Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng tính đơn điệu giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số để khảo sát nghiệm của phương trình và bất phương trình

sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem

Trang 1

sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem

Sử dụng tính đơn điệu - gtln - gtnn của hàm số ĐỂ

đ khảo sát nghiệm của phương trình - bất phương trình

*****

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.Tớnh đơn điệu của hàm số

(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trờn D)

Định lý Bolzano – Cauchy :Nếu hàm số f x  liờn tục trờn a b;  và f a f b     0 thỡ

Tổng cỏc hàm đồng biến ( nghịch biến ) trờn D là đồng biến (nghịch biến ) trờn D

Tớch của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) trờn D là một hàm đồng biến (nghịch biến ) trờn D

2 Giỏ trị lớn nhất (GTLN) và giỏ trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số

Nhi ■ u event thỳ v ■ , event ki ■ m ti ■ n thi ■ t th ■ c 123doc luụn luụn t ■ o c ■ i gia t ■ ng thu nh ■ p online cho t ■ t c ■ cỏc thành viờn c ■ a website.

123doc s ■ u m ■ t kho th ■ vi ■ n kh ■ ng l ■ i h ■ n 2.000.000 tài li ■ t c ■ nh v ■ c: tài chớnh tớn d ■ ng, cụng ngh ■ thụng tin, ngo ■ i ng ■ , Khỏch hàng cú th ■ dàng tra c ■ u tài li ■ u m ■ t cỏch chớnh xỏc, nhanh chúng.

Mang l ■ i tr ■ nghi ■ m m ■ i m ■ cho ng ■■ i dựng, cụng ngh ■ hi ■ n th ■ hi ■ ■■ ■ n online khụng khỏc gỡ so v ■ i b ■ n g ■ c B ■ n cú th ■ phúng to, thu nh ■ tựy ý.

Luụn h ■■ ng t ■ i là website d ■ ■■ u chia s ■ và mua bỏn tài li ■ u hàng ■■ u Vi ■ t Nam Tỏc phong chuyờn nghi ■ p, hoàn h ■ o, cao tớnh trỏch nhi ■ m ■ ng ng ■■ i dựng M ■ c tiờu hàng ■■ ■ a 123doc.net tr ■ thành th ■ vi ■ n tài li ■ u online l ■ n nh ■ t Vi ■ t Nam, cung c ■ p nh ■ ng tài li ■■■ c khụng th ■ tỡm th ■ y trờn th ■ ■■ ng ngo ■ i tr ■ 123doc.net

123doc cam k ■ t s ■ mang l ■ i nh ■ ng quy ■ n l ■ t nh ■ t cho ng ■■ i dựng Khi khỏch hàng tr ■ thành thành viờn c ■ a 123doc và n ■ p ti ■ n vào tài kho ■ n c ■ a 123doc, b ■ n s ■ ■■■ c h ng nh ■ ng quy ■ n l ■ i sau n ■ p ti ■ n trờn website

Th ■ a thu ■ n s ■ ng 1 CH ■ P NH ■ N CÁC ■ I ■ U KHO ■ N TH ■ A THU ■ N Chào m ■ ng b ■■■ ■ i 123doc.

Sau khi nh ■ n xỏc nh ■ n t ■ ■■ ng h ■ th ■ ng s ■ chuy ■ n sang ph ■ n thụng tin xỏc minh tài kho ■ n email b ■ ■■ ng ký v ■ i 123doc.netLink xỏc th ■ c s ■ ■■■ c g ■ i v ■ ■■ a ch ■ email b ■ ■■ ng ky, b ■ n vui lũng ■■ ng nh ■ p email c ■ a mỡnh và click vào link 123doc ■ ó g ■ i

Th ■ a thu ■ n s ■ ng 1 CH ■ P NH ■ N CÁC ■ I ■ U KHO ■ N TH ■ A THU ■ N Chào m ■ ng b ■■■ ■ i 123doc.net! Chỳng tụi cung c ■ p D ■ ch V ■ (nh ■ ■■■ c mụ t ■■■ i õy) cho b ■ n, tựy thu ■ c vào cỏc “ ■ i ■ u Kho ■ n Th ■ a Thu ■ n v ■ ng D ■ ch V ■ ” sau ■ õy (sau ■ õy ■■■ c g ■ t T ■ ng th ■ i ■ m, chỳng tụi cú th ■ p nh ■ KTTSDDV theo quy ■ t

