Chứng minh với n và p tìm được, các số nguyên trên không thể đồng thời là số chính phương.. a Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 1 chữ cái, và không có ch
Trang 1đại học quốc gia tp hcm
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
——————
Bài 1 Cho hệ phương trình: √x − 2 +√y − 1 = 2
x + y = m a) Giải hệ với m = 7
b) Tìm m sao cho hệ có nghiệm (x, y)
Bài 2 Cho M = 1
a +
1
b +
1
c, N =
1
b + c +
1
c + a +
1
a + b, K =
a
b + c +
b
c + a +
c
a + b a) Chứng minh nếu M K = a
2+ b2+ c2
abc thì N = 0 b) Cho M = K = 4, N = 1 Tính tích abc
Bài 3 Cho dãy n số thực x1; x2; ; xn (n ≥ 5) thỏa: x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn và x1+ x2+ xn= 1
a) Chứng minh nếu xn ≥ 1
3 thì x1+ x2 ≤ xn b) Chứng minh nếu xn ≤ 2
3 thì tìm được số nguyên dương k < n sao cho 1
3 ≤ x1+ x2+ + xk≤ 2
3 Bài 4 a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho (2n + 1)3+ 1 chia hết cho 22021
b) Tìm tất cả số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho 2n + 2
p và
4n2+ 2n + 1
p là các số nguyên Chứng minh với n và p tìm được, các số nguyên trên không thể đồng thời
là số chính phương
Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A Các điểm E, F lần lượt thay đổi trên các cạnh AB, AC
sao cho EF k BC Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên EF Đường tròn (I) đường kính EF cắt BF , CE tại M , N (M khác F , N khác E)
a) Chứng minh AD và đường tròn ngoại tiếp 4HM N cùng đi qua tâm I của đường tròn tâm I
b) Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC và P , Q tương ứng là giao điểm của EM , F N với BC Chứng minh tứ giác AEP L, AF QK nội tiếp và
BP · BL
CQ · CK không đổi khi E, F thay đổi.
c) Chứng minh nếu EL và F K cắt nhau trên đường tròn (I) thì EM và F N cắt nhau trên đường thẳng BC
Bài 6 Cho N tập hợp (N ≥ 6), mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau được lấy từ 26 chữ cái a,
b, c, , x, y, z
a) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 1 chữ cái, và không có chữ cái nào có mặt trong tất cả N tập hợp này
Chứng minh không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho
Trang 2b) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 2 chữ cái, và không có hai chữ cái nào cùng xuất hiện trong N tập hợp này
Hỏi trong số N tập hợp đã cho, có nhiều nhất bao nhiêu tập hợp có chung đúng 2 chữ cái?
– HẾT –
Trang 3đại học quốc gia tp hcm
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
LỜI GIẢI
Bài 1 a) √x − 2 +√y − 1 = 2
ĐKXĐ: x ≥ 2, y ≥ 1 (1) ⇔ x − 2 + y − 1 + 2p(x − 2) (y − 1) = 4
x + y = 7
⇔ 2p(x − 2) (y − 1) = 0
x + y = 7
⇔
x − 2 = 0
x + y = 7
y − 1 = 0
x + y = 7
⇔
x = 2
y = 5 (n)
y = 1
x = 6 (n) Vậy (x, y) ∈ {(2; 5), (6; 1)}
b) (1) ⇔ x − 2 + y − 1 + 2p(x − 2) (y − 1) = 4
x + y = m
⇔ 2p(x − 2) (y − 1) = 7 − m (∗)
x + y = m (∗) ⇔ 7 − m ≥ 0
4 (x − 2) (y − 1) = (7 − m)2
⇔ m ≤ 7
4 (xy − 2y − x + 2) = (7 − m)2(∗∗) (∗∗) ⇔ 4 [y(x − 1) − x − y + 2] = m2− 14m − 49
⇔ 4 [(m − x)(x − 1) − m + 2] = m2− 14m − 49
⇔ 4x2− 4(m + 1)x + m2− 6m + 41 = 0 (2) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2
⇔ ∆0 = [2(m + 1)]2− 4 (m2− 6m + 41) = 32m − 160 ≥ 0
⇔ m ≥ 5 Vậy với 5 ≤ m ≤ 7 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm
Bài 2 a) M K = a
