Rèn luyện tri thức phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học chủ đề vectơ

Tr-ờng đại học vinh khoa Toán --- Rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy vinh - 5/2009... Mâ

Tr-ờng đại học vinh

khoa Toán -

Rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy

vinh - 5/2009

LỜI CẢM ƠN

Khoá luận này được hoàn thành với sự hướng dẫn, giúp đỡ của các

thầy, cô giáo bộ môn phương pháp dạy học toán, khoa Toán Trường Đại học

Vinh, cùng với gia đình và bạn bè

Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

GS-TS.Đào Tam và Thầy giáo ThS Phạm Xuân Chung

Trong thời gian hoàn thành khoá luận tác giả đã có nhiều cố gắng

song vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự thông

cảm và đóng góp ý kiến của thầy, cô giáo và các bạn để khoá luận được

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Mục đích của dạy học là đào tạo con ng-ời phát triển toàn diện Con ng-ời chỉ có thể phát triển thông qua những hoạt động của chính mình Do vậy, dạy học muốn đạt hiệu quả cao không chỉ đơn thuần theo kiểu “thầy đọc trò ghi, thầy nói trò nghe”, tức là ng-ời học sinh bị động chịu sự áp đặt của thầy giáo Ng-ời học sinh phải tự hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức cho chính mình Họ phải có nhu cầu, có hứng thú, phải biết rõ từng thao tác, nội dung của toàn bộ hoạt động hay của mỗi thao tác và cuối cùng phải biết đ-ợc kết quả gì Hoạt động trong học tập của ng-ời học khác với các hoạt động thông th-ờng khác chính là ở chỗ đ-ợc đặt d-ới sự chỉ đạo, h-ớng dẫn của thầy theo mục đích đã đặt tr-ớc Do vậy, cần dạy theo cách cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Cho nên, cần tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động một cách tự giác, chủ động và sáng tạo, đ-ợc thực hiện độc lập hay trong giao l-u

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ng-ời xây dựng xã hội công nghiệp hóa-hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của ph-ơng pháp dạy học làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đối với PPDH ở tất cả các cấp trong nghành Giáo dục và đào tạo từ một số năm nay với những t- t-ởng chủ đạo

đ-ợc phát biểu d-ới nhiều hình thức khác nhau: “Lấy ng-ời học làm trung tâm”, “Phát huy tính tích cực”, “Ph-ơng pháp dạy học tích cực” những ý t-ởng này bao hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo Tuy nhiên, cần vạch rõ bản chất các ý t-ởng đó nh- là định h-ớng cho sự nghiệp đổi mới PPDH hiện nay là: Tổ chức cho ng-ời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự

giác, tích cực, sáng tạo Đổi mới PPDH theo h-ớng vận dụng quan điểm hoạt

động là một trong những giải pháp quan trọng nhằm hội nhập và góp phần tích cực vào chiến l-ợc phát triển giáo dục chung của thế giới

Từ lâu trong giáo dục đã nhận ra : bản chất của tri thức là hoạt động Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo không thể trao cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất th-ờng là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của bản thân Việc tiến hành hoạt động đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức ph-ơng pháp Những tri thức nh- vậy có khi lại là kết quả của một quá trình hoạt động Thông qua hoạt động để truyền thụ các tri thức, đặc biệt là tri thức ph-ơng pháp ảnh h-ởng quan trọng đến việc rèn luyện kĩ năng Tri thức và kĩ năng toán học đ-ợc sử dụng rộng rãi Học toán không chỉ để lĩnh hội tri thức, mà điều quan trọng hơn là phải biết sử dụng tri thức đó Phải rèn luyện cho học sinh những kĩ năng, kĩ xảo và những ph-ơng thức t- duy cần thiết

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:

“Rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học chủ đề vectơ

ở tr-ờng THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lý luận và thực tiễn làm căn cứ để đề ra các ph-ơng pháp rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề theo quan điểm hoạt động thông qua chủ đề vectơ Qua đó nâng cao hiệu quả của việc dạy học hình học ở tr-ờng phổ thông

3 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở tôn trọng ch-ơng trình sách giáo khoa nếu trong quá trình dạy học toán giáo viên chú trọng tổ chức các hoạt động rèn luyện tri thức ph-ơng

pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề thì sẽ góp phần giúp học sinh chủ

động, tích cực nắm bắt kiến thức mới cũng nh- giải quyết những vấn đề mới

đặt ra h-ớng học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xác định vị trí và vai trò của việc rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học toán

Đề ra các ph-ơng pháp rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học chủ đề vectơ Thử nghiệm s- phạm để điều tra tính khả thi, tính hiệu quả của đề tài

1.1 Quan điểm hoạt động trong PPDH

1.2 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3 Quan điểm triết học duy vật biện chứng trong quá trình dạy học toán 1.4 Kết luận ch-ơng 1

Ch-ơng 2: Rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua dạy học chủ đề vectơ ở tr-ờng THPT

