Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau - Hai tam giác thường: + Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau ch-cgv + Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau cgv-cgv Dạng 7: Chứn
Trang 1ÔN TẬP HÌNH HỌC TỔNG HỢP
A CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau
- Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba
- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc
- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của cùng một tam giác cân hoặc đều
- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
Trang 2- Hai dây tương ứng căng hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau
- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song
- Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc vơi đường thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong, ở
vị trí so le ngoài, ở vị trí đồng vị
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông,…
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Chúng song song với hai đường thẳng vuông góc khác
- Chứng minh chúng là chân đường cao trong một tam giác
- Đường kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau
- Tính chất hai đường chéo hình thoi, hình vuông
Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
- Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bẳng 1800
- Dựa vào hai góc đối đỉnh
- Dựa vào hai đường thẳng đi qua một điểm cùng song song hoặc vuông góc với đường thẳng khác
Trang 3- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau
- Chứng minh chúng là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực, ba phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lý đảo của định lý Thales
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Hai tam giác thường:
+ Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau (ch-cgv)
+ Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau (cgv-cgv)
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
- Hai tam giác thường:
+ Có hai góc bằng nhau đôi một (g.g)
+ Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỉ lệ (c.g.c)
+ Có ba cạnh tương ứng tỉ lệ (c.c.c)
- Hai tam giác vuông:
+ Có một góc nhọn bằng nhau (g.g)
+ Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ (c.g.c)
+ Có cạnh huyển và một cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ (c.g.c)
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
Trang 4- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối điện
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kể nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc
- Dựa vào phương tích của đường tròn
B BÀI TẬP
Bài 1 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại C Gọi AC, BC là hai đường
kính của (O) và (O’) DE là dây cung vuông góc tại trung điểm M của AB Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O’) tại F BD cắt (O’) tại
MF DE
g) MF là tiếp tuyến của (O’)
Bài 2 Xét tam giác ABC có các góc B, C nhọn Các đường tròn đường kính AB và AC
cắt nhau tại điểm thứ hai H Một đường thẳng d bất kỳ qua A lần lượt cắt hai đường tròn nói trên tại M, N
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC
Trang 5b) Tứ giác BCNM là hình gì? Tại sao?
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc một đường tròn
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất
Bài 3 Cho nửa (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By Từ C là một điểm bất kỳ trên
nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By tại E, F
e) Khi C di chuyển trên (O) thì M,N di chuyển trên đường nào?
g) Xác định vị trí của C để diện tích EOF bé nhất?
Bài 4 Cho nửa (O) đường kính AB, M là một điểm trên nửa đường tròn Hạ MH AB,
vẽ hai nửa đường tròn (I) đường kính AH, (K) đường kính BH nằm phía trong nửa (O), cắt MA,MB tại P,Q Chứng minh :
Trang 6e) Xác định vị trí của M để chu vi, diện tích tứ giác IPQK lớn nhất
Bài 5 Cho nửa (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By Từ M là một điểm bất kỳ trên
nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By tại C, D Các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại N Chứng minh:
a) CD=AB+BD;
b) MN//AC;
c) CD.MN=CM.DB;
d) Điểm M nằm ở vị trí nào trên nửa (O) thì AC+BD nhỏ nhất?
Bài 6 Cho ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp
của góc A, O là trung điểm của IK Chứng minh:
a) Bốn điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O;
b) AC là tiếp tuyến của (O);
c) Biết AB = AC = 20cm , BC = 24cm tính bán kính (O);
d) Tính phần giới hạn bởi (O) và tứ giác ABOC
Bài 7 Cho hình vuông ABCD, điểm E trên cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc
với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC tại K, H Chứng minh:
a) Tứ giác BHCD nội tiếp;
b) Tính ̂
c) KC.KD=KH.KB;
d) Khi E di chuyển trên BC thì H di chuyển trên đường nào
Trang 7Bài 8 Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn AB lấy
điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P Chứng minh:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp;
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành;
c) Tích CM.CN không phụ thuộc vào điểm;
d) Khi M di chuyển trên AB thì P chay trên một đoạn thẳng cố định
Bài 9 Cho ABC vuông tại A (với AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F Chứng minh:
a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật;
b) Tứ giác BEFC nội tiếp;
c) AE.AB=AF.AC;
d) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
Bài 10 Cho (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, P Ax sao cho AP > R từ P kẻ
tiếp tuyến PM với (O) tại M Đường thẳng vuông góc với AB tại O căt BM tại N
AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại J, PN cắt OM tại J Chứng minh :
a) Tứ giác APMO nội tiếp và BM//OP;
b) Tứ giác OBNP là hình bình hành;
c) PI = OI; PJ = OJ;
Trang 8d) Ba điểm I, J, K thẳng hàng
Bài 11 Cho nửa (O) đường kính AB và điểm M bất kì 1/2(O) (M khác A, B) Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I, tia phân giác góc IAM cắt nửa (O) tại E, cắt tia BM tại F Tia BE cắt Ax tại H, cắt
AM tại K Chứng minh:
c) Tứ giác AKFH là hình thoi;
d) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp một đường tròn
Bài 12 Cho ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy một điểm M, dựng (O) đường kính
MC Đường thẳng BM cắt (O) tại D Đường thẳng AD cắt (O) tại S, BC cắt (O) tại
E Chứng minh:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp, CA phân giác góc SBC;
b) AB, EM, CD đồng quy;
c) DM phân giác góc ADE;
d) M là tâm đường tròn nội tiếp ADE
Bài 13 Cho ABC vuông tại A Trên cạnh AB lấy một điểm D (O) đường kính BD cắt
BC tại E Đường thẳng CD, AE cắt (O) tại F, G Chứng minh:
Trang 9Bài 14 Cho (O; 3cm) tiếp xúc ngoài với (O’; 1cm) tại A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC
Bài 15 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC= 4cm và CB=9cm Vẽ về một phía
của AB các nửa đường tròn có đường kính là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là
O, I, K Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E, EA cắt (I) tại
M, EB cắt (K) tại N Chứng minh:
a) EC = MN;
b) MN là tiếp tuyến chung của (I) và (K);
c) Tính MN;
d) Tính diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn
Bài 16 Cho (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn Vẽ
đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N
MA, MB cắt (E) tại C, D Chứng minh:
a) CD//AB;
b) MN phân giác ̂ và MN luôn đi qua một điểm cố định K;
c) Tích KM.KN không đổi;
Trang 10d) Gọi CN cắt KB tại C’, DN cắt AK tại D’ Tìm M để chu vi NC’D’ nhỏ nhất
Bài 17 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH cắt các
cạnh AB, AC lần lượt tại E, F , đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I Chứng minh:
Bài 18 Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường
cao AD, BE cắt nhau tại H và kéo dài cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai tương ứng là D’ và E’
a) Chứng minh DD’ = DH, EE’ = EH
b) Chứng minh rằng bán kính các đường tròn đi qua H và hai trong ba đỉnh A, B,
C đều bằng R
c) Nối CH cắt AB tại G và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai G’ Chứng minh H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’G’
Bài 19 Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M
bất kỳ trên cung nhỏ AC Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D
a) Chứng minh góc AMD bằng góc ABC
b) Chứng minh tam giác BMD cân
Trang 11c) Chứng minh rằng khi M di động thì D chạy trên một đường tròn cố định và độ lớn góc BDC không đổi
d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi Tính AM ở vị trí đó biết BAC và bán kính đường tròn (O) là R
Bài 20 Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc
với (O), (O’) lần lượt tại B, C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của (O)
và (O’)
c) Chứng minh OM vuông góc với O’M
d) Các tia BA và CA cắt (O’) và (O) lần lượt tại các điểm thứ hai D và E Chứng minh S ADE = S ABC
Bài 21 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC) có đường cao là AH Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính HC cắt cạnh AC tại F
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được
c) Chứng minh EF là tiếp tuyên chung của hai nửa đường tròn
d) Giả sử góc ABC = 300 Chứng minh rằng bán kính của nửa đường tròn này gấp
ba lần bán kính của nửa đường tròn kia
Trang 12Bài 22 Xét đoạn thẳng AD = a với trung điểm I, một tia Ix vuông góc với AD Một
2, chứng minh rằng tứ giác ADCD’ là hình thoi
Bài 23 Xét đường tròn (O), một dây AB và điểm M bất kỳ trên cung lớn AB
a) Nêu cách dựng đường tròn (O’) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O”) qua M tiếp xúc với AB tại B Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O’) và (O”)
b) Chứng minh góc AMB + góc ANB = 1800 Có nhận xét gì về độ lớn của góc ANB khi M di động?
c) Tia MN cắt đường tròn (O) tại S Chứng minh rằng tứ giác ANBS là hình bình hành
d) Xác định vị trí của M để hình bình hành ANBS có diện tích lớn nhất
Trang 13Bài 24 Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Các đường thẳng AO,
AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E, F
a) Chứng minh rằng B, F, C thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp được
c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O), (O’)
Bài 25 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường
tròn (M khác A, B) Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM)
a) Chứng minh các tia OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM và BOM b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB và AC.BD = R2
c) Chứng minh rằng tam giác AMB đồng dạng với tam giac COD
d) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABDC nhỏ nhất
Bài 26 Xét đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB người ta kẻ các tia Ax // By Một
đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D, với By tại E
a) Nêu cách dựng đường tròn tâm M
b) Chứng minh AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax, By Chứng minh D, M, E thẳng hàng
Trang 14c) Chứng minh tam giác AMB vuông
d) Tìm tập hợp điểm M
Bài 27 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn
Gọi các điểm chính giữa của các cung AM, MB lần lượt là H, I Các dây AM và
HI cắt nhau tại K
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ HP vuông góc với AM Chứng minh đường thẳng IP tiếp xúc với (O; R) c) Gọi Q là trung điểm của dây MB Vẽ hình bình hàng APQS Chứng minh S thuộc đường tròn (O; R)
d) Chứng minh rằng khi M di động thì đường thẳng HI luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Bài 28 Cho tam giác ABC vuông tại B Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đường tròn
đường kính MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia BN tại điểm thứ hai D a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD
c) Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp
d) Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đường kính nhỏ nhất
Bài 29 Cho (O; R) đường kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB Từ M kẻ
đường thẳng vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N Trên tia đối
Trang 15của tia MN lấy điểm C Nối C với B cắt đường tròn tại điểm thứ hai I Giao điểm của AI với MN là K
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp
b) Chứng minh CI.CB = CK.CH
c) Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN
d) Cho MN = R 3 và AN // BC Tính MC
Bài 30 Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa của cung AB,
M là một điểm trên cung CB, kẻ đường cao CH của tam giác ACM
a) Chứng minh rằng tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của góc COM b) Gọi giao điểm của tia OH với CB là I và giao điểm thứ hai của đường thẳng MI với nửa đường tròn (O) là D Chứng minh MC // BD
c) Xác định vị trí của M sao cho D, B, H thẳng hàng
d) Gọi giao điểm của OH và BM là N Tìm tập hợp điểm N
Bài 31 Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho
AB < AC Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M, cắt BC tại I
a) Chứng minh AB IC = AI.MB
b) Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia
AM tại E Tứ giác ADEC là hình gì, tại sao?
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội tiếp
Trang 16d) Chứng minh rằng B, M, G thẳng hàng
Bài 32 Từ một điểm S ở ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát
tuyến SBC tới đường tròn sao cho góc BAC nhọn Tia phân giac của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E Các tiếp tuyến của (O) tại C và
E cắt nhau tại N Gọi Q và P theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB
Bài 33 Cho tam giác ADC vuông ại A, điểm B nằm giữa A và C (B khác A và C)
Đường tròn (O) đường kính BC giao CD tại M Tia MA giao với (O) tại N, kẻ NP vuông góc với AC (P thuộc (O))
a) Chứng minh CM.CD = CB.CA
b) Chứng minh D, B, P thẳng hàng
c) Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp
d) Khi B di động trên đoạn AC và tia MA giao đường tròn đường kính BC tại N chứng minh rằng trực tâm của tam giác BCD luôn nằm trên đường thẳng cố định
Trang 17Bài 34 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) sao cho AB < AC Tiếp tuyến của
đường tròn tại A cắt đường thẳng BC tại S Gọi M là trung điểm của BC và I là giao điểm của OM với đường tròn (I thuộc cung BC)
a) Chứng minh SA2 = SB.SC
b) Chứng minh góc BIC = góc ABC + góc ACB
c) Hạ IN vuông góc với AC Chứng minh tứ giác MNCI nội tiếp
d) Hạ IP vuông góc với AB Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 35 Cho đường tròn (O; R), dây PQ cố định (PQ không đi qua tâm O) Gọi M là điểm
chính giữa cung nhỏ PQ Lấy N là một điểm bất kì thuộc cung lớn PQ, MN cắt PQ tại I Gọi K là trung điểm của PQ Kẻ PH vuông góc với MN tại H, đường thẳng
d) Tìm vị trí của điểm N trên cung PQ lớn để diện tích tam giác SMP lớn nhất
Bài 36 Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B và C là tiếp điểm) M thuộc cung BC (phần trong tam giác) Từ M
kẻ MI, MK, MH theo thứ tự vuông góc với BC, AB, AC MB cắt IK tại , MC cắt
HI tại F
Trang 18a) Chứng minh tứ giác BMIK, CIMH nội tiếp được trong đường tròn
b) Chứng minh MI2 = MH.MK
c) Chứng minh EF vuông góc với MI
d) Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn (MEK) và (MFH) là N Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định
Bài 37 Cho đường tròn (O; R) và dây AC cố định không đi qua tâm B là một điểm bất
kỳ trên đường tròn (B không trùng với A và C), kẻ đường kính BK Gọi AE và CF
là các đường cao của tam giác ABC, H là giao điểm của AE và CF
a) Chứng minh AH song song với KC
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng
c) Tìm quỹ tích điểm H khi B di chuyển trên (O; R)
Bài 38 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và A là góc nhọn Các đường phân
giác của các góc A, B, C cắt (O) lần lượt tại A’, B’, C’ Đoạn B’C’ cắt AB, AC lần lượt tại M và N Gọi giao điểm của AA’ và BB’ là I
a) Chứng minh AMN là tam giác cân
b) Chứng minh I là trực tâm tam giác A’B’C’
c) Chứng minh BIMC’ là tứ giác nội tiếp
d) Cho BC cố định, A di chuyển trên cung lớn BC Tìm vị trí của A để độ dài đoạn
AI đạt giá trị lớn nhất
Trang 19Bài 39 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), AD, BE, CF là các đường
cao, H là trực tâm tam giác Kẻ đường kính AA’, gọi I là trung điểm của BC
a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh H, I, A’ thẳng hàng
c) Chứng minh DH.DA = DB.DC
d) Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm vị trí của A để tam giác AEH có diện tích lớn nhất
Bài 40 Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B Một đường thẳng qua
A cắt (O) và (O’) làn lượt tại C và D (A nằm giữa C và D) Các tiếp tuyến tại C và
D của hai đường tròn cắt nhau tại K Nối KB cắt CD tại I Kẻ IE song song với
KD (E thuộc BD)
a) Chứng minh tam giác BOO’ đồng dạng với tam giác BCD
b) Chứng minh tứ giác BCKD nội tiếp
c) Chứng minh AE là tiếp tuyến của (O; R)
d) Tìm vị trí của CD để diện tích tam giác BCD lớn nhất
Bài 41 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, điểm C cố định trên nửa đường
tròn, điểm M thuộc cung AC Hạ MH vuông góc với AB tại H Nối MB cắt CA tại
E, hạ EI vuông góc với AB tại I Gọi K là giao điểm của AC và MH Chứng minh:
a) BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp
b) AK.AC = AM2
Trang 20c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vào vị trí điểm M
d) Khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một đường tròn
cố định
Bài 42 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), góc BAC = 900 Một cung tròn BC nằm bên
trong tam giác và tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại B và C Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC,
CA, AB Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao điểm của MC, IH
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp được
b) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK
c) Chứng minh rằng tứ giác MPIQ nội tiếp được, suy ra PQ // BC
d) Gọi (O) là đường tròn đi qua M, P, K và (O’) là đường tròn đi qua M, Q, H Gọi
N là giao điểm thứ hai của (O), (O’) và D là trung điểm của BC Chứng minh M,
N, D thẳng hàng
Bài 43 Cho M là một điểm di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi H là
điểm chính giữa của cung AM Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại K, các tia AH và BM giao nhau tại S
a) Chứng minh tam giác ABS cân Từ đó chứng inh S nằm trên 1 đường tròn cố định
b) Chứng minh các tiếp tuyến tại M, H của nửa đường tròn (O) và đường thẳng SI đồng quy
c) Chứng minh KS là tiếp tuyến của (B; BA)
Trang 21d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt (B; BA) tại N Chứng minh M, N, A thẳng hàng
Bài 44 Đường tròn (O; R) Từ điểm A bất kì bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB,
AC Điểm I là điểm bất kì nằm giữa B và C Một đường thẳng qua I và vuông góc với OI cắt đường thẳng AB tại E và cắt đường thẳng AC tại F
a) Chứng minh I là trung điểm của EF
b) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp
c) Trên cung nhỏ BC lấy một điểm K, qua K kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB tại P, cắt AC tại Q Tính chu vi tam giác APQ khi OA = 2R
d) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại
M, N Tìm vị trí của A để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất
Bài 45 Gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ AB của một đường tròn Trên dây AB lấy hai
điểm D, E Hai tia CD, DE cắt đường tròn tại P, Q
a) Chứng minh DEQP nội tiếp
b) Nếu AD = EB thì DEQP là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh AC2 = DC.PC
d) Xác định vị trí tương đối của AC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADP
Bài 46 Trên đoạn thẳng AB lấy C sao cho AC > CB, vẽ hai đường tròn đường kính AC
và CB Từ H là trung điểm của AB kẻ đường vuông góc với AB cắt đường tròn đường kính AC tại M, N MC kéo dài cắt đường tròn đường kính CB tại I
Trang 22a) Tứ giác AMBN là hình gì?
b) Chứng minh MC2 = HC.AC
c) Chứng minh N, I, B thẳng hàng
d) Xác định vị trí tương đối của HI với đường tròn đường kính CB
Bài 47 Từ M nằm ngoài (O; R) kẻ 2 tiếp tuyến MB, MC với đường tròn Gọi I là trung
điểm MC, BI cắt (O) tại A Tia MA cắt đường tròn tại D
a) So sánh tam giác ICA và tam giác IBC
b) Chứng minh MI2 = IA.IB
c) Chứng minh BD song song với MC
d) Khi góc BMC = 600 thì IBDC là hình gì và tính diện tích của nó theo R
Bài 48 Cho điểm A bất kì trên đường tròn đường kính BC (khác B, C) Đường phân giác
của góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E Trên đường kéo dài của CE lấy
EG = EC
a) Tam giác BEC là tam giác gì? Tại sao?
b) Chứng minh GB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
c) Chứng minh AD.DE = BD.DC
d) Xác định vị trí của A trên đường tròn đường kính BC sao cho ACGB là hình thang vuông Khi đó ACEB là hình gì?
Bài 49 Cho (O; R), đường kính AB, dây CD vuông góc với AB (CA < CB) Hai tia BC
và DA giao nhau tại E Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E tới AB
Trang 23a) Chứng minh AHEC nội tiếp một đường tròn, tìm tâm I và bán kính của đường tròn đó
b) Gọi giao điểm của EH và CA là F Chứng minh HC = HF
c) Chứng minh HC là tiếp tuyến của (O)
d) Chứng minh BE.BC = BA.BH Tính BC.BE theo R biết góc ABC = 300
Bài 50 Cho (O; R) và dây cung AB nhỏ hơn 2R Trên tia AB lấy C sao cho AC > AB
Từ C kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn tại P, K Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh CPIK nội tiếp
b) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB Từ đó suy ra
CP2 = CB.CA
c) Gọi H là trực tâm tam giác CPK Tính PH theo R
d) Giả sử PA // CK Chứng minh tia đối của BK là phân giác của góc CBP
Bài 51 Cho (O; R) đường kính AB, dây CD cắ AB tại E khác A, B Một tiếp tuyến d của
đường tròn tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N
a) Chứng min tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM
b) Chứng minh AC.AM = AD.AN
c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt d tại I Chứng minh I là trung điểm của MB d) Xác định vị trí của CD để tam giác AMN đều
Bài 52 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH cắt
AB, AC tại E, F
Trang 24a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC
c) Đường thẳng qqua A, vuông góc EF cắt BC tại I Chứng minh I là trung điểm
BC
d) Chứng minh nếu diện tích tam giác ABC bằng 2 lần diện tích AEHF thì tam giác ABC vuông cân
Bài 53 Cho (O; R) và A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN) Gọi E là trung điểm MN, I là giao điểm thứ hai của CE với (O)
a) Chứng minh A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh góc AOC bằng góc BIC
c) Chứng minh BI song song MN
d) Xác định vị trí của AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất
Bài 54 Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy M nằm giữa A, B Đường tròn đường kính
BM cắt đường thẳng BC tại điểm thứ hai E Các đường thẳng CM, AE cắt (O) tại
H, K
a) Chứng minh AMEC nội tiếp
b) Chứng minh góc ACM bằng góc KHM
c) Chứng minh BH, EM, AC đồng quy
d) Giả sử AC < AB, tìm vị trí của M để tứ giác AHBC là hình thang cân