Bài toán 3 bài TOÁN ĐỊNH TÍNH hệ tọa độ TRONG KHÔNG GIAN 0XYZ mức độ NHẬN BIẾT

Khái niệm về hệ trục tọa độ Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz... Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải  Sử dụng

Bài toán 3 BÀI TOÁN Đ NH TÍNH H T A Đ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ M C Đ Ị Ệ Ọ Ộ Ứ Ộ

NH T BI T Ậ Ế 3.1 Ki n th c, ph ế ứ ươ ng pháp gi i ả

1.1 Các khái niệm và tính chất

1.1.1 Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục Ox Oy Oz, , phân biệt và vuông góc từng đôi một Gốc tọa

độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy , Oyz , Ozx

1.1.2 Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. Chú ý:

i j ik jk

2 2 2

2 2

1

0



rr rr rr

1.1.3 Tọa độ véc tơ

ur ( ; ; )x y z �u x y zr( ; ; )�u xi yjr  r r zkr

1.1.4 Tọa độ điểm

M x y z( ; ; )�OMuuuurxi yj zkr r  r

1.1.5 Các công thức tọa độ cần nhớ

Cho ur ( ; ; ),a b c vr ( ; ; )a b c���



' ' '

a a

c c

� =

�

�

= ��=

�

�=

�

r r

 u vr mr a a b b c c� � ; � � ; � �

 ku( ; ; )ka kb kc

r

 uv.  u v .cos( , )u v aa�bb cc� �

rur r r urr



uv aa bb cc uv

cos( , )

� � � 

rur urr

2

2 2 2

 ur vr �uvr r  0

 ABuuur  x B x y A; B y z A; B z A

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 AB  ABuuur  x B x A 2 y B y A 2 z B z A2

1.1.6 Chú ý

Góc của 2 véc tơ

 u vr r,

là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong

0;

� �

là: sin , u vr r  1 cos 2 u vr r, �0

1.1.7 Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA kMBuuur  uuuur

Công thức tọa độ của M là :

M

M

M

x kx x

k

y ky y

k

z kz z

k

1 1 1



� 

� 

�

1.1.8 Công thức trung điểm

Nếu M là trung điểm AB thì MA MBuuur uuuur r 0

M

M

M

x

y

z

2 2 2

�

� 

� �

� 

�

�

1.1.9 Công thức trọng tâm tam giác

Nếu G là trọng tâm của DABC thì GA GB GCuuur uuur uuur   0r

G

G

G

x

y

z

3 3 3



�

� 

� �

� 

�

�

1.1.10 Công thức trọng tâm tứ diện

Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur    0r

G

G

G

x

y

z

4 4 4



�

� 

� �

� 

�

�

1.1.11 Tích có hướng 2 véc tơ

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Cho 2 véc tơ ur ( ; ; )a b c và vr ( ; ; )a b c���ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một véc tơ, kí hiệu � �� �u v,

r r

hay u vr �rcó toạ độ:

b c c a a b

u v

b c c a a b

� � ��� � � � � ���

r r

bc� � �bc ca; ac ab ba� �; �

1.1.12 Tính chất tích có hướng 2 véc tơ

 [u vr r, ]

vuông góc với ur và vr

 [u vr r, ] =u vr r sin ,(u vr r)

 [u vr r, ]= �0r u vr r,

cùng phương

1.1.13 Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ

 Diện tích hình bình hànhABCD : S AB AD,

 �uuur uuur�

 Diện tíchDABC : S AB AC

1

 �uuur uuuur�

 Ba véc tơ u v w, ,

r r ur đồng phẳng: � � � �u v wr r ur, 0

 Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bênAA : ’

V  �AB AD AA, � �

uuur uuur uuuur

 Thể tích khối tứ diệnS ABC : V AB AC SA

1

 �uuur uuuur uuur�

1.2 Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp

1.2.1 Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

Phương pháp giải

 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian

 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian

1.2.2 Xác định điểm trong không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích

Phương pháp giải

 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian

 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian

 Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt

 Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

uuur uuuur

cùng phương � ABuuur kACuuuur� ��AB ACuuur uuuur, �� 0r

 ABCD là hình bình hành �ABuuur DCuuuur

 Cho ABC có các chân E F, của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có:

AB

AC .

 

uuur uuur

,

AB

AC .

 uuur uuur

uuur uuuur uuur

không đồng phẳng

۹ ��AB AC AD, ��. 0

uuur uuuur uuur

3.2 Bài t p rèn luy n ậ ệ

Câu 1 [2H3.1-1] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1; 1 

và B2;3; 2

Véctơ uuurAB

có tọa độ là

A 1;2;3 B  1; 2;3. C 3;5;1 D 3; 4;1

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A2; 2;1 , B1; 1;3  Tọa độ của vectơ uuurAB

là

A 1; 1; 2  . B 3;3; 4 . C 3; 3; 4 . D 1;1;2.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hình nón đỉnh

17 11 17

; ;

18 9 18

� � có đường tròn đáy đi qua ba điểm A1;0;0,B0; 2;0 ,C0;0;1 Tính độ dài đường sinh l của hình nón

đã cho

A

86 6

l

194 6

l

94 6

l

5 2 6

l

Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho vectơ ar biểu diễn của các vectơ đơn vị là

a= + -i k j

Tọa độ của vectơ ar là

A 1; 2; 3 . B 2; 3;1 . C 2;1; 3 . D 1; 3;2 .

