CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Phép thử và không gian mẫu Trong cuộc sống có những thí nghiệm hay quan sát trong cùng một điều kiện xác định như nhau có thể cho những kết quả khác nhau mà không thể chắc chắn kết quả

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1.1.1 Phép thử và không gian mẫu

Trong cuộc sống có những thí nghiệm hay quan sát trong cùng một điều kiện xác định như nhau có thể cho những kết quả khác nhau mà không thể chắc chắn kết quả nào sẽ xuất hiện Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc cùng một điều kiện như nhau nhưng kết quả mỗi lần gieo là khác nhau và chúng ta không chắc là kết quả nào

sẽ xuất hiện Hay giá của một mã chứng khoán trong một phiên giao dịch Số cơn bão xuất hiện trong sáu tháng đầu của năm sau… Trong những thí nghiệm hay quan sát đó, mặc dù ta không biết chính xác kết quả nào sẽ xảy ra nhưng chúng ta có thể

mô tả tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của chúng Ta gọi những thí nghiệm hay quan sát đó là phép thử ngẫu nhiên hay phép thử

Định nghĩa 1.1 Phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào đó mà trước khi tiến

hành ta không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra nhưng ta có thể mô tả tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử (gọi tắt là không gian mẫu), được ký hiệu là Ω

Mỗi phần tử của không gian mẫu là một kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra

trong một phép thử được gọi là một biến cố sơ cấp và ký hiệu là ω Do đó, không gian mẫu Ω còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp

Ví dụ 1.1 Gieo một đồng xu là một phép thử, không gian mẫu bao gồm hai biến

cố sơ cấp: S: “mặt sấp xuất hiện” và N: “mặt ngửa xuất hiện”, Ω ={S N, }

Ví dụ 1.2 Gieo một con súc sắc, đó là một phép thử Ký hiệu k là kết quả “xuất

hiện mặt k chấm”, k =1, 2,3, 4,5,6 Khi đó không gian mẫu là Ω ={1; 2;3; 4;5;6} Mỗi kết quả k là một biến cố sơ cấp

Ví dụ 1.3 Bắn một viên đạn vào bia cũng là một phép thử Các kết quả của phép

thử là “Viên đạn trúng vòng k điểm trên bia”, k =0,1, 2, ,10 Không gian mẫu là {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10}

Ω = Mỗi kết quả k là một biến cố sơ cấp

Ví dụ 1.4 Bắn một viên đạn vào một mục tiêu xác định cũng là một phép thử

Phép thử này có hai biến cố sơ cấp là “Viên đạn trúng bia” và “Viên đạn không trúng bia”

Ví dụ 1.5 Quan sát nhiệt độ ngoài trời tại một thời điểm cũng là một phép thử

Kết quả của phép thử là: “Nhiệt độ đo được là o

t C”, t là một số thực nào đó Không gian mẫu của phép thử là Ω =(a b, ) trong đó ,a b là các số thực nào đó

Ví dụ 1.6 Đo chiều cao của một cây công nghiệp được chọn ngẫu nhiên trong nông

trường Đó là một phép thử Kết quả của phép thử này là: “Cây được chọn có chiều cao t m”, t là một số thực nằm trong khoảng (a b, ) nào đó

1.1.2 Biến cố:

Khi tiến hành một phép thử người ta thường không quan tâm đến một biến cố

sơ cấp cụ thể mà thường quan tâm đến một kết quả liên quan đến một số các biến cố

sơ cấp Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc người ta quan tâm đến những kết quả có

số chấm lớn hơn 3, nó có thể là mặt 4, 5 hoặc 6, xuất hiện Và chỉ khi nào một trong

3 kết quả 4, 5 hoặc 6 xuất hiện ta nói kết quả quan tâm đã xảy ra Những kết quả mà

nó xảy ra khi một số biến cố sơ cấp nào đó xảy ra được gọi là một biến cố

Định nghĩa 1.2 Một biến cố là một kết quả nào đó có thể xảy ra hoặc không xảy ra

trong một phép thử tùy theo một số biến cố sơ cấp nào đó có xảy ra hay không Ta ký hiệu biến cố bằng chữ cái in hoa như , , , A B C

Một biến cố là một tập con của không gian mẫu và do đó nó bao gồm một số biến cố sơ cấp nào đó Nếu một biến cố sơ cấp ω nằm trong biến cố A thì ta nói ω

là biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A

Bi ến cố không là biến cố không bao giờ xảy ra trong một phép thử, được ký

hiệu là ∅ Nó chính là tập rỗng

Bi ến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra trong một phép thử, được ký hiệu là