2.1 Sơ l-ợc về chủ đề vectơ ở tr-ờng THPT

2.2 Tri thức ph-ơng pháp trong hoạt động

2.2.1 Những tri thức ph-ơng pháp th-ờng gặp

2.2.2 Các cấp độ rèn luyện tri thức ph-ơng pháp cho học sinh

2.3 Một số biện pháp rèn luyện tri thức ph-ơng pháp thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng

2.3.1 Biện pháp 1: Khắc sâu mối liên hệ giữa các kiến thức toán học nhờ

khai thác mối liên hệ t-ơng quan phụ thuộc giữa các kiến thức trong từng ch-ơng, giữa các ch-ơng mục khác nhau của các phân môn Toán, giữa các kiến thức toán học ở cấp độ này đến cấp học khác và giữa kiến thức toán học với các kiến thức của môn học khác

2.3.2 Biện pháp 2: Luyện tập cho học sinh biết phân loại khái niệm và các

tính chất theo nhiều dấu hiệu khác nhau

2.3.3 Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh thói quen xác định nguồn gốc

của tri thức phản ánh trong các đối t-ợng của hoạt động; từ đó giúp học sinh biết cách lựa chọn tri thức cho hoạt động của chủ thể chiếm lĩnh tri thức mới

2.3.4 Biện pháp 4: Quan tâm dạy học theo h-ớng xây dựng chuỗi các bài

toán từ đơn giản đến phức tạp, từ đó tăng c-ờng huy động kiến thức cho học sinh

CHƯƠNG 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1.Quan điểm hoạt động trong PPDH

Trong phần này chúng tôi sẽ bàn về những t- t-ởng chủ đạo của quan

điểm hoạt động đ-ợc đề xuất bởi tác giả Nguyễn Bá Kim, đồng thời đ-a ra một số ví dụ minh họa thể hiện trong dạy học

1.1.1 Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần t-ơng thích với nội dung và mục đích dạy học

T- t-ởng này có thể đ-ợc cụ thể hóa nh- sau:

a Phát hiện những hoạt động t-ơng thích với nội dung

Một hoạt động của ng-ời học đ-ợc gọi là t-ơng thích với một nội dung dạy học nếu nó có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những tri thức đ-ợc bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện những kĩ năng, hình thành những thái độ liên quan

Với mỗi nội dung dạy học, ta cần phát hiện những hoạt động t-ơng thích với nội dung này

Ví dụ: Khái niệm hàm số

Đối với một khái niệm cần hình thành theo con đ-ờng quy nạp nh- khái niệm hàm số thì những hoạt động phân tích so sánh những hoạt động riêng lẻ thích hợp, trừu t-ợng hóa tách ra các đặc điểm đặc tr-ng của một lớp đối t-ợng là t-ơng thích với đối t-ợng đó vì chúng góp phần để ng-ời học kiến tạo khái niệm này, t-ơng thích với khái niệm này còn có những hoạt động khác nh- nhận dạng, thể hiện, xét mối liên hệ giữa khái niệm đó với khái niệm khác,…bởi vì những hoạt động đó góp phần củng cố và ứng dụng khái niệm hàm số

Trong việc phát hiện những hoạt động t-ơng thích với nội dung ta cần chú

ý xem xét những hoạt động khác trên những bình diện khác nhau:

-Nhận dạng và thể hiện;

-Những hoạt động toán học phức hợp;

-Những hoạt động trí tuệ chung và riêng đối với môn toán;

-Những hoạt động ngôn ngữ

Ví dụ: Dạy học khái niệm tích vô h-ớng của hai vectơ

-Hoạt động thể hiện khái niệm:

Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng a: Tính AB AC, AC BC

-Hoạt động ngôn ngữ: Khái niệm tích vô h-ớng của hai vectơ có thể phát biểu bằng cách sau:

Với hai vectơ cho tr-ớc a (x1,y1)

bộ vừa chú ý cho họ tập luyện những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết

Ví dụ: Dạy học định lý về ph-ơng tích của một điểm đối với một đ-ờng tròn

Định lý:

Cho đ-ờng tròn (O;R) và một điểm M cố định Một đ-ờng thẳng thay đổi đi qua M và cắt đ-ờng tròn tại hai điểm A và B, khi đó tích vô h-ớng MA MB là một số không đổi

Để dẫn dắt HS phát hiện và chứng minh Định lý này, GV có thể tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động thành phần sau:

Hoạt động 1:

-Với điểm M cố định hãy

vẽ tiếp tuyến MT, khi đó

) )(

(

.

R d OA

MO

OB MO OA MO

c Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu

Nói chung, mỗi nội dung th-ờng tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên, nếu khuyến khích tất cả các hoạt động nh- thế thì có thể sa vào tình trạng dàn

T O

B A

M

B O

A M

trải, làm cho học sinh luôn rối ren Để khắc phục tính trạng này, cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện đ-ợc để tập trung vào một số mục tiêu nhất

định Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của mục đích này đối với thực hiện những mục đích còn lại

Ví dụ: Với bài toán: Cho 2 điểm A, B cố định Tìm quỹ tích những điểm M

k MB

d Tập trung vào những hoạt động toán học

Trong khi lựa chọn cho hoạt động, để đảm bảo sự t-ơng thích của hoạt

động đối với nội dung dạy học, ta cần nắm đ-ợc chức năng mục đích và chức năng ph-ơng tiện của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng này Trong môn toán nhiều hoạt động xuất hiện tr-ớc nh- ph-ơng tiện để đạt

