Một số đặc trưng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục

Một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo lớp các dãy hội tụ.. Một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục quan hệ bao hàm của tập hợp ..... Cũng nh- vậy

Tr-ờng đại học vinh

Vinh-2009

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Ch-ơng 1 Một số kiến thức chuẩn Bị 3

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.2 Một số tính chất của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục 8

Ch-ơng 2 một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở Và ánh xạ liên tục 11

2.1 Một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo lớp các dãy hội tụ 11 2.2 Một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục quan hệ bao hàm của tập hợp 16

Kết luận 25

Tài liệu tham khảo 26

Lời nói đầu

Chúng ta đã biết, khi có X, Y là các không gian tôpô f:XY là ánh xạ nào

đó, chúng ta có khái niệm “f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu f1 V là tập mở trong Y, với mỗi tập mở V trong X” Đặc biệt nếu X, Y là các không gian mêtric thì “f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu limf(xn) f( ) Y

 x ” Cũng nh- vậy, ta biết “f là ánh xạ mở (đóng) nếu và chỉ nếu f(U)

là tập mở (đóng) trong Y, với mỗi tập U mở (đóng) trong X” Vậy một câu hỏi đặt

ra “có thể có một đặc trưng của các ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo dãy hội tụ và theo quan hệ bao hàm nào không?” Với mục đích để trả lời câu hỏi trên,

khoá luận này đã trình bày một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên

tục trên các không gian tôpô

Khoá luận đ-ợc trình bày theo bố cục nh- sau

Ch-ơng1 trình bày một số kiến thức và tính chất cơ bản của tôpô đại c-ơng

và chứng minh một số tính chất làm cơ sở cho các phần sau

Ch-ơng2 một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo dãy hội tụ và theo quan hệ bao hàm tập hợp

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo,

PGS.TS Trần Văn Ân, ng-ời đã tận tình, trực tiếp h-ớng dẫn tác giả hoàn thành

khoá luận này

Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải tích, Khoa Toán-Tr-ờng Đại học Vinh và tập thể lớp 46A-Toán đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại tr-ờng

Do điều kiện thời gian và hạn chế về năng lực nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 04 năm 2009

Tác giả

Ch-ơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 các khái niệm cơ bản 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ các tập con của X đ-ợc gọi là một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn

(i) τ,Xτ;

(ii) Với mọi Aτ, Bτ thì AB;

(iii) Với mọi họ Ai iIτ thì  

 I i

i A Khi đó, (X,τ ) đ-ợc gọi là một không gian tôpô, mỗi phần tử của X đ-ợc gọi

là một điểm trong không gian tôpô (X, τ ) Mỗi tập A đ-ợc gọi là một tập mở nếu

τ

A , phần bù của tập mở gọi là tập đóng Nếu không sợ nhầm lẫn các tôpô trên X

ta có thể viết không gian X thay cho không gian (X,τ )

1.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta có các nhận xét

(i)  và X là các tập mở;

(ii) Giao của hữu hạn các tập mở là một tập mở;

(iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là một tập mở

1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X,τ ) và B , B đ-ợc gọi là

một cơ sở của tôpô τ nếu với mọi Vτ và với mọi xV tồn tại U B sao cho 

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô và xX Tập AX,

điểm xA đ-ợc gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một lân cận U của điểm x sao

cho UA

Tập hợp các điểm trong của A gọi là phần trong của A và kí hiệu là intA hoặc Ao

1.1.6 Nhận xét Giả sử X là không gian tôpô và A, BX Khi đó ta có

(i) Ao là tập mở lớn nhất đ-ợc chứa trong A;

(ii) A là tập mở nếu và chỉ nếu Ao = A;

1.1.8 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và AX Giao của họ tất

cả các tập đóng chứa A đ-ợc gọi là bao đóng của tập hợp A, và kí hiệu là cl(A)

hoặc A

1.1.9 Nhận xét Giả sử X là không gian tôpô và AX Khi đó từ định nghĩa ta có nhận xét

(i) A là tập đóng bé nhất chứa A;

