Góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải bài tập hình học tổ hợp

Luật giáo dục n-ớc Cộng Hoà Xã hội Chủ Nghĩa Việt Nam năm2005 quy định: “…ph-ơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm

1.4 Tiềm năng của hình học tổ hợp trong việc bồi d-ỡng t- duy

sáng tạo cho học sinh khá giỏi 7

Ch-ơng 2 Khai thác một số nội dung hình học tổ hợp vào

việc phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi 11

2.1 Sơ l-ợc về các chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THPT 11 2.2 Một số nội dung hình học tổ hợp liên quan đến chuyên đề bồi

2.2.1 Hình lồi, định lí Helly và một số ứng dụng 12 2.2.2 Phủ hình và một số vấn đề về bài toán phủ hình 20 2.2.3 L-ới điểm trong mặt phẳng 24 2.3 Một số ph-ơng pháp suy luận có thể áp dụng vào giải bài tập

3.4 Kết luận chung về thử nghiệm 53

Tài liệu tham khảo 55

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đất n-ớc ta đang b-ớc vào giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ từ một n-ớc nông nghiệp về cơ bản sẽ trở thành n-ớc công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá và hội nhập quốc tế là con ng-ời, là nguồn lực của ng-ời Việt Nam

Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải h-ớng vào việc đào tạo những con ng-ời tự chủ sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề th-ờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất n-ớc…”

Luật giáo dục n-ớc Cộng Hoà Xã hội Chủ Nghĩa Việt Nam (năm2005) quy

định: “…ph-ơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động

đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Vấn đề bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh đã đ-ợc nhiều tác giả trong

và ngoài n-ớc quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" nổi tiếng,

nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải

toán, quá trình sáng tạo toán học Đồng thời trong tác phẩm "Tâm lý năng lực toán

học của học sinh", nhà tâm lí học Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán

học của học sinh ở n-ớc ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ D-ơng Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh Việc bồi d-ỡng và phát triển t- duy sáng tạo trong hoạt

động dạy học toán đ-ợc rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm và đang là nhu cầu cần thiết trong hoạt động dạy và học hiện nay

Năm 2001 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có quy định 11 chuyên đề bồi d-ỡng

học sinh giỏi toán thống nhất trong toàn quốc, trong đó có chuyên đề hình học tổ

hợp Nh- vậy việc dạy học giải toán hình học tổ hợp cho học sinh khá giỏi đang là

một nhu cầu thực tế Tuy nhiên cho đến nay việc triển khai dạy học chủ đề này

đang có những khó khăn vì nhiều lí do vì tính mới mẻ và độc đáo của dạng toán

này hơn nữa tài liệu về loại toán này còn hạn chế

Vì vậy, tôi chọn “Góp phần bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh khá,

giỏi thông qua dạy học giải bài tập hình học tổ hợp” làm đề tài nghiên cứu của

mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khoá luận này tìm hiểu về chuyên đề hình học tổ hợp nhằm

góp phần bồi d-ỡng một số yếu tố t- duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi, chuẩn bị

cho việc thực hiện nhiệm vụ bồi d-ỡng học sinh giỏi toán

3 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học hình học tổ hợp theo định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho

học sinh khá giỏi thì có thể góp phần phát triển một số yếu tố t- duy sáng tạo cho

học sinh góp phần hoàn thành tốt nhiệm vụ dạy học toán ở tr-ờng phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Làm sáng tỏ khái niệm t- duy, t- duy sáng tạo

-Trình bày một số nội dung hình học tổ hợp bồi d-ỡng cho học sinh khá giỏi

-Nghiên cứu một số ph-ơng pháp giúp học sinh giải toán hình học tổ hợp và

một số định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi

-Tiến hành thực nghiệm s- phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực

tính hiệu quả của đề tài

5 Ph-ơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy

học môn toán, các sách báo, các tài liệu về toán rời rạc có liên quan đến đề tài

Quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong

quá trình dạy học và giải toán về hình học tổ hợp

Thử nghiệm s- phạm

Tiến hành dạy thử một số nội dung về Hình học tổ hợp cho học sinh giỏi

toán khối 11 trong các buổi bồi d-ỡng

6 Cấu trúc luận văn

A Phần mở đầu

- Lý do chọn đề tài

- Mục đích nghiên cứu

- Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giả thiết khoa học

Ch-ơng1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 T- duy

Hoạt động thực tiễn đòi hỏi con ng-ời ta phải nhận thức đ-ợc đúng đắn chính xác các sự vật, hiện t-ợng của tự nhiên và xã hội và quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là t- duy

T- duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ,có tính quy luật của các sự vật hiện t-ợng, sản phẩm của t- duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận đ-ợc biểu đạt bằng ngôn ngữ

Các giai đoạn của t- duy:

+ Xác định vấn đề, biểu đạt vấn đề + Huy động các tri thức kinh nghiệm + Sàng lọc các liên t-ởng, hình thành giả thuyết + Kiểm tra giả thuyết

+ Giải quyết nhiệm vụ Xét về mặt bản chất thì đó là quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đ-ợc đặt ra nhờ quá trình phân tích tổng hợp, so sánh, trừu t-ợng hoá, khái quát hoá