đ-ợc những yêu cầu toán học: Kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng toán học Một trong những hoạt động nh- thế nổi bật lên do tầm quan trọng của chúng trong toán học, trong các môn học khác cũng nh- trong thực tế và việc thực hiện thành thạo những hoạt động này trở thành một trong những mục tiêu dạy học

Chẳng hạn, với bài toán : “Tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn điều kiện:

2 2

2

k MB

MA   , k là số cho tr-ớc”, giáo viên cần làm cho học sinh ý thức

đ-ợc ý nghĩa của việc lấy điểm O là trung điểm của AB nhằm sử dụng công thức đ-ờng trung tuyến, để biến đổi biểu thức 2 2 2

k MB

MA   (k là số cho

tr-ớc) thành OM  k  AB m

4 2

2 2

2

Qua đó học sinh thấy đ-ợc việc xuất hiện biểu thức OM2 m

nh- là ph-ơng tiện và chức năng cần thiết cho việc tìm quỹ tích của bài toán đã cho, ở đây

có vận dụng hoạt động quy lạ về quen, xem tri thức đã biết nh- là ph-ơng tiện trên con đ-ờng tìm tòi tri thức mới

1.1.2 Động cơ hoạt động

Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những đối t-ợng hoạt động Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu s- phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải là sự vào bài đặt vấn

đề một cách hình thức

Gợi động cơ và h-ớng đích cho hoạt động không phải là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào đó (th-ờng là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi

động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc

a Gợi động cơ mở đầu

Gợi động cơ cho các hoạt động hình học có thể có hình thức sau:

* Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ sự hạn chế:

Ví dụ: Khái niệm góc chuyển từ góc trong hình học phẳng (chỉ xét góc

d-ơng trong phạm vi từ ( 0 ; 3600) sang góc l-ợng giác (đ-ợc mở rộng cho góc bất kỳ, bao gồm các góc d-ơng, góc âm, góc không) Nói cách khác vứt bỏ

điều hạn chế từ góc α ( 0 ; 3600) sang góc α bất kỳ

* H-ớng tới sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc

Ví dụ: Mô tả tỉ mỉ, chi tiết quá trình giải ph-ơng trình bậc hai thành một thuật giải là để tiến tới việc chuyển giao công việc này cho máy tính

* Chính xác hoá một khái niệm

Ví dụ: Trong sgk vật lý lớp 10 định nghĩa vận tốc tức thời đ-ợc phát biểu

nh- sau: Vận tốc tức thời hay vận tốc tại một điểm đã cho trên quỹ đạo là đại

l-ợng đo bằng th-ơng số giữa quãng đ-ờng đi rất nhỏ tính từ điểm đã cho và khoảng thời gian rất nhỏ để vật đi hết quãng đ-ờng đó, kí hiệu là vt=

Ví dụ: Tr-ờng hợp bằng nhau của tam giác, thực nghiệm dẫn đến nhận xét là

hai tam giác có hai yếu tố bằng nhau từng đôi một thì ch-a chắc đã bằng nhau Từ đó đi đến lần l-ợt xét một cách đầy đủ và hệ thống tất cả các tr-ờng

hợp hai tam giác có ba yếu tố bằng nhau từng đôi một

* Lật ng-ợc vấn đề

Sau khi đã chứng minh đ-ợc một định lí, một câu hỏi rất tự nhiên th-ờng

đ-ợc đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lí đó có đúng hay không

đ-ờng chéo hình bình hành ABCD

* Khái quát hoá

Khái quát hoá là thao tác t- duy nhằm hợp nhất nhiều đối t-ợng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo G.S Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối t-ợng sang một tập hợp đối t-ợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [1, tr51]

Nh- vậy có thể khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, ng-ời ta th-ờng khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán…thành những kết quả tổng quát

Đặc biệt hoá là thao tác t- duy ng-ợc lại với khái quát hoá

Ví dụ: Xét các bài toán sau:

Bài 1: Cho 2 điểm A, B phân biệt và hai số thực  ,  thoả mãn     0 thì: Tồn tại duy nhất một điểm I sao cho: 0 

* Trừu t-ợng hoá

Trừu t-ợng hoá là thao tác t- duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho t- duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang ý nghĩa t-ơng đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động

Ví dụ: Trừu t-ợng hoá khái niệm hàm số đ-ợc khái niệm ánh xạ

* Tìm sự liên hệ và phụ thuộc

Ví dụ: Có thể đặt vấn đề xem xét ảnh h-ởng của các số a và c đối với hình

dạng và vị trí của parabol yax2 c nh- thế nào

b Gợi động cơ trung gian

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những b-ớc trung gian hoặc cho những hoạt động tiến hành trong những b-ớc đó để đạt đ-ợc mục tiêu đó

Sau đây là những cách dùng để gợi động cơ trung gian:

* H-ớng đích:

H-ớng đích cho học sinh là h-ớng vào mục tiêu đặt ra, vào hiệu quả dự kiến của những hoạt động của họ nhằm đạt những mục tiêu đó

Ví dụ: (Bài tập 26, trang 24, sgk hình học 10 nâng cao)

Chứng minh rằng nếu G và G’ lần l-ợt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3 GG'  AA'  BB'  CC'