Ω Nó chính là không gian mẫu của phép thử

Đối với một biến cố ta có thể mô tả bằng lời như một mệnh đề cũng có thể biểu diễn nó như một tập con của không gian mẫu

Ví dụ 1.7 Xét lại Ví dụ 1.2, biến cố một trong các mặt 2, 4 hoặc 6 xuất hiện được

mô tả A: “Mặt chẵn xuất hiện” hoặc được biểu diễn A ={2, 4, 6}

Hình 1 1 Hình 1 2

Ví dụ 1.8 Một hộp có 12 quả cầu trong đó có 4 quả đỏ đánh số 1,2,3; 4 quả cầu

xanh được đánh số 4, 5, 6, 7 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số là 8, 9, 10, 11, 12

Từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu Khi đó không gian mẫu Ω = { 1, 2, , 12 } và

các biến cố A, B, C tương ứng là: lấy được quả cầu màu đỏ, xanh, vàng được biểu diễn dạng tập hợp là A={1, 2,3 ;} B={4,5, 6, 7} và C ={8,9,10,11,12 }

Ví dụ 1.9 Gieo con súc sắc hai lần Hãy mô tả không gian mẫu và liệt kê các phần

tử của các biến cố sau:

a) A : “Tổng số chấm trên hai lần gieo bằng 8”

b) B : “Hai lần gieo có số chấm bằng nhau”

1.1.3 Mối quan hệ giữa các biến cố

- Quan hệ kéo theo (hay bao hàm): Một biến cố A được gọi là kéo theo biến

cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, khi đó ta viết A B⊂ (hayA⇒B)

Như vậy, nếu biến cố A kéo theo biến cố B thì mọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho A cũng là biến cố sơ cấp thuận lợi cho B Về mặt tập hợp A chính là tập con của tập B

Ví dụ 1.10 Gieo một con súc sắc biến cố A : “xuất hiện mặt chẵn” biến cố B :

“Xuất hiện mặt 2 hoặc 4” Khi đó, nếu biến cố B xảy ra thì biến cố A cũng xảy ra tức là B⊂A

- Quan hệ tương đương (hay bằng nhau): Hai biến cố A và B được gọi là tương đương hay bằng nhau nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra, ta viết A B=(hay A⇔B)

Ví dụ 1.11 Khi gieo một con súc sắc, biến cố A: “ xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 3”

và biến cố B: “xuất hiện mặt 4 hoặc mặt 6” là hai biến cố tương đương

1.1.4 Các phép toán giữa các biến cố

a)Biến cố đối lập:

Định nghĩa 1.3 Cho biến cố A , biến cố đối lập của A ký hiệu là A là biến cố xảy

ra khi và chỉ khi A không xảy ra

Về mặt tập hợp A chính là phần bù của A trong không gian mẫu Ω , tức là

\

A= Ω A

b) Giao (tích) của các biến cố, biến cố xung khắc, hiệu hai biến cố

Định nghĩa 1.4. Giao (tích) của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là

A∩B (hay AB ) là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra

Về mặt mô tả ta nói biến cố AB là biến cố “A và B cùng xảy ra” Về mặt tập hợp AB chính là tập giao của A và B Nó chính là tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp thuận lợi cho cả A và B

Định nghĩa 1.5 Khi A và B không bao giờ cùng xảy ra tức là AB = ∅ ta nói A và

B là hai biến cố xung khắc

Phép giao biến cố có thể mở rộng cho nhiều hơn hai biến cố Cụ thể, giao (hay tích) của n biến cố A A1, 2, ,An là một biến cố xảy ra khi cả n biến cố

1, 2, , n

A A A cùng xảy ra Ký hiệu là A A1 2 An

Nếu trong hệ A A1, 2, ,An có hai biến cố bất kỳ luôn xung khắc thì ta nói hệ

đó là từng đôi xung khắc Hiển nhiên hệ A A1, 2, ,An là từng đôi xung khắc thì

1 2 n

A A A = ∅ nhưng nếu A A1 2 A = ∅n thì chưa chắc A A1, , ,2 An là từng đôi xung khắc

Hình 1 4

Ví dụ 1.13 Xét lại Ví dụ 1.11, với :A “Con súc sắc xuất hiện số chẵn”, :B “Con súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3” Khi đó AB ={4,6} và được mô tả là “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 3”

c) Hiệu hai biến cố

Định nghĩa 1.6 Giao của biến cố A với biến cố đối của biến cố B được gọi là hiệu

của A và B , ký hiệu là \A B hay AB Biến cố \A B có nghĩa là “ A xảy ra nhưng

B không xảy ra” hay “A và B cùng xảy ra”

