ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II Lớp 10 Môn toán

- Học sinh không được sử dụng tài liệu... Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C tại tiếp điểm B.. - Học sinh không được sử dụng tài liệu... Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đư

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II Năm học: 2016-2017

Lớp 10 Môn: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1: (2 điểm)

1 Cho 0;

2



  thỏa mãn cos 2 1

3

= − Tính cos và tan

2 Cho sin cos 1

2

− = Tính sin 2

Câu 2: (2 điểm)

1 Giải phương trình x− =2 2x−5

2 Giải bất phương trình ( )2( )

x− x+ −x 

Câu 3: (2 điểm)

1 Chứng minh biểu thức ( 4 4 )

4 sin cos cos 4 2017

P= x+ x − x+ không phụ thuộc vào x

2 Cho tam giác ABC không vuông thỏa mãn tan tan tanA B C =4 3

Tính giá trị của biểu thức tanA+tanB+tanC

Câu 4: (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) 2 2

C x +y − x+ y− = a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C tại M( )4; 2

b) Tìm tham số m để đường thẳng : 3x+4y m+ = cắt đường tròn tại hai điểm ,0 A B phân biệt sao cho

6

AB =

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip ( ) 2 2

4

x

E +y = Gọi , 'F F là các tiêu điểm của ( )E Điểm M thuộc ( )E thỏa mãn MF−MF'=2 Tính tiêu cự của ( )E và tính độ dài MF

Câu 5: (1 điểm)

1 Chứng minh rằng sin sin sin 4sin sin cos ,

2 Tính các góc của tam giác ABC biết 1 1 1 1 1 1

sin sin sin

- Hết - Ghi chú:

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

- Học sinh không được sử dụng tài liệu

Trang 2

Câu 1: (2 điểm)

1 Cho cos 12

13

 = − và 3

2



   Tính sin và tan 2

2 Cho tanb+cotb= Tính 3 A=tan2b+cot2b và B=tan4b+cot4b

Câu 2: (2 điểm)

1 Giải phương trình x2+ = −5 7 2x

2 Giải bất phương trình 2x+  −3 6 x

Câu 3: (2 điểm)

1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

P= x+ x+  +   −x

2 Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C Chứng minh rằng sin sin sin 4cos cos cos

A+ B+ C=

Câu 4: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A( ) (1; 0 ;B − −2; 2) và đường tròn

C x +y − x+ y− =

1 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C tại tiếp điểm B

2 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A cắt ( )C tại hai điểm M N sao cho tam giác BMN vuông , tại B

Câu 5: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( ): 2 2 1

25 9

x y

E + =

1 Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm F F1, 2 và tiêu cự của elip trên

2 Tìm điểm M thuộc ( )E có hoành độ dương sao cho tam giác MF F1 2 vuông tại M

Câu 6: (1 điểm)

1 Cho sin 2( a+b)=5sinB Chứng minh 2 tan( )

3 tan

a b a

+

=

2 Tìm các góc , ,A B C của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức cos cos cos 1

8

Trang 3

Câu 1 (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

1 Cho sin 5

13

 = và

2

    Tính giá trị của cos và cos 2

2 Cho tan 3

4

 = Tính giá trị của sin22 2sin cos 2cos22

4cos 3sin cos 2sin

=

Câu 2 (2 điểm)

1 Giải phương trình sau: ( )( ) 2

x+ x+ − x + x+ =

2 Giải bất phương trình x2 − +x 12 − 7 x

Câu 3 (2 điểm)

1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x

sin cos cos sin sin 4 2019

4

2 Cho ABC với 3 góc , ,A B C Chứng minh rằng cos2 A+cos2B+cos2C = −1 2cos cos cosA B C

Câu 4 (1,5 điểm)

1 Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1; 4 ,) (B 3; 2)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( ) 2 2

C x + y − x− y+ = biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ( ) : 3x−4y− =6 0

Câu 5 (1,5 điểm) Lập phương trình chính tắc của elip ( )E biết elip có một tiêu điểm F −1( 3; 0) và đi

qua điểm 1; 3

2

  Tính độ dài trục lớn và trục bé của ( )E

Câu 6 (1 điểm)

1 Chứng minh rằng: 4 43 45 47 3

 +  +  +  =

2 Cho tam giác ABC có AB=c BC, =a AC, = Chứng minh rằng nếu sinb

bc

= thì ABC cân

Trang 4

HƯỚNG DẪN

1

5 sin

13

169

+  =   =

         = −

Và

2

cos 2 1 2sin 1 2

13 169

 = −  = −   =

 

2

Cách 1:

Vì tan 3 sin 3cos

 =   =  Thay vào A ta được:

2

2 2

cos 2 cos cos 2 cos .cos

1

4 cos 3 cos cos 2 cos 8

A



Cách 2:

Vì cos 0 nên chia cả tử số và mẫu số của A cho cos2 ta được:

2 2

46

4 3 2

A

=

 

− +   

1

x + x+    −x  − − − + +

Ta có:

x+ x+ − x + x+ =  x + x+ − x + x+ =

Đặt x2+5x+ =  phương trình (1) có dạng: 2 t 0

( ) ( )

2 3 6

4

= −

 + − =   =

7

x

=



Vậy nghiệm của phương trình: x = −7;x = 2

2 Bất phương trình tương đương:

Trang 5

( )

2

2 2

37

13 13

12 7

x





Vậy tập nghiệm của BPT: ;37

13

− 

1

Ta có:

1 sin cos cos sin sin 4 2019

4 1 sin cos cos sin sin 4 2019

4

sin 2 cos 2 sin 4 2019

sin 4 sin 4 2019 2019

Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào x

2

Ta có:

2

1 cos 2 1 cos 2

cos 2 cos 2

2

2 cos cos

2

C

+

1

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I(2;3 ;) R=IA= 2

Phương trình đường tròn là: ( )2 ( )2

x− + y− =

2

Đường tròn ( ) ( )2 ( )2

C x− + y− =  Tâm I(1;3) , bán kính R =2 Tiếp tuyến song song với ( ) : 3x−4y− =6 0 nên tiếp tuyến có dạng:

( )d : 3x−4y+ =c 0; c  −6

1

3 12

2

19

3 4

I d

c c

c

= −

Vậy phương trình tiếp tuyến là: : 3 4 19 0

: 3 4 1 0





Trang 6

Gọi phương trình chính tắc của ( )E : x2 y2 1

a +b =

3; 0

3 1

a b c

a b





Vì 1; 3 ( ) 12 32 1

Từ (1)(2) suy ra : a = 2

2

1 4

3

1

4

a b

b tm



=





 = −



Vậy phương trình ( ): 2 2 1

x y

Độ dài trục lớn : A A1 2 =2a=2.2= 4

Độ dài trục bé : B B1 2 =2b=2.1= 2

1

Ta chứng minh công thức: sin4 = −3 1cos2 +1cos4

3 1cos2 1cos4 3 1(1 2sin ) 1(2cos 2 1)

( )

2

= − +1 sin2 + −1 sin2 +sin4 =sin4

Áp dụng:

Trang 7

4

cos cos cos cos

S









cos cos cos cos

3

2

=

2

Xét tam giác ABC có đường phân giác trong AD , đường cao AH

Ta có:

ADB ADC ABC ABC

ABC



ABC

S = AH BC  AD BC = AD a

Hay 1sin ( ) 1 sin

AD b c AD a

b c bc

Dấu bằng xảy ra khi AD= AH  ABC cân tại A

a

A

Trang 8

Phần I: Trắc nghiệm ( 3 điểm)

Câu 1: Cho biết   x 2 và 2

cos

3

x = Tính sin x

A 5

sin

3

sin

3

sin

3

sin

3

x = −

Câu 2: Cho biết cotx =3 Tính giá trị biểu thức 4cos 5sin

sin 2cos

P

−

=

+

7

9

P =

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( ): 2 2 1

100 64

E + = Tiêu cự của elip ( )E bằng:

A. 6 B. 12 C. 2 D. 4

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2

C x +y + x− y+ = Tìm tọa độ tâm

I và bán kính R của đường tròn

A I(2; 3 ,− ) R=3 B. I(2; 3 ,− ) R=9 C. I(−2;3 ,) R=3 D I(−2;3 ,) R=9

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C x− + y+ = và đường thẳng : 4x 3y m 1 0

 − + + = ( trong đó m là tham số) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn ( )C Tổng các số thuộc tập S bằng:

A. 20 B −20 C. 24 D. −24

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M −( 1;3) và N(3; 5− ) Phương trình nào dưới đây

là phương trình đường tròn đường kính MN?

A ( ) (2 )2

C ( ) (2 )2

Câu 7: Rút gọn biểu thức

2

2sin 1 cos sin

x M

−

=

+ ta được:

A M =cosx+sinx B. M = cosx−sinx

C M =sinx−cosx D M =cosx−sinx

Câu 8: Cho a b , là hai số thực bất kì Xét các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: sin sin 2sin cos

Trang 9

Mệnh đề 3: cos cos 2cos cos

Mệnh đề 4: cos cos 2sin sin

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

sin cos

3

x− x= Tính sin 2x

A 8

sin 2

9

sin 2

3

sin 2

9

sin 2

3

x =

Câu 10: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 ( ) 2

là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy

A 1

2

m m





 

 B.1 m 2 C −   −2 m 1 D

2 1

m m

 −



  −



Câu 11: Cho biết sinx−siny=1 và cosx+cosy= 3 Tính cos x( +y)

A cos(x+y)=0 B. cos(x+y)= −1 C ( ) 1

cos

2

x+ y = D. cos(x+ y)=1

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 1− ) và B(5; 5− ) Cho biết quỹ tích các điểm thỏa mãn điều kiện KA2+KB2 =20 là một đường tròn có bán kính bằng R Tìm R

A R =3 B R =5 C. R =2 D. R = 5

Phân II: Tự luận (7 điểm)

Câu 1: (2 điểm)

1 Giải phương trình x2−2x+ =6 2x−1

2 Giải bất phương trình − +x2 3x+  +4 x 1

Câu 2: (2 điểm)

1 Cho biết

2

    và tan = −2 Tính cos và cos 2

2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng sin 2A+sin 2B+sin 2C =4sin sin sinA B C

Câu 3: (2,5 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C tại điểm A −( 1;1)

b) Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d: 3x−4y− =2 0 và cắt đường tròn

( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho độ dài đoạn thẳng AB =8

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( ) 2 2

4

x

E + y = Gọi F F1, 2 là hai tiêu điểm của ( )E và diểm M( )E sao cho MF ⊥MF Tính MF2+MF2 và diện tích tam giác MF F

Trang 10

Câu 4: (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A B C, , thỏa mãn điều kiện

tan tan tan 3

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

HƯỚNG DẪN Phần I: Trắc nghiệm ( 3 điểm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A B B C D A C A C B D D

Câu 1: Cho biết   x 2 và 2

cos

3

x = Tính sin x

A 5

sin

3

sin

3

sin

3

sin

3

x = −

Hướng dẫn

Chọn A

sin 1 cos 1

9 9

x= − x= − =

2 sin 0 sin

Câu 2: Cho biết cotx =3 Tính giá trị biểu thức 4cos 5sin

sin 2cos

P

−

=

+

7

9

P =

Hướng dẫn

Chọn B

cos

sin

x

Khi đó 4cos 5sin 4.3sin 5sin 7sin 1

sin 2cos sin 2.3sin 7sin

P

Hoặc chia cả tử số và mẫu số cho sin x :

Trang 11

cos sin

4cot 5 4.3 5

sin cos 1 2cot 1 2.3

2 sin sin

x

P

+

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( ): 2 2 1

100 64

E + = Tiêu cự của elip ( )E bằng:

A. 6 B. 12 C. 2 D. 4

Hướng dẫn

Chọn B

Ta có: c= a2−b2 = 100 64− = 6 tiêu cự F F1 2 =2c=12

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2

C x +y + x− y+ = Tìm tọa độ tâm

I và bán kính R của đường tròn

A I(2; 3 ,− ) R=3 B. I(2; 3 ,− ) R=9 C. I(−2;3 ,) R=3 D I(−2;3 ,) R=9

Hướng dẫn

Chọn C

3

I

R

 −



=



Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C x− + y+ = và đường thẳng : 4x 3y m 1 0

 − + + = ( trong đó m là tham số) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn ( )C Tổng các số thuộc tập S bằng:

A. 20 B −20 C. 24 D. −24

Hướng dẫn

Chọn D

Để  là tiếp tuyến của ( )C d I( ; =) R

( ) ( )2 2

22

m

 + −

Tổng các giá trị của m là: − −2 22= −24

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M −( 1;3) và N(3; 5− ) Phương trình nào dưới đây

là phương trình đường tròn đường kính MN?

A ( ) (2 )2

C ( ) (2 )2

Hướng dẫn

Trang 12

Chọn A

Tâm I của đường tròn là trung điểm MN, bán kính là

2

MN

1; 1

2 5 2

I

R





Câu 7: Rút gọn biểu thức

2

2sin 1 cos sin

x M

−

=

+ ta được:

A M =cosx+sinx B. M = cosx−sinx

C M =sinx−cosx D M =cosx−sinx

Hướng dẫn

Chọn C

Ta có:

cos sin sin cos

sin cos cos sin

M

+

Câu 8: Cho a b , là hai số thực bất kì Xét các mệnh đề sau:

Mệnh đề 3: cos cos 2cos cos

Mệnh đề 4: cos cos 2sin sin

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Hướng dẫn

Chọn A

Mệnh đề đúng là mệnh đề 1 và 3

sin cos

3

x− x= Tính sin 2x

A 8

sin 2

9

sin 2

3

sin 2

9

sin 2

3

x =

Hướng dẫn

Chọn C

Ta có:

Trang 13

( )2

sin cos sin cos

sin 2sin cos cos 2sin cos sin 2

Câu 10: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 ( ) 2

là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy

A 1

2

m m





 

 B.1 m 2 C −   −2 m 1 D

2 1

m m

 −



  −



Hướng dẫn

Chọn B

Điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn:

2

Câu 11: Cho biết sinx−siny=1 và cosx+cosy= 3 Tính cos x( +y)

A cos(x+y)=0 B. cos(x+y)= −1 C ( ) 1

cos

2

x+ y = D. cos(x+ y)=1

Hướng dẫn

Chọn D

2



sin 2sin sin sin 1 cos 2 cos cos cos 3



 



Cộng theo vế hai đẳng thức trên:

sin cos sin cos 2 cos cos sin sin 4

cos cos sin sin 1 cos 1

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 1− ) và B(5; 5− ) Cho biết quỹ tích các điểm thỏa mãn điều kiện KA2+KB2 =20 là một đường tròn có bán kính bằng R Tìm R

A R =3 B R =5 C. R =2 D. R = 5

Hướng dẫn

Chọn D

Gọi K x y( ; ) Ta có:

Trang 14

( ) ( ) ( ) ( )

Phân II: Tự luận (7 điểm)

Câu 1: (2 điểm)

1 Giải phương trình x2−2x+ =6 2x−1

2 Giải bất phương trình − +x2 3x+  +4 x 1

Hướng dẫn

1 Điều kiện: 2 1 0 1

2

x−   x

Vì

( ) ( )

1

3

 = −



− + =   =



Vậy: ………

2 Điều kiện:

2

3 4 0

1

1 0

x

x x

x

−  



Bình phương hai vế BPT ta được:

1

2

x

 −





 



Kết hợp điều kiện suy ra

1 3

; 4 2

x x

= −



   



Câu 2: (2 điểm)

1 Cho biết

2

    và tan = −2 Tính cos và cos 2

2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng sin 2A+sin 2B+sin 2C =4sin sin sinA B C

Hướng dẫn

1 tan 5 cos

cos 0 cos

         = −

cos 2 2cos 1

5

 =  − = −

Trang 15

Câu 3: (2,5 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C tại điểm A −( 1;1)

b) Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d: 3x−4y− =2 0 và cắt đường tròn

( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho độ dài đoạn thẳng AB =8

Hướng dẫn

a) Ta có:

5

I

R



=

Tiếp tuyến đi qua A nhận vecto IA −( 4;3) làm vecto pháp tuyến nên phương trình tiếp tuyến là:

4 x 1 3 y 1 0 4x 3y 7 0

b) Vì / / : 3d x−4y− = 2 0 phương trình : 3x−4y+ =c 0,c −2

Gọi H là hình chiếu của I lên AB

Vì  cắt ( )C tại A B, và AB= 8 BH = 4 IH = IB2−HB2 =3

2 2

2 3.3 4 2

32

3 4

c

 = −

= −

Vậy đường thẳng : 3x−4y−32=0

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( ) 2 2

4

x

E + y = Gọi F F1, 2 là hai tiêu điểm của ( )E và diểm M( )E sao cho MF ⊥MF Tính MF2+MF2 và diện tích tam giác MF F

I

A

4

5

A

I

Trang 16

Hướng dẫn

Ta có:

( )

1

2 2

2

1 2

3;0

2 2 3

F

 −





Vì MF F1 2 vuông tại M nên 2 2 ( )2

Vì MF F1 2 vuông tại M nên điểm M nằm trên đường tròn tâm O đường kính F F =1 2 2 3 Suy ra ( ) 2 2

Do đó tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình:

2

2 2

4

3

y





Chiều cao kẻ từ M xuống F F1 2 là: 3

3

h= y =

Diện tích tam giác MF F1 2 là: 1 1 2 1 3

.2 3 1

Câu 4: (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A B C, , thỏa mãn điều kiện

tan tan tan 3

+ + = Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

Hướng dẫn

x y

M2

M1

Trang 17

Đặt

tan

2

tan

2

A

x B

C

z









Các em tự chứng minh đẳng thức: tan tan tan tan tan tan 1

Suy ra xy+yz+xz =1

1

 + + =







x+ + =y z  x+ +y z =  x +y +z + xy+ yz+xz =

Mà xy+ yz+xz= 1 x2+y2+z2 =1

Suy ra x2+ y2+z2 =xy+yz+xz2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2xz=0

0

Trang 18

TẬP ĐỀ THI HỌC KÌ II

TRƯỜNG NGUYỄN TẤT THÀNH

QUA CÁC NĂM

TOÁN 10

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,22 MB