Câu 5. Cho ar   2;1;3 , br 1;2;m Vectơ ar vuông góc với br khi

A m 1 B m  1 C m 2 D m 0

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A0; 0; 3

, B0; 0; 1 ,

1; 0; 1

C  , D0; 1; 1  Mệnh đề nào dưới đây sai?

A ABBD. B ABBC. C ABAC. D AB CD .

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho các vectơ ar 1; 1; 2 , br 3;0; 1  và cr   2;5;1 Toạ độ của

vectơ ur r r r  a b c là:

A ur   6;6;0. B ur 6; 6;0  C ur 6;0; 6 . D ur 0;6; 6 

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ ar   1;1;0 ; br1;1;0 và cr1;1;1.

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A crbr. B cr  3

C ar br. D a  2

r

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm A4;2;1 và điểm B2;0;5 Tọa độ vectơ uuurAB là

A 2;2; 4 . B  2; 2; 4 . C  1; 1;2. D 1;1; 2 .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;0;3, B2;3; 4 , C3;1; 2

Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A D2; 4; 5 . B D4; 2;9 C D6;2; 3 . D D 4; 2;9.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M2;1; 2  và N4; 5;1  Tìm

độ dài đoạn thẳng MN

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M3;0;0, N0;0;4 Tính độ

dài đoạn thẳng MN

A MN  1 B MN  7 C MN  5 D MN 10

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ ar2; 1;3 , br1;3; 2  Tìm

tọa độ của vectơ c ar r 2br.

A cr0; 7;7 . B cr0;7;7. C cr0; 7; 7  . D cr4; 7;7 .

Câu 14. Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ ar (2;1; 1 ); br(1; ;3 m) Tìm m để  a br r;  �90

A m 5. B m5. C m1. D m 2

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vec tơ ar1; 2; 0  và br2; 3; 1.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A .a br r 8. B 2ar 2; 4; 0  . C a br r   1; 1; 1  D br 14

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OMuuuur2r rj k , ONuuur2rj3ir Tọa độ của vectơ MNuuuur là:

A 2;1;1 . B 1;1;2  C 3;0;1. D 3;0; 1 .

Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho điểm M1;2;3 Hình chiếu vuông góc của M trên

Oxz là điểm nào sau đây.

A K0;2;3 B H1;2;0 C F0;2;0 D E1;0;3

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ar   5; 2; 3 và br1; 3; 2  Tìm

tọa độ của vectơ

ur ar br

A

11 35 5

; ;

12 12 2

r

11 19 5

; ;

12 12 2

r

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

C

29 35 1

; ;

12 12 2

r

29 19 1

; ;

12 12 2

r

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A2;7;3 và B4;1;5 Tính độ

dài của đoạn AB

A AB6 2. B AB76. C AB2. D AB2 19.

Câu 20. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;3; 2, B2; 1;5  và

3; 2; 1

C  Gọi n ��AB AC, ��

r uuur uuur

là tính có hướng của hai vectơ uuurAB

và ACuuur Tìm tọa độ

vectơ nr

A nr15;9;7. B nr9;3; 9 . C nr3; 9;9  . D nr9;7;15.

Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 1; 2  và B2; 1; 1 Độ dài đoạn AB

bằng

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ ar 3; 2;1 , br  1;1; 2 ,

2;1; 3

cr  , ur 11; 6;5  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A ur3ar2b cr r . B ur2ar 3b cr r. C ur 2ar 3b cr r. D ur 3ar2br2cr.

Câu 23 Trong không gian Oxyz, cho ar   3; 2;1 và điểm A4;6; 3  Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn

AB a

uuur r

A 7;4; 4 . B 1;8; 2 . C  7; 4;4. D  1; 8;2 .

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ar  2ri 3r rj k , br2; 3; 7  Tìm tọa độ

của rx2ar3br

A rx2; 1; 19 . B rx  2; 3; 19. C rx   2; 3; 19 D rx   2; 1; 19 .

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ urx; 2;1 và vr 1; 1;2x Tính tích vô hướng

của u

r

và v

r

A x 2 B 3x 2 C 3x 2 D 2 x 

Câu 26 Cho các vectơ ar1; 2;3; br  2; 4;1; cr  1;3; 4 Vectơ vr2ar 3br 5cr có tọa độ là

A vr7;3; 23. B vr23;7;3. C vr7;23;3 . D vr3;7;23.

Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho ar1; 2; 3 

; br  2; 2;0

Tọa độ vectơ cr2ar3br là:

A cr4; 1; 3  . B cr8; 2; 6  . C cr2;1;3. D cr4; 2; 6  .

Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M2; 1;2  Tính độ dài đoạn thẳng OM

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A OM  5. B OM  9 C OM  3. D OM  3

Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ ur

biết ur2ir3rj5kr.