B

A \B

AB

Hình 1 5

d) Hợp (tổng) các biến cố, hệ đầy đủ các biến cố

Định nghĩa 1.7 Hợp (tổng) hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là A B∪ (hay

A B+ ) xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra

Về mặt mô tả ta có thể nói A B∪ là biến cố “có từ một biến cố trong hai biến

cố A và B xảy ra” hay “có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra” hay “A hoặc B xảy ra” Về mặt tập hợp, A B∪ là hợp của hai tập hợp A và B Nó chứa các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A hoặc B

Hình 1 6

Phép hợp biến cố cũng được mở rộng cho nhiều biến cố Cụ thể, cho n biến

cố A A1, 2, ,An, biến cố hợp của A A1, 2, ,An là một biến cố, ký hiệu là

1

n i i

Định nghĩa 1.8 Hệ A A1, 2, ,An được gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu hệ đó là xung khắc từng đôi và

1

n i i

hệ đầy đủ các biến cố còn được gọi là một sự phân hoạch không gian mẫu

Dễ thấy rằng với A là một biến cố bất kỳ thì hệ {A A, } cũng là hệ đầy đủ các biến cố Nếu có hai biến cố A và B thì hệ {AB AB AB AB, , , } là hệ đầy đủ các biến

cố

Ví dụ 1.14 Trong một kho hàng có ba loại sản phẩm A, B, C để lẫn lộn Từ kho

hàng lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Đặt , ,A B C tương ứng là biến cố “Sản phẩm lấy ra là loại A, B, C” Khi đó một trong các biến cố , ,A B C chắc chắn phải xảy ra Đồng thời, hai trong ba biến cố đó không bao giờ cùng xảy ra Bởi vì, không thể có một sản phẩm vừa là loại A vừa là loại B Như vậy, {A B C, , } là hệ đầy đủ các biến

cố

1.2 XÁC SUẤT

Đối với một biến cố chúng ta không thể biết chắc là nó có xảy ra hay không như chúng ta có thể đánh giá khả năng xảy ra của nó bằng một số xác định được gọi

là xác suất của nó Như vậy, xác suất của một biến cố là số đo khả năng xuất hiện

c ủa một biến cố Xác suất của một biến cố A được ký hiệu là P A( ) Người ta có các cách định nghĩa xác suất của biến cố như sau:

1.2.1 Định nghĩa xác suất (cổ điển)

Định nghĩa 1.9 Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử là hữu hạn và mỗi biến

cố sơ cấp có cùng khả năng xuất hiện Khi đó xác suất của một biến cố A là tỉ số giữa số phần tử của A và số phần tử của không gian mẫu Ω

Ví dụ 1.15 Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất, tính xác suất các biến cố sau:

A: “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn”

B: “Con súc sắc xuất hiện mặt lớn hơn 3”

Giải

Ta có không gian mẫu của phép thử là Ω ={1, 2,3, 4,5,6 ,} ( )n Ω =6 Vì con súc sắc cân đối đồng chất nên mỗi kết quả xuất hiện là đồng khả năng Ta có {2,3, 4 ,}

Ta có số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Ak là: ( ) 4

10 k 20 k k

n A =C C − , k=0,1, 2,3, 4

0 4

1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Định nghĩa 1.10 Trong một phép thử T biến cố A xuất hiện với xác suất là P A( ) Tiến hành phép thử T lặp đi lặp lại n lần gọi nA là số phép thử có biến cố A xuất hiện Đặt A

A

nf

n

= và gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n lần thử Khi đó:

( ) lim An

→∞

Nói cách khác, khi số phép thử càng tăng lên thì tần suất xuất hiện biến cố A

là fA có giá trị xấp xỉ xác suất biến cố đó Trong thực tế khi n khá lớn ta dùng fA để chỉ P A( )

Ví dụ 1.18 Để kết luận xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là 80% người ta ghi

nhận rất nhiều lần bắn của xạ thủ đó và tính tần suất bắn trúng bia của xạ thủ Tần suất này có giá trị xấp xỉ 0,8