Thầy giáo có thể gợi động cơ và h-ớng đích cho học sinh nh- sau:

-Hãy chuyển giả thiết của bài toán sang ngôn ngữ vectơ và ghi giả thiết, kết luận của bài toán:

Giả thiết: GA GB GC 0 





 Kết luận: 3 GG'  AA'  BB'  CC'

* Quy lạ về quen

Ví dụ: Xét bài toán: Cho hai điểm A, B cố định Tìm quỹ tích những điểm

M thoả mãn điều kiện: 2 2 2

k MB

2

MB MA

Vậy ta đã chuyển bài toán về bài toán quen thuộc là tìm quỹ tích những

điểm m thoả mãn điều kiện:OM2 k

, với k là một số cho tr-ớc

* Xét t-ơng tự

Ví dụ: Giả sử học sinh đã giải bài toán “Cho tam giác ABC với trọng tâm G

Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: ( )

3

1

OC OB OA

bằng cách phân tích vectơ nh- sau:

OG  OA  AG

OG  OB  BG

OG  OC  CG

Khi học sinh giải bài toán t-ơng tự đối với trọng tâm G của tứ giác ABC, có thể đặt vấn đề để họ phân tích vectơ t-ơng tự nh- đối với tr-ờng hợp tam giác

OG  OA  AG

OG  OB  BG

OG  OC  CG

OG  OD  DG

* Khái quát hoá

Ví dụ: Ta phát triển ví dụ vừa xét ở trên khi học sinh giải bài toán tổng quát

đối với trọng tâm G của hệ n điểm A1, A2, …, An trong mặt phẳng, có thể đặt vấn đề để họ khái quát hoá cách làm trong tr-ờng hợp tam giác, tứ giác, phân tích OG theo n cách nh- sau:

Tr-ớc hết học sinh dễ dàng thấy 2 là một nghiệm của ph-ơng trình trên.Vấn

đề đặt ra là ngoài nghiệm này, ph-ơng trình còn có nghiệm nào nữa hay không? Muốn vậy, ta xét các biểu thức

x x

x x

3 , 5

4 , 5

3

xem các số trị của chúng thay đổi phụ thuộc vào giá trị của x nh- thế nào Việc xem xét này đ-ợc gợi động cơ nhờ kinh nghiệm của học sinh cho thấy rằng những

mối liên hệ và phụ thuộc nhiều khi dẫn tới những hiểu biết mới góp phần giải quyết những vấn đề đặt ra

a Gợi động cơ kết thúc

Nhiều khi, ngay từ đầu hoặc trong khi giải quyết vấn đề, ta ch-a thể làm rõ tại sao lại học nội dung này, tại sao lại thực hiện hoạt động kia Những câu hỏi này phải đợi mãi về sau mới đ-ợc giải đáp hoặc giải đáp trọn vẹn Nh- vậy là ng-ời ta đã gợi động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả của nội dung hoặc hoạt động đó với việc giải quyết vấn đề đặt ra

Ví dụ: Thầy giáo có thể làm cho học sinh hiểu đ-ợc vai trò của tích vô

h-ớng để giải các bài toán tính độ dài, các bài toán liên quan đến tính góc

nhờ các kiến thức nh- :

-Định nghĩa tích vô h-ớng

- AB AB2

- m.n=a b trong đó a , b cùng h-ớng và có độ dài lần l-ợt bằng m, n…cũng cần phải nói rằng phép cộng, trừ hai véctơ, phép nhân một véctơ với một số

đã đ-ợc trình bày ở ch-ơng 1 trong sách giáo khoa hình học 10 nh-ng khái niệm tích vô h-ớng của hai vectơ, đến ch-ơng 2 mới đ-ợc trình bày, đó là vì phép toán này cần thiết để xây dựng các hệ thức l-ợng trong tam giác và

đ-ờng tròn

1.1.3 Tri thức trong hoạt động

Nội dung của t- t-ởng chủ đạo này là: Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức,

đặc biệt là tri thức ph-ơng pháp, nh- ph-ơng tiện và kết quả hoạt động

Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết quả của hoạt động Chẳng hạn việc cộng hai số âm đòi hỏi về tri thức giá trị tuyệt đối của một số và quy tắc cộng hai số âm Mặt khác việc tính đạo hàm của một hàm số dựa vào định nghĩa cũng có thể làm nổi bật một tri thức là quy tắc chung để tính đạo hàm Vì vậy trong việc dạy học, ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những

tri thức đạt đ-ợc trong quá trình hoạt động Cần chú ý dạng khác nhau của tri thức: tri thức sự vật, tri thức ph-ơng pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị

Đặc biệt là tri thức ph-ơng pháp định h-ớng trực tiếp cho hoạt động và ảnh h-ởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng Vấn đề này đ-ợc trình bày cụ thể trong ch-ơng 2 của luận văn

1.1.4 Phân bậc hoạt động

Nội dung t- t-ởng chủ đạo này là: Phân bậc hoạt động làm một căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học

a Những căn cứ phân bậc hoạt động

+ Sự phức tạp của đối t-ợng hoạt động

+ Sự trừu t-ợng, khái quát của đối t-ợng

+ Nội dung của hoạt động

+ Sự phức hợp của hoạt động

+ Chất l-ợng của hoạt động

+ Phối hợp nhiều ph-ơng diện làm căn cứ phân bậc hoạt động

b Điều khiển quá trình học tập dựa vào sự phân bậc hoạt động

Ng-ời thầy giáo cần biết lợi dụng sự phân bậc hoạt động để điều khiển quá trình học tập, chủ yếu là theo những h-ớng sau:

+ Chính xác hoá mục tiêu

+ Tuần tự nâng cao yêu cầu

+ Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết

+ Dạy học phân hoá

Hoạt động và hoạt động thành phần; động cơ hoạt động; tri thức trong hoạt

động; phân bậc hoạt động đ-ợc coi là những thành tố cơ sở của ph-ơng pháp dạy học Dựa vào đó, ta có thể tổ chức cho học sinh hoạt động một cách tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, đảm bảo sự phát triển nói chung và kết quả học tập nói riêng

1.2 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Có nhiều thuật ngữ khác nhau khi nói về xu h-ớng dạy học này nh- “dạy học giải quyết vấn đề” của Vũ Văn Tảo và “dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề” của Nguyễn Bá Kim

Những khái niệm cơ bản và các b-ớc thực hiện trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:

- Vấn đề: Một bài toán đ-ợc gọi là vần đề nếu chủ thể ch-a có trong tay

một thuật giải nào để tìm ra phần tử ch-a biết của bài toán

- Tình huống gợi vấn đề (hay tình huống có vấn đề) là một tình huống

gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng v-ợt qua, nh-ng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối t-ợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Nh- vậy tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các yêu cầu sau:

- Tồn tại một vấn đề

- Gợi nhu cầu nhận thức

- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân

Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề bao gồm các b-ớc sau:

B-ớc 1: Phát hiện vấn đề

+ Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề

+ Giải thích và chính xác hoá tình huống để hiểu đúng vấn đề đ-ợc đặt ra + Phát biểu vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó

B-ớc 2: Tìm giải pháp

+ Tìm một cách giải quyết vấn đề th-ờng đ-ợc thực hiện theo sơ đồ sau

Bắt đầu

lý nhất

B-ớc 3: Trình bày giải pháp

B-ớc 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

+ Tìm hiểu những khả năng ứng dụng giải pháp

+ Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và giải quyết nếu có thể

Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:

+ Tự nghiên cứu vấn đề: Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của học

sinh đ-ợc phát huy cao độ, thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó Nh- vậy, trong hình thức này, ng-ời học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này

+ Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: Đây là hình thức mà cấp độ độc

lập của học sinh thấp hơn ở hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi

vấn đề, sau đó chính bản thân thầy phát hiện vấn đề và trình bày logic của quá trình suy nghĩ, giải quyết (không đơn thuần trình bày lời giải)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ giác ABCD khi và chỉ khi

4

1

MD MC MB MA

MG    (1), M là điểm bất kỳ

B-ớc 1: Tri giác vấn đề

- Tạo tình huống gợi vấn đề: Hãy phát biểu và chứng minh bài toán t-ơng tự

Với điểm M bất kỳ Vậy điều đó còn đúng nữa hay không đối với tứ giác

- Chính xác bài toán: Phân biệt sự giống nhau và khác nhau của bài toán

trong tam giác và trong tứ giác? Trên cơ sở đó dự đoán ph-ơng pháp chứng minh bài toán mới( h-ớng đích bộ phận: tìm cách giải quyết)

- Phát biểu vấn đề: Ta cần chứng minh theo 2 chiều:

Chiều thuận: giả sử G là trọng tâm tứ giác ABCD, M là điểm bất kỳ Ta

4

1

MD MC MB MA

kỳ.Cần chứng minh điểm G thoả

mãn (1) là trọng tâm tứ giác ABCD

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề

Vẽ tứ giác ABCD Hãy xác định

trọng tâm G trên hình vẽ?

-Với xác định nh- vậy, G là trung

điểm của IJ Điều này gợi cho ta liên

2

1

MJ MI

G

J I

D

C B

A

- Từ kết quả trên làm thế nào để có (1) Ta sẽ đ-a MI , MJ qua

MD , MC

4

1

MD MC MB MA

MG    , với M là điểm bất kỳ

Điểm G nh- vậy có thể là trọng tâm của tứ giác hay không

Quy về xác định trọng tâm ở trên, gọi I, J lần l-ợt là trung điểm của AB, CD Chứng minh G là trọng tâm tứ giác ABCD quy về việc chứng minh G là trung điểm của IJ

- Với G đã cho, I, J lần l-ợt là trung điểm của AB và CD ta có:

MI 2

MG  Chứng tỏ G là trung điểm của IJ hay G thoả mãn (1) chính là trọng tâm tứ giác ABCD

B-ớc 3: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- ở trên ta đã xác định trọng tâm G bằng cách lấy G là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của tứ giác Còn cách xác định nào khác không?

- Nhìn lại bài toán đảo: Với cách chứng minh trên cho ta t-ơng ứng một ph-ơng pháp xác định trọng tâm Nh- vậy có thể chứng minh bằng ph-ơng pháp khác để có cách xác định trọng tâm mới

- Thử gọi O là trong tâm tam giác BCD, áp dụng hình học phẳng ta đ-ợc gì?