2+ b2 + c2
abc ⇒ N = 0
Trang 4M K = 1
a +
1
b +
1 c
a
b + c +
b
c + a +
c
a + b
b + c+
b a(c + a) +
c a(a + b) +
a b(b + c)+
1
c + a +
c b(a + b)+ a
c(b + c) +
b c(c + a)+
1
a + b
= N + b
c + a(
1
a +
1
c) +
c
a + b(
1
a +
1
b) +
a
b + c(
1
b +
1
c)
= N + b
ac+
c
ab+
a bc
= N + a
2+ b2+ c2
abc
Mà M K = a
2+ b2+ c2
abc ⇒ N + a
2+ b2+ c2
a2+ b2+ c2
abc ⇒ N = 0 b) Ta có M = K = 4; N = 1
Theo câu a) ta được:
M K = N + a
2+ b2+ c2
abc ⇒ 16 = 1 +a
2+ b2+ c2
abc ⇒ a2+ b2+ c2 = 15abc
⇒ (a + b + c)2− 2(ab + bc + ca) = 15abc(∗)
Ta có:
K + 3 = a
b + c+ 1 +
b
c + a + 1 +
c
a + b + 1 = (a + b + c)N ⇒ 7 = a + b + c
M = 4 ⇒ ab + bc + ca = 4abc
Thay vào (∗) ⇒ 72− 2.4abc = 15abc ⇒ abc = 49
23. Bài 3 a) Giả sử rằng x1+ x2 > xn≥ 1
3 > 0
⇒ x2 > 0 ⇒ xi > 0, ∀i ≥ 2
Suy ra x1+ x2+ xn−2+ xn−1+ xn≤ x1+ x2+ + xn−2+ xn−1+ xn = 1 Nhưng x1 + x2 > 1
3 và xn−1, xn−2 >
1
2(x1 + x2) >
1
6 và xn ≥ 1
3 nên khi cộng theo
vế, ta có V T > 1, vô lý
Vậy điều giả sử là sai hay nếu xn≥ 1
3 thì x1+ x2 ≤ xn b) Giả sử không tồn tại số k như trên
Khi đó tồn tại chỉ số l ≤ n − 1 để
x1+ + xl< 1
3 và x1+ + xl+1 >
2 3 Suy ra xl+1 > 1
3 ⇒ xk > 1
3 > 0, ∀k ≥ l + 1.
Nếu l < n − 1 thì tồn tại xl+2 do l + 2 ≤ n Ta có
xl+2≥ xl+1 > 1
3 ⇒ (x1+ x2+ + xl+1) + xl+2 > 1, vô lý do x1+ + xn= 1
Từ đó l = n − 1 Để ý rằng xn≤ 2
3 nên x1+ + xn−1 = 1 − xn ≥ 1 −2
3 =
1
3. Kết hợp với l = n − 1 nên x1+ + xn−1 > 2
3 ⇒ xn< 1
3, vô lý.
Trang 5Vậy điều giả sử là sai hay phải tồn tại chỉ số k < n để:
1
3 ≤ x1+ x2+ · · · + xk ≤ 2
3 Bài 4 a) (2n + 1)3+ 1 22021
⇔ (2n + 2)(4n2+ 2n + 1) 22021
⇔ 2(n + 1)(4n2+ 2n + 1) 22021
⇔ (n + 1)(4n2+ 2n + 1) 22020
⇔ n + 1 22020 (do 4n2+ 2n + 1 ≡ 1 (mod 2))
⇔ n = 22020k − 1 (k ∈ Z+) b) Từ p | 2n + 2 và p | 4n2+ 2n + 1 thì p phải là số lẻ, dẫn đến p | n + 1
Do 4n + 2 + 2n + 1 = 4(n − 1)(n + 1) + 2(n + 1) + 3 nên p | 3, từ đó p = 3 Kết hợp với điều kiện p | n + 1 thì n = 3k − 1 với k ∈ Z+
Ta chứng minh rằng 2n + 2
3 và
4n + 2 + 2n + 1
3 không cùng là số chính phương. Thật vậy, giả sử rằng ta có điều ngược lại, vì chúng đều là số nguyên dương nên:
2n + 2
3 ·4n
2+ 2n + 1
2
(s ∈ Z+) Viết lại thành (2n + 1)3 = (3s − 1)(3s + 1) Do s là số chẵn nên (3s − 1, 3s + 1) = 1, dẫn đến việc tồn tại các số nguyên a, b để ab = 2n + 1, (a, b) = 1 và:
( 3s − 1 = a3
3s + 1 = b3
Từ đây 2 = (b − a)(b2+ ba + a2) Do b > a nên b − a ∈ {1, 2} Xét từng trường hợp
và giải ra cụ thể, ta được (a, b) = (−1, 1) Tuy nhiên điều này dẫn đến s = 0, trái với việc s > 0 từ điều đã giả sử
Vậy giả sử ban đầu là sai hay hai số đã cho không thể cùng là số chính phương Bài 5 a) a Qua D vẽ đường thẳng song song BC cắt AB, AC tại X, Y
Ta có DY
BC =
DF
BF =
DE
EC =
DX
BC. Suy ra DX = DY Suy ra D là trung điểm của XY
Do đó AD qua trung điểm I của EF
Ta có DHF N, DHEM nội tiếp Suy ra \DHN = \DF N = \M AN và \DHM =
\
N EM = \N AM Suy ra \M HN = 2 \M AN = \M IN Suy ra tứ giác M IHN nội tiếp Ta có điều cần chứng minh
b) Ta có 4BM P v 4BLF Suy ra BM · BF = BP · BL
Mặt khác 4BAF v 4BEM , suy ra BE · BA = BM · BE
Do đó BA · BE = BP · BL
Từ đó ta có tứ giác AEP L nội tiếp
Chứng minh tương tự thì tứ giác AF QK nội tiếp
Và BP · BL
CQ · CK =
BE · BA
CF · CA =
AB2
AC2
Trang 6c) Giả sử EL, F K cắt nhau tại S thuộc (I).