Các nhà toán học Buffon và K Pearson đã tiến hành các thí nghiệm gieo đồng tiền và thấy kết quả sự hội tụ của tần suất về xác suất của biến cố “mặt sấp xuất hiện” Về mặt lý thuyết (giống như định nghĩa cổ điển về xác suất) xác suất xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng tiền là 0,5 Thí nghiệm cho ta thấy rõ khi số lần gieo tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp càng xấp xỉ tốt hơn cho xác suất của biến cố

Ng ười thí nghiệm S ố lần gieo S ố lần sấp T ần suất

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Có những phép thử không gian mẫu là một miền hình học có vô hạn không đếm được các biến cố sơ cấp Chẳng hạn, quan sát tuổi thọ của một bóng đèn, đo khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia, vị trí rơi của viên đạn trên một một khu vực, vị trí của một phân tử trong chất lỏng;… Những trường hợp như thế không thể dùng định cổ điển để tính xác suất được mà dựa vào định nghĩa hình học

về xác suất

Định nghĩa 1.11 Giả sử không gian mẫu của phép thử là một miền hình học Ω đo

được, một biến cố A bất kỳ là một miền con của Ω Khi đó xác suất của biến cố A

Ví dụ 1.19 Hai người hẹn gặp nhau vào khoảng từ 11 giờ đến 12 giờ Họ quy ước

rằng người đến trước sẽ chỉ phải chờ 20 phút, nếu không gặp sẽ đi Giả sử việc đến điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên Tìm xác suất để hai người gặp nhau

Giải

Gọi ,x y là thời điểm đến điểm hẹn của mỗi người Ta biểu ,x y lên mặt phẳng tọa độ Oxy Tập các kết cục có thể xảy ra nằm trong hình vuông cạnh 60 (ta lấy phúc là đơn vị)

xy

≤ ≤

≤ ≤Tập các điểm thuận lợi để hai người gặp nhau là { (x y, ):x−y ≤20} Gọi A

là sự kiện “Hai người gặp nhau”

Theo công thức xác suất theo hình học ta có

Hình 1 7

1.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

Năm 1929, nhà toán học người Nga, A N Kolmogorov đã xây dựng một lý thuyết chắc chắn cho lý thuyết xác suất hiện đại bằng cách đề xuất ra hệ tiên đề cho

lý thuyết xác suất dựa trên cơ sở lý thuyết tập hợp và độ đo

Định nghĩa 1.12 Cho Ω là không gian các biến cố sơ cấp, TT là một hệ các tập con của Ω thỏa các tính chất:

T luôn khác rỗng vì luôn có Ω ∈TT Ngoài ra, từ (ii) ta có ∅ ∈TT Ω được gọi

là biến cố chắc chắn và ∅ là biến cố không

Định nghĩa 1.13 Cho Ω và một σ− đại số TT trên Ω Xác suất P là một hàm xác định trên TT sao cho:

(i) P A( )≥0 với A∈TT

Bộ ba (Ω T,T ,P) được gọi là không gian xác suất

Định nghĩa xác suất theo tiên đề bao hàm các định nghĩa khác về xác suất Nó

là một sự hoàn thiện của định nghĩa về xác suất làm cho lý thuyết xác suất có tính chặt chẽ hơn Do vậy, mặc dầu có nhiều cách định nghĩa khác nhau về xác suất

nhưng bản chất của nó là một và có các tính chất sau đây

A B

AB

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Hình 1 8

Ví dụ 1.20 Trong một đội tuyển có hai vận động viên A và B thi đấu Biết xác suất

để A thắng trận là 0,8; xác suất cả hai người cùng thắng trận là 0, 48 ; còn xác suất để

A thua và B thắng là 0,06 Tính xác suất của các biến cố sau:

a) B thắng trận

b) Đội tuyển thắng ít nhất một trận

Giải

Đặt :A “Vận động viên A thắng trận” và :B “Vận động viên B thắng trận” Theo đề bài ta có P A =( ) 0,8 P AB =( ) 0, 48 và P AB =( ) 0, 06

a) Xác suất B thắng trận là:

( ) ( ) ( ) 0, 48 0, 06 0,54

P B =P AB +P AB = + = (áp dụng công thức (1.5)) b) Xác suất đội thắng ít nhất một trận:

1.3.2 Xác suất điều kiện

Định nghĩa 1.14. Trong không gian mẫu Ω , cho biến cố B có P B >( ) 0 và biến cố

A bất kỳ Xác suất của A với điều kiện B , ký hiệu là P A B( / ), là khả năng xảy ra của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra Xác suất được tính bằng tỉ số:

iv P A( ∪B C/ )=P A C( / )+P B C( / )−P AB C( / )