0 OD

OC

OB    (4)

Làm sao sử dụng (4) khi biết (1)?

Dùng quy tắc 3 điểm, phân tích nh- sau:

* Xem xét những quá trình và hiện t-ợng trong mối liên hệ nhiều mặt và tác

động qua lại giữa chúng

* Xem xét những quá trình và hiện t-ợng trong sự vận động và phát triển, vạch ra những b-ớc chuyển hoá từ sự biến đổi về l-ợng sang biến đổi về chất

* Phát hiện những mâu thuẫn nội tại và sự đấu tranh giữa những mặt đối lập

để tìm ra những động lực phát triển

* Thừa nhận thực tiễn nh- nguồn gốc của nhận thức và tiêu chuẩn của tâm lí Chẳng hạn, muốn nghiên cứu sự phát triển năng lực khái quát hóa cho học sinh thông qua môn toán, ta không xem xét năng lực này một cách cô lập, trái lại phải nghiên cứu nó trong mối liên hệ chặt chẽ với những năng lực trí tuệ khác nh- phân tích, tổng hợp, so sánh, t-ơng tự, khái quát hóa,

Sau đây, chúng tôi làm rõ một số cặp phạm trù trong phép biện chứng của t- duy toán học:

Quan hệ giữa cụ thể và trừu t-ợng trong t- duy toán học: Khi nói về mối

quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu t-ợng trong quá trình sáng tạo toán học, giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đã nói: “Trong quá trình giải quyết một đề tài, những khái quát có tính lí luận th-ờng không ra đời một cách đơn giản, có khi phải xét rất nhiều tr-ờng hợp đặc biệt, cụ thể để từ đó lần mò ra cái trừa tượng, khái quát ” Ngược lại, trong quá trình giải quyết một đề tài thì càng nắm vững những lí luận trừu t-ợng, hiện đại, khái quát bao nhiêu thì càng có nhiều công cụ sắc bén để phát hiện ra cái mới bấy nhiêu Đối với toán học thì những lý luận và khái quát xung quanh các khái niệm “ tập hợp, ánh xạ, cấu trúc, mô hình” đã từng là những công cụ hiệu lực của những người nghiên cứu

Trong quá trình dạy học, “cái cụ thể” và “cái trừu tượng” thống nhất biện chứng với nhau theo hai chiều: từ cụ thể đến trừu t-ợng và ng-ợc lại Do vậy, giáo viên nên chú ý kết hợp t- duy cụ thể và t- duy trừu t-ợng, kết hợp các

hình thức trực quan trực tiếp với trực quan gián tiếp cũng nh- các thao tác trí tuệ để học sinh có thể chiếm lĩnh kho tàng tri thức của nhân loại một cách có chất l-ợng và hiệu quả

Ví dụ: Trong lĩnh vực số, từ các tập hợp đối t-ợng cụ thể, rời rạc ng-ời ta

xây dựng khái niệm các số tự nhiên Rồi từ các số tự nhiên xây dựng nên số nguyên, rồi đến số hữu tỉ, số thực, số phức

Quan hệ giữa cái chung và cái riêng trong t- duy toán học: Nhận thức đi từ

cái riêng đến cái chung, rồi cái chung lại chuyển hóa thành cái riêng Xét trên một ph-ơng diện nào đó thì cái riêng và cái chung mâu thuẫn, nh-ng khi xét trên một ph-ơng diện khác thì cái chung và cái riêng là thống nhất: cái chung bao trùm lên cái riêng, cái riêng nằm trong cái chung; mỗi cái riêng

có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung nh- vậy ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sở cho sự thống nhất giữa cái chung đó và cái riêng Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm khác nhau thì có thể khái quát hóa thành nhiều cái chung khác nhau, và đôi khi đem đặc biệt hóa nhiều cái chung khác nhau ta lại đ-ợc một cái riêng

Ví dụ: - Đ-ờng tròn vừa là tr-ờng hợp riêng của mặt cầu, vừa là tr-ờng

hợp riêng của elip

- Nếu xét về số chiều thì đ-ờng tròn và mặt cầu là mâu thuẫn, nh-ng xét về tính chất cách đều một điểm cố định thì đ-ờng tròn và măt cầu là thống nhất

- Nếu xét về số chiều thì đ-ờng tròn và elip là thống nhất, nh-ng khi xét về tính chất cách đều một điểm cố định thì đ-ờng tròn và elip lại mâu thuẫn

Quan hệ giữa nguyên nhân và kết quả: Quan hệ giữa nguyên nhân và kết

quả mà ta th-ờng gọi là mối liên hệ nhân quả, vừa có tính khách quan, có tính tất yếu vừa có tính phổ biến Chúng ta đều biết, t- duy toán học cũng nh- nội dung, kiến thức toán học là một chuỗi mắt xích liên kết chặt chẽ với nhau, các nội dung đã biết sẽ tạo tiền đề và giải thích cho sự xuất hiện của

một nội dung mới, và đôi khi một nội dung mới xuất hiện sẽ giải thích căn nguyên sự tồn tại của các kiến thức cũ Một kết quả có thể do nhiều nguyên nhân sinh ra hoặc các kết quả đ-ợc tạo ra từ cùng một nguyên nhân

