BTL VẬT LÝ 1 LỰC LORENTZ

Trong vật lý học và điện từ học, lực Lorentz là lực tổng hợp của lực điện và lực từ tác dụng lên một điện tích điểm chuyển động trong trường điện từ. Oliver Heaviside là người đầu tiên suy luận ra công thức cho lực Lorentz vào năm 1889 2, mặc dù một số nhà lịch sử cho rằng James Clerk Maxwell đã đưa ra nó trong một bài báo năm 18653. Định luật được đặt theo tên của Hendrik Lorentz, người tìm ra công thức sau Heaviside một vài năm và ông đã nghiên cứu và giải thích chi tiết ý nghĩa của lực này.

BÌA

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU

Trong vật lý học và điện từ học, lực Lorentz là lực tổng hợp của lực điện và lực từtác dụng lên một điện tích điểm chuyển động trong trường điện từ Oliver Heaviside làngười đầu tiên suy luận ra công thức cho lực Lorentz vào năm 1889 [2], mặc dù một sốnhà lịch sử cho rằng James Clerk Maxwell đã đưa ra nó trong một bài báo năm 1865[3].Định luật được đặt theo tên của Hendrik Lorentz, người tìm ra công thức sauHeaviside một vài năm và ông đã nghiên cứu và giải thích chi tiết ý nghĩa của lực này.Lực Lorentz trong thực tế đã được ứng dụng trong các thiết bị như:

- Máy gia tốc (Cyclotron): Giúp hạt mang điện tăng tốc bởi cơ chế phối hợp củađiện trường và từ trường

- Khối phổ kế (Mass spectrometers): Phân tách các hạt mang điện có khối lượngkhác nhau dựa vào bán kính bán kính quỹ đạo trong từ trường đều

- Ống chân không năng lượng cao (Magnetron): tạo ra vi sóng bằng các tương táccủa một dòng electron với một từ trường trong khi di chuyển qua một loạt cáckhoang kim loại mở (cộng hưởng khoang)

- Tạo ra dòng điện Foucalt: ứng dụng trong chế tạo bếp điện từ, chế tạo phanh xe,

lò luyện kim bằng điện

Ngoài ra, lực Lorentz còn được dùng để giải thích hiện tượng cực quang tại hai cựccủa Trái Đất Dưới tác dụng của từ trường Trái Đất, các điện tích tự do (oxi và nitơ bịion hóa) sẽ chuyển động xoắn theo hình lo xo dọc theo đường sức từ về phía hai cực.Kết quả, trong vùng không gian khí quyển ở hai cực của Trái Đất sẽ xuất hiện nhữngkhu vực có mật độ điện tích cao và chuyển động với tốc độ lớn, các điện tích này sẽtương tác với phần tử khác bên trong bầu khí quyển và tạo ra bức xạ đặc trưng ở vùnghồng ngoại và vùng ánh sáng nhìn thấy Tùy vào điều kiện thực tế mà ánh sáng phát cóthể là màu xanh, màu vàng, màu hồng, màu tím hoặc một màu sắc đặc trưng khác Nhằm tìm hiểu thêm về tác dụng của lực Lorentz trong điện từ trường tĩnh cũng nhưứng dụng phần mềm Matlab trong giải quyết các bài toán liên quan, nhóm đã chọn đềtài “ Vẽ quỹ đạo của electron trong điện từ trường tĩnh” để trình bày trong phần báocáo này

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Lực Lorentz

1.1 Điện tích trong điện trường

Giả sử, có một điện tích dương q được đưa vào điện trường Khi đó trường sẽ tác dụng lên điện tích Khi đó trường sẽ tác dụng lên điện tích dương đó một lực ⃗F= q ⃗E,lực có hướng dọc đường sức Nếu ngoài lực điện không có các lực khác tác dụng lên

nó, thì hạt mangđiện sẽ chuyển động nhanh dần đều dọc theo đường sức

Đối với các hạt mang điện âm thì điện trường tác dụng lên nó một lực không đổi, nhưng có hướng ngược với đường sức Bởi vậy, các hạt mang điện tích âm cũng chuyển động nhanh dần đều nhưng theo chiều ngược với chiều chuyển động của hạt mang điện tích dương Giả sử rằng, có một điện tích dương q bay vào điện trường giữahai bản song song của tụ điện, nghĩa là đường sức vuông góc với hướng bay Trọng lượng ⃗Pcủa hạt mang điện và lực điện ⃗F=q ⃗E, cùng tác dụng lên điện tích này Cả hai lực đều hướng thẳng đứng xuống phía dưới Vì vậy hạt chuyển động nhanh dần đều theo phương thẳng đứng hướng xuống phía dưới Không có lực nào tác dụng lên hạt theo phương nằm ngang và bởi vậy nó chuyển động đều theo phương này Chuyển động đó hoàn toàn giống như chuyển động của vật thể bị ném theo phương nằm ngangtrong trường hấp dẫn Bởi vậy,quỹ đạo chuyển động của hạt mang điện tích dương trong điện trường không đổi và đồng nhất là đường parabol

Nếu không tính đến trọng lượng của hạt, thì hạt mang điện tích âm trong trường sẽ chuyển động theo quỹ đạo parabol Bởi vì lực tác dụng lên hạt mang điện tích âm hướng ngược với đường sức Nếu tính đến trọng lượng của điện tích, thì hạt mang điệntích âm có thể chuyển động hoặc theo đường parabol lồi phía trên, hoặc theo đường parabol lồi xuống phía dưới Điều đó phụ thuộc vào trọng lượng hay lực điện nào lớn hơn Nếu hai lực này bằng nhau về độ lớn thì nói chung hạt sẽ không lệch về phía trên cũng như về phía dưới Nghĩa là điện tích âm sẽ chuyển động thẳng đều theo phương nằm ngang với vận tốc bằng vận tốc ban đầu của điện tích khi bay vào điện trường Hiện tượng chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường đă được người ta sử

dụng vào việc chế tạo các ống tia điện tử Chuyển động của hạt mang điện bay vào điện trường có hướng lập thành một góc với các đường sức cũng được nghiên cứu mộtcách tương tự Và trong trường hợp này quỹ đạo của hạt mang điện là một đường parabol hay một nhánh parabol Giống như chuyển động của vật thể được ném lên theophương xiên góc trong trường hấp dẫn Chúng ta hăy khảo sát sự chuyển động của điện tích trong điện trường của điện tích khác, mà coi điện tích này là bất động Vì khoảng cách giữa các hạt thay đổi nên lực tương tác giữa chúng cũng thay đổi Khi hạt

xa nhau, lực tương tác nhỏ và quỹ đạo cong ít Khi hạt chuyển động bay lại gần hạt bấtđộng thì lực tương tác tăng lên, và quỹ đạo bị cong nhiều Khi hạt chuyển động đi xa thì quỹ đạo lại bị cong ít

Quỹ đạo của hạt là đường hypebol

1.2 Hạt mang điện trong từ trường

Chuyển động của hạt mang điện trong từ trường phức tạp hơn nhiều so với trong điện trường Nếu điện tích đứng yên, thì từ trường hoàn toàn không tác dụng lên nó Nếu điệntích chuyển động với vận tốc ⃗v, thì từ trường tác dụng lên nó một lực gọi là lực Lorentz

Độ lớn của lực Lorentz được tính bằng: ⃗F= q.[ ⃗v, ⃗B]

Độ lớn của lực Lorentz không chỉ phụ thuộc vào trị số vận tốc mà còn phụ thuộc vào hướng của vận tốc

Hướng của lực Lorentz: vuông góc với ⃗v và ⃗B

Chiều tuân theo quy tắc bàn tay trái

Xét từ trường đồng nhất và không đổi, quỹ đạo chuyển động của hạt mang điện khi: ⃗v ⊥ ⃗BLực Lorentz không làm thay đổi độ lớn vận tốc mà chỉ làm thay đổi

phương của vectơ vận tốc, kết quả là hạt chuyển động tròn đều, bán kính quỹ đạo là : R=m v q B

Vận tốc hạt càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng lớn (từ trường khó làm cong quỹ đạo của hạt chuyển động nhanh hơn hạt chuyển động chậm).

Cảm ứng từ càng lớn thì bán kính đường tròn càng nhỏ

Khối lượng hạt càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng lớn (hạt có khối lượng lớn thì

có quán tính càng lớn và từ trường khó làm cong quỹ đạo của nó)

Độ lớn điện tích càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng nhỏ

Vì khối lượng của ion lớn hơn khối lượng của electron nhiều lần, nên các electron quay trong từ trường nhanh hơn nhiều so với các ion

( ⃗v, ⃗B) =a Khi đó ta phân tích vận tốc của điện tử theo hai phương: phương dọc theo từ trường(vx) và phương vuông góc từ trường( vy) Theo phương dọc theo từ trường, hạt chuyển động thẳng đều Theo phương vuông góc với từ trường, dưới tác dụng của lực Lorentz, hạt chuyển tròn trong mặt phẳng vuông góc với từ trường Kết quả là hạt sẽ chuyển động theo đường xoắn ốc Khoảng cách h mà hạt đi qua dọc theo

từ trường sau một vòng trọn vẹn theo đường xoắn ốc được gọi là bước xoắn:

h=2 πmm qB vx

Ta thấy, với cùng một giá trị vận tốc vx, bước xoắn của các electron nhỏ hơn nhiều so với bước xoắn của các ion

1.3 Hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường

Trong các điều kiện như thế, tâm vòng tròn xiclôtron (được gọi là tâm chính), nó bắt đầu dịch chuyển theo hướng vuông góc với từ trường Người ta gọi chuyển động

đó của tâm chính là sự trôi

Giả sử rằng,ngoài từ trường đồng nhất và không đổi còn có một điện trường đồng nhất và không đổi có hướng vuông góc với các đường cảm ứng từ cũng tác dụng lên hạt, trường này được gọi là trường giao nhau Giả sử, từ trường vuông góc với mặt

phẳng hình vẽ và hướng về phía chúng ta, còn điện trường hướng dọc theo trục y Đầu tiên chúng ta hăy đặt một điện tích dương ở gốc tọa độ Khi đó từ trường không tác dụng lên điện tích, và dưới tác dụng của điện trường thì nó bắt đầu chuyển động nhanhdần dọc theo trục y Nhưng từ trường lại tác dụng lên điện tích chuyển động Khi vận tốc của hạt nhỏ, nó chủ yếu chuyển động theo hướng của điện trường, còn từ trường chỉ làm cong một ít quỹ đạo của nó Dưới tác dụng của điện trường, cùng với sự tăng lên vận tốc của hạt chính lực Lorentz cũng được tăng lên làm cho quỹ đạo của hạt càngngày càng bị xoắn lại Cuối cùng khi vận tốc lớn đến nỗi lực Lorentz trội hơn lực tăng tốc của điện trường, thì chuyển động trở nên chậm dần sau một khoảng thời gian nào đấy thì hạt dừnglại và tất cả được lặp lại từ đầu Sự giải quyết chính xác bài toán này chỉ ra rằng quỹ đạo của hạt là đường cong xicloit Tùy theo hạt có vận tốc như thế nào

ở thời điểm ban đầu và thời gian nó ở điểm đó mà quỹ đạo của nó là đường xiclôit hay đường cong như hình vẽ:

Người ta gọi những đường cong đó là đường tròn xiclôit Như vậy chuyển động của hạt mang điện trong trường giao là phức tạp Có thể biểu diễn nó dưới dạng sự quay của hạt theo xiclôit và sự chuyển động của tâm chính theo hướng vuông góc vectơ ⃗Evà ⃗B Đó chính là sự trôi Trị số vận tốc trôi không phụ thuộc vào trị số điện tích mà chỉ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường Nhưng điều đó tất nhiênkhông có nghĩa là sự trôi xảy ra với các hạt không mang điện Dưới tác dụng của điện trường và từ trường chỉ có những hạt mang điện mới chuyển động

Trường hợp tổng quát, khi vận tốc ban đầu của hạt không vuông góc với từ trường ,quỹ đạo chuyển động là đường xoắn quấn xung quanh đường parabol

Đối với electron, chuyển đông trôi cùng chiều với hạt mang điện dương Nhưng, quỹ đạo chuyển động của các electron tất nhiên sẽ khác với quỹ đạo của các ion

dương Thứ nhất là các electron quay ngược chiều với ion dương Thứ hai là bán kính xiclôtron của electron nhỏ hơn nhiều so với bán kính xiclôtron của ion Khi vận tốc ban đầu củaelectron và ion vuông góc với hướng từ trường chuyển động của các electron và các ion về một phía với cùng một vận tốc trôi

1.4 Thuật toán:

2 Giới thiệu Matlab

MATLAB là phần mềm cung cấp môi trường tính toán số và lập trình, do công

ty MathWorks thiết kế MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm

số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác

Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều

mô hình trong thực tế và kỹ thuật

2.1 Thư viện toán học kiểu ký tự (symbolic matlab)

Symbolic matlab là thư viện các phép toán kiểu ký tự được đưa vào môi trường tính số học của matlab, thư viện này làm phong phú và tiện ích thêm với nhiều kiểu tính toán về toán học khác cho phần tính số học và đồ hoạ đã có trước đây trong thư viện Matlab

2.1.1 Giới thiệu về symbolic

Symbolic Math Toolbox định nghĩa một kiểu dữ liệu mới của Matlab gọi là đối tượng Symbolic Một đối tượng Symbolic là một cấu trúc dữ liệu lưu trữ một đại diện kiểu sâu ký tự của một biểu tượng (Symbol) Symbolic Math Toolbox sử dụng các đối tượng Symbolic để biểu diễn các biến, biểu thức và Matlab trận Symbolic

+ diff(S): Đạo hàm biểu thức symbolic S với biến tự do được xác định bởi hàm

findsym(S)

+ diff(S,v) hay diff(S,sym(„v‟)): Đạo hàm biểu thức symbolic S với biến lấy đạo hàm

là biến symbolic v nghĩa là thực hiện phép toán dS/dv

+ diff(S,n) : Đạo hàm cấp n biểu thức S, n là số nguyên dương

Để tính tích phân của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm int()

+ int(S) : tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến mặc định

xác định bởi findsym

+ int(S, v): Tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến tích phân v

+ int(S,a,b): Tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến tự do và cận lấy tích phân từ [a,b]

+ int(S,v,a,b): Tích phân không xác định của biểu thức symbolic S với biến tích phân v

và cận lấy tích phân từ [a,b]

Ví dụ:

>>syms x t z alpha

>>int(-2*x/(1+x^2)^2)

2.1.4.3 Tìm giới hạn

Để tìm giới hạn của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm limit()

+ limit(F, x, a) : Tìm giới hạn của biểu thức F khi x a

+ limit(F, a) : Tìm giới hạn của biểu thức F với biến độc lập

+ limit(F) : Tìm giới hạn của biểu thức F khi a = 0

+ limit(F, x, a, „right‟) hoặc Lim it(F, x, a, „left‟) : Tìm giới hạn phải hoặc bên

trái

Ví dụ:

>>syms x a t h

>>limit(sin(x)/x)

2.1.4.4 Tính tổng của dãy số symbolic

Để tính tổng của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm symsum()

+ symsum(S): Tổng của biểu thức symbolic theo biến symbolic k , k được xác định bằng lệnh findsym từ 0 k -1

+ symsum(S,v): Tổng của biểu thức symbolic S theo biến symbolic v,v được xác định

từ 0 k - 1

+ symsum(S,a,b), symsum(S,v,a,b): Tổng của biểu thức symbolic S theo symbolic v, vđược xác định từ v = s đến v = b

Ví dụ:

>>syms k n x

>>symsum(k^2)

2.1.4.5 Tách tử số và mẫu số của một biểu thức symbolic

[n,d] = numden(A): biến đổi mỗi phần tử của A thành dạng hữu tỷ trong đó tử số

và mẫu số là các đa thức (tương đối) nguyên tố với các hệ số nguyên

+ subs(S, new): Thay thế biến symbolic tự do trong S bằng new

+ subs(S, old, new): Thay thế old bằng new trong biểu thức S Old là một biến

symbolic, một sâu đại diện cho một tên biến, hoặc một biểu thức sâu ký tự New có

thể là một biến, một biểu thức symbolic, biến số hoặc biểu thức số.

2.1.4.7 Giải phương trình đại số

Sử dụng lệnh solve để giải hệ phương trình đại số Giả sử S là một biểu thức symbolic Lệnh solve(S) sẽ có gắng tìm các giá trị của biến symbolic trong S (được xác định bởi findsym(S)) làm cho S bằng không Lệnh solve( ) có các cú pháp như sau:

Hàm dsolve tính toán lời giải symbolic cho các phương trình vi phân thường.

Các phương trình được xác định bởi biểu thức symbolic chứa chữ D để biểu diễn ký hiệu vi phân d/dt Các ký hiệu D2, D3,…, Dn tương ứng với đạo hàm bậc 2, 3,…, n

Vì vây, D2y tương đương với d2

2.1.4.9 Biến đổi laplace và laplace ngược

Phép biến đổi laplace của hàm f(t) được định nghĩa như sau:

+ L = laplace(F): Biến đổi Laplace của hàm F với biến độc lập mặc định là t Kết quả trả về là một hàm của s Nếu F = F(s) thì Laplace trả về một hàm của t: L = L(t) Theo định nghĩa, L(s) = int(F(t)*exp(-s*t),0,inf) và phép tích phân được thực hiện với t+ L = laplace(F,t): L là một hàm của t thay thế biến mặc định s

TÓM TẮT NỘI DUNG CỐT LÕI

- Áp dụng matlab trong tính toán mạch điện, giải mạch điện nhanh chóng tiện

lợi

- Áp dụng giải phương trìnhvà hệ phương trình tuyến tính.

- Giải các phương trình phi tuyến và PT tham số.

Sau đây là các lệnh vẽ đồ thị 2D cơ bản trong Matlab

- Lệnh vẽ Plot: Plot ( tên biến , tên hàm)

>> plot (x,y) % Vẽ hàm y theo biến x

>>grid on % Tạo chia ô cho đồ thị

- Tên biến = linspace ( Điểm đầu, điểm cuối, số điểm cần vẽ )

% vẽ hàm y = e-x.sin (x) với x chạy

2.2.1.2 Vẽ nhiều đường biểu diễn trên cùng một đồ thị:

Cùng một bản đồ thị ta có thể vẽ nhiều đồ thị với các dữ liệu khác nhau

và loại đường minh hoạ Theo mặc định Matlab sẽ tự động gán loại mầu

sắc cho từng dữ liệu để phân biệt Công thức tổng quát khi vẽ nhiều đồ thị

 ylabel („ Tên trục y‟);

 text (x,y, „chuối ký tự‟) đưa một chuỗi ký tự vào điểm có toạ độ x,y trên đồ thị;

 gtext(„chuỗi ký tự‟) đưa một chuỗi ký tự được xác định bởi dấu + hay con trỏchuột;

 legend(„chuỗi 1‟,‟chuỗi 2‟ ) đưa ra màn hình đồ hoạ một khung chú thích baogồm các chuỗi Vị trí của khung có thể được di chuyển bởi chuột;

 legend off: loại bỏ chức năng legend khỏi màn hình đồ hoạ;

 Grid on: bật chế độ lưới trong màn hình đồ hoạ;

 Grid off: tắt chế độ lưới trong màn hình đồ hoạ;

 Hold on: giữ lại các đồ thị đã vẽ ( dùng để vẽ nhiều đồ thị trên một hệ trục toạđộ);

 Hold off: ngược lại với hold on