Chú ý 1.1: Thường thì P A B( / ) có thể suy ra trực tiếp từ yêu cầu của bài toán chứ không cần phải tính qua công thức trên

Ví dụ 1.21 Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất giống nhau Tính xác suất để

tổng số chấm thu được bằng 6, biết rằng tổng số đó là số chẵn

5 / 36 5/

Ví dụ 1.23 Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên liên tiếp

không hoàn lại 2 quả cầu Tính xác suất quả cầu lấy ra lần thứ hai màu trắng biết quả cầu lấy ra lần đầu màu đỏ

Giải

Đặt A : “Quả cầu lấy ra lần đầu màu đỏ”; B : “Quả cầu lấy ra lần thứ hai màu trắng” Ta cần tính xác suất P B A( / ), biến cố B A/ nghĩa là lần thứ hai lấy được quả cầu màu trắng với điều kiện lần thứ nhất đã lấy được quả cầu màu đỏ Nếu A xảy ra nghĩa là lần thứ nhất lấy được quả cầu màu đỏ khi đó trong hộp còn có 6 quả cầu trong đó có 3 quả cầu màu trắng Như vậy

H ộp sau khi A xảy ra

1.3.3 Công thức nhân xác suất

a) Công thức nhân xác suất hai biến cố

Cho hai bi ến cố A và B Khi đó

//

=

Các công th ức trên được gọi là công thức nhân xác suất

Chú ý 1.2: Trong hai công thức nhân xác suất, ta có thể tính P AB( ) dựa vào ( / )

P A B hoặc P B A( / ) Tuy nhiên ta cần xem các biến cố A và B biến cố nào xảy ra trước Nếu A xảy ra trước thì ta tính theo công thức trên Còn nếu B xảy ra trước thì ta tính theo công thức dưới

Ví dụ 1.24 Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên liên tiếp

không hoàn lại 2 quả cầu Để hai quả cầu lấy ra đều màu đỏ

Giải

Gọi ,A B lần lượt là các biến cố “quả cầu lấy ra lần thứ nhất, lần thứ hai màu đỏ” Ta cần tính P AB( ) Ta có ( ) 4

7

P A = Nếu A xảy ra, tức là lấy ra một quả màu

đỏ thì trong hộp còn 6 quả cầu trong đó có 3 trắng 3 đỏ (Xem Ví dụ 1.23) Do đó,

Ví dụ 1.25 Một chuồng có 5 con gà trống và 7 con gà mái Người ta bắt ngẫu nhiên

lần lượt hai lần, mỗi lần một con để bán Tính xác suất:

a) Cả hai con đều là gà mái

b) Con bắt lần thứ hai là gà mái

Giải

Đặt A : “Con gà bắt lần đầu là gà mái” Ta có ( ) 7

Ví dụ 1.26 (Sơ đồ hộp Polya) Một hộp lúc đầu có chứa a quả cầu trắng, b cầu đỏ

Sau mỗi lần chọn ngẫu nhiên một cầu ta trả quả cầu đó cùng c quả cầu cùng màu với

nó vào hộp Tìm xác suất để các quả cầu được chọn ở ba lần đầu màu trắng

a b c

+

=+ + Tương tự nếu A A1, 2 xảy ra, tức là ta đã lấy ra lần lượt hai quả cầu màu trắng xong hoàn lại chúng và 2c quả màu trắng nữa Như vậy, trong hộp sẽ có a+2c quả cầu trắng trong tổng số a b+ +2c quả cầu Do đó, ( 3 1 2)

2/

Ví dụ 1.27 Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn

ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng Tính xác suất để sau

3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm đều được kiểm tra

Ta có P A =( )1 1 vì trong lô hàng toàn sản phẩm chưa được kiểm tra

Sau khi A1 đã xảy ra, tức là lô hàng có 6 sản phẩm chưa được kiểm tra và 3 sản phẩm đã được kiểm tra, nên xác suất để lần thứ hai kiểm được 3 sản phẩm chưa được kiểm tra là: ( )

3 6

9

5/

3 3

9

1/

Ví dụ 1.28 Để chọn ứng cử viên cho chức tổng giám đốc điều hành công ty tuyển

chọn thí sinh qua ba vòng Vòng thứ nhất lấy 70% thí sinh; vòng thứ hai lấy 50% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 20% thí sinh đã qua vòng thứ hai Để trở thành ứng cử viên, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ

a) Được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc

b) Bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại

Giải

a) Gọi Ai là biến cố “Thí sinh qua vòng thứ i ”, i =1, 2,3, A là biến cố “Thí sinh được trở thành ứng cử viên chức tổng giám đốc” Ta có: P A =( )1 0, 7, ( 2/ 1) 0,5