Khi đó∠ESF = 90◦ và EF LK là hình vuông
Vẽ P U ⊥AB, QV ⊥AC
Ta có BP
BC =
BU
BA =
BK
BL và
CQ
BC =
CV
CA =
CL CK Đặt x = EF = KL
Ta cần chứng minh BK
BL +
CL
CK = 1.
⇔ BK · CK + BL · CL = BL · CK
⇔ BK(CL + x) + (BK + x)CL = (BK + x)(CL + x) ⇔ x2 = BK · CL
Đúng vì tam giác BEK và CF L đồng dạng
Bài 6 a) Giả sử có chữ cái σ sao cho σ có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho, chẳng hạn
6 tập A1, A2, , A6
Vì hai tập hợp bất kỳ có chung đúng một chữ cái nên hai tập hợp bất kỳ trong 6 tập trên bao giờ cũng chỉ có chữ cái chung duy nhất là σ
Do đó, tổng số chữ cái có mặt trong 6 tập trên là: 1 + 6(5 − 1) = 25
• Nếu N = 6 thì vô lý do σ không xuất hiện trong tất cả N tập hợp Do đó N ≥ 7
• Với N ≥ 7, lấy tập A7, có 2 khả năng:
– A7 chứa σ: Vì A7 và những tập A1, A2, ,A6 có chung đúng một chữ cái σ nên A7 còn chứa 4 phần tử không nằm trong bất kỳ tập nào thuộc A1, A2, , A6
Suy ra tổng số chữ cái trong 7 tập trên là: 1 + 7(5 − 1) = 29 > 26 (vô lý) – A7 không chứa σ
Khi đó A7 sẽ có chung đúng 1 phần tử với mỗi tập A1, A2, , A6 và 6 phần
tử này phải khác nhau (vì 6 tập A1, A2, , A6 đã có chung σ)
Do đó A7 có ít nhất 6 phần tử (vô lý)
Vậy không có chữ cái nào nằm trong 6 tập hợp từ N tập hợp đã cho
Trang 7b) Giả sử có nhiều nhất k tập hợp có chung đúng 2 chữ cái, chẳng hạn a và b.
Khi đó dễ thấy k ≥ N − 1 nên tồn tại một tập hợp khác chưa được kể tên trong k tập hợp trên, đặt là tập hợp X, X không chứa {a, b}
• Nếu X không chứa cả a lẫn b X giao mỗi tập trong k tập kia ở 2 phần tử khác nhau nên 2k ≤ 5 ⇒ k ≤ 2
• Nếu X chỉ chứa a, không chứa b
Khi đó 4 phần tử còn lại giao với k tập kia ở các phần tử khác nhau, mà X có
5 phần tử nên k ≤ 4
Vậy có nhiều nhất 4 tập hợp có chung đúng 2 chữ cái
Để chỉ ra một ví dụ về khả năng có 4 tập hợp, xét N = 6 Để thuận tiện, thay các chữ cái bằng các con số từ 1 đến 26 Khi đó chọn bộ N tập hợp như sau:
A1 = {1, 2, 3, 4, 5}
A2 = {1, 2, 6, 7, 8}
A3 = {1, 2, 9, 10, 11}
A4 = {1, 2, 12, 13, 14}
A5 = {1, 3, 6, 10, 13}
A6 = {2, 3, 6, 9, 12}
Bộ 6 tập hợp này thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán