải còn nhỏ nhưng khả năng phân tích,suy luận, để tự mình tìm ra lời giải cho một bài toán còn rất nhiều hạn chế nhất

là đối tượng học sinh học yếu và lười học Hơn nữa, các đề thi vào lớp 10 THPT

thì các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất hiện

khá phổ biến Trong khi nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáokhoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét, học

sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số Thông qua đó học sinh có cách nhìntổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số Chính vì

vậy những dạng toán của đại số lớp 9 thì “Ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong việc

giải toán THCS” đối với các em là dạng toán khó Do vậy việc hướng dẫn giúpcác em có kỹ năng, phương pháp để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các

em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, tạo hứng thúcho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập

Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, cáckiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy, khi học các em không

những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải tự diễn đạt theo ý hiểu của mình,

từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán

Thông qua quá trình giảng dạy, quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu và

sự vận dụng kiến thức của học sinh Tôi nhận thấy HS vận dụng hệ thức Vi-ét

vào giải phương trình bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu sót Đặc biệt là các emlúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để biện luận phương trình bậc hai

đã cho có hai nghiệm, thỏa mãn một điều kiện nào đó… Đây là một phần kiếnthức rất khó đối với các em học sinh lớp 9 Bởi lẽ từ trước tới nay các em chỉquen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc giải những phươngtrình cho sẵn, ít gặp phải những bài toán biện luận theo tham số Mặt khác khảnăng tư duy của các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích,suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán nên không định hướngđược cách giải

Làm thế nào để giúp các em có được một kiến thức tổng thể và có đượcđầy đủ các dạng toán về phương trình bậc hai, biết cách giải và biện luận cácdạng toán về phương trình bậc hai theo tham số Chính vì vậy, tôi chọn đề tài:

“Phương pháp giải toán vận dụng hệ thức Vi-ét trong chương trình toán 9”

với mục đích khi các em gặp dạng toán đó không còn sợ sệt và ham muốn giảinhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

2 Mục tiêu của sáng kiến.

- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng toán vận

dụng hệ thức Vi-ét, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán

này

- Học sinh có khả năng làm thành thạo các dạng toán vận dụng hệ thứcVi- ét

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Thấy được vai trò của việc vận dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán, từ đó

giáo dục ý thức học tập của học sinh

3 Phạm vi của sáng kiến

Sáng kiến được áp dụng lần đầu trong năm học 2020 – 2021 và tiếp tụcthực hiện cho các năm học tiếp theo, trong việc giảng dạy tại lớp ôn luyện độituyển học sinh giỏi lớp 9 cấp trường, cấp huyện và ôn thi vào THPT Tác giả đãtrình bày chuyên đề trong buổi sinh hoạt chuyên môn của tổ Khoa học tự nhiên

trường Phổ Thông DTNT THCS Huyện , đã trình bày trong buổi sinh hoạt cụmchuyên môn.

II CỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN.

1. Cơ sở lý luận

Trong quá trình học tập môn Toán thì kỹ năng vận dụng kiến thức Toánhọc là một yêu cầu quan trọng Nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp chohọc sinh những kiến thức toán học, mà còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng vậndụng sáng tạo toán học vào mọi hoàn cảnh cụ thể của đời sống

Ngày nay khoa học, kỹ thuật phát triển một cách mạnh mẽ, tri thức thayđổi từng ngày, đòi hỏi con người cần phải có một tư duy nhạy bén, sáng tạotrong công việc để có thể đáp ứng được nhu cầu của xã hội

Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán có vai trò to lớn trongviệc hình thành và phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tư duy cho

HS Qua môn Toán, HS biết quan sát, dự đoán, tương tự hóa và qua đó tácdụng đến sự phát triển và rèn luyện cho HS trí thông minh sáng tạo, khả năng tựhọc, tự nghiên cứu Phát triển tư duy sáng tạo toán học, phát triển trí tuệ chungcho HS là mục đích quan trọng trong dạy học môn Toán Mục đích đó được thựchiện có ý thức, có hệ thống chứ không phải là tự phát

Trong quá trình dạy học môn Toán, giáo viên cần dẫn dắt học sinh biếtphát hiện và giải quyết vấn đề, đây cũng là một kỹ năng GV cần quan tâm bồidưỡng cho học sinh Người giáo viên cần phải xây dựng những biện pháp nhằmrèn luyện cho HS những kỹ năng cơ bản sau:

- Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như: Phântích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa

2 Cơ sở thực tiễn

Hệ thức Vi-ét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9 Làmột phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi vào THPT Trong các tài liệutham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này Saunhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi

đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhậndạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này Hệ thức Vi-ét còn được tiếptục vận dụng trong chương trình Toán THPT tuy nhiên trong bài viết này tôi chỉ

đề cập trong nội dung chương trình Toán THCS Hệ thức Vi-ét được ứng dụngrộng vào bài tập vì thế để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng thì khi dạy giáo viên nênchia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy đối với từng nộidung phải thích hợp.