CD AB

CD AB

IB IA

2

0 

(Với M là điểm bất kỳ)

+) MAMB 2MI, với M là điểm bất kỳ là nguyên nhân giải thích cho kết quả “Với G là trọng tâm của tam giác ABC thì 0 

đại, phù hợp với xu h-ớng chung hiện nay của thế giới

CHƯƠNG 2

Rèn luyện tri thức ph-ơng pháp nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học theo quan điểm hoạt động thông qua chủ đề

vectơ ở tr-ờng THPT 2.1 Sơ l-ợc về chủ đề vectơ ở tr-ờng THPT

Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học, việc sử dụng khái niệm vectơ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học cũng nh-

kĩ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng phát triển Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kĩ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở tr-ờng phổ thông Ph-ơng pháp vectơ cho tiếp cận những kiến thức toán học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa (chẳng hạn cách chứng minh định lý pitago, định lý hàm số cosin, hệ thức l-ợng trong tam giác, trong hình tròn…) Đồng thời ph-ơng pháp vectơ còn là ph-ơng pháp giải có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển t- duy trừu t-ợng, năng lực phân tích, tổng hợp….Từ vectơ có thể xây dựng chặt chẽ ph-ơng pháp toạ độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học và cung cấp công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học và hình học hoá đại

số Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhãn quan toán học cho học sinh, chẳng hạn nh- tạo cho học sinh làm quen với những phép toán trên những đối t-ợng không phải là số, nh-ng lại có tính chất t-ơng tự

Trong ch-ơng trình lớp 10, trình bày các khái niệm cơ bản nhất về vectơ và các phép toán vectơ Các khái niệm đó là: vectơ, vectơ cùng ph-ơng, vecơ cùng h-ớng, vectơ bằng nhau, phép cộng và trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số, tích vô h-ớng của hai vectơ và ứng dụng Vectơ sẽ đ-ợc áp dụng

để chứng các hệ thức l-ợng trong tam giác và trong đ-ờng tròn Nó cũng là cơ sở để trình bày ph-ơng pháp toạ độ trên mặt phẳng Ngoài ra các kiến

thức về vectơ đ-ợc áp dụng trong vật lý nh- : vấn đề tổng hợp lực, phân tích lực theo hai thành phần, công sinh ra bởi một lực,…

Mức độ các yêu cầu tối thiểu về chủ đề vectơ là:

-Về kiến thức cơ bản: nắm đ-ợc khái niệm vectơ, hai vectơ bằng nhau, hai

vectơ đối nhau, vectơ không; quy tắc ba điểm (còn gọi là quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành; định nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ với số thực, tích vô h-ớng của hai vectơ

- Về kĩ năng cơ bản: biết dựng đ-ợc vectơ bằng vectơ cho tr-ớc, biết lập

luận hai vectơ bằng nhau; vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm

để dựng vectơ tổng và giải một số bài toán; biết xác định số thực đối với hai vectơ cùng ph-ơng a

, b sao cho b k a

 ; vận dụng tính chất cơ bản của tích vô h-ớng, đặc biệt để xác định điều kiện cần và đủ của hai vectơ khác 0

không vuông góc với nhau; vận dụng tổng hợp các kiến thức về vectơ để nghiên cứu một số quan hệ hình học: tính thẳng hàng của ba điểm, trung

điểm của đoạn thẳng, tâm của tam giác, giao điểm hai đ-ờng chéo hình bình hành…

Đến lớp 11 học sinh tiếp tục nghiên cứu khái niệm vectơ và các phép toán

về vectơ trong không gian Chủ đề vectơ trong không gian đ-ợc xây dựng từ

đầu bằng khái niệm vectơ vì không thể dùng khái niệm vectơ trong mặt phẳng cho không gian đ-ợc Tuy nhiên cần thấy rằng cách xây dựng vectơ trong không gian t-ơng tự cách xây dựng vectơ trong phẳng

Chủ đề này đặt ra những yêu cầu cơ bản là:

-Về kiến thức cơ bản: nắm đ-ợc định nghĩa một số khái niệm về vectơ,

vectơ -không, góc giữa hai vectơ, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, ba vectơ đồng phẳng, ba vectơ khác 0 không đồng phẳng; quy tắc ba điểm, quy tắc hình hộp; định nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ với số thực, điều kiện cùng ph-ơng của hai vectơ, điều kiện đồng

phẳng của ba vevtơ khác 0 không cùng ph-ơng, định nghĩa và tính chất của tích vô h-ớng của hai vectơ

- Về kĩ năng cơ bản: cho học sinh làm quen với ph-ơng pháp sử dụng công

cụ vectơ trong việc nghiên cứu một số tính chất của những hình hình học nh- minh hoạ và vận dụng tính chất của nhiều khái niệm trên những hình không gian: tứ diện, hình chóp, hình hộp…,trong đó có các tính chất của tứ diện, của hình hộp mà học sinh đã đ-ợc học hoặc ch-a đ-ợc học theo ph-ơng pháp tổng hợp; kĩ năng phân tích một vectơ theo ba vectơ khác vectơ 0 không