Nh- vậy t- duy giúp con ng-ời nắm đ-ợc bản chất và quy luật vận động của

tự nhiên, xã hội và con ng-ời

1.2 T- duy toán học

T- duy toán học đ-ợc hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất phát hiện những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các đối t-ợng toán học mà tr-ớc đó ta ch-a biết

Sản phẩm của t- duy toán học là những khái niệm, định lí, quy tắc, ph-ơng pháp…mang tính khái quát tính trừu t-ợng cao, có tính lôgic chặt chẽ Các tri thức

có mỗi quan hệ mất thiết với nhau, đ-ợc biểu đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ viết Trong cuốn “Ph-ơng pháp dạy học toán” tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: việc dạy toán không chỉ dừng lại ở chỗ chỉ để ng-ời học lĩnh hội đ-ợc tri thức toán học, rèn luyện các kĩ năng, kỹ xảo mà đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc

đẩy sự phát triển của ng-ời học, buộc học sinh phải tích cực suy nghĩ phấn đấu

nhằm đạt đ-ợc mục tiêu, đồng thời qua đó hình thành và rèn luyện cho ng-ời học những ph-ơng pháp suy nghĩ, ph-ơng pháp t- duy và ph-ơng pháp làm việc khoa học Phát triển t- duy toán học cho ng-ời học là một lĩnh vực vừa rộng lớn, vừa khó khăn, ng-ời giáo viên dạy toán cần phải biết tích luỹ kiến thức, rút kinh nghiệm một cách th-ờng xuyên và lâu dài, để từ đó vững vàng hơn về chuyên môn nghiệp

vụ, có những biện pháp rèn luyện và phát triển t- duy toán học một các thích hợp cho từng loại học sinh trong quá trình giảng dạy

Việc hiểu, nắm vững hệ thống kiến thức đã học và thực hành vận dụng chúng th-ờng xuyên trong học tập là cơ hội để rèn luyện t- duy, tạo dựng đ-ợc kĩ năng t- duy và vì thế t- duy càng đ-ợc phát triển.Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở viêc thực hành vận dụng kiến thức đã học theo khuôn mẫu đã định mà không có sự phân tích,

đánh giá để loại bỏ những bất hợp lí và đúc rút kinh nghiệm sau khi giải quyết một vấn đề, một bài toán thì t- duy sẽ thiếu linh hoạt, đúc rút kinh nghiệm sau khi giải quyết một vấn đề không chỉ là cơ hội rèn luyện và hoàn thiện các thao tác t- duy

mà còn giúp ng-ời học t- duy sâu sắc hơn, phát triển hơn

Theo tác giả Tôn Thân trong [5] quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý t-ởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao T- duy sáng tạo là t- duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính

độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp, mỗi sản phẩm của t- duy sáng tạo đều mang đâm dấu ấn của mỗi cá nhân tao ra nó”

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", Nhà toán học G.Polya cho rằng: "Một t-

duy gọi là có hiệu quả nếu t- duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó

Có thể coi là sáng tạo nếu t- duy đó tạo ra những t- liệu, ph-ơng tiện giải các bài

toán sau này Các bài toán vận dụng những t- liệu ph-ơng tiện này có số l-ợng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao”

Đối với học sinh thì t- duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó ch-a biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, t- duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn một cách hợp lí tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao Một bài tập cũng đ-ợc xem nh- là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là nếu ng-ời giải ch-a biết tr-ớc thuật toán để giải và phải tiến hành tự tìm hiểu những b-ớc đi ch-a biết tr-ớc Khi dạy học cần cho học sinh hoạt động theo nội dung trên

Nh- vậy việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh là rất cần thiết đặc biệt là bồi d-ỡng cho học sinh khá giỏi

Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm “tư duy tích cực’’, “tư duy độc lập” và “tư duy sáng tạo”, nhà tâm lí học V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn quan hệ đó d-ới dạng những đ-ờng tròn đồng tâm (xem hình biểu diễn) Đó là mức độ t- duy khác nhau

mà mỗi mức độ t- duy đi tr-ớc là tiền đề cho mức độ t- duy đi sau Trong t- duy sáng tạo có t- duy tích cực và t- duy độc lập nh-ng không phải mọi t- duy tích cực đều là t- duy độc lập, và không phải mọi t- duy độc lập là t- duy sáng tạo

T- duy tích cực

T- duy độc lập

T- duy sáng tạo

Tính tích cực thể hiện ở mức độ say mê, sự gắng sức tìm hiểu vấn đề Tính độc lập thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định ph-ơng h-ớng, tìm cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt đ-ợc

1.4 Tiềm năng của hình học tổ hợp trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

Hình học tổ hợp là một nhánh mới của hình học Tuy nó ch-a đ-ợc phổ cập

và trình bày đầy đủ ở một cuốn sách chuyên môn nào mang tính phổ thông nh-ng

đã có khá nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu về hình học tổ hợp và đang thu hút

nhiều học sinh khá giỏi ham hiểu biết Có thể kể ra một số tài liệu đ-ợc xuất bản

gần đây nh- :“Một số chuyên đề hình học tổ hợp” của tác giả Nguyễn Hữu Điển,

“Các bài toán hình học tổ hợp”của tác giả Vũ Hữu Bình, “Một số kiến thức về hình học tổ hợp” của tác giả Vũ Đình Hoà …Tuy ch-a có một định nghĩa nào cho

khái niệm Hình học tổ hợp nh-ng các tác giả cũng đã có nhiều nhận xét mang tính mô tả về loại toán này