Đối tượng giảng dạy là những học sinh người dân tộc thiểu số vùng sâu,vùng xa, vùng đặc biệt khó khăn của huyện , hoàn cảnh kinh tế gia đình khókhăn; sự quan tâm của gia đình đến việc học của các em cũng chưa thực sự sâusắc Mặt khác, đa số các em chỉ thích học các môn vận động, năng khiếu, khảnăng tư duy các môn tự nhiên chậm, đặc biệt với các bài toán ứng dụng hệ thứcvi-ét Tuy nhiên, học sinh ở nội trú nên thuận lợi cho việc bồi dưỡng học sinhkhá giỏi, phụ đạo học sinh trung bình, yếu và kém trong các tiết tự học và ngoàigiờ học

Giải pháp này là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có trong sáchvở

III NỘI DUNG SÁNG KIẾN.

1 Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến:

Sáng kiến: “Phương pháp giải toán vận dụng hệ thức Vi-ét trong

chương trình toán 9” đã ôn lại lí thuyết về hệ thức Vi-ét và khai thác sâu các

ứng dụng của nó vào giải toán Đại số 9

Các dạng toán được phân theo dạng (gồm 10 dạng hay gặp), mỗi dạngtoán đưa ra đều có phương pháp giải tổng quát và kèm theo các ví dụ minh họa

cụ thể, chọn lọc trong Sách giáo khoa (SGK), Sách bài tập (SBT), đề thi tuyểnsinh môn Toán 9 cùng lời giải chi tiết Bên cạnh đó với mỗi dạng có nhận xétđánh giá ví dụ vừa đề cập nhằm nhấn mạnh những khó khăn, những sai sót màhọc sinh hay mắc phải khi giải toán và cách khắc phục

Sáng kiến kịnh nghiệm “Phương pháp giải toán vận dụng hệ thức Vi-ét trong chương trình toán 9” có khả năng áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy

toán lớp 9 ở các trường đại trà Giúp giáo viên có tài liệu và phương pháp giảngdạy, ôn tập các kiến thức về hệ thức Vi-ét một cách đầy đủ khoa học Giúp họcsinh nâng cao kết quả trong việc giải toán về hệ thức Vi-ét và củng cố đượcnhiều kiến thức toán học khác Từ đó góp phần nâng cao kết quả thi vào THPTcho học sinh và tạo tiền đề vững chắc cho các em trong quá trình học tập saunày

1.1 Ôn tập lí thuyết

Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai

thì có thể suy ra nghiệm kia

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0≠

) có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 =

ca

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0≠

) có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = -

ca

* Định lí Vi-ét: (đảo)

Nếu hai số u, v thỏa mãn

u v Su.v P

1.2 Các dạng toán và phương pháp giải.

1.2.1 Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

0, b = 2b’ = 10, c = 1)

Ta có:

2' 5 25.1 0

Ví dụ 2 (Bài 30/SGK - Trang 54): Tìm giá trị của m để phương trình có

nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m:

,phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

+) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0≠

) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = -

ca Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0

Ta thực hiện theo các bước:

+) Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là

+) Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ

đó ta tính ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n ≠

- b, thì ta chuyển sang bước 2

+) Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm.

- Nếu tìm được một cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.

1.2.2.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 26/SGK - Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc

a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình

có một nghiệm là x1 = - 1, x2 =

-( 50)c

Ví dụ 2 (Bài 27/SGK - Trang 53, Bài 38/SBT - Trang 44):

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình:

Ta thấy

2' 3 1.8 1 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4

Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải

phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thứcnghiệm (công thức nghiệm thu gọn)

1.2.3 Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.

1 2

x +x

=

ba

−

=

23

1 2

x +x

=

ba

1 2

x +x

=

ba

−

(vì lúc này đã biết x1 và x2) đểsuy ra giá trị của tham số

1.2.4 Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

1.2.4.1 Phương pháp:

Nếu hai số u, v thỏa mãn

u v Su.v P

Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 + 8x - 105 = 0.

Phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên

Ví dụ 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình):

Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích của hình chữnhật bằng 54m2

Giải

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều kiện u, v > 0

Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có phương trình:

Ví dụ 3 Giải các hệ phương trình sau:

a)

( ) ( )

(1+ 5; 1− 5)

; (1− 5; 1+ 5)

; (− +1 5; 1− − 5)

; (− −1 5; 1− + 5)

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta đã chuyển đổi việc giải hệ phương trình sang

giải phương trình bậc hai một ẩn; bên cạnh đó ta cần sử dụng thêm phép biếnđổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hằng đẳng thức

( )2

2 2

A +B = A B+ −2AB

Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần

sử dụng tới ẩn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điềunày

Ví dụ 4 Giải phương trình sau: x 9+ − x + x 9+ + x =4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 16

1.2.5 Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình.

1.2.5.1 Phương pháp:

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0≠

) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2

Ta thực hiện theo các bước:

Ví dụ 2 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT)

Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là x1 và x2 Không giảiphương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,≠ ∆ ≥0

hoặc

a 0, ' 0≠ ∆ ≥

)

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào tham số

x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụthuộc vào m)

Ví dụ 2 Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó tìm hệ thức liên

hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức

(2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét màquên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2

1.2.7 Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước.

1.2.7.1 Phương pháp:

Ta thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình có

+) Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.

+) Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.

1.2.7.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 62/SGK - Trang 64):

Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổngcác bình phương hai nghiệm của phương trình theo m

b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình