15 đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 Cấp trường có đáp án

Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳngsong song với AC cắt đường thẳng AH tại

b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của của tia MA lấy điểm

E sao cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH ⊥BC (H BC∈ ) Biết HBE · = 50 ;0 MEB · = 250 Tính ·HEM và ·BME

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x−2006+ 2007−x Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện

nhau trên một đường thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy

điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳngsong song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC

Câu 1: Tìm các cặp số (x; y) biết:

=

x ya/ ; xy=84

3 71+3y 1+5y 1+7yb/

và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC a, Chứng minh: DC = BE và DC ⊥BE

b, Gọi N là trung điểm của DE Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM C/minh: AB = ME

1(:13

1.33

1.6

2003 2

+

++

a

a a

là số nguyên; b, Tìm số nguyên x,y sao cho 2xy+y=0

c b

a =

với b,d khác 0

b, Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ sốgiống nhau

lấy điểm D sao cho CD=2CB Tính góc ADE

c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy Chứng minh rằng: x = y = z

3

b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d ∈Z

Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f M f M f − M Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC.

H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi

c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC d) IM là phân giác của góc HIC

x = =

và 2x2 +2y2 −3z2 =−100

b) Cho a

d d

c c

b b

a

222

2 = = =

(a, b, c, d > 0)

a d

b a

d c

d a

c b

d c

b a

+

−+

+

−+

+

−+

+

−2010 2011 2010 2011 2010 2011 20102011

Câu 3 a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x

AM = MD Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đườngvuông góc hạ từ M xuống AC

a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI b) Chứng minh KN < MC

c) ∆ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.

d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH,

MN đồng quy

ĐỀ 7

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 7

Thời gian: 120 phút

Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b

Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn:

b b

a = =

Chứng minh: d

a d c b

c b a

c c b

a

+

=+

a) x−3

= 5 b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650Câu 5 (3đ) Cho  ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE,

(H,K ∈ AE) Chứng minh  MHK vuông cân

Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x, y Z ∈ biết 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE =

AB Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F a/ Chứng minh tam giác BFCb/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều

ĐỀ 10

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 7

Thời gian: 120 phút

Chứng minh rằng: =

Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:

f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác của góc A và

góc C cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC Lấy điểm Itrên đoạn FC sao cho FI = AH Gọi K là giao điểm của FH và AI a/ Chứng minh tam giác FCH cân

)4321(4

1)321(3

1)21(2

31.62

30

12

5.10

4.8

3.6

2.4

2

666666.33

3

44

4

4

5 5

5 5 5 5 5 5 5 5

5

5 5 5

5

=+

++++

++

+

++

b Chứng minh DH = DC = DA d Chứng minh AE = HC.

c Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2−2n+2+ −3n 2nchia hết cho 10

Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của của tia MA lấy điểm

E sao cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK C/m ba điểm I, M, K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH ⊥BC (H BC∈ ) Biết ·HBE = 50o ; ·MEB =25o Tính ·HEM và ·BME

giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

a, Tia AD là phân giác của góc BAC ; b, AM = BC

Câu 2 (4 điểm) Chứng minh:P=(3x+1+3x+2+3x+3+ + 3x+100)M120 (x N∈ )

Câu 3 (4 điểm) Cho hai hàm số

Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho

Câu 5 (4,5điểm) Cho ∆ABC, trung tuyến BM Trên tia BM lấy I và K sao cho

23

BI = BM

và M

là trung điểm của IK Gọi N là trung điểm của KC IN cắt AC tại O Chứng minh:

a O là trọng tâm của ∆IKC b

13

Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác

a Chứng minh rằng: ·BOC= +µA ABO ACO· +·

Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện

tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m

B và C có cùng chiều rộng Chiều dài của mảnh đất C là 24m Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó

Bài 4: Cho 2 biểu thức: A =

4 72

x x

−

− ; B =

2

3 9 23

x

− +

−

a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên

b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên

Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm

D và E sao cho BD = CE a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE

c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE Chứng minh BH = CK

d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm

ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN ĐỀ 1 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)

1 2 3

3

1 7 2

x x x

+ = ++ + =

( )( )

Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c )⇒ AC = EB

Vì ∆AMC = EMB∆ ⇒ MAC MEB· =· (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và

Nên AMI∆ = ∆EMK ( c.g.c ) Suy ra: ·AMI =EMK·

Mà ·AMI IME+· =1800 ( tính chất hai góc kề bù )

⇒ EMK IME· +· =1800

⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ =900 có HBE· =500

⇒ ·HEB=900−·HBE=900−500 =400

⇒ ·HEM =HEB MEB· −· =400−250 =150

·BME BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆

Nên ·BME HEM MHE=· +· =150+900 =1050

K

H

E

M B

A

C I

( định lý góc ngoài của tam giác )

( Học sinh giải theo cách khác đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa)

ĐÁP ÁN ĐỀ 2 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a)

1

.16 28

n = n

; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)

+ Nếu - 2 ≤ x < - 2

3 Thì 2x+3 =x+2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 35(Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x−2006+ 2007−x Khi x thay đổi

D B

A

H

I F

E

M

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện

nhau trên một đường thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một

đường thẳng, ta có:

x – y = 3

1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)

và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

111:3

111

yx1

y12

x1

12y

12 = > =

(giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường

thẳng là 11

4 giờ

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy

điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng

song song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung)

=> IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ),

BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)

Từ (3), (4) và (5) => ∆AFE = ∆CAB

và nhỏ hơn

9 11

−Gọi mẫu phân số cần tìm là x Ta có:

−

Câu 3 Cho 2 đa thức: P ( )x = x2

+ 2mx + m2 và Q( )x = x2

+ (2m+1)x + m2 Tìm m biết P(1) = Q (-1)

−

Vậy x = 2, y =

115

2

+

++

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC tại H Từ E hạ EP ⊥ MH

ĐÁP ÁN ĐỀ 4 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN

1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm

1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm

2.a

Ta có : 1

32

+

++

a

a a

31

3)1(

++

=+

++

a

a a

a a

vì a là số nguyên nên 1

32

12

121

y

x x

12

121

y

x x

y

Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài

0,25

0,250,250,253.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy ra d

c b

a =

( ĐPCM)

0,50,53.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0)

Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :

a a

n

n

.37.31112

)1( + = =

Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n

= 74 không thoả mãn )

Do đó n=37 hoặc n+1 = 37

Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó 2 703

)1(

=+

n n

không thoả mãn

Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 2 666

)1(n+ =

n

thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36

Tam giác BCH cân tại C ⇒CBH = 300 ⇒ ABH = 150

Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H

Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750

0,5

0,51,01,0

5 Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả

mãn

Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho

3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)

0,250,25

0,250,25

ĐÁP ÁN ĐỀ 5 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN

4

2

12

5

2

12

x+ − = ⇒ x+3 −8=20; x+3 −8=−20

2083

y2

94

2z2y2x16

2z9

2y4

2

++

++

=

=

=

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )

Bài 4: a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

Với y1= - 6 thì y2 = - 4 ;

Với y1 = 6 thì y2= 4

17

Trang

I

M B

a. ∆AIC = ∆BHA ⇒ BH = AI (0,5điểm)

b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)

c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ⇒ N là trực tâm ⇒ DN⊥ AC (0,75điểm)

d. ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI và ∠BMH = ∠IMA (0,25điểm)

mà : ∠ IMA + ∠BMI = 900 ⇒∠BMH + ∠BMI = 900 (0,25điểm)

⇒∆HMI vuông cân ⇒∠HIM = 450 (0,25điểm)

mà : ∠HIC = 900 ⇒∠HIM =∠MIC= 450 ⇒ IM là phân giác ∠HIC (0,25điểm)

*) Ghi chú:

Nếu học sinh có cách giải khác đúng, vẫn được điểm tối đa

ĐÁP ÁN ĐỀ 6 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN

0,750,75

b) (1,5đ)

3x +x2 = 0  x(3 + x) = 0

x=0 hoặc x= -3

0,750,75

c) (1,5đ)

(x-1)(x-3) < 0 vì x-1 > x-3 nên

(x-1)(x-3) < 0 ⇔ 3 0 1 3

01

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

=

=

ta có:

425

10025

32275

332

218

225169

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1006436

2

2

2

z y x x y x

= 2+12−x

3

A lớn nhất khi 12−x

3 lớn nhất

0,25

0,25

0,2519

Trang

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Vậy để 12−x

3 lớn nhất thì

12-x 0

x Z12-x

1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1)

-1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c

Vậy a và c là hai số đối nhau

0,750,750,5

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

b) (1,5 đ)

Chỉ ra được AM = MC => ∆AMC cân tại M

=> đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của ∆AMC

=> N là trung điểm AC

∆AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN = 2

1AC

Mặt khác MC = 2

1BC

Lại có ∆ABC vuông tại A => BC > AC => 2

1

BC > 2

1

AC hay MC > KNVậy MC > KN (ĐPCM)

0,50,250,25

Mặt khác BI⊥AM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ∆ABM

=> ∆ABM cân tại B (1)

Mà ∆ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta có∆ABM cân tại M (2)

Từ (1) và (2) ruy ra ∆ABM đều => góc ABM = 600

Vậy vuông ∆ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600

0,50,5

d) (1,0 đ)

Xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC

=> BI và DH cắt tia MN

Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN

Dễ dàng chứng minh ∆AIO = ∆MHO’ => MO = MO’ => O ≡ O’

Suy ra BI, DH, MN đồng quy

Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB

=> BI và BH cắt tia đối của tia MN Chứng minh tương tự trường hợp 1

Vậy BI, DH, MN đồng quy

(Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy của

- Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng.

ĐÁP ÁN ĐỀ 7 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN

Câu1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)2=36abc

+, Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0

+,Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc=36

+, Từ abc =36 và ab=c ta được c2=36 nên c=6;c=-6

+, Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a2=36 nên a=3; a=-3

21

Trang

+, Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b2=36 nên b=2; b=-2

-, Nếu c = 6 thì avà b cùng dấu nên a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2-, Nếu c = -6 thì avà b trái dấu nên a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2Tóm lại có 5 bộ số (a,b,c) thoã mãn bài toán

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6)Câu 2 (3đ)

c (1đ) 4-x+2x=3 (1)

* 4-x≥0 => x≤4 (0,25đ)(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ)

*4-x<0 => x>4 (0,25đ)(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ)Câu3 (1đ) Áp dụng a+b≤a+bTa có

A=x+8-x≥x+8-x=8MinA =8 <=> x(8-x) ≥0 (0,25đ)

Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102

=22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ)

Câu5.(3đ)

Chứng minh: a (1,5đ)

Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => ME//BD(0,25đ)

Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)

Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ)

Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ)

So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ)

Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ)

Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)

So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)

ĐÁP ÁN ĐỀ 8 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN

Câu 1 Ta có . . d .

a d

c c

b b

(1) Ta lại có

a c b

c b a d

c c

b b

a

++

++

c b a

c c b

a

+

=+

=+ .= (a b c)

c b a

++

++

Nếu a+b+c ≠ 0 => A = 2

1.Nếu a+b+c = 0 => A = -1

Câu 5 ( Tự vẽ hình)

 MHK là  cân tại M

Thật vậy:  ACK =  BAH (gcg) => AK = BH

 AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH

Vậy:  MHK cân tại M

ĐÁP ÁN ĐỀ 9 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7 Môn: TOÁN

Bài1: (1,5 điểm)

23

Trang