TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN TỰ LUẬN ÔN THI GIỮA KÌ II LỚP 10 CÓ ĐÁP ÁN

Cho đường thẳng dcó phương trình tham số 1 2 a Tìm điểm A thuộc đường thẳng sao cho A có hoành độ là 11.. a Chứng minh A, B,C là 3 đỉnh của một tam giác và viết phương trình các cạnh của

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN TỰ LUẬN

ÔN THI GIỮA KÌ II

Câu 8 Tìm msao cho các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi  x

Câu 10 Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng d biết

a) Đi qua điểm A(4; 3− và có một véc tơ chỉ phương là ) u =(6; 1− )

b) Đi qua điểm B −( 2;5)và có một véc tơ pháp tuyến là n = −( 1;7)

c) Đi qua điểm C(3; 5− và song song với đường thẳng ) x+2y+ = 1 0

d) Đi qua điểm D − −( 3; 8) và vuông góc với đường thẳng ' : 3d x+4y− = 1 0

e) Đi qua hai điểm E( )5; 2 và F(6; 5− )

Câu 11 Cho đường thẳng dcó phương trình tham số 1 2

a) Tìm điểm A thuộc đường thẳng sao cho A có hoành độ là 11

b) Tìm điểm B thuộc đường thẳng sao cho B có tung độ là 5

c) Tìm điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M tới đường thẳng : 3x+4y− = bằng 2 1 0

Câu 12 Cho ba điểm A( )1; 0 , B −( 3; 5− , ) C( )0;3

a) Chứng minh A, B,C là 3 đỉnh của một tam giác và viết phương trình các cạnh của ABC b) Viết phương trình tổng quát, tham số của đường caođỉnh Acủa ABC

c) Xác định tọa độ trực tâm của ABC

d) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Câu 13 Cho hai đường thẳng : 2 x+ + = y 1 0, : 4x−3y+ = 2 0

a)Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

c) Tìm tọa độ N là điểm đối xứng của điểm M( )1; 2 qua đường thẳng 

Câu 14 Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau

a)Biết A(1; 1− các đường cao ) BD CE lần lượt thuộc các đường thẳng , :2x− + = và y 1 0' :x 3y 1 0

Câu 16 Giải bất phương trình x2− x− 3 x2− + −2 2 x− 3

Câu 17 Giải bất phương trình: x2+ − +x 2 x2+2x− 3 x2+4x− 5

Câu 18 Giải bất phương trình

2

3

x x



Câu 19 Cho tam giác ABC có điểm A( )0;1 , các đường phân giác trong BD và CE lần lượt có phương

trình là 5y − =3 0 và 3x−3y+ =1 0 Viết phương trình đường thẳng BC

Câu 20 Cho điểm A( )3;1 và hai đường thẳng d x1: +2y− =2 0, d2:2x− − =y 2 0 Tìm Bd1, Cd2

sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Bảng xét dấu f x : ( )

x x

x x

− + 



 − +  − 66 612

x x

−  −



 −  − 12

x x





   Vậy S = −( ;1  2;+ )

b) 5x +3 7 5 3 7

5 3 7

x x

x x

x x

TH2: Khi −  3 x 1,

x+ + − − + x x (x+ − − − + 3) (x 1) x 4 0  − + x 8 0 x 8 Suy ra, S = 2

TH3: Khi x 1,

x+ + − − + x x (x+ + − − + 3) (x 1) x 4 0  + x 6 0   −x 6 Suy ra, S = 3

Câu 4 a)

2 2

12

( )

2 2

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =2;10)

Câu 6 Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

101

x x

Câu 7 Cho phương trình 2 ( )

mx − m− + m− = ( )1 Tìm các giá trị của tham số m để phương

trình có:

2

m m

m m

  thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Phương trình ( )1 có hai nghiệm dương khi và chỉ khi :

2

1; 0

10

3

m m

Vậy, với m  −( 1; 0) thì phương trình có hai nghiệm dương

d) Phương trình ( )1 có hai nghiệm âm khi và chỉ khi :

1 12

;

10

3

m m

m m

Câu 8 Tìm msao cho các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi  x

1

21

2 2 4 0

2

m m

m

m m

mọi x, nên loại)

Xét TH2: m  −1 ta có bất phương trình ( )3 đúng với  x khi và chỉ khi

( ) (2 )( ) 2

1

21

Vậy kết hợp hai trường hợp ta chọn −  3 m 1

Câu 9 Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

m m

2 0

m m

m

m m





    Vậy m 2 thì bất phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 10 Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng d biết

a) Đi qua điểm A(4; 3− và có một véc tơ chỉ phương là ) u =(6; 1− )

b) Đi qua điểm B −( 2;5)và có một véc tơ pháp tuyến là n = −( 1;7)

c) Đi qua điểm C(3; 5− và song song với đường thẳng ) x+2y+ = 1 0

d) Đi qua điểm D − −( 3; 8) và vuông góc với đường thẳng d' : 3x+4y− = 1 0

e) Đi qua hai điểm E( )5; 2 và F(6; 5− )

Lời giải

a) Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là u =(6; 1− )

suy ra véc tơ pháp tuyến là: n =( )1;6

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

(x− +4) (6 y+ =3) 0 +x 6y+14=0

Vây phương trình tổng quát của đường thẳng d là: x+6y+14=0

b) Đường thẳng d có một véc tơ pháp tuyến là n = −( 1;7) suy ra véc tơ là: u =( )7;1

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

( ) ( )

− + + − =  − +x 7y−37=0

Vây phương trình tổng quát của đường thẳng d là: − +x 7y−37=0

c) Đi qua điểm C(3; 5− và song song với đường thẳng ) x+2y+ = 1 0

Vì đường thẳng d đi qua C(3; 5− ) và song song với đường thẳng x+2y+ = Suy ra 1 0 d có một vec tơ pháp tuyến n =( )1; 2 và có một vec tơ chỉ phương u =(2; 1− )

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:x− +3 2(y+5)=  +0 x 2y+ = 7 0

d) Đi qua điểm D − −( 3; 8) và vuông góc với đường thẳng ' : 3d x+4y− = 1 0

Vì đường thẳng d đi qua D − −( 3; 8) và vuông góc với đường thẳng ' : 3d x+4y− = 1 0

Suy ra d có một vec tơ chỉ phương u =( )3; 4 và có một vec tơ pháp tuyến n =(4; 3− )

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:4(x+ −3) (3 y+ = 8) 0 4x−3y−12= 0

e) Đi qua hai điểm E( )5; 2 và F(6; 5− )

Vì đường thẳng d đi qua hai điểm E( )5; 2 và F(6; 5− )

Suy ra d có một vec tơ chỉ phương u=EF =(1; 7− và có một vec tơ pháp tuyến ) n =( )7;1Phương trình tổng quát của đường thẳng d:7(x− + − = 5) y 2 0 7x+ −y 37= 0

a) Tìm điểm A thuộc đường thẳng sao cho A có hoành độ là 11

b) Tìm điểm B thuộc đường thẳng sao cho B có tung độ là 5

c) Tìm điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M tới đường thẳng : 3x+4y− = bằng 2 1 0

Vậy: Có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(1; 3− ) hoặc M(21; 13− )

Câu 12 Cho ba điểm A( )1; 0 , B −( 3; 5− , ) C( )0;3

a) Chứng minh A, B,C là 3 đỉnh của một tam giác và viết phương trình các cạnh của ABC b) Viết phương trình tổng quát, tham số của đường caođỉnh Acủa ABC

c) Xác định tọa độ trực tâm của ABC

d) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Lời giải

a) Ta có AB = −( 4; 5− , ) AC = −( 1;3)

- Ta có BC =( )3;8 là một vecto pháp tuyến của AH

Phương trình tổng quát đường cao AH: 3(x− +1) (8 y− = 0) 0 3x+8y− = 3 0

- Ta có u =(8; 3− ) là một vecto chỉ phương của AH

x y

Câu 13 Cho hai đường thẳng : 2 x+ + = y 1 0, : 4x−3y+ = 2 0

a)Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

c) Tìm tọa độ N là điểm đối xứng của điểm M( )1; 2 qua đường thẳng 

Lời giải

a)Gọi A là giao điểm của  và 

Tọa độ giao điểm A của  và  là nghiệm của hệ phương trình

1

.2

c) Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng 

Đường thẳng  có VTPT n =1 ( )2;1 suy ra VTCP của  là u =1 (1; 2 − )

Vì d ⊥  nên n d = =u1 (1; 2 − )

Mà đường thẳng d đi qua M nên phương trình đường thẳng d là 1.(x− −1) 2.(y−2)= 0Hay d x: −2y+ = 3 0

Gọi H là giao điểm của d và 

Tọa độ giao điểm H của d và  là nghiệm của hệ phương trình

Câu 14 Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau

a)Biết A(1; 1− các đường cao ) BD CE lần lượt thuộc các đường thẳng :2,  x− + = và y 1 0' :x 3y 1 0

d)Biết A(1; 1− đường cao ) BE, trung tuyến CP lần lượt thuộc các đường thẳng

Vì M   nên ta có: 2 1 2( + t) (− − − + =  + + + + =  + = 1 t) 1 0 2 4t 1 t 1 0 5t 4 0

45

( )

1 21

Vì B thuộc đường cao BE nên 2x B−y B + = 1 0 y B =2x B+ 1 B x( B; 2x B+ 1)

Vì P là trung điểm của AB nên ta có

Giả sử đường thẳng d cắt trục Oxtại A a( ); 0 , cắt Oy tại B( )0;b

2

x x

x x

Do đó bất phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = 1

Câu 18 Giải bất phương trình

2

3

x x

x x

2

1

02

1

02

x x

0613

x x x

3

x x



2

10

10

210

2

x x x x

210

213

x x x x

360

13

x x x

3

x x

Câu 19 Cho tam giác ABC có điểm A( )0;1 , các đường phân giác trong BD và CE lần lượt có phương

trình là 5y − =3 0 và 3x−3y+ =1 0 Viết phương trình đường thẳng BC

Lời giải

● Gọi A là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng CE Suy ra điểm ABC và

AA ⊥CE Khi đó, phương trình đường thẳng AA có dạng: x+ + =y c 0

Điểm A( )0;1 AA  + + = 0 1 c 0  = −c 1

Do đó, phương trình đường thẳng AA là: x+ − =y 1 0

Gọi H là giao điểm của AA và CE Suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

x y

● Gọi F là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng BD Suy ra điểm FBC và

AF ⊥BD Khi đó, phương trình đường thẳng AF có dạng: x+ =m 0

Điểm A( )0;1  AF m= 0

x y

Câu 20 Cho điểm A( )3;1 và hai đường thẳng d x1: +2y− =2 0, d2:2x− − =y 2 0 Tìm Bd1, Cd2

sao cho tam giác ABC vuông cân tại A