P A A = và P A A A =( 3/ 1 2) 0, 2 Theo công thức nhân xác suất ta có:

Theo công thức xác suất điều kiện ta có:

Ví dụ 1.29 Để dập tắt nạn dịch sâu hại lúa người ta tiến hành phun thuốc 3 lần liên

tiếp trong 1 tuần Xác suất sâu bị chết ở lần đầu là 0,5 Nếu sâu sống sót thì khả năng chết của sâu ở lần thứ hai là 0,7 Còn nếu sâu chưa chết ở lần thứ hai thì sâu sẽ chết ở lần thứ ba với xác suất là 0,9 Tính xác suất sâu chết sau đợt phun thuốc

Ví dụ 1.30 Có hai hộp đựng các quả cầu Hộp 1 đựng 5 quả cầu xanh và 3 quả đỏ

Hộp 2 đựng 2 quả cầu xanh và 6 quả cầu màu đỏ Từ mỗi hộp lấy ra một quả cầu

Tính xác suất để:

a) Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh

b) Hai quả cầu lấy ra cùng màu

Giải

Đặt A: “Quả cầu lấy từ hộp thứ i màu xanh”, i =1, 2

Ta có ( )1

38

P A = ; ( )2

28

Định nghĩa 1.16 Các biến cố A A1, 2, ,An được gọi là độc lập nếu với mọi số

nguyên m từ 2 đến n và với mọi nhóm biến cố

1, 2, ,

i= n là độc lập nhau; lấy lần lượt có hoàn lại từng sản phẩm ở cùng một hộp thì các biến cố “Sản phẩm lấy ra lần thứ i là phế phẩm”, i=1, 2,3, là các biến cố độc lập nhau…

Định lí 1 2. Trong một không gian xác suất, xét ba biến cố A, B và C

(i) Nếu A và B độc lập thì mỗi nhóm 2 biến cố sau đây đều độc lập

( A và B), (A và B ) và ( A và B ) c ũng độc lập

(ii) Nếu A, B và C độc lập thì mỗi nhóm 3 biến cố sau đây đều độc lập:

(A, B và C); (A, B và C); (A, B và C ); (A,B và C); (A,B và C ); (A, B

và C ) và (A,B và C ).

Ví dụ 1.31 Trong một đội tuyển có 3 vận động viên A, B và C thi đấu với xác suất

thắng trận lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8 Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau Tính xác suất để:

Áp dụng công thức biến cố đối và công thức nhân độc lập ta có:

Ví dụ 1.32 Hai vận động viên cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập nhau Xác

suất trúng đích của vận động viên A là 0,8 còn của vận động viên B là 0,7 Tính xác suất:

a) Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu

b) Vận động viên B bắn trúng ngay từ phát thứ ba

c) Hai người bắn trúng đích khi mỗi người đều bắn 1 phát

d) Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát

Giải

Đặt Ai: “Vận động viên A bắn trúng đích ở phát bắn thứ i ”, i =1, 2,3

j

B : “Vận động viên B bắn trúng đích ở phát thứ j”, j =1, 2,3 Theo đề bài ta

có ,A Bi j là độc lập nhau, A A A1, 2, 3 độc lập nhau, B B B1, 2, 3 cũng độc lập nhau

a) Đặt A : “Vận động viên A bắn trúng đích trong 3 phát đầu” Ta có A: “vận động viên A không bắn trúng đích trong ba phát đầu” Ta có

d) Đặt D : “Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”

Ta có D : “không có người nào bắn trúng đích khi mỗi người chỉ bắn 1 phát”

( ) ( 1 1) ( )1 ( )1 0, 2.0,3 0, 06

Suy ra: P D( )= −1 P D( )= −1 0, 06 0,94=

Ví dụ 1.33 Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi có viên đạn trúng mục tiêu

thì dừng Tính xác suất việc bắn dừng ở lần thứ tư, biết xác suất trúng của mỗi lần bắn là như nhau và bằng 0,3

Ví dụ 1.34 Tại một trại chăn nuôi lợn, lợn có thể mắc bệnh A với xác suất

0,7 và mắc bệnh B với xác suất 0,5 Biết rằng việc mắc bệnh A hay B là độc lập nhau Người ta dùng hai loại thuốc đặc hiệu có thể chữa khỏi hai loại bệnh nói trên