BÀI tập tự LUẬN HÌNH học ôn tập HK1 11

Tìm thiết diện của hình chóp với OGE.. Hai mặt phẳng SAC và SBD có điểm chung thứ nhất là S , điểm chung thứ 2 là O nên giao tuyến của chúng là SO.. * Hai mặt phẳng SAD và SBC

Câu 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ABCD tâm O Gọi G là trọng tâm

của tam giác SAB và M là trung điểm của AB Lấy E trong đoạn AD sao cho AD3AE.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD, SAD và SBC.

2. Chứng minh rằng GE PSCD

3. Tìm giao điểm của OGE và SB

4. Tìm thiết diện của hình chóp với OGE

Lời giải

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAC

và SBD

, SAD

và SBC

.

* Theo giả thiết, O AC� mà AC�SAC

nên O�SAC

Tương tự, O BD� mà BD�SBD nên O�SBD.

Hai mặt phẳng SAC và SBD có điểm chung thứ nhất là S , điểm chung thứ 2 là O nên

giao tuyến của chúng là SO

* Hai mặt phẳng SAD

và SBC

có điểm chung thứ nhất là S và có 2 đường thẳng AD,

BC lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà AD P BC  giao tuyến của hai mặt phẳng là đường

thẳng đi qua S và song song với AD

2 Chứng minh rằng GE PSCD.

Trong mặt phẳng ABCD

kẻ EF P DC và trong mặt phẳng SBC

kẻ FH P SC.

Ta có:

1 3

BC  AD 



1 3

BS BC 



2 3

SH

SB 

Gọi K là trung điểm cạnh AB thì

2 3

SK  SB 

HG P AB HG P EF  4 điểm G , H,

E, F đồng phẳng

Mặt phẳng GHFE

có FH P SC và EF P DC nên GHFE P SDC GE PSCD

.

3 Tìm giao điểm của OGE

và SB

Trong mặt phẳng ABCD

kéo dài EO cắt BC tại P

Gọi L là trọng tâm tam giác SCD ; M, I lần lượt là trung điểm cạnh SC , CD

Dễ thấy GL P KI GL P ED  G , L, E, D đồng phẳng

Mặt phẳng GLDE

cắt mặt phẳng SBC

theo giao tuyến Mt đi qua M và song song với

ED

Trong mặt phẳng GLDE

, GE cắt Mt tại N

Trong mặt phẳng SBC

nối N , P cắt SB tại Q thì Q là giao điểm của OGE

và SB

4 Tìm thiết diện của hình chóp với OGE

.

Trong mặt phẳng SAB

nối Q , G cắt SA tại R Thiết diện của hình chóp với OGE

là tứ giác EPQR Câu 2. Trong không gian cho hình chóp S ABCD. có ABCD là hình bình hành tâm O Các điểm M

là trung điểm của BC Điểm P thuộc cạnh SA sao cho AP2PS.

1. Tìm giao tuyến của SAD

và SBC

2. Tìm giao điểm của PM và SBD

Chứng minh: SC // DMP

3 Mặt phẳng   đi qua P và song song với các đường thẳng AD và SB Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   Thiết diện là hình gì?

Lời giải

1

S�SAD �SBC

AD� SAD , SB�SBC

//

SAD SBC Sx // AD // BC

�

�

�

�

2 +) Chọn SAM �PM

Trên ABCD

gọi J BD�AM

 

J AM SAM

J SAM SBD

J BD SBD

Lại có S�SAM � SBD

SJ  SAM SBD

Trên SAM

gọi NSJ�PM



�

+) Trên ABCD

gọi EMD�AC Xét ACD có E là giao của hai đường trung tuyến CO và DM nên E là trọng tâm ACD

CE

AC

Xét SAC có:

1

//

3

SP CE

PE SC

SA CA  �

Ta có: PE�DMP, SC �DMP PE // SC �SC // DMP

3

P�SAD �

AD� SAD

 

//

AD 

SAD   PQ // AD

�

�

�

   

P�SAB �

 

SB� SAB SB //   SAB   PF // SB

�

�

�

   

F�ABCD �

AD� ABCD

 

//

SB 

ABCD   FK // AD

�

�

�

SCD  � QK

Do đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   là tứ giác PQKF

Xét tứ giác PQKF có PQ FK (vì cùng song song với AD ) nên PQKF // là hình thang Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   là hình thang PQKF

Câu 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang có cạnh đáy lớn AB Điểm M nằm trên

cạnh SA ( M không trùng với , S A ), điểm N nằm trên cạnh BC ( N không trùng với , B C ).

Mặt phẳng   đi qua M đồng thời song song với SD và BC

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB

và MCD

2. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và SBD

3.Tìm thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi   .

Lời giải

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB

và MCD

.

Ta có

   

 ,   //

AB CD

�

�

�

�

� �MCD �SAB ME AB CD E SB// // , � 

2. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và SBD

.

Ta có S�SAN �SBD

(1)

Trong mặt phẳng ABCD,

gọi AN�BD I .

 

 

, ,

�

� �

� � �I SAN �SBD (2).

Từ (1) và (2) SAN �SBD SI.

Trong mặt phẳng SAN,

gọi MN�SI K.

  ,

K MN

K SI SI SBD

�

�

� �K MN�SBD .

Vậy K MN�SBD

3 Tìm thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi   .

Ta có

   

 , // 





�

� �   �SAD MP SD P AD// , � 

(3)

Lại có

   

 , // 





�

�

�

� �   � ABCD PQ BC Q AB// , �  (4).

Mặt khác

   

   





�

�

Từ (3), (4) và (5) có thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   là tam giác

MPQ

Câu 4. Cho 4 điểm , , , O A B C không đồng phẳng Trên các đường thẳng OA OC lần lượt lấy các,

điểm M K khác , O

sao cho đường thẳng AC cắt MK tại J.

1 Tìm giao tuyến của KMBvà ABC.

2 Trên đường thẳng OB lấy điểm N sao cho BC cắt NK tại I , AB cắt MN tại H Chứng minh rằng , , I J K thẳng hàng.

Lời giải

1 Ta có: J MK�AC� �J KMB � ABC

Vậy BJ KMB � ABC

2 Ta có: I NK�BC� �I MNK �ABC

   

   

, ,

I J K

� thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng MNK

và ABC

Vậy , , I J K thẳng hàng.

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi H I K L, , , lần lượt là

trung điểm của SA SC OB SD, , , .

1 Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng SAC

và SBD

;HIK

và SBD

2 Chứng minh OL/ /HIK .

3. Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD. khi cắt bởi mặt phẳng HIK

Lời giải

1. +) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAC

và SBD

.

Ta cóS�SAB � SCD

(1)

Lại có

, ,

O BD BD SBD O SBD

O AC AC SAC O SAC

�

�

(2)

Từ (1) và (2) suy ra SAB � SCD SO.

+) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng HIK và SBD.

Ta có

 

,

K HIK

K BD BD SBD K SBD

�

�

�

Trong mặt phẳng SAC,

gọi SO�HI J.

Ta có

, ,

J SO SO SBD J SBD

J IK IK HIK J HIK

�

�

(4)

Từ (3) và (4) suy ra HIK �SBD KJ .

2. Chứng minh OL/ /HIK .

Ta có O là trung điểm của BD; L là trung điểm của SD�OL SB/ / (5)

Lại có HI là đường trung bình của SAC � Jlà trung điểm của SO

Mặt khác K là trung điểm của OB

/ /

Từ (5) và (6) suy ra OL/ /KJ KJ; �HIK�OL/ /HIK (đpcm).

3. Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD. khi cắt bởi mặt phẳng HIK

.

Trong mặt phẳng SBD,

gọi KJ�SD P .