Trong cuốn “Một số chuyên đề hình học tổ hợp” tác giả Nguyễn Hữu Điển

cho rằng: “Hình học tổ hợp là một bộ phận của hình học nói chung, nh-ng trong đó ng-ời ta xét các bài toán có liên quan đến tìm và đặc tr-ng hoá tối -u theo một nghĩa nào đó một số l-ợng điểm và một số dạng hình Ví dụ nh- cho một đa giác

đ-ợc phủ bởi một đa giác khác, l-ới trong mặt phẳng đ-ợc ghép bởi những hình bình hành bằng nhau….Tất cả những bài toán này đều liên quan đến việc nghiên cứu và so sánh những tổ hợp khác nhau của những phần tử mà chúng thoả mãn những điều kiện đã cho Để giải những bài toán này ng-ời ta cần sử dụng kiến thức toán học có tính chất tổ hợp cho hình học”

Hình học tổ hợp là một dạng toán khó th-ờng xuất hiện trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán trong và ngoài n-ớc Nó không có ph-ơng pháp giải tổng quát nào cho mỗi bài Chính vì vậy giải toán hình học tổ hợp đòi hỏi học sinh phải t- duy sáng tạo Tuy nhiên có thể phân chia theo từng dạng toán để dễ tiếp thu hơn

Còn theo tác giả Vũ Hữu Bình trong [6]“Các bài toán của hình học tổ hợp th-ờng không đòi hỏi nhiều về kĩ năng về kiến thức và kĩ năng tính toán, chúng chủ yếu đòi hỏi sự chặt chẽ trong việc xét các khả năng, sự sáng tạo trong việc đ-a ra một mô hình cụ thể sự linh hoạt trong việc vận dụng các ph-ơng pháp Nhiều bài toán cùng một nội dung, chỉ khác nhau về con số nh-ng lại yêu cầu những cách giải quyết khác nhau, đòi hỏi ng-ời giải toán không thể rập khuôn, máy móc Chỗ khó và cũng là thế mạnh của hình học tổ hợp là ở chỗ đó”

Trên thế giới nhiều n-ớc nh- Mỹ, Tây Âu đã đ-a lọai toán này vào giảng dạy

ở các nhà tr-ờng ở n-ớc ta tuy ch-a có một giáo trình chuyên môn nào giảng dạy trong ch-ơng trình học phổ thông và đại học nh-ng cũng đã có một số nội dung dạng toán đ-ợc dạy trong các lớp bồi d-ỡng học sinh giỏi, trình bày trong sách bài

X

Y

B

A

tập nâng cao và các đề thi học sinh giỏi Một số cuốn sách của các tác giả nêu trên

hấp dẫn và lí thú thu hút bạn đọc tìm hiểu và nghiên cứu

Để minh hoạ một số tiềm năng nói trên chúng tôi xin trích dẫn một số ví dụ

nh- sau:

Ví dụ1: Trong mặt phẳng cho 25 điểm Biết rằng giữa 3 điểm bất kỳ trong

chúng có thể chọn đ-ợc 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 chứng minh

rằng giữa những điểm này có thể chọn đ-ợc 13 điểm phủ bởi đ-ờng tròn bán kính

bằng 1

Để giải bài toán này thực sự chỉ cần đến kiến thức về tổ hợp.Tuy nhiên

những kiến thức đó đ-ợc vận dụng vào bài toán nh- thế nào thì cần có sự phân tích

và nhìn nhận một cách hợp lí

Nhận xét: Nếu khoảng cách giữa 2

điểm bất kỳ trong 25 điểm đã cho đều nhỏ

hơn 1 thì khẳng định của bài toán hiển nhiên

đúng Chúng ta vẽ đ-ờng tròn bán kính bằng

1 với tâm là một điểm bất kỳ nào đó phủ

những điểm đã cho

Nếu tồn tại 2 cặp điểm A, B, sao cho

AB >1 Ta lấy 1 điêm X bất kỳ mà X  A, X  B Với 3 điểm A, B, X, trong đó AB >1 suy ra AX < 1 hoặc BX < 1(theo giả thiết)

Vậy những điểm còn lại chia thành 2 lớp:

Lớp các điểm X sao cho AX < 1 và Lớp các điểm Y sao cho BY < 1

Các điểm thuộc lớp thứ nhất đ-ợc phủ bởi hình tròn tâm A bán kinh 1, c ác

điểm thuộc lớp thứ 2 đ-ợc phủ bởi hình tròn tâm B bán kinh 1

Mỗi điểm đã cho rơi vào 1 trong 2 lớp trên Tổng số điểm ở 2 lớp là 25 nên ít

nhất 1 trong 2 lớp phải có không ít hơn 13 điểm Suy ra có thể chọn đ-ợc 13 điểm

phủ bởi đ-ờng tròn bán kính bằng 1

Ví dụ 2: Cho ABC nhọn, có SABC = 1 Chứng minh rằng tồn tại 1 tam

giác vuông có diện tích không v-ợt quá 3 phủ kín ABC

Để giải bài toán này cũng chỉ cần kiến thức cơ bản của hình học sơ cấp Tuy nhiên cũng đòi hỏi sự linh hoạt sáng tạo để chỉ ra đ-ợc tam giác phủ ABC mà diện tích không v-ợt quá 3 Việc chỉ ra ABC cũng khá đơn giản nh-ng có tính