A ur5; 3; 2  . B ur2; 3;5  . C ur2;5; 3  . D ur  3;5; 2 .

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ar 3; 2;1, br  2;0;1 Độ dài a br r là:

Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho A1; 0;1 và B1; 1; 2  Tọa độ vectơ uuurAB là

A 2; 1;1 . B 0; 1; 1  . C 2;1; 1 . D 0; 1; 3 .

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;3

và B5;2;0

Khi đó:

A uuurAB 5

B uuurAB 2 3

C uuurAB  61

D uuurAB 3

Câu 33 Cho các vectơ ur  1; 2;3, vr  1; 2; 3  Tính độ dài của vectơ w uur r 2vr

A wur  26

B wur  126

C wur  85

D wur  185

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A2; 4;1, B1;1; 6 ,

0; 2;3

C  Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

A

;1;

� �. B G1;3; 2 . C G ���13; 1; 23���. D G ���1 52 2; ;52���.

Câu 35. Trong không gian Oxyz , với hệ tọa độ O i j k; ; ;r r r

cho OAuuur  2ir 5kr Tìm tọa độ

điểm A

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M1; 2;3

; N3;4;7

Tọa

độ của véc-tơ MNuuuur là

A 4;6;10

. B 2;3;5

. C 2;2;4

. D   2; 2; 4.

Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba véc-tơ ar1; 2;3

, br2;0;1, cr1;0;1 Tọa độ

của véc-tơ n a br  r r 2cr3ri là:

A nr0; 2;6

B nr6; 2;6 . C nr6;2; 6  . D nr6; 2;6

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;3; 1 ,  B  6; 2;10 Tọa độ

của véc tơ uuurAB

là:

A  6; 2;10. B 1; 2; 4 . C 6;2; 10  . D 1; 2; 4  .

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 39. Cho tam giác ABC , biết A1; 2; 4  , B0;2;5, C5;6;3 Tọa độ trọng tâm G của

tam giác ABC là

A G2; 2; 4 B G4;2; 2 C G3;3;6 D G6;3;3

Câu 40. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A5;3; 1  và B1; 1;9  Tọa độ trung điểm I

của đoạn ABlà

A I3;1;4 B.I2; 2; 5 . C I2;6; 10 . D I  1; 3; 5.

Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 3; 4

, B6; 2; 2

Tìm tọa độ véctơ

AB

uuur

A uuurAB4;3; 4 . B uuurAB4; 1; 2   C uuurAB  2;3;4. D uuurAB4; 1; 4 .

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ ar2; 3; 1   và br  1;0; 4.

Tìm tọa độ của véctơ ur4ar5br.

A ur13;12; 24 . B ur13; 12; 24   C ur3; 12;16 . D ur13; 12; 24  .

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ ar   1; 2;3 Tìm tọa độ của

véctơ br2; ;y z , biết rằng vectơ br cùng phương với vectơ ar.

A br2; 4; 6  . B br2; 4;6 . C br2;4;6. D br2; 3;3 .

Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai vectơ ar   4;5; 3 , br2; 2;1 .

Tìm tọa độ của vectơ x ar r 2br.

A xr0; 1;1  . B xr0;1; 1 . C xr   8;9;1. D xr 2;3; 2  .

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A3;2;1

, B1;3;2; C2;4; 3 .

Tích vô hướng AB AC.

uuur uuur

là

Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1;2;4

, B2;4; 1  Tìm tọa độ trọng tâm

G của tam giác OAB

A G6;3;3. B G2;1;1. C G2;1;1. D G1; 2;1.

Câu 47 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ar  1; 2;3 và br2; 1; 1   Khẳng định nào sau

đây đúng?

A � �   � �a br r,  5; 7; 3

.

B Vectơ ar không cùng phương với vectơ b

r

C. Vectơ a

r

không vuông góc với vectơ b

r

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

D ar  14

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho ba điểmA1;2;1, B2;1;3, C0;3; 2 Tìm tọa độ

trọng tâm G của tam giác ABC

A

1 2 2

; ;

3 3 3

G

B G3;6;6 C G1;2;2 D G0;6;6

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ O i j k; ; ;r r r

, cho hai vectơ ar2; 1;4  và b ir  r 3kr.

Tính a br r

A .a br r 11. B .a br r 13. C .a br r5. D .a br r 10.

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho A1;1; 3 , B3; 1;1  Gọi M là trung điểm của AB ,

đoạn OM có độ dài bằng

Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véctơ ar 1; 2;1, br  2;3; 4,

0;1; 2

cr , dur4;2;0 Biết durxa yb zcr r r Tổng x y z  là

Câu 52. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;2; 1 , B2;3; 1  Tìm tọa độ điểm C

sao cho uuurAB3uuurAC

A

4 1 1

; ;

3 3 3

4 7

; ; 1

3 3

4 1 1

; ;

3 3 3

4 1 1

; ;

3 3 3

Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm (1;2; 1)A  , ( 3;4;3)B  , (3;1; 3)C 

Số điểm D sao cho 4 điểm , , , A B C D là 4 đỉnh của một hình bình hành là.

BẢNG ĐÁP ÁN

51.A 52.B 53.A

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489