Ta có

   

 ;      

/ /

K HIK ABCD

HI HIK AC ABCD HIK ABCD d

HI AC

�

�



�

�

Gọi d cắt AB BC, lần lượt tại M N,

Ta có HIK � ABCD MN

HIK � SBC NI

HIK �SCD IP

HIK �SDA PH

HIK � SAB HM

Vậy thiết diện của hình chóp S ABCD. khi cắt bởi mặt phẳng HIK

là ngũ giác MNIPH

Câu 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB Gọi M , N là hai điểm

trên đoạn SB , SD sao cho MN không song song với BD.

1 Tìm giao tuyến của SAC và SBD .

2. Tìm giao điểm của SA và CMN

Lời giải

1 Tìm giao tuyến của SAC và SBD.

    (1)

g

gTrong mp ABCD , gọi O AC�BD

 

      (2)

�

�

Từ     1 , 2 � SAC � SBD SO

2 Tìm giao điểm của SA và CMN

.

    (3)

g

gTrong mp SBD, gọi ESO�MN

 

      (4)

�

Từ     3 , 4 � SAC �CMN CE

gTrong mp SAC

, gọi I SA CE�

I SA

�

�



Câu 7. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N lần lượt là trung

điểm của SA , CD Gọi E là giao điểm của AD và BN

1 Tìm giao tuyến của SAB

và SCD

; SAC

và SBD

2 Chứng minh: OMN // SBC

, từ đó suy ra SB//OMN

3 Từ giao điểm F của SD và BMN

Chứng minh: SF 2FD

4 Gọi G là giao điểm của AN và BD Chứng minh GF//SAB

Lời giải

1 Tìm giao tuyến của SAB

và SCD

; SAC

và SBD

+) Giao tuyến của SAB

và SCD

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Vì

 

  //

�

�

�

�

�

�

�

AB CD �SAB �SCD a

là đường thẳng đi qua S và song song với AB CD, +) Giao tuyến của SAC

và SBD

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Vì

O AC SAC O SAC

O

O BD SBD O SBD

�

�

�

Suy ra SAC � SBD SO.

2 Chứng minh: OMN // SBC

, từ đó suy ra SB//OMN

Ta có

 

�

�

�

Ta lại có

 

�

�

�

Từ (1) và (2) suy ra OMN // SBC � SBC �SB//OMN

3 Từ giao điểm F của SD và BMN

Chứng minh: SF 2FD

Trong tam giác ABE , vì N là trung điểm của CD và AB DN//

Nên D là trung điểm của BE

Suy ra F là trọng tâm của tam giácSAE �SF 2FD.

4 Gọi G là giao điểm của AN và BD Chứng minh GF//SAB

Ta có G là trọng tâm của tam giác ACD � DG2GO, mà

1 2

DO DB

1 3

DG DB

�

Trong tam giác SBD có

1

1 3

�

�

�

�

DG DB

GF SB

DF DS

//

//

�

�

� �

�

GF SB

GF SAB

SB SAB

Câu 8. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi G là trọng tâm tam giác SAB

.Lấy điểm M thuộc cạnh ADsao choAD 3 AM .

1. Tìm giao tuyến của SAB

vàGCD

2. Tìm giao điểm I của CD vàSGM.

3. Chứng minh:MG / / SCD

Lời giải

1 Tìm giao tuyến của SAB

và GCD

/ / ( )

( ) ( ) ', '/ / / /

G SAB GCD

AB SAB CD GCD

AB CD gt

SAB GCD Gx Gx AB CD

�

�

�

�



2 Tìm giao điểm I của CD và SGM

Gọi N là trung điểm của AB

TrongABCD

, gọi I MN�CD� I CD�(SGM)

3 Chứng minh:MG / / SCD .

G là trọng tâm của SAB

1 (1) 3

NG

NS 

�

Gọi P là trung điểm của CD

/ /

2 3 1

(2)

3

(1),(2)

/ /

MD NP

IM MD

IN NP

NM

NI

NG NM

NS NI

MG SI

�

�



�



�

Ta có:

( ) ( )

/ / ( )

/ /( )

MG SCD

SI SCD

MG SI cmt

MG SCD

�

�

� �

�

�

