CƠ HỌC CÔNG TRÌNH: CÁCH TÍNH THANH CHỊU KÉO HOẶC NÉN ĐÚNG TÂM

Trên cơ sở quan sát đó ta có thể đề xuất các giả thiết về biến dạng của th a m chịu kéo hoặc nén đúng tâm: ỉ G iả thiết tiết diện phẳng Bernoiilli: trước và sau khi chịu biến dạng kéo h

3 CÁCH TÍNH THANH CHỊU KÉO HOẶC

NÉN ĐÚNG TÂM

Ta gặp trường hợp thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm khi trong thanh chiỉ

tồn tại thành phần lực dọc N Lực dọc dương thì thanh chịu kéo, lực dọc ânn

thì thanh chịu nén

Trong thực tế, dạng chịu lực này của thanh là khá phổ biến và đon giảm nhất Dây cáp trong cần trục, dây văng trong cầu treo là các thanh chịu kéo>; kết cấu dạng cột, trụ là các thanh chịu nén; các thanh trong dàn có thể l;à chịu kéo hoặc nén

Để kiểm tra điều kiện bền, điểu kiện cứng cho bài toán này ta cần nghiêm cứu trạng thái phân bố ứng suất - biến dạng trong thanh

3.1 ỨNG SUẤT T R Ê N TH A N H CHỊU KÉO, NÉN

3.1.1 Q uan sát thực nghiệm và các giả thiết

Trên bể mặt của một thanh thẳng có tiết diện không đổi ta kẻ m ột mạnjg gồm các đường thẳng như trên hình 3 la: các đường vuông góc với trụic thanh biểu thị các tiết diện ngang; các đưòfng song song với trục thanh biểiu thị các thớ dọc của thanh Cho thanh chịu kéo bởi hai lực ngược chiều nhaiư với cường độ p phân bố đểu trên diện tích A của tiết diện ở hai đầu thanlh như trên hình 3.1b Hợp lực p = pA của các lực phân bố sẽ nằm dọc theo trụic thanh và lực dọc trong thanh là N = p

a)

b)

Hình 3.1

Sau khi chịu lực ta thấy (hình 3.1b):

4 Các đường kẻ vuông góc với trục thanh vẫn thắng và vẫn vuông góc với trục thanh nhưng khoảng cách xa nhau hofn

4 Các đường kẻ song song với trục thanh vẫn thẳng và song song với trục

thanh

Trên cơ sở quan sát đó ta có thể đề xuất các giả thiết về biến dạng của

th a m chịu kéo hoặc nén đúng tâm:

ỉ) G iả thiết tiết diện phẳng (Bernoiilli): trước và sau khi chịu biến dạng

kéo hoặc nén, tiết diện vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh

2) Giả thiết v ề thớ dọc: trong quá trình biến dạng kéo hoặc nén, các thớ

dọc tức là các lớp vật liệu dọc trục thanh không chèn ép, xô đẩy nhau và

có biến dạng dài như nhau

S1.2 ứ n g su ất trên tiết diện ngang

Khi thanh chỉ chịu lực dọc N ta có các nhận xét sau;

Theo giả thiết tiết diện phẳng, các góc vuông không đổi nên ứng suất tiếp trên tiết diện ngang bằng không

*• Theo giả thiết các thớ dọc không chèn ép và có biến dạng dài như nhau nên trên các mặt song song với trục thanh không có ứng suất pháp; trên tiết diện ngang chỉ có ứng suất pháp phân bố đều (hình 3.2.b)

X

Hình 3.2

N z

N

1 i J- - 4*

Tieo công thức (5), trong mục (4.5) chương ở đầu ta có sự liên hệ giữa

thiàih phần lực dọc N với ứng suất pháp ơ(hình 3.2a);

N = ơdA - ơ clA = ơ A .

"ừ đó ta suy ra công thức xác định ứng suất pháp:

N

V(ới \ là diện tích tiết diện ngang

Biểu đồ phẳng của ứng suất pháp như trên hình 3.2c.

Chú ý:

* K h i lực đ ặ t ĩại h a i đ ấ u th a n h kh ôn g p h ả i là hệ lực p lỉán b ố m ù là lực ĩậ p trun g

chẳng hạn thì các ĩiếĩ diện ở hai đầu (hanh sẽ không phẳng Theo nguyên lý Saint-Venanĩ, các ĩiết diện ở xa hai đầu ĩlĩơnli vẩn plìẳng nên được phép chấp nhận gỉd thiết ĩiếĩ diện phẳng.

