Giải đề toán số 4 năm học 2021 2022

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=2 3 .a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh

ĐỀ TOÁN SỐ 4 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TOÁN TOÁN HỌC

+

=

− Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

A Đường thẳng x =1 B Đường thẳng x =2 C Đường thẳng y = 2 D Đường thẳng y = 1

Câu 6 Nhận định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số bậc ba có thể có một cực trị, hai cực trị hoặc không có cực trị nào

B Hàm số bậc ba có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào

C Hàm số bậc ba có tối đa ba điểm cực trị

D Hàm số bậc ba có thể có một hoặc ba cực trị

Câu 7 Cho đồ thị hàm số

2 2

4

3 4

x y

x ax

+

=+ có 3 đường tiệm cận

Câu 9 Đồ thị hàm số

4 232

x y

x m y

Câu 20 Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) và AB⊥BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

là góc nào sau đây?

A SCA B SIA với I là trung điểm của BC

Câu 21 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong (C) Viết

phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M a f x( ; ( ) ),(aK)

Câu 23 Có tất cả 120 các chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh Số n là nghiệm của phương

trình nào sau đây?

A n n( −1)(n−2)=720 B n n( −1)(n−2)=120

C n n( +1)(n+2)=120 D n n( +1)(n+2)=720

Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA, ⊥(ABCD SA), = Gọi G là trọng a

tâm tam giác ABD, khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 2

2

a

B 2.3

Câu 25 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' Biết tam giác ABC đều cạnh a và AA'=a 3 Góc

giữa hai đường thẳng AB' và mặt phẳng (A'B'C') bằng bao nhiêu?

Câu 26 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

với đáy và SA=2 3 a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A

332

a

3

3 22

a

32

a

32

a

333

a

3106

a

V =

Câu 28 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ Hàm số đã

cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 29 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: =(3m+1)x+ + vuông góc với đường 3 m

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

Câu 31 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 45°

Thể tích V của khối chóp S.ABCD là:

A

36

a

3.9

a

3.24

a

32

a

C 4 2a 3 D

3

2 23

a

Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AB=2a 3,AD=2 a Mặt bên (SAB) là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABD là:

=+ có đồ thị là (C) Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

có phương trình là:

A x−2y− =1 0 B 2x+ + =y 1 0 C x+2y+ =1 0 D 2x− − =y 1 0

Câu 36 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh BC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) bằng

60° Biết diện tích tam giác A'BC bằng 3

2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

A

333

a

323

Câu 38 Có hai bút chì màu, các bút chì khác nhau Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu

xanh Hộp thứ hai có 8 bút chì đỏ và 4 bút chì màu xanh Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:

A 17

7

19

5.12

Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=2 ,a AD=a. Tam giác SAB là tam

giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và

(ABCD) bằng 45° Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là:

A

333

a

B

323

a

C

33

a

D 2a3

Câu 40 Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40 Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ Tính xác

suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6

Câu 41 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số y= f '( )x như hình vẽ

bên dưới Xét hàm số ( ) ( 2 )

3

g x = f x − và các mệnh đề sau:

I Hàm số g x có 3 điểm cực trị ( )

II Hàm số g x đạt cực tiểu tại ( ) x =0

III Hàm số g x đạt cực đại tại ( ) x =2

IV Hàm số g x đồng biến trên khoảng ( ) (−2;0)

V Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ( ) (−1;1 )

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Câu 42 Biết đường thẳng y=(3m−1)x+6m+3 cắt đồ thị hàm số y=x3−3x2+1 tại ba điểm phân

biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

SA=a mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông

góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

Câu 44 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°

Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm của SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

Câu 45 Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3. Gọi O là tâm của

đáy ABC d, 1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Tính d =d1+d2

y= x− x+ x − − cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có m

hoành độ là x x x x1; 2; 3; 4 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, BC Điểm I thuộc SA Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7

13 lần phần còn lại Tính tỉ số

IA k IS

Câu 48 Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6

quyển sách Toán thành một hàng ngang trên giá sách Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau

Câu 49 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng

vuông góc với mặt đáy Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45° Gọi V V1; 2 lần

lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H, K lần lượt là trung điểm của SC và SD Tính

độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số 1

2

V k V

Câu 50 Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông

để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m

A 400( )

GIẢI ĐỀ TOÁN SỐ 4 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TOÁN TOÁN HỌC

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các điểm mà đồ thị hàm số đã đi qua, các điểm cực trị của

hàm số để suy ra dấu của a, b, c

=

− Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

A Đường thẳng x =1 B Đường thẳng x =2 C Đường thẳng y = 2 D Đường thẳng y = 1

a y c

Đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− có đường TCĐ x =1.