Vì BAC < 900 => B, C nằm trong đ-ờng tròn ta

đ-ợc DAE phủ ABC đã cho Chỉ cần chứng

minh SDAE  3.Ta có

Xét góc AMB và AMC => tồn tại 1 trong 2 góc lớn hơn 900

Qua việc phân tích trên ta có thể thấy ph-ơng pháp giải các bài toán hình học

tổ hợp không theo khuôn mẫu nào cả mà đòi hỏi khả năng t- duy linh hoạt sáng tạo của ng-ời giải toán để tìm ra ph-ơng pháp giải Nếu biết khai thác các bài toán về hình học tổ hợp thì có thể góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh (đặc biệt bồi d-ỡng cho học sinh khá giỏi)

Kết luận: Trong ch-ơng 1 chúng tôi đã đề cập đến một số vấn đề sau:

-Tìm hiểu về t- duy, t- duy toán học và t- duy sáng tạo

-Tiềm năng của hình học tổ hợp trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi THPT

A

Ch-ơng 2 khai thác một số nội dung hình học tổ hợp vào

việc phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi 2.1 Sơ l-ợc về các chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THPT

Năm 2002 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có quy định 11chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi toán thống nhất trong toàn quốc Các chuyên đề đó bao gồm:

2.2 Một số nội dung hình học tổ hợp liên quan đến chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THPT

Nội dung chuyên đề một số yếu tố của hình học tổ hợp, đ-ợc quy định của

Bộ gồm: -Hình lồi: các khái niệm và một số tính chất đơn giản

-Đ-ờng kính của một hình Bài toán phân chia một hình phẳng

-Bài toán chiếu sáng

-L-ới điểm trên mặt phẳng Giải toán bằng ph-ơng pháp dùng l-ới điểm -Bài toán phủ

Trong khóa luận này chúng tôi chỉ đề cập một số vấn đề sau:

-Hình lồi, định lí Helly và một số ứng dụng

-Bài toán phủ hình -L-ới trong mặt phẳng

2.2.1 Hình lồi, định lí Helly và một số ứng dụng

2.2.1.1 Khái niệm về hình lồi

Trong sách giáo khoa đa giác lồi đã đ-ợc đề cập và định nghĩa nh- sau: Một

đa giác đ-ợc gọi là lồi nếu nó nằm về một phía của đ-ờng thẳng đi qua một cạnh

bất kỳ Ta xét khái niệm mở rộng cho những hình giới hạn bởi những đoạn không

phải là đoạn thẳng Khái niệm thu đ-ợc chính là hình lồi dựa trên cơ sở kháI quát

một tính chất của đa giác lồi: đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì của một miền đa giác

nằm trọn vẹn trong miền đa giác đó Ta có khái niệm hình lồi nh- sau:

Một hình F đ-ợc gọi là hình lồi nếu hai điểm A, B bất kỳ thuộc F thì đoạn

thẳng AB cũng thuộc F

Khái niệm này giúp học sinh khắc phục đ-ợc hạn

chế trên và mở rộng hơn khái niệm sách giáo khoa tạo

ra ph-ơng pháp chứng minh các hình lồi sau này

Fi =>ABF Vậy F là hình lồi

+ Dễ thấy: hợp của các hình lồi ch-a chắc là một hình lồi.Chẳng hạn mỗi

đ-ờng thẳng là một hình lồi nh-ng hợp của 2 đ-ờng thẳng phân biệt không phải là

một hình lồi

+ Hình F gọi là bao lồi của hình F nếu F là giao tất cả những hình lồi chứa

F, nh- vậy F là hình lồi nhỏ nhất chứa F

2.2.1.2 Định lí Helly

Định lí Helly là một định lí có nhiều ứng dụng trong giải một số bài toán về

hình học tổ hợp Định lí này đ-ợc nhà toán học Helly chứng minh Nội dung của

định lí Helly đ-ợc phát biểu nh- sau:

Trong mặt phẳng cho n > 3 hình lồi, nếu mọi bộ 3 hình đều có điểm chung

thì n hình đã cho có điểm chung

Chứng minh:

Ta chứng minh định lý bằng ph-ơng pháp quy nạp Thật vậy:

Với n = 4, gọi F1, F2, F3, F4 là 4 hình lồi có tính chất: giao của 3 hình bất kỳ

trong chúng khác rỗng

Ta lấy các điểm:

A1  F2  F3  F4

A2 F1  F3  F4

A3 F1  F2  F4

A4 F1  F2  F3

Khi đó F1 chứa A2, A3, A4 => F1 chứa A2A3A4 (vì F1lồi); F2 chứa A1, A3, A4 => F2 chứa A1A3A4 (vì F2lồi) ; F3 chứa A1, A2, A4 => F3 chứa A1A2A4 (vì F3lồi) ; F4 chứa A1, A2, A3 => F4 chứa A1A2A3 (vì F4lồi) Ta sẽ chỉ ra các điểm chung của F1, F2, F3, F4 Ta xét các tr-ờng hợp sau: + TH1: A1A2A3A4 là tứ giác lồi

khi đó O = A1A3  A2A4 => O thuộc các tam giác đã xét trên => O là điểm chung của 4 hình F1, F2, F3, F4

+ TH2: 3 trong 4 điểm A1, A2, A3, A4 tạo thành một tam giác chứa điểm còn lại hoặc điểm còn lại nằm trên cạnh của tam giác này

Giả sử điểm đó là A4 và tam giác là A1A2A3

=> A4 là điểm chung của 4 hình F1,F2,F3,F4

+ TH3: A1, A2, A3, A4 nằm trên 1 đ-ờng thẳng Giả sử A1A4 chứa A2, A3

=>A2, A3 là điểm chung của 4 hình F1,F2,F3,F4

Vậy trong 3 TH xảy ra thì ta đều tìm đ-ợc điểm chung của 4 hình Nh- vậy định lí đúng với n = 4

Giả sử định lý đúng cho n hình lồi Ta xét n+1 hình lồi F1, F2, Fn+1 tuỳ ý có

tính chất là một bộ ba hình bất kỳ trong chúng đều có điểm chung

A1

A3

A4

A2

A1 A2 A3 A4

Dễ thấy F/n cũng là hình lồi vì Fn và Fn+1 là hình lồi

Ta sẽ chứng minh n hình F/1, F/2, F/n thoả mãn mọi bộ ba hình đều có điểm chung

Thật vậy nếu mỗi tập trong bộ 3 hình F/

i, F/

j, F/

k bất kỳ không phải là F/

n thì

có điểm chung theo giả thiết quy nạp

Nếu một tập trong bộ 3 hình F/i, F/j, F/k là F/n Giả sử F/k = F/n khi đó áp dụng

định lý cho tr-ờng hợp n=4 vừa chứng minh trên cho F/i, F/j, Fn, Fn+1 thoả mãn 3 hình đều có điểm chung nên 4 hình có điểm chung hay bộ 3 hình F/i, F/j, F/n có

điểm chung Vậy F/1, F/2, Fn/thoả mãn mọi bộ 3 hình có điểm chung, áp dụng giả thiết quy nạp cho n hình bất kì suy ra F/

1, F/

n có điểm chung hay F1, F2, Fn, Fn+1

có điểm chung Định lý đ-ợc chứng minh

phẳng cho n > 3 hình lồi, chúng có điểm chung

khi và chỉ khi mọi bộ 3 hình bất kỳ trong

chúng đều có điểm chung

Một số tr-ờng hợp đặc biệt cho định lý Helly

1) Xét định lý Helly cho n đoạn thẳng nằm trên một đ-ờng thẳng

Ta chứng minh đ-ợc trong 3 đoạn thẳng nằm trên một đ-ờng thẳng nếu hai

đoạn thẳng bất kỳ có điểm chung thì 3 đoạn thẳng có điểm chung (1)

Do vậy định lý đ-ợc phát biểu nh- sau: Trên đ-ờng thẳng cho n đoạn thẳng nếu mọi cặp hai đoạn thẳng có điểm chung thì tồn tại điểm chung của n đoạn thẳng.(2)

F4

F3

F2 F1

Chứng minh: Ta xem đ-ờng thẳng nh- là một trục số và các đoạn thẳng là các đoạn trên trục số

Tr-ớc tiên ta chứng minh khẳng định (1) a1 a2 b1 b2

Giả sử các đoạn thẳng đó đ-ợc biểu diễn [ [ [ ] ] ]

thành [ a1, b2 ], [ a2, b2 ], [ a3, b3 ] a3 b3 Do [ a1, b1 ]  [ a2, b2 ] ≠  max{ a1,a2} ≤ min{ b1, b2 } Thật vậy gọi c  [ a1, b1] ∩ [ a2, b2 ] => c ≥ a1, a2 ; c ≤ b1, b2 => max{ a1, a2} ≤ c ≤ min{ b1, b2} => max{a1, a2 } ≤ min{b1 , b2} T-ơng tự ta có max{a1, a3 } ≤ min{ b1, b3 }; max{a2, a3 } ≤ min{ b2, b3 } => max{ a1, a2, a3 } ≤ min{ b1, b2, b3 } Khi đó chọn c sao cho : max{ a1, a2, a3 } ≤ c ≤ min{ b1, b2, b3 } thì a1 ≤ c ≤ b1 hay c  [ a1, b1 ] a2 ≤ c ≤ b2 hay c  [ a2, b2 ] => c là điểm chung 3 đoạn a3 ≤ c ≤ b3 hay c  [ a3, b3 ] Từ chứng minh (1) ta chỉ cần mọi cặp đoạn thẳng trên đ-ờng thẳng có điểm chung thì mọi bộ 3 đoạn thẳng trên trục cũng có điểm chung Do đó áp dụng định lý Helly n đoạn có điểm chung Vậy (2) đ-ợc chứng minh 2)Xét định lí Helly cho n hình bình hành có các cạnh song song với hai đ-ờng thẳng cố định Nếu mọi cặp hình bình hành có điểm chung thì n hình bình hành có điểm chung Thật vậy: Giả sử 3 hình bình hành đã cho là F1, F2, F3 có các cạnh song song với hai trục toạ độ Ox, Oy nh- hình vẽ.Lấy các điểm:

A1  F1 ∩ F2

A2  F1 ∩ F3 => A2, A3  F1

A3  F1 ∩ F2

Ký hiệu (xi, yi) là toạ

độ của Ai với hệ trục toạ độ

x y

O

A2 F1

A3

x3

x2

P

x

y

y2

y3

( Ox, Oy ),i = 1 , 3

Không mất tính tổng quát ta giả sử: x1 ≤ x2 ≤ x3.

F1 chứa A2, A3 => F1 chứa P ( x, y) sao cho

x2 ≤ x ≤ x3

y3 ≤ y ≤ y2 nếu y3 ≤ y2

Hoặc y2 ≤ y ≤ y3 nếu y2 ≤ y3

T-ơng tự F2 sẽ chứa tất cả những điểm P có tọa độ (x,y) sao cho x1 ≤ x ≤ x3

y3 ≤ y ≤ y1 nếu y3 ≤ y1, hoặc y1 ≤ y ≤ y3 nếu y1 ≤ y3 Ta lặp lại lí luận trên

với hình bình hành F3 sẽ thu nhận đ-ợc sự tồn tại của P(x2, y) mà nó nằm trên cả 3

hình Thật vậy ta chỉ cần lấy y sao cho y = min{ y1, y2, y3 }

áp dụng định lý Helly cho n hình bình hành có cạnh song song với hai

đ-ờng thẳng cố định cho tr-ớc ta chứng minh

đ-ợc n hình bình hành thoả mãn mọi cặp 2

hình đều có điểm chung thì có điểm chung

cho tất cả n hình

Nhận xét: 1.Trong tr-ờng hợp 1) n

đoạn thẳng phải cùng nằm trên 1 đ-ờng thẳng

Nếu các đoạn thẳng này nằm trên các đ-ờng

thẳng khác nhau thì kết luận không đúng

Chẳng hạn 3 đoạn thẳng là 3 cạnh của một tam giác

2.Ta có thể giải bài toán dựa vào bài toán 1 bằng cách chiếu các hình bình

hành xuống các trục tọa độ Do mỗi cặp 2 hình đều có điểm chung nên hình chiếu

trên mỗi trục tọa độ có điểm chung Gọi a, b là các điểm lần l-ợt trên trục Ox và

trục Oy thì điểm chung P(a, b) thuộc 3 hình bình hành đã cho

3 Điều kiện cạnh hình bình hành song song với 2 đ-ờng thẳng cố định là rất

cần thiết thiếu điều kiện này thì định lý không đúng nữa Ví dụ hình vẽ bên không

tìm đ-ợc điểm chung F1, F2, F3

Một số bài toán ứng dụng định lý Helly:

F3 F2

F1

1) Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho k điểm, k ≥ 3 Biết rằng mọi cặp 3 điểm trong chúng đều nằm trong đ-ờng tròn bán kính bằng 1 Khi đó tất cả những điểm

đã cho đều chứa trong đ-ờng tròn bán kính bằng 1

Giải: Giả sử k điểm đã cho là x1, x2, xk Để chứng minh k điểm đã cho nằm trong một đ-ờng tròn bán kính bằng 1 Ta chứng minh tồn tại điểm x sao cho x cách mỗi

điểm xi, i = 1 ,k một khoảng không v-ợt quá1, ký hiệu khoảng là xx ≤ 1 1

Gọi Bi là hình tròn tâm xi, bán kính bằng 1

để chỉ ra sự tồn tại của x ta cần chỉ ra k hình tròn

B1,B2, Bk có điểm chung Do vậy chỉ cần chỉ ra 3

hình tròn bất kỳ trong chúng có điểm chung và sau

đó áp dụng định lý Helly

Không mất tính tổng quát ta chứng minh B1,B2,B3

có điểm chung Theo giả thiết tồn tại B là hình

2) Bài toán 2: ( Định lý Youg)

Trong mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm, khoảng cách giữa hai điểm bất

kỳ trong chúng không v-ợt quá 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính

bằng

3

1

chứa tất cả những điểm đã cho

Giải: Nếu chứng minh mọi bộ 3 điểm trong hữu hạn điểm nói trên đều nằm

trong một hình tròn bán kính

3

1

thì lặp lại chứng minh bài toán 1 ta chứng minh

đ-ợc hữu hạn điểm đó nằm trong hình tròn bán kính

3

1

Lấy 3 điểm bất kỳ A, B, C với khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ không v-ợt quá 1

x3x

Xét TH1:ABC là tam giác tù hoặc vuông

Giả sử tại A là góc tù hoặc góc vuông, khi đó BC là

cạnh dài nhất Gọi I là trung điểm BC suy ra A

Khi đó tồn tại một góc có số đo không nhỏ hơn 600 Giả sử góc đó là A Gọi O là

tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC, bán kính r

điểm đã cho nằm trong đ-ờng tròn bán kính

Trên mặt phẳng cho một số các hình tròn Biết rằng có 1 đĩa tròn có tính chất là: với 3 hình tròn tuỳ ý trong chúng luôn có thể tìm vị trí đặt đĩa cắt cả 3 hình tròn