(ii) A là tập đóng nếu và chỉ nếu AA;

1.1.11 Mệnh đề Giả sử X là không gian tôpô, xX, AX Khi đó, xA

nếu và chỉ nếu với lân cận bất kỳ U của x, ta có UA

1.1.12 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô, dãy  

 1 n n

x đ-ợc gọi là hội

tụ về điểm xX nếu với lân cận bất kỳ V của x thì bắt đầu từ lúc nào đó các phần

tử của dãy  

 1 n n

x đều nằm trong V

Lúc đó, ta gọi x là giới hạn của dãy  

 1 n n

A là dãy các tập con khác

rỗng của X, x đ-ợc gọi là điểm tụ của dãy  

 1 n n

A nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy con  

A và t-ơng ứng có dãy  

 1 k



x nếu và chỉ nếu tồn tại dãy  

 1 n n

A là dãy các tập con khác rỗng của X Khi đó

(i) Với xX, x n

n

Asuplim nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận U của x ta có U giao với vô hạn tập A n của dãy;

(ii) Với n

n Ainflim,

 x

x nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận U của x ta có U

giao với An kể từ n nào đó trở đi

1.1.15 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô,  

 1 n n

A là dãy các tập con

khác rỗng của X Khi đó n

n

Asuplim là một tập đóng

Chứng minh Đặt A = limsupAn.

n

Nếu A suy ra A tập đóng

Nếu A thì ta sẽ chứng minh k

n k n

n

n k

A

 với mọi 1

n Do đó p k

n k n

0

Aq

n k n

1.1.16 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, kí hiệu c

1.1.17 Định nghĩa Hàm d:XXR thoả mãn các điều kiện

(i) d x,y 0 và d x,y 0 khi và chỉ khi xy;

(ii) d   x,y d y,x với mọi x, yX;

(iii) d     x,y d x,z d z,y với mọi x, y, zX;

đ-ợc gọi là một mêtric trên X

Không gian tuyến tính X cùng một mêtric d trên nó đ-ợc gọi là không gian

mêtric tuyến tính nếu các phép toán cộng và nhân với vô h-ớng liên tục theo tôpô

sinh bởi mêtric d

1.1.18 Mệnh đề ([5]) Tập con F của không gian mêtric X là tập đóng trong

X khi và chỉ khi với một dãy bất kì  xn những phần tử của F, nếu limxn xo X





thì xoF

(ii) f là ánh xạ đóng nếu và chỉ nếu f(A) là tập đóng trong Y, với mọi tập

đóng A trong X;

(iii) f là ánh xạ mở nếu và chỉ nếu f(A) là tập mở trong Y, với mọi tập mở A

trong X

1.2.2 Mệnh đề Cho X, Y là các không gian tôpô và f : XYlà một ánh xạ Khi đó, các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng

(i) f là ánh xạ liên tục;

(ii) f 1 V

là tập mở trong X, với mọi tập mở V trong Y;

(iii) f 1 F

là tập đóng trong X, với mọi tập đóng F trong Y;

(iv) f(A)f(A), với mọi tập con A của X;

(v) f 1 B f 1 B , với mọi tập con B của Y;

(vi) f 1(Bo)(f 1(B))o, với mọi tập con B của Y

Chứng minh (i)  (ii) Từ định nghĩa suy ra (i)  (ii)

(ii)  (iii) Giả sử có (ii) và F là tập đóng trong Y Khi đó c

F là tập mở trong

Y Theo (ii) f 1(Fc) là tập mở trong X Mà f 1(Fc)= 1 c

(F))(f nên 1 c

(F))(f tập mở

trong X Do đó f1(F) là tập đóng trong X, với mọi tập F đóng trong Y

(iii)  (iv) Giả sử có (iii) và AX Vì f(A) là tập đóng trong Y, nên theo (iii) f 1 f(A)

là tập đóng trong X Mà Af 1 f(A) nên Af 1 f A Suy ra )

