TUYỂN TẬP CÔNG THỨC – CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 y f xm Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau đó lấy đối xứng qua trục OxGiữ nguyên phần trên Ox, bỏ phần dưới Ox,

TUYỂN TẬP CÔNG THỨC – CÁC DẠNG TOÁN

u u

n x

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

Bước 2: Tính y và giải phương trình y  0

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận

4 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN  a b; Bước 1: Tính y' và giải phương trình y'   0 nghiệm x x1 , 2  a b;

Bước 2: Tính f x   1 ,f x2 ,f a   ,f b

Bước 3: So sánh các giá trị ở bước 2, số lớn nhất là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN

Chú ý: Nếu bài yêu cầu tìm GTLN – GTNN trên  a b; thì ở bước 2 ta không tính f a   ,f b

5 CÁCH TÌM TIỆM CẬN Tiệm cận đứng:  

g x

 nhận xa làm tiệp cận đứng thì  

 

00

6 CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ Bước 1: Tìm TXĐ

Bước 2: Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

- Điểm uốn bên phải Oy thì 0

ab , bên trái Oy thì ab0, nằm trên Oy thì b0

- Giao với Oy trên O d 0

+ Nhận biết c: Hai cực trị nằm về hai phía Oyac0, nằm về 1 phía Oy thì ac0, có một cực trị nằm trên Oy c 0, nếu không có cực trị thì c0 hoặc ac0

Nhận biết dấu của a:

- Nét cuối của đồ thị hướng lên thì a0

- Nét cuối của đồ thị hướng xuống thì

0

a

Nhận biết c:

- Giao điểm với Oy trùng O

thì c0, giao điểm với Oy

dưới O thì c0, nằm trên O

thì c0

Nhận biết b :

- Hàm số có 3 điểm cực trị thì ab0

- Hàm số có 1 điểm cực trị thì ab0

10 CÁCH BIỂN ĐỔI ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ  C : y f x  BAN ĐẦU

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị y f x 

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của y f x , lấy đối xứng phần đồ thị

được giữ qua Oy

 

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị y f x 

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Oxcủa y f x , lấy đối xứng phần đồ thị bị

bỏ qua Ox

 

y f x Thực hiện liên hoàn biến đổi đồ thị y f x  thành đồ thị y f x  ,

sau đó biến đổiđồ thị y f x  thành đồ thị y f  x

   

 C :yu x v x   

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x 0 của đồ thị y f x 

+ Bỏ phần đồ thị trên miền u x 0của y f x , lấy đối xứng phần đồ

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

y f xm

Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau đó lấy đối xứng qua trục

Ox(Giữ nguyên phần trên Ox, bỏ phần dưới Ox, lấy đối xứng phần bị

bỏ qua Ox) Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo sau đó lấy đối xứng qua trục (Giữ nguyên phần bên phải , bỏ phần bên trái , lấy đối xứng phần được giữ nguyên qua )

Vẽ trước sau đó tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc phải tùy theo

11 SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

+ Gọi m là số điểm cực trị của hàm số và k là số giao điểm giữa đồ thị với trục

12 Cho hàm số y f x m( , ) có tập xác định D Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên

+ Hàm số đồng biến trên thì 'y 0 x khi

00

13 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) đơn điệu trên một khoảng ( ; )

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ và CT  PT: y'3ax22bx c 0 có hai nghiệm phân biệt

a

n f m

15 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , )ax3bx2 cx d đơn điệu trên một khoảng

độ dài bằng k cho trước

đưa phương trình (2) thành phương trình theo m

Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

16 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) đạt cực trị tại điểm x 0

 Hàm số đạt cực trị tại điểm x thì 0 y x'( )0 0 GPT này ta tìm được giá trị của m

 Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không?

 Nếu yBËc 3 hoặc yBËc 4 thì vận dụng kiến thức:

''( ) 0

y x  x là điểm CĐ y x''( )0  0 x0 là điểm CT

Nếu yBËc 2

BËc 1 thì kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại x khi 0 0

0

( ) 0( ) 0

17 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y f x( )

 Đối với hàm số yax3bx2 cx d:

 Thực hiện phép chia đa thức y cho y và viết hàm số dưới dạng: ' yu x y( ) 'MxN

 Gọi A x y và ( ;1 1) B x y là hai điểm cực trị Khi đó: ( ;2 2) y1Mx1N và y2 Mx2N

 Do đó, phương trình dường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y Mx N 

v x

0

( ) 0( ) 0

0

'( )( )

Chú ý: Nếu các em tìm được tọa độ hai điểm cực trị là A x y 1; 1 và B x y 2; 2 thì phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị là :   1 1

 Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (1)

 Vận dụng định lý ViEt, ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x 2

 Biến đổi hệ thức ( )I đã cho và vận dụng định lí Viet để tìm được m

Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

19 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm cực trị nằm về hai phía

đối với trục tung

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 A và B nằm về hai phía đối với trục Oyx x1 20 (sử dụng hệ thức (2))

Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

20 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các đặc điểm cực trị nằm về hai phía

đối với trục hoành

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lí ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y 2

 Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy y y1 2 0 (sử dụng hệ thức (2))

Kết hợp điều kiện (1) đưa ra kết quả

21 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các đặc điểm cực trị nằm về hai phía

đối với đường thẳng :d AxBy C 0 cho trước

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y 2  Tọa độ các điểm cực trị: A x y 1; 1 , B x y2; 2 Để A và B nằm về hai

phía đối với d (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0 kết quả

22 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm CĐ và CT đối xứng với

nhau qua đường thẳng :d AxBy C 0

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

A và B đối xứng nhau qua d AB d

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y 2  Tọa độ các điểm cực trị: A x y( ;1 1), ( ;B x y Để 2 2) A và B cách đều

24 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , )có các điểm cực trị A và B thỏa mãn một

hệ thức nào đó (VD AB: k AB, ngắn nhất, OA 2OB )

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị: A x y( ;1 1), ( ;B x y 2 2)

Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A B ta tìm được giá trị của , m

25 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d Ax: By C 0 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai

điểm cực trị cả đồ thị hàm số y f x( ) là nhỏ nhất

 Tìm các điểm cực trị A x y và ( ;1 1) B x y( ;2 2) của ĐTHS y f x( )

 Viết phương trình đường thẳng AB

 Kiểm tra xemAvàB nằm về cùng một phía hay nằ về hai phía đối với đường thẳng d

+ Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0 A và B nằm về hai phía đối với d

Khi đó: MA MB AB Do đó: MA MB nhỏ nhất M là giao điểm của AB với đường thẳng d

+ Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0 A và B nằm về cùng một phía đối với d

- Xác định tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Khi đó:MA MB MA'MB A B' nên MA MB nhỏ nhất Mlà giao điểm của A B'

26 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm CĐ, CT và đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng :d AxBy C 0 một góc bằng 

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị

Đường thẳng d

A' A

B

A

B

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

d d

27 Tìm điều kiện của tham số m dể đồ thị hàm số yax4bx2c có các điểm CĐ, CT tạo thành

một tam giác vuông cân

 Tìm điều kiện của m để hà số có các điểm cực trị (1)

 Tìm tọa độ các điểm cực trị , ,A B C của ĐTHS

 Xác định xem ABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A

 Khi đó: ABC vuông cân OAOB  0 giá trị của m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT ĐTHS có ba điểm cực trị

28 Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS

 Tìm đường tiệm cân xiên của ĐTHS

 Tìm tọa độ giao điểm (A x A;0) và (0;B y B) của TCX với các trục tọa độ

 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm

của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

 Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS  Giao điểm Avà Bcủa hai đường tiệm cận

 Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho dưới dạng: y p q

  Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận

 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm  kết quả

Chú ý: Khoảng cách từ điểm M x y đến đường thẳng ( ;0 0) :AxBy C 0 là: ( ; ) 0 0

 cách làm hoàn toàn tương tự

30 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( ) tại điểm M x y ( ;0 0)

 Xác định x và 0 y Tính '.0 y Từ đó suy ra: y x'( )0

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y y x'( )(0 xx0)y0

31 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( )biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng k

 Xác định k : (Nếu / / ya x b   k a,vuông góc 1

k a

 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm (A x A;y A) có hệ số góc kPT : k  (x x A)y A (*)

  là tiếp tuyến của (C)  HPT ( ) ( ) (1)

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: ( ) f x  f x x'( )( x A)y A (3)

Giải phương trình (3) ta được x0k và y (thay vào (2)) 0  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*))

Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến là yk x. x0y0  f  x0 xx0y0  d

Để  d là tiếp tuyến thì phương trình f x  f  x0 xx0y0  2 có nghiệm

Thay tọa độ điểm (A x A;y A) vào phương trình  2 để tính x0

33 Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị ( ) :C y f x( )

 Giả sử M x y( ;0 0) Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng: yk x( x0)y0

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ( 0) 0 (1)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

Từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C) PT (3) có n nghiệm phân biệt  kết quả

34 Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị ( ) :C y f x( ) và hai tiếp

tuyến đó vuông góc với nhau

 Giả sử M x y( ;0 0) Phương trình đường thẳng  qua M và có hệ số góc k có dạng: yk x( x0)y0

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ( 0) 0 (1)

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( ) f x x'( )( x0)y0 (3)

 Khi đó, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có 2 nghiệm phân biệtx và1 x 2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f x'( ) '( )1 f x2   1 kết quả

Chú ý: Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến nằm về hai phía đối với trục hoành

35 Tìm các giá trị của m để đồ thị (C1) :y f x m( , ) cắt đồ thị (C2) :yg x( ) tại n điểm phân biệt

 (C cắt 1) (C tại 2) n điểm phân biệt  PT: ( ; )f x m g x( ) có n nghiệm phân biệt

Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hau, dựa vào bảng biến thiên, dưa vào

đồ thị,…  kết quả

36 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ( , )F x m 0

 Biến đổi phương trình ( ; )F x m 0 về dạng: ( )f x g m( ), trong đó đồ thị y f x( ) đã vẽ đồ thị

Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị ( ) :C y f x( ) với đường thẳng d y: g m( ) Dựa vào số giao điểm của d với ( ) C  kết quả

37 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số  C :y f x  và  C' :yg x 

Đồ thị  C và  C tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình:    

 d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt PT:ax b px q

  điều kiện của m(*)

 Khi đó, d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt M x y và ( ;1 1) N x y( ;2 2) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ giữa

 cách làm hoàn toàn tương tự

39 Tìm các giá trị của m để đường thẳng :d y px q cắt đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





 tại hai điểm phân

biệt thuộc cùng một nhánh của ( ).C

 có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ

 PT: Ax2Bx C 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác d

c

 và nằm về cùng một phía với TCĐ  kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng)

40 Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2 cx d cắt trục Ox tại 3 điểm phân

a

Thay vào (1), ta được giá trị của m

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

41 Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2 cx d cắt trục Ox tại 3 điểm phân

biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân



 Thay vào (1), ta được giá trị của m

42 Cho họ đường cong (C m) :y f x m( , ), với m là tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên

không đi qua với mọi giá trị của m

 Gọi A x y là điểm mà họ (( ;0 0) C m) không đi qua m

Khi đó phương trình ẩn m y: 0  f x m( ; )0 vô nghiệm  điều kiện của x và 0 y 0

43 Cho họ đường cong (C m) :y f x m( , ), với m là tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên

đi qua với mọi giá trị của m

 Gọi A x y là điểm cố định của họ (( ;0 0) C m) Khi đó ta có: y0  f x m( ; ),0  m Am  B 0, m

 Do đó, đồ thị của hàm số y f  x là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm ở bên phải trục Ox

Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

45 Cho đồ thị ( ) :C y f x( ). Vẽ đồ thị của hàm số y  f x( )

 Do đó, đồ thị của hàm số y  f x( ) là hợp của hai phần:

Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm bên trên trục Ox

Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x  là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm ở bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị ( )C ở bên dưới trục Ox qua trục Ox

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x( ) u x v x( ) ( ) là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị ( )C trên miền ( ) u x 0

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị ( )C trên miền ( ) u x 0 qua trục Ox

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

Cách 2: Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

00

a x

+ Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành  yCD.yCT 0

+ Đồ thị có một điểm chung với trục hoành  yCD.yCT 0 hoặc hàm số không có cực trị

+ Nếu y'3ax22bx c 0 nhẩm được hai nghiệm thì tính yCD, y dễ dàng Trường hợp không nhẩm được CT

nghiệm thì dùng mối liên hệ hai nghiệm đó là hệ thức Viet

 + Điểm uốn không thuộc Oyac0

+ Đường thẳng qua điểm uốn tạo với đồ thị hai phần có diện tích bằng nhau

+ Hàm số đồng biến trên :

0000

+ Hàm đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng e khi:

1 2

00

+ Có 1 cực trị ab0 , nếu a0 đó là cực tiểu, a0 là cực đại

+ Có 3 cực trị ab0, nếu a0 : có một cực đại và hai cực tiểu, a0 có hai cực đại và 1 cực tiểu

8cos

b S

ac ab