đó Chứng minh rằng luôn có thể tìm đ-ợc vị trí để đặt đĩa cắt tất cả các hình đã cho

chung Suy ra họ hình tròn  Fi i = 1 ,n thỏa

mãn giả thiết định lí Helly nên họ hình tròn

 Fi i = 1 ,n có điểm chung Đặt đĩa ( I0, R)

sao cho I0 thuộc vào giao của hệ  Fi i = 1 ,n

thì ( I0, R) có giao với mọi hình

Giải: Lời giải đ-ợc tiến hành t-ơng tự nh- sau:

Giả sử có n hình tròn đã cho là ( Ii, Ri), i = 1 ,n, Ri > 0 Gọi ( I0, R) là đĩa tròn Với 3 hình tròn tuỳ ý ca(Ia,Ra), cb(Ib,Rb), cc(Ic,Rc) luôn tìm đ-ợc điểm I sao cho

I3 I

IIi<R-Ri,với R>Ri,ia, b,c  Kí hiệu Fi là các

hình tròn ( Ii, R-Ri) khi đó Fa, Fb, Fc có điểm chung

Suy ra họ hình tròn  Fi i = 1 ,n thỏa mãn giả thiết

2.2.2.2 Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự với nó

Xét 1 đa giác lồi F, có thể phủ F bằng một số đa giác mà chúng là ảnh của F qua một phép vị tự với tỉ số k < 1 và sẽ cần ít nhất bao nhiêu đa giác nh- vậy để phủ kín

F

1) Xét bài toán trên cho tr-ờng hợp F là ABC

Lấy A1, B1 lần l-ợt thuộc đoạn AC và BC sao cho A1B1 // AB Ta đ-ợc CA1B1, là

ảnh của CAB qua phép vị tự tâm C tỉ số

k< 1

T-ơng tự với A2C2 // AC, C1B2 // CB

ta thu đ-ợc 3 tam giác: CA1B1, AC1B1,

BA2C2 là ảnh của tam giác ABC qua phép vị

tự với tỉ số k thích hợp, k < 1 sẽ phủ ABC

Ta sẽ chứng minh cần ít nhất 3 tam giác vị tự

với ABC, nghĩa là không thể phủ ABC

bởi 2 tam giác vị tự với nó, tỉ số k < 1

Suy ra tồn tại đoạn thẳng thuộc A/B/C/ song

song với AB có độ dài lớn hơn AB Mâu thuẫn

với tỉ số vị tự k < 1

Suy ra để phủ A và B cần ít nhất 2 tam giác là

ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự với tỉ số k<1 Giả sử là A/B/C/ và A//B//C// Không mất tính tổng quát ta giả sử A A/B/C/ do vậy B  A//B//C//

Suy ra C  A/B/C/  A//B//C//

Vậy 2 tam giác A/B/C/ và A//B//C// không thể phủ ABC

2) Xét bài toán cho tr-ờng hợp F là hình bình hành ABCD

Cần ít nhất 4 hình bình hành là ảnh của ABCD qua phép vị tự với tỉ số vị tự

của hình bình hành ABCD qua phép vị tự

với hệ số k < 1 phủ 2 đỉnh liên tiếp của

ABCD Suy ra cần ít nhất 4 hình bình hành nh- vậy mới có thể phủ ABCD

3) Xét tr-ờng hợp F là đa giác lồi không phải là hình bình hành

Khi đó ít nhất cần 3 đa giác là ảnh của F qua phép vị tự tỉ số k<1 phủ đa giác F

Đây là kết quả của 2 nhà toán học Nga Gohberg và Markus tìm ra năm 1960

Chứng minh kết quả trên dựa vào bổ đề sau:

Bổ đề: Trong một đa giác lồi khác hình bình hành, tồn tại một tam giác tạo bởi

3 cạnh của đa giác cùng với phần kéo dài của chúng chứa đa giác đã cho

có một cặp cạnh đối không song song

Kéo dài cặp cạnh này ta có tam giác

bao tứ giác đã cho.(hình vẽ)

Với F là đa giác n cạnh(n5) luôn tồn

tại 2 cạnh không song song, không có

điểm chung Kéo dài 2 cạnh này(có thể

chọn 2 cạnh mà chỉ có một cạnh xen

giữa), lấy giao điểm thay cho 2 đỉnh của

cạnh xen giữa 2 cạnh kéo dài ta có đa

giác mới chứa đa giác đã cho cũng là đa

giác lồi và có số cạnh giảm đi 1

Tiếp tục quá trình trên cuối cùng hoặc

ta nhận đ-ợc một tam giác hoặc nhận

đ-ợc một hình bình hành

Nếu cuối cùng thu đ-ợc tam

giác thì tam giác này có các cạnh tạo

bởi các cạnh của đa giác xuất phát

cùng các phần kéo dài của cạnh đó

Vậy có điều phải chứng minh

Nếu cuối cùng nhận đ-ợc hình bình hành ABCD suy ra tồn tại 1 trong các

đỉnh A, B, C, D không phải là đỉnh của F vì nếu A, B, C, D đều là đỉnh của F thì

FABCD

C E

gần nhất đối với D, qua K có 2

cạnh đi qua, 2 cạnh này giao

với AD và CD tại L và K Kéo

dài KL, vì F là lồi suy ra F nằm

về một phía với KL ta có tam

giác phải tìm có 3 cạnh lần l-ợt là: AB, BC, KL

Chứng minh kết quả với F là đa giác lồi, không phải là hình bình hành thì sẽ

có ít nhất 3 đa giác là ảnh của F qua phép vị tự với hệ số k<1 phủ F

Giả sử đa giác F là

nối chúng với điểm O

trong đa giác Nối

OP, OQ, OR chia đa giác thành 3 phần m1, m2, m3

1 không có điểm chung với

đ-ờng gấp khúc POQ

D

C

2.2.3.1 Kh¸i niÖm l-íi trong mÆt ph¼ng

1) §Þnh nghÜa: Cho h×nh b×nh hµnh cã c¹nh a vµ b, ta x©y dùng mét phñ mÆt

ph¼ng gåm nh÷ng h×nh b×nh hµnh b»ng h×nh b×nh hµnh ban ®Çu ( qua phÐp tÞnh tiÕn)

L-ới là tập hợp các đ-ờng thẳng chứa các cạnh của hình bình hành, đỉnh của

hình bình hành đ-ợc gọi là nút của l-ới Hình bình hành ban đầu đ-ợc gọi là hình

bình hành sinh l-ới

Ta có thể định nghĩa l-ới theo

một ph-ơng pháp khác:

Xét trong mặt phẳng hệ trục toạ

độ (không nhất thiết là hệ vuông góc),

a và b là 2 số cố định Tập hợp tất cả

những điểm trong mặt phẳng đối với

hệ toạ độ đã chọn trên, có toạ độ là

(ma, nb) với m, n  Z tạo thành các

nút của l-ới, l-ới này đ-ợc tạo bởi

chứng minh các nút của l-ới ban đầu trùng với nút của l-ới thu đ-ợc sau khi tịnh

tiến theo AB Chọn hệ toạ độ sao cho A trùng gốc toạ độ

Gọi N là tập các nút của l-ới thì

Nhận xét: Kết quả vẫn không thay đổi nếu ta thực hiện phép vị tự có tâm là một nút của l-ới và tỉ số vị tự k  Z

Cho hình bình hành ABCD, A, B, C là các nút của l-ới Khi đó D cũng là một nút của l-ới Thật vậy A, B, C  N và TAB (C) = D => D  N

Bài toán: Cho hình bình hành các đỉnh của nó là những nút l-ới Chứng

minh rằng nếu hình bình hành này không chứa trong nó và trên cạnh của M những nút khác ngoài các đỉnh thì thì nó là hình bình hành sinh ra một l-ới

Chứng minh: Giả sử hình

bình hành đã cho là ABCD suy ra

l-ới sinh bởi ABCD có các nút là

các nút của l-ới ban đầu (tập N)

Ta chứng minh chiều ng-ợc lại:

giả sử tồn tại một nút K của l-ới

đã cho mà không là nút của l-ới

sinh bởi ABCD suy ra tồn tại m,

n sao cho:

K/ = TmAD (K)  N

K// = TnAB (K/)  ABCD (mâu thuẫn với giả thiết )

Vậy nút của l-ới đã cho cũng chính là nút của l-ới sinh bởi hình bình hành ABCD

2.2.3.2 Đa giác đều trên l-ới, l-ới nguyên

Bài toán đặt ra là tìm những n giác đều có các đỉnh là những nút của l-ới đã cho Ví dụ nếu l-ới sinh bởi hình vuông thì những đa giác đều nh- vậy tồn tại rất

nhiều, hoặc trên một l-ới sinh bởi hình chữ nhật có tỷ số cạnh là

1

3

, ta có thể dựng đ-ợc các tam giác đều, trên l-ới này ta đặt 6 tam giác đều nh- vậy ta thu đ-ợc lục giác

đều

C B

K K' K''

Định lí: Chỉ tồn tại n giác đều với các đỉnh là các nút của một l-ới với n = 3, 4, 6

* Đa giác đều trên l-ới nguyên

Định nghĩa: L-ới nguyên là l-ới sinh bởi hình vuông, xây dựng hệ toạ độ

vuông góc có đỉnh là một đỉnh của hình vuông và trục toạ độ song song với hai

đ-ờng thẳng của l-ới và tất cả các nút của l-ới sẽ có toạ độ nguyên đối với hệ toạ

độ này

* Nếu xét cho một l-ới bất kỳ ng-ời ta chứng minh đ-ợc rằng nếu trên nó tồn tại hình vuông với đỉnh là các nút thì trên l-ới này không tồn tại một n giác đều nào khác

2.2.3.2 Diện tích đa giác trên l-ới

Ta xét những l-ới sinh bởi hình vuông với cạnh bằng 1 Xét đa giác M bất kỳ

có các đỉnh là các nút của l-ới đã cho.Vấn đề đặt ra là tìm mối liên hệ giữa diện tích của đa giác M trên l-ới với số l-ợng nút trong đa giác M và số l-ợng nút điểm nằm trên cạnh của đa giác M

Ký hiệu:

i (M) là số l-ợng nút trong đa giác

b(M) là số l-ợng nút điểm nằm trên cạnh của đa giác M

Để dễ hình dung ta xét tr-ờng hợp đặc biệt sau:

M là hình chữ nhật ABCD Giả sử B (m, o), D (o, n)