Phương pháp Monte Carlo Under construction

Bài 3:Phương pháp Monte Carlo Under construction... Giới thiệumẫu sampling trong một tập hợp thống kê được sử dụng lần đầu bởi Metropolis Los Alamos, 1947 tính số Pi 1901, hoặc tính tích

Bài 3:

Phương pháp Monte Carlo

Under construction.

Giới thiệu

mẫu (sampling) trong một tập hợp thống kê

được sử dụng lần đầu bởi Metropolis (Los Alamos, 1947)

tính số Pi (1901), hoặc tính tích phân, bằng cách lấy mẫu

theo phân bố đều

một phân bố bất kỳ cho trước

Tính số p bằng Monte Carlo

bố đều

p ≈ 4 n

N

1

√ N sai số ~

Tính tích phân bằng Monte Carlo

● Nếu x là số ngẫu nhiên trong khoảng (x1,x2) với phân bố r(x) cho trước, ta có:

F = ∫

x1

x2

f  x dx

F = ∫

x1

x2

f  x

 x  x dx

F =⟨ f (x)

r(x) ⟩

f (x)

F

● Với r(x) là phân bố đều, và lấy mẫu N lần ta có:

phân bố đều không hiệu quả Ví dụ đối với tích phân cấu hình trong tập hợp chính tắc, những trạng thái có năng lượng lớn đóng góp rất ít vào tích phân

 x= 1

 x2− x1 x1≤ x≤x2

F = ( x2− x1)

i=1

N

f ( xi)

Z NVT= ∫ d Γ e−E (Γ)/k B T

Lấy mẫu quan trọng

miền có đóng góp đáng kể trong tích phân

● Nếu ta lấy mẫu theo phân bố thì:

rNVT (Γ)= Z−1NVT e−E (Γ)/ k B T

〈 A〉NVT= ∫ d  A NVT   

=NVT

〈 A〉NVT=〈 A〉trails

“Instead of choosing configurations randomly, then weighting them with exp(−E/kT), we choose configurations with a

probability exp(−E/kT) and weight them evenly.”

— Metropolis et al.

Metropolis, N.; Rosenbluth, A.W.; Rosenbluth, M.N.; Teller, A.H.; Teller, E (1953)

"Equations of State Calculations by Fast Computing Machines" Journal of Chemical Physics 21 (6): 1087–1092.

● Vấn đề là làm sao để lấy mẫu theo một phân

bố khác với phân bố đều?

● Metropolis đã đưa ra thuật toán ngẫu nhiên cho phép lấy mẫu theo một phân bố bất kỳ cho trước.

Chuỗi Markov

thái vi mô ngẫu nhiên:

chỉ phụ thuộc vào trạng thái ngay trước nó, mà không phụ thuộc vào các trạng thái trước đây

(stochastic process with no memory)

trạng thái của một hệ vật lý thì gọi là mô phỏng Monte Carlo

1, 2, , n−1 , n ,

Phương trình chủ

equation):

là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái a

là xác suất chuyển trạng thái từ a sang b

d pa

dt = ∑

b≠a

( k ab pb− kba pa)

p

kb a

∑ b

kb a=1 k a a=1− ∑

b≠a

kb a

Điều kiện cân bằng chi tiết

(detailed balance condition):

d peq

dt = 0

t ∞ : p= peq

kab pbeq= kb a paeq

● Thông thường trong Monte Carlo

là xác suất thử chuyển đổi (attempt probability)

là xác suất chấp nhận chuyển đổi (acceptance

probability)

bằng nhau theo 2 chiều thuận và nghịch (không ưu tiên bất cứ chiều chuyển đổi nào):

kb a= kb as kb aa

kb aa

kb as

kb as = kabs

Phương pháp Metropolis

mãn điều kiện cân bằng chi tiết:

● nếu ta chọn:

● nếu ta chọn:

kb aa =1

kb aa = pbeq

paeq

peq≥ peq

peq peq

ka ba = paeq

pbeq

ka ba =1

kb aa = min ( 1 , pb

eq

paeq )

● Trường hợp tập hợp chính tắc, ta có phân bố Boltzmann:

thái a sang trạng thái b bằng:

peq= e−E/k B T

eq

= e−E/k B T

Z NVT

peq

peq= e

−E−E/k B T

suy ra

E≤ E kb aa =1

kb aa = e−(Eb−Ea)/k B T

E E

Nếu Nếu

ka = min ( 1, e−(Eb−Ea)/k B T

)

● Thuật toán Metropolis:

Giả sử năng lượng trạng thái hiện tại là E, năng lượng trạng thái mới là E'

● nếu : chấp nhận trạng thái mới

● nếu : xác suất chấp nhận

– gieo một số ngẫu nhiên x trong khoảng [0,1)

● nếu : chấp nhận trạng thái mới

● nếu : quay lại trạng thái cũ

k =e−(E ' −E)/ k B T

E ' ≤ E

E ' > E

x⩾k

x<k

Δ E

luôn

chấp

nhận

không chấp nhận

chấp nhận e−ΔE / k B T

x

1

0

Phương pháp lấy mẫu Barker

bảo điều kiện cân bằng chi tiết

kb aa = pbeq

( paeq+ pbeq)

Thực hành

● Dùng phương pháp Monte Carlo, tính tích

phân:

● Dùng phương pháp Metropolis tạo tập hợp số ngẫu nhiên theo phân bố:

● Làm tương tự sử dụng phương pháp lấy mẫu Barker.

A= ∫

0

p

sin( x)dx

p( x)= 1

2 sin ( x) x∈[0,p]

Thực hành

nằm trong trọng trường

p( z)∼e−

mgz kT

Xét hộp khí kích thước LxLxL

Chọn L=100, m=1, g=1, k=1.

Tạo các trạng thái vi mô cho N hạt:

● Phân bố tọa độ:

p(z) ~ exp(-mgz/kT)

● Phân bố xung lượng:

Maxwell-Boltzmann

z