đồng phẳng, đặc biệt là phân tích một vectơ trên một cạnh nào đó của một hình đã cho (hình hộp, hình lập ph-ơng, tứ diện…) theo các vectơ trên các cạnh khác của hình ấy; vận dụng tích vô h-ớng của hai vectơ để chứng minh quan hệ vuông góc, để tính góc giữa hai đ-ờng thẳng, giữa đ-ờng thẳng và mặt phẳng…, tính khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng chéo nhau…

2.2 Tri thức ph-ơng pháp trong hoạt động

Từ các quan điểm xét ở ch-ơng 1, lí luận dạy học toán nhấn mạnh vai trò

cốt lõi của vốn tri rhức về các đối t-ợng, các quy luật về các mối quan hệ giữa các đối t-ợng, hiện tuợng, đặc biệt là các tri thức ph-ơng pháp định h-ớng trực tiếp cho hoạt động và ảnh h-ởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng

động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung toán học và phát triển những kĩ năng và năng lực toán học t-ơng ứng

Ví dụ: Khái niệm vectơ (hình học 10)

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có h-ớng, nghĩa là trong hai điểm mút

của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối

Khi dạy định nghĩa này cần làm cho học sinh hiểu đ-ợc các vấn đề:

+ Nguồn gốc ra đời: Nh- ta đã biết, trong thực tế có những đại l-ợng có

h ớng, ví dụ nh- lực tác dụng lên một vật, vận tốc của một điểm chuyển động Trong tính toán những đại l-ợng đó cần đ-ợc biểu diễn, nh-ng đó là các

đại l-ợng có h-ớng, vậy phải biểu diễn chúng nh- thế nào? Các khái niệm vectơ ra đời bắt nguồn từ đó

- Tr-ờng hợp AB thì ta có vectơ AA hay BB, gọi là vectơ không (kí hiệu

là 0) Nh- vậy có thể thấy ứng với một điểm thì ta có một vectơ không và mọi vectơ không đều nh- nhau

* Những tri thức về ph-ơng pháp thực hiện những hoạt động toán học nh- hoạt động t- duy hàm, phân chia tr-ờng hợp, lật ng-ợc vấn đề,

Ví dụ: Để củng cố khái niệm hai vectơ bằng nhau, giáo viên đặt vấn đề:

Cho hình bình hành ABCD, viết các cặp vectơ bằng nhau? (AB  DC AD  BC) Ng-ợc lại nếu có AB  DCthì ABCD có phải là hình bình hành không? Cần bổ sung thêm điều kiện gì để ABCD là hình bình hành?

* Những tri thức ph-ơng pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung nh-

so sánh, khái quát hoá, trừu t-ợng hoá, xét t-ơng tự,

Ví dụ: giả sử học sinh đã giải bài toán: “Cho tam giác ABC với trọng tâm

G Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có: OA OB OC

Khi học sinh giải bài toán t-ơng tự đối với trọng tâm G của tứ giác ABCD,

có thể đặt vấn đề để phân tích vectơ t-ơng tự nh- đối với tr-ờng hợp tam

+ Khái quát hoá

Ví dụ: Ta phát triển ví dụ vừa xét ở trên khi học sinh giải bài toán tổng quát

đối với trọng tâm G của hệ n điểm A1, A2, …, An trong mặt phẳng, có thể đặt

vấn đề để họ khái quát hoá cách làm trong tr-ờng hợp tam giác, tứ giác, phân

* Những tri thức ph-ơng pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ lôgic

nh- thiết lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho tr-ớc, liên kết hai mệnh đề thành một hội hay tuyển của chúng v.v …

Chẳng hạn: Từ định nghĩa phép nhân vectơ a với số thực k, có nhận xét gì

về vectơ a và k a

. ? (avà b  k a là hai vectơ cùng ph-ơng) Giáo viên đặt tình huống (xét mệnh đề đảo): liệu với hai vectơ a, b 

cùng ph-ơng, a  0 thì có tồn tại số thực k để b  k a?

Những tri thức ph-ơng pháp thể hiện hai loại ph-ơng pháp khác nhau về bản chất và đều có ý nghĩa to lớn trong giáo dục toán học, đó là những ph-ơng pháp có tính chất thuật giải và những ph-ơng pháp có tính chất tìm

những điểm đặc biệt nào đó có thể liên quan đến tam giác ABC Chẳng hạn nh- trọng tâm G, tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp O, trực tâm, tâm đ-ờng tròn nội tiếp, ….Từ đó có thể giải bài toán trong ngôn ngữ vectơ nh- sau:

Gọi O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi đó: OA  OB  OC  R, trong đó R là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 ) (

) (OM OA  OM OB  OM OC

Chẳng hạn: AM BC  0 trong đó M là điểm biến thiên; A, B, C là các

điểm cố định thì quỹ tích điểm M là đ-ờng thẳng đi qua A và vuông góc với

Trong ví dụ 1 tri thức ph-ơng pháp đ-ợc tập luyện mang tính chất thuật giải

Đó là qui trình giải bài toán quỹ tích bằng ph-ơng pháp vectơ

Ví dụ 2: Dạy học định lí về trọng tâm tam giác

Nh- chúng ta đã biết : Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có:

có thể tổ chức cho học sinh hoạt động sau:

Hoạt động 2: (Hoạt động tái hiện kiến thức đã học)

Theo trên nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có đẳng thức nào?