(iv)  (v) Giả sử có (iv) và B là tập con trong Y Theo (iv) lấy Af 1 B

ta có ff 1(B)f (f 1(B))B

Do đó f1(B)f1(B), với mọi tập con B của Y

(v)  (vi) Giả sử có (v) và B là tập con nào đó trong Y Khi đó ta có,

c 1

o

1

Bf

B

c 1

B

f

 Vì 1 c 1 c

BfB

f   nên f 1 Bc c f 1 Bc c, từ

đó f  B f  B   f  B   f 1 B o

c c 1 c

c 1 o

    Do vậy f 1(Bo)(f 1(B))o, với mọi

tập con B của Y

(vi)  (ii) Giả sử có (vi) và V là tập mở bất kì trong Y Từ V là tập mở trong

Y, suy ra Vo=V Do vậy theo (vi) ta có 1 1 o  1 o

(V)f)(Vf(V)

f     Suy ra

 1 o

1

(V)f

(V)

f   , tức là f1(V) là một tập mở trong X Vậy f liên tục 

1.2.3 Mệnh đề Cho X, Y là các không gian tôpô và ánh xạ f:XY. Khi đó (i) flà ánh xạ mở nếu và chỉ nếu f(Ao)(f(A))o, với mọi tập AX;

(ii) f là ánh xạ đóng nếu và chỉ nếu f(A)f(A), với mọi tập AX

Chứng minh (i) Giả sử f là ánh xạ mở và A là tập con bất kỳ trong X Ta có

đến f(A) f(A), suy ra f(A)f(A) Vì f là ánh xạ đóng và A là tập đóng nên

 A

f là tập đóng Từ đó f(A)  f(A)f(A) Vậy f(A) f(A), với mọi tập AX

Ng-ợc lại, giả sử có f(A) f(A), với mọi tập con A của X và F là tập đóng bất kỳ trong X Khi đó ta có f(F)f F f(F) (*) Mặt khác ta có f   F f F Kết hợp với (*) ta có f   F f F Do đó f(F) là tập đóng trong Y, với F là tập đóng bất kì trong X Vậy f là ánh xạ đóng 

1.2.4 Mệnh đề Cho X, Y là các không gian tôpô và f:XY là ánh xạ liên tục và đóng Khi đó

(i) f(A)f(A), với mọi tập AX;

(ii) f1(B)f1(B), với mọi tập BY

Chứng minh (i) Giả sử f là ánh xạ liên tục và đóng và A là tập con trong X

Vì f là liên tục nên từ Mệnh đề 1.2.2(iv) ta có f(A)f(A) (1) Mặt khác, do f là

Ch-ơng 2 Một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở

và ánh xạ liên tục

2.1 Một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở

và ánh xạ liên tục theo lớp các dãy hội tụ

2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y là không gian tôpô,  

 1 n n

x sao cho dãy con t-ơng ứng  

 1 k

n )x(f

k của dãy  

 1 n

n)x(

tụ về y

Kí hiệu tập hợp các điểm giới hạn của dãy  

 1 n

n)x(

f là liminf f(xn)

n

2.1.2 Bổ đề Cho X, Y là các không gian mêtric và f:XY là ánh xạ Khi

đó các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng

(i) f là ánh xạ liên tục;

(ii) f(x) limsupf(xn)

n

 , với mọi dãy  

 1 n n

y không hội tụ về y, trong đó f xn ynvới mọi n và f(x) = y Khi đó tồn tại dãy con  

 1 k

nk

x của dãy  

 1 n n

k

n k

ysuplim

y Do đó, tồn tại dãy con

nk

y để limy y

j k

n  từ một lúc nào đó,

điều này mâu thuẫn với y U

k

n  với mọi k Vậy f là ánh xạ liên tục

(iii)(ii) Là hiển nhiên

(i)(iii) Giả sử  

 1 n n

x là dãy trong X mà limxn x X



 Khi đó vì f ánh xạ liên tục nên ta có  f(x) limsupf(xn)

nk

x của dãy  

 1 n n

 1 k

nk

x

f không thể hội tụ về hai phần tử khác nhau

trong Y Do đó ta có f(x) = y Vì vậy  f(x) limsupf(xn)

f 1 Từ đó suy ra (ii) đúng

Nếu yf(X), thì vì f(X) là tập mở nên ta có ynf(X) với mọi n đủ lớn, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử ynf(X), với mọi n Nhờ Mệnh đề 1.1.15, tập limsupf 1(yn)

U là một cơ sở lân cận mở giảm của  x đ-ợc chứa trong U, nghĩa là dãy các lân cận mở

Giả sử n=1 Khi đó theo giả thiết f(U1) là lân cận mở của f(x) = y trong Y Vì limyn y

1 n n

n ,y , y

y sao cho yn f(Uj),

j  với mọi j1, ,k và )

(

f

yn k1 với mọi nnk1 Khi đó,  

 1 k

nk

y là dãy con của dãy  

 1 n n

y Giả sử X

xk sao cho xkUk và

k

n

k) yx

 Điều này dẫn đến mâu thuẫn

Vậy f (y) limsupf 1(yn)

n

(ii)(i) Giả sử f không là ánh xạ mở Khi đó, tồn tại một tập con mở A của

X sao cho f(A) là không mở trong Y Suy ra    c

A

f không là tập đóng trong Y Do

đó tồn tại dãy  

 1 n n

y trong Y sao cho ynf(A) với moi n và lim yn y Y





nh-ng yf(A) Vì yf(A)nên tồn tại xA sao cho f(x) = y, tức xf1(y) Từ

giả thiết f (y) limsupf 1(yn)

y và dãy  

 1 k k

x trong X sao cho x f (y )

k

n 1 k



 với mọi k và x

2.1.5 Hệ quả Cho X và Y là các không gian mêtric tuyến tính và f:XY

là một ánh xạ tuyến tính Khi đó, các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng

(i) f là một ánh xạ liên tục;

(ii) 0 limsupf(xn),

n

y với mọi  

 1 n n

nkxcủa dãy  

 1 n n

kj

y của dãy  

 1 k k

n n

 Vậy f liên tục với mọi xX 

2.1.6 Mệnh đề Giả sử f:XY là một song ánh Khi đó, f là ánh xạ đóng nếu f (y) liminf f 1(yn),

n

  với mọi dãy  

 1 n n

y mà lim yn y Y



Chứng minh Giả sử f không là ánh xạ đóng Khi đó tồn tại tập E đóng

trong X mà f(E) không là tập đóng trong Y Do f(E) không là tập đóng nên với mọi n, tồn tại ynf E sao cho lim yn y



 Y, nh-ng yf(E) Theo giả thiết f (y) liminf f 1(yn)

)(yfinf

2.2 Một số đặc tr-ng của ánh xạ đóng, mở

và ánh xạ liên tục theo quan hệ bao hàm của tập hợp

Trong bài này ta luôn giả thiết X, Y là các không gian tôpô

2.2.1 Ký hiệu Cho ánh xạ f :XY và EX Khi đó ta ký hiệu

(i) f#(E)yY: f1(y)E;

(ii) #

E = f 1(f#(E));

(iii) Ec X\E là phần bù của E trong X

2.2.2 Định nghĩa Giả sử f :XY là ánh xạ Tập EX đ-ợc gọi là tập

bão hòa của X đối với ánh xạ f, nếu tồn tại tập con B của Y sao cho Ef1(B)

2.2.3 Nhận xét Giả sử f :XY là ánh xạ và EX Khi đó

(i) Tập E là tập bão hòa nếu Ef 1(f(E));

(ii) #

E là tập bão hòa;

(iii) Nếu f là song ánh thì mọi tập EX đều là tập bão hòa, vì Ef1 f(E))

2.2.4 Bổ đề Giả sử f :XYlà ánh xạ và E, A, B là các tập con của X Khi đó

(i) Nếu AB thì f#(A)f#(B);

(ii) f(E#)f#(E)f(X), với mọi EX;

(v) #  #  # 

,XX,Y)X(

(vi) f(E#)f#(E)f(E);

(vii) # c  c

f(E))

Nếu f#(A) thì với mọi yf#(A), ta có f1(y)AB

và yY Do đó )

E(y)

y(f:Yy)

y(f:Yy)(

(v) f# X yY:f 1 y XY

#   1 #    1  c

)X(ff))(f

 E f E

f #  , nên f(E#)f#(E)f(E) Từ đó ta có f(E#)f#(E)f(E)

(vii) Chứng minh # c  c

)E(f)E(

f  , với E là tập con của X Tr-ớc hết ta chứng minh # c  c

)E(f)E

(E

f  Giả sử  c 

f(E)  Lấy bất kì  c

)E(f

z

suy ra zf(E) Giả sử zf#(Ec) suy ra f1(z)Ec

từ đó tồn tại xof1(z) mà E

xo Suy ra f(xo)f(E), tức zf(E) Điều này mâu thuẫn với zf(E)c Suy ra

Từ đó ta chứng minh đ-ợc #  c c

)f(E(E)

f  và f(E)f#(Ec)c.(viii) Chứng minh f#(E)f#(E#) Thật vậy, do E# E nên f#(E#)f#(E)(1) Mặt khác giả sử f#(E)  , với bất kì yf#(E) ta có 1 1 #   #

EEff(y)

Do đó )

x   Vì thế ta có E#E 2 Từ (1) và (2) ta đ-ợc

E

E #

E

E = f1 f#(E)) thì theo định nghĩa E là tập bão hòa 

2.2.5 Bổ đề Giả sử f :XY là ánh xạ và E là tập con của X Nếu E là tập bão hòa đối với f thì Ec cũng là tập bão hòa đối với f

Chứng minh Giả sử f là một ánh xạ và E là tập con bão hòa đối với f trong

X Khi đó, ta có Ef1 f(E)) suy ra c  1 c 1  c

)E(ff))E(ff

B=[f(E)]c là tập con của Y, sao cho Ec= f1(B)

Vậy Ec cũng là tập bão hòa đối với f 

2.2.6 Bổ đề Giả sử f :XY là ánh xạ Khi đó, các mệnh đề sau là t-ơng

đ-ơng

(i) f là toàn ánh;

(ii) f#(A) f(A#), với mọi tập con A của X;

(iii) f#(A)f(A), với mọi tập con A của X;

(ii)(iii) Giả sử có f#(A)f(A#), với mọi tập con A của X Do A# A nên

)A

f hay f(X) = Y Do vậy f là toàn ánh 

2.2.7 Định lý Cho ánh xạ f :XY Khi đó các mệnh đề sau là t-ơng

đ-ơng

(i) f là ánh xạ mở;

(ii) f#(A)f#(A), với mọi tập AX;

(iii) f#(F) là tập đóng trong Y, với mọi tập đóng F trong X

Chứng minh (i)(ii) Giả sử f là ánh xạ mở và A là tập con bất kì

của X Nhờ Bổ đề 2.2.4 ta có #  cc

f(A)(A)

)f(A(A)

    oc

c c

c

)f(A)

f(A  ta suy ra   oc

c

#

)f(A(A)

f  Do f là ánh xạ mở nên theo Mệnh đề 1.2.3 ta có f(Ac)o  f(Ac)o Suy ra         o c

c c

o c

Af)

)(Af

 f   A c c f# A Vậy f#(A)f#(A)

(ii)(iii) Giả sử có (ii) và F là một tập đóng bất kì trong X Ta sẽ chứng

minh f#(F) là tập đóng trong Y Thật vậy, ta có FF, theo (ii) f#(F)f#(F)f#(F)

Suy ra f#(F)f#(F) hay f#(F) là tập đóng trong Y

(iii)(i) Giả sử có (iii) và U là tập mở nào đó trong X Ta cần chứng

minh f(U) là tập mở trong Y Thật vậy, ta có U là tập đóng trong X, theo (iii) c

(U

f  là tập đóng trong Y, suy ra f(U) là tập mở trong Y Vậy f là ánh xạ mở 