Câu 6 Nhận định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số bậc ba có thể có một cực trị, hai cực trị hoặc không có cực trị nào

B Hàm số bậc ba có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào

C Hàm số bậc ba có tối đa ba điểm cực trị

4

3 4

x y

4

3 4

x y

−

=

− −TXĐ: D = − 2; 2 \  − 1

x ax

+

=+ có 3 đường tiệm cận

x ax

+

=+Điều kiện: 3 2 0

1 0

y x

m

m m

2 3

x y

0 3

2 3 '

0 0

" 2 0

luon dung y

Xét khối lăng trụ tổng quát là khối lăng trụ n- giác

- Tính số cạnh (cạnh đáy, cạnh bên) của khối lăng trụ n - giác theo n

- Dựa vào các đáp án để chọn đáp án đúng

Cách giải:

Xét khối lăng trụ n - giác ta có:

- Đáy là n - giác  mỗi đáy của n cạnh  2 đáy của 2n cạnh

- Có n cạnh bên

 khối lăng trụ n - giác có 2n n+ =3n cạnh

 Số cạnh của một khối lăng trụ là số chia hết cho 3

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có 2019 3

Câu 16 Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1

x y

x

=

−

A y=1;y= −1 B Không có tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

(TH) - Đường tiệm cận

Phương pháp:

Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số y= f x( )

- Đường thẳng y= y0 được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các yếu tố sau: lim 0

Câu 18 Số các giá trị của tham số m để hàm số

21

x m y

Xét phương trình hoành độ giao điểm ( ) (3 ) 1

Vậy hàm số y= f x( ) có 1 + 2 = 3 điểm cực trị

Câu 20 Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) và AB⊥BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

là góc nào sau đây?

A SCA B SIA với I là trung điểm của BC.

Câu 21 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong (C) Viết

phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M a f x( ; ( ) ),(aK)

Câu 23 Có tất cả 120 các chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh Số n là nghiệm của phương

trình nào sau đây?

n C

Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA, ⊥(ABCD SA), = Gọi G là trọng a

tâm tam giác ABD, khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 2

2

a

B 2.3

Câu 25 Cho lăng trụ đứng tam giác AB C. A'B'C' Biết tam giác ABC đều cạnh a và AA'=a 3 Góc

giữa hai đường thẳng AB' và mặt phẳng (A'B'C') bằng bao nhiêu?

Câu 26 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

với đáy và SA=2 3 a Tính thể tích V của khối chóp S.AB C.

A

332

a

3

3 22

a

32

a

32

a

333

a

3106

a

V =

Hướng dẫn giải

(TH) - Khái niệm về thể tích khối đa diện

Phương pháp:

- Giả sử chóp S.ABCD, gọi O=ACBDSO⊥(ABCD)

- Sử dụng định lí Pytago, tính chiều cao SO

Câu 28 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ Hàm số đã

cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Dựa vào BXD đạo hàm ta thấy:

Hàm số liên tục tại các điểm x= −1,x=0,x=2,x=4 (do hàm số liên tục trên ) và qua các điểm đó đạo hàm đều đổi dấu

Vậy hàm số y= f x( ) có 4 điểm cực trị

Câu 29 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y: =(3m+1)x+ + vuông góc với đường 3 m

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

Câu 31 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 45°

Thể tích V của khối chóp S.ABCD là:

A

36

a

3.9

a

3.24

a

32

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân để tính chiều cao khối chóp

  là tam giác vuông cân tại O

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên

OM = SO=OM =Vậy thể tích khối chóp là

3 2

a

C 4 2a 3 D

3

2 23

a

Hướng dẫn giải

(TH) – Khái niệm về thể tích khối đa diện

Phương pháp:

- Sử dụng công thức giải nhanh: Hình vuông cạnh a có đường chéo bằng a 2

- Tính diện tích đáy, sau đó tính thể tích lăng trụ

Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AB=2a 3,AD=2 a Mặt bên (SAB) là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABD là:

Câu 35 Cho hàm số 1

1

x y x

−

=+ có đồ thị là (C) Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với trục Oy

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm M x y( 0; 0) là:

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1− là: ) d y: = y' 0( )x− =1 2x− 1

Câu 36 Cho lăng trụ đứng AB C. A'B'C' có cạnh BC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) bằng

60° Biết diện tích tam giác A'BC bằng 3

2a Tính thể tích khối lăng trụ AB C. A'B'C'

A

333

a

323

Phương pháp:

- Trong (ABC) kẻ AM ⊥BC M( BC), xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao AA'

- Vì ABC là hình chiếu vuông góc của A BC' , sử dụng công thức

Áp dụng bổ đề: Cho hàm số f x liên tục trên ( )  a b ta có: ;   ( )

  ( )

;

;

minmax

  ( )

  ( )

2;2 2;2

 Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán

Vậy có: 21 5 5 31+ + = giá trị m thỏa mãn bài toán

Câu 38 Có hai bút chì màu, các bút chì khác nhau Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu

xanh Hộp thứ hai có 8 bút chì đỏ và 4 bút chì màu xanh Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:

A 17

7

19

5.12

Hướng dẫn giải

(TH) - Xác suất của biến cố lớp 11)

Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=2 ,a AD=a. Tam giác SAB là tam

giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và

(ABCD) bằng 45° Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là:

A

333

a

B

323

a

C

33

Câu 40 Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40 Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ Tính xác

suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6

II Hàm số g x đạt cực tiểu tại ( ) x =0

III Hàm số g x đạt cực đại tại ( ) x =2

IV Hàm số g x đồng biến trên khoảng ( ) (−2;0)

V Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ( ) (−1;1 )

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Hướng dẫn giải

(VD) - Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình (*)

Tìm m để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm A B C, , Khi đó có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng gồm 2 điểm còn lại

m

 = − thỏa mãn bài toán.  −m ( 1;0 )

Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 ,a cạnh bên SA=a 5, mặt bên

SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách

giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

Kẻ HK ⊥SBd H SBC( ;( ) )=HK

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB SH ⊥(ABCD)

Câu 44 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°

Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm của S C. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

Khi đó ta có: P là trung điểm của AD và Q là trọng tâm SMC.

Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD.

Câu 45 Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3. Gọi O là tâm của

đáy ABC d, 1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Tính d =d1+d2

- Gọi M là trung điểm của BC, xác định d A SBC( ;( ) )

- Sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác, tính d S SBC( ;( ) )

Gọi M là trung điểm của BC ta có: BC AM BC (SAM).

a d

a d

y= x− x+ x − − cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có m

hoành độ là x x x x1; 2; 3; 4 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

1?

1 x +1 x +1 x +1 x 

A 9 B 8 C 6 D 7

Hướng dẫn giải

(VD) - Cực trị của hàm số

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Đặt ẩn phụ t=x2 0, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t

- Để phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì

phương trình bậc hai ẩn t phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1

- Giả sử phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm dương phân biệt t t1, 2 suy ra 4 nghiệm x, thay vào giả thiết, sau đó áp dụng định lí Vi-ét và giải bất phương trình

Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, B C. Điểm I thuộc S A. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7

13 lần phần còn lại Tính tỉ số

IA k IS

Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AD, CD lần lượt tại P, Q

Trong (SAD) kéo dài PI cắt SD tại E

Trong (SCD) nối QE cắt SC tại J

Khi đó (IMN) cắt hình chóp theo thiết diện là IMNJE

Mặt phẳng (IMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi V1 là phần thể tích chứa đỉnh S và .

S ABCD

V =V

Khi đó ta có: 1 7

.20