* Trường hợp trên thanh có t i ế t diện bị giám yếu cục bộ, chẳng hạn khi thanìx tiết diện chữ nhật có lổ khuyết hìnlĩ tròn như trên hình 3.3 thì tại íìết diện bị giảm yếu sẽ phát sinh hiện tượìig ĩập

trung ứtĩg suất : ứỉìg suất pháp p

không phân bố đều nià phân bố

theo luật đường cong với giá trị iớỉĩ

nhất tại mép lỗ khuyết.

3.1.3 ứ n g suất trên tiết diện nghiêng

Thực hiện mặt cắt nghiêng có pháp tuyến ngoài u hợp với trục thanh theo góc a (hình 3.4a) ứ h g suất trên mặt cắt này phân bố đều và bằng:

H ình 3 3

Pz =

N

với Aq là diện tích mặt cắt nghiêng A a = A

co sa

(3.2)

(3.3)

Phân tích Pz thành hai thành phần theo hai phương u và V, theo cách ký hiệu và quy ước về dấu đã nêu trong mục 4.2 chương mở đầu, ta được:

ơi/ = P z í'o s a ; Tiiy = p^sina . (3.4) Thay (3 3 ) vào (3.2), tiếp đó thay vào (3.4) và chú ý tới (3.1), ta được các

công thức ứng suất trên mặt cắt nghiêng:

N

ứng suất pháp:

ứng suất tiếp:

hv - — c o s a s in a - — sin2a.

A

(3.5)

(3.6)

Nhận xét:

♦ úhg suất pháp bằng không khi a = 90°; đạt cực đại khi a = 0° với giá trị bằng ơ.

♦ úhg suất tiếp bằng không khi a = 0°: đạt cực đại khi a = 45° với giá trị bằng ơ 12.

Xét m ặt cắt ngh iên g có pháp tuyến ngoài V vuông g ó c với mặt cắt

nghiêng có pháp tuyến ngoài u như trên hình 3.4c ú h g suất trên mặt căt

nghiêng có pháp tuyến ngoài V được xác định theo (3.5) và (3.6) nếu thay

góc a bằng ( a + 90°):

• ứng suất pháp: ơy = ơ c o s ^ ia + 90°) = ơ sin ^ a ; (3.7)

• ứng suất tiếp: Tyu - — si n2( a + 90°) = - — s in la (3.8)

Từ công thức (3.5) và (3.7) ta thấy:

N hư vậy, tổng ứng suất pháp trên hai m ặt cắt vuông góc với nhau là một bất biến.

Tư công thức (3.6) và (3.8) ta thấy, ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông

góc \ới nhau có giá trị bằng nhau nhứng ngược dấu:

Đ5 là tính chất đối i'úĩg của các lứig suất tiếp.

3.2 BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ CỦA THANH

3.2.1 Biến d ạ n g dài dọc trụ c

Taeo giả thiết về thớ dọc và giả thiết tiết diện phẳng đã nêu trong mục 3.1.1, nếu tách từ thanh một đoạn có chiều dài dz (hình 3.2d) thì các thớ dọc

của doạn đó có độ dãn bằng nhau: Adz - const Do đó:

dz

Kii thanh làm việc trong giới hạn đàn hổi, theo định luật Robert Hooke giữaúmg suất và biến dạng có sự liên hệ bậc nhất:

vái ỉ là m ôđun đàn hỏi hay môđiin Young của vật liệu (xem bảng 3.1).

Đối chiếu (3.11) và (3.12) ta tìm được biến dạng dài của đoạn thanh dz:

Ndz

M z =

EA

N hư vậy, biến dạng dài dọc trục của thanh có chiều dài / bằng:

Trưcmg họfp đặc biêt, khi N và EA không đổi trên toàn chiều dài thanh thì

biến dạng dài dọc trục của thanh bằng:

Nỉ

Al = EA

(3.14)

Khi tỷ số NI EA không đổi trên từng đoạn có chiều dài lị, biến dạng dài

dọc trục trên toàn chiều dài thanh bằng:

(3.15)

T M Tich số EA được gọi là độ cứng trên đơn vị chiều dài của thanh khi chịu kéo hoặc nén

3.2.2 Biến dạng dài theo phương ngang

Khi thanh chịu biến dạng tỷ đối dọc trục z là £ thì theo phương JC, y

vuông góc với trục z sẽ phát sinh các biến dạng ngang tỷ đối và £yngược

dấu với £2 Các nghiên cứu bằng thực nghiêm và lý thuyết cho thấy độ lớn

của hai loại biến dạng tỷ đối này tỷ lệ với nhau Hệ số tỷ lệ này được gọi là

hộ số P oisson, ký hiệu là ỊJ., phụ thuộc loại vật liệu:

Trong bảng (3.1) cung cấp giá trị của hệ số |J tương ứng với một số loại vật liệu thường gặp

Bảng 3.1

D.

o 0 1 o

co

t

/^3=6 cm^

Af^5 cm^

60 kN

Ai=2cm^

20 kN

Hinh 3.5

3.2.3 C huyển vị của tiết diện

Khi chịu kéo, nén đúng tâm, trục thanh \ ẫri tháng, các tiết diện khòng có chuyền vị xoay m à chỉ có chuyên vị thắng doc trục thanh

Sai khi biết biến dạng có thể dễ dàng tìni

chuyêi vị theo phương dọc trục thanh theo &////////////

các lién hộ hình học (xem ví dụ 3.1)

V í dụ 3.1 Cho thanh có tiết diện thay

đổi, chịu lực như trên hình 3.5a

Vẽ biểu đồ lực dọc trong thanh; xác định

ứng suất và biến dạng tương ứng trong từng

đoạn :hanh; tìm chuyển vị tại đầu A Cho

biết: :hanh được chế tạo từ vật liệu có

m ô đ u i đàn hồi E =2.10"^ kN/cm-.

$

80 kN

©

20 kN

®

BiỂu đồ lực dọc tìm được như trên hình 3.5b Cách xác định ứng suất và biến dạng trong từng đoạn thanh được trình bày như trong bảng 3.2

Bảng 3.2 Đom thanh ứng suất [kN/cm2] Biên dạng [cm]

BC ơ b c = 2 0 / 5 = 4 ,A1 hc = (20.40)/(2.104.5) = 0,0080

CD ƠCD = 80 / 5 = 1 6 Aluc = (80.40) / (2.104.5) = 0,0320

Chiyển vị tại đầu A bằng tổng các biến dạng Irong tìmg đoạn thanh:

A a = 0,0040 + 0,0080 + 0,(B20 + 0.02Ờ7 = 0,1067 cm.

3.3 c i c ĐẶC TRUNG c ơ HỌC CỦA VẬT LIỆU

Đ ể nghiên cứu khả năng chịu lực của vật liệu nhằm xác định độ bền, độ cứng (ủa công trình ta cần tiến hành các thí nghiệm kéo, nén đúng tâm đối với cá; loại vật liệu khác nhau qua các mẫu thử với các thiết bị chuyên dụng Vật li;u tuy đa dạng song căn cứ vào tính chất làm việc và khả năng biến dạng ti có thể phân thành hai lọai chủ yếu:

• VỊt liệu dẻo như thép, n h ô m , chỉ bị phá hong khi biến dạng lớn

• Vật liệu dòn như gang, bêtông, đá bị phá hỏng khi biến dạng nhỏ, qiá trình phá hỏng xảy ra đột ngột

- ì = - i

i o

/

t

-1 : h - 1

í _L

H ỉnh 3.6

Dưới đây lần lượt m ô tả các thí nghiệm kéo và nén đối với hai loại vật liệu nói trên

3.3.1 T h í n g h iệ m kéo a)

1 M ẫu th í nghiệm kéo.

Mẫu được chế tạo theo dạng thanh b)

hình trụ tròn (hình 3.6a) hoặc thanh

hình lăng trụ tiết diện chữ nhật (hình

3.6b), tiết diện ở hai đầu mẫu được gia

cưèmg để kẹp trong các mâm kẹp của

máy vạn năng và để cho khi mẫu bị phá hủy thì vết đứt chỉ xảy ra ở phần giữa Chiều dài chuẩn ban đầu lo trền phần giữa được quy định chung là:

• /o= (5-I0)do với các mẫu hình trụ tròn có đưòfng kính tiết diện là do;

/ o = ( 5 , 6 5 - 1 1 , 3 ) > / 4 v ớ i c á c m ẫ u h ì n h l ă n g t r ụ t i ế t d i ệ n c h ữ n h ậ t c ó d i ệ n

tích là Ao khi tỷ số cạnh dài trên cạnh ngắn nằm trong phạm vi từ 1 đến 5

2 K ết quả th í nghiệm kéo vật liệu dẻo

Mẫu thí nghiệm được làm bằng thép Sau khi đặt mẫu vào bộ phận gây lực kéo của máy vạn năng, ta tăng lực kéo với tốc độ rất chậm bảo đảm không phát sinh lực quán tinh, từ không cho đến khi m ẫu bị phá hoại Trong

quá trình thí nghiệm, lực kéo p và độ dãn dài Al của đoạn /o được xác định

liên tục Với giả thiết ứng suất pháp phân bố đều trên tiết diện ngang, ta tính

được ứng suất trên tiết diện ngang ơ = PIAo và biến dạng dọc tương ứng £ =

Al Ho, từ đó vẽ được đồ thị kéo trong hệ tọa độ (a -s) như trên hình 3 la Trên

máy thí nghiệm, đồ thị kéo được vè tự dộng bằng các thiết bị tưcfng ứng Ta thấy đồ thị bao gồm ba giai đoạn:

ơ

* G iai đoạn tỷ lệ O A : Đồ thị là dưèmg thẳng, quan hệ giữa ứng suất và

biến dạng là bậc nhất, tuân theo định luật Hooke, bicVi dạng trong giai đoạn này nói chung rất nhỏ Trong giai đọan này vật liệu có tính đàn hồi nên được

gọi là giai đoạn đàn hồi, kết thúc tại A tUíTng ứng với giá trị ứng suất kéo là

ơiỊ Thực ra trên giới hạn tỷ lệ một chút vật liệu vẫn còn tính đàn hồi, ứng

suất lớn nhất m à vật liệu còn đàn hồi gọi là giới hạn đàn hồi

ơđh-Trong thực tế, một số vật liệu có đoạn OA hơi cong, không đàn hồi mà có

biến dạng dư khi bỏ hết lực Khi đó ta dùng giới hạn đàn hồ i q u y ước CT 0 05 ,

tức là ứng suất khi bỏ hết lực thì biến dạng dư tỷ đối bằng 0,05%.

* G iai đ o ạ n ch ảy B C C : Sau một đoạn cong ngắn chuyển tiếp từ A đến

B, đổ thị là đường thẳng nằm ngang Lúc này, ứng suất kéo không tăng

nhưng biến dạng vẫn tăng nên được gọi là giai đoạn chảy, ứng suất tưcmg

ứng với giai đoạn này được gọi là giới hạn chảy ơcì, Đôi khi trong thí nghiệm không hình thành đoạn cong AB Do tốc đô kéo không đủ chậm, bút ghi sẽ vạch đường thẳng OA vượt quá B rồi hạ xuống, tạo nên một đưòrng zích zắc trong cả độ dài B C C ' (hình 3.7b) Khi đó ta có hai điểm: giới hạn

chảy trên và giới hạn chảy dưới Giới hạn chảv dưới thể hiện tính chất thực của vật liệu nên được quy ước xem là giới hạn chảv của vật liệu

Trong thực tế, một số vật liệu không có giai đoạn chảy rõ ràng Khi đó ta

d ù n g g i ớ i h ạ n c h ả y q u y ư ớ c Ơ Q2 t ư ơ n g ứ n g v ớ i ứ i i g s u ấ t k h i b ỏ h ế t l ự c t h ì

biến dạng dư tỷ đối bằng 0,2%.

* G iai đ o ạ n củ n g cố C ’DE: Qua giai đoạn chảy, vật liệu được khôi

phục, quan hệ (ơ-e) có dạng đường cong, khi lực lăug, thanh dài thêm, các

tiết diện nhỏ dần Khi ứng suất đat tới íT/, tươnẹ ứiií! với điểm D trên đồ thị,

trong đoạn giữa của mẫu phát sinh một tiết diên giảm yếu nhất bị thắt nhỏ lại đột ngột gọi là "cổ thắt" như trình bày trên hình 3.7a ứ n g suất tại tiết diện ở cổ thắt tăng nhanh, tốc độ tăng lực của máy không tăng kịp với tốc độ

biến dạng nên đồ thị đi xuống và mẫu bị đi'rt tưcmg ứng với điểm E trên

đồ thị

3 Các đặc trư n g của vật liệu k h ỉ chịu kéo

Ba trị số giới hạn ƠỊi, ơch và ƠỊ, là các đặc trưng cơ học của vật liệu Môđun đàn hồi E của vật liệu có thể được xác định bằng hệ số góc của dồ

thị trong giai đoạn tỷ lệ

Để đánh giá tính dẻo của vật liệu ta sử dụng hai đặc trưng sau:

• Độ dãn dài tỷ đối tính theo phần trãm:

Độ thắt tỷ đối tính theo phần trăm: ¥ =

ỉ.

^ 1 0 0 %

trong đó: /y — chiều dài chuẩn của mẫu được chắp lại sau khi bị đứt;

A j - diện tích tiết diện bị đứt của mẫu (diện tích bị thắt).

4 Hiện tượng biến cứng nguội

Trong quá trình kéo mẫu vật liệu dẻo, khi ứng suất kéo còn thấp hơn ơ>/,

nếu giảm lực thì quan hệ giữa ứng suất và biến dạng vẫn là dường OA trên

đồ thị 3.7a Điều đó có nghĩa là khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, nếu cất bỏ lực thì biến dạng cũng mất đi, biến dạng được gọi là đàn hồi

Khi ứng suất kéo vượt quá ơii, giả sử tới điểm M tương ứng với biến dạng

tỷ đối là đoạn OQ, nếu giảm lực thì quan hệ giữa ứng suất và biến dạng không trở về theo đường cũ M C C B A O trên đồ thị 3.7a mà theo đường M P hầu như song song với AO Sau khi cất bỏ lực thì thanh vẫn tồn tại biến dạng tỷ đối là đoạn OP Biến dạng đó được gọi biến dạng dư hoặc biến dạng dẻo Sau đó, nếu lại tăng lực kéo thì đồ thị mới sẽ theo sát đường PM D E

Như vậy, giới hạn tỷ lệ của vật liêu được gia tăng, hiện tượng này được gọi

l à h i ệ n t ư ợ n g b i ế n c ứ n g n g u ộ i , đ ư ợ c d ù n g t r o n g k ỹ t h u ậ t n h ư m ộ t b i ệ n p h á p

công nghệ nhằm nâng cao giới hạn tỷ lệ

5 Kết quả th í nghiệm kéo vật liệu dòn

Đồ thị kéo (ơ-s) của vật liệu dòn như trên hlnh 3.8 Đồ thị

có dạng hơi cong, không hình thành giai đoạn tỷ lệ và giai

đoạn chảy Giới hạn bển rất thấp so với giới hạn bển của vật

liệu dẻo Biến dạng rất nhỏ, bị phá hủy đột ngột, không ninh

thành cổ thắt Để áp dụng được định luật Hooke, ta giả dịnh

giai đoạn là đoạn thẳng và sử dụng giới hạn tỷ lệ quy ước

3.3.2 T h í n g h iệ m nén

1 M ẩu th í nghiệm nén.

Mẫu được chế tạo theo dạng hình trụ tròn (hình

3.9a) hoặc khối lập phương (hình 3.9b) Chiều cao

aj

Hình 3.8

bì

Hình 3.9

•i-.

cùa m ẫu nén thường bằng l đến 1,5 đường kính hay kích thước lớn nhất của đáy

2 K ết quả th í nghiệm nén vật liệu dẻo

M ẫu thí nghiệm được làm bằng thép, aj

thường có dạng hình trụ tròn Sau khi đặt

mẫu vào bộ phận gây lực nén của máy vạn

năng ta được đồ thị nén (cr-s) như trên hình

3.10a Đ ồ thị cũng hình thành ba giai đoạn:

giai đoạn tỷ lệ, giai đoạn chảy và giai đoạn

củng cố Do đó, ta cũng có giới hạn tỷ lệ, Hình 310

giới hạn chảy còn giới hạn bền thì không

xác định được Lực tăng, mẫu bị ngắn lại và nở rộng theo chiều ngang Diện tích tiết diện ngang càng tăng thì khả năng chịu lực của mẫu cũng tăng lên Mẫu thí nghiệm sau khi chịu nén có dạng hình trống như đưcmg đứt nét trên hình S.lOb Thí nghiệm chứng tỏ các giá trị giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy khi kéo và khi nén tương ứng bằng nhau nên có thể xem khả năng chịu kéo

và chịu nén của vật liệu dẻo là như nhau

3 K ết quả th í nghiệm nén vật liệu dòn

€

Hình 3.11

Đồ thị quan hệ (ơ-e) của mẫu chịu nén chỉ hình thànírm ột giai đoạn là đường cong có độ cong nhỏ, gần thẳng như trên hình 3.1 la Đồ thị kết thúc

tại điểm D khi m ẫu bị vỡ Nếu giữa mâm nén và mẫu không được bôi trơn

thì mẫu cũng có dạng hình trống, hình thành các vết nứt nghiêng 45° so với phương nén (hình 3.1 Ib); vật liệu sẽ bị bong dần quanh mẫu, cuối cùng còn lại hai hình chóp có đáy là mặt tiếp xúc với mâm nén (hình 3.1ỈC, d) Nếu giữa mâm nén và m ẫu được bôi tran thì trên mẫu hình thành các vết nút song song với phương nén như trên hình 3.1 le

3.3.3 Các đặc trưng cơ học của m ột sô vật liệu thường dùng

Bảng 3.3 cung cấp giới hạn chảy và giới hạn bền của một số vật liệu