Xu ■ t phỏt t ■ ý t ng t ■ o c ■ ng ng ki ■ m ti ■ n online b ■ ng tài li ■ u hi ■ u qu ■ nh ■ t, uy tớn cao nh ■ t Mong mu ■ n mang l ■ i cho c ■ ng ng xó h ■ i m ■ t ngu ■ n tài nguyờn tri th ■ c quý bỏu, phong phỳ, ■ a d ■ ng, giàu giỏ tr ■ ■■ ng th ■ i mong mu ■ n t ■ i ■ u ki ■ n cho cho cỏc users cú thờm thu nh ■ p Chớnh vỡ v ■ y 123doc.net ra ■■ ■ m ■ ỏp ■ ng nhu c ■ u chia s ■ tài li ■ u ch ■■■ ng và ki ■ m ti ■ n online.

Sau h ■ n m ■ t n ■ m ra ■■ i, 123doc ■ ó t ■ ng b ■■ c kh ■ ng nh v ■ trớ c ■ a mỡnh trong l ■ nh v ■ c tài li ■ u và kinh doanh online Tớnh ■■ n th ■ i ■ m thỏng 5/2014; 123doc v ■■ ■ c 100.000 l ■■ t truy c ■ p m ■ i ngày, s ■ u 2.000.000 thành viờn ■■ ng ký, l ■ t vào top 200 cỏc website ph ■ bi ■ n nh ■ i Vi ■ t Nam, t ■ tỡm ki ■ m thu ■ c top 3 Google Nh ■■■■ c danh hi ■ u do c ■ ng ng bỡnh ch ■ n là website ki ■ m ti ■ n online hi ■ u qu ■ và uy tớn nh ■ Nhi ■ u event thỳ v ■ , event ki ■ m ti ■ n thi ■ t th ■ c 123doc luụn luụn t ■ o c ■ i gia t ■ ng thu nh ■ p online cho t ■ t c ■ cỏc thành viờn c ■ a website.

Trang 2

* Nếu hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn ( ) a b thì ta có thể tìm GTLN ; 

và GTNN theo các bước sau :

không xác định

3 Các dạng toán liên quan

3.1 Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng

minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng

lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra

phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu khi

Trang 3

phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp

Giải

Cách 1: Dùng lượng liên hợp

Trang 4

Mà f(9) 14  nên x 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3 2 x   1 3 2 x  2  3 2 x  3  0 (1)

1

;0)32(

2)

22(

2)

12(

2)

x x

x 

Trang 5

Trang 6

x   Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất Cách 2:

Viết lại phương trình dưới dạng:

Trang 7

Ví dụ 12: Giải phương trình: log 7x log 32  x (1)

Trang 8

t t

f t       

1 5 2

t t

Trang 9

Vấn đề đặt ra là giải phương trình còn lại sẽ rất phức tạp

Vì vậy ta sẽ dùng tính đơn điệu của hàm số:

Ví dụ 17: Cho các số dương c c c1, 2, 3 thỏa mãn c1c2 c3 Chứng minh rằng phương

Trang 10

Nhận xét: Một điều thú vị nữa khi thay c1 sin ;A c2  sin ;B c3 sinC trong đó A B C, ,

là các góc của tam giác nhọn Với giả thiết ABC Ta có các bài toán sau:

BT: Cho tam giác ABC nhọn , với ABC

a/ Tìm GTNN của hàm số   sin sin 1

Ví dụ 19: Giải các bất phương trình sau: a/ 4 15 x 4 2 x 1 (*)

Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ phương

trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn

Trang 11

7x 7  7x 6  2 49x  7x 42  181 14  x (*) Giải

Trang 12

Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình trên, đối với những ví

dụ có hai cách giải thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp và

có bài thấy thiếu sự tự nhiên, không có “Manh mối” để tìm lời giải Đây là dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc , các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh không bối rối trước các bài toán lạ

Trang 13

2

x







Bảng biến thiên x  0 1 2 

f x + 0 - - 0 +

0 

f x  -2

 -4

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là  4 m  2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2( m  2) x  5 m   4 0 (1) có hai nghiệm thực phân biệt x x1; 2 thoả mãnx1   1 x2 Nhận xét : Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai nên việc sử dụng đinh lý này học sinh phải chứng minh.Vì vậy ta áp dụng phương pháp hàm số là phù hợp Giải Biến đổi phương trình như sau  

2 2 4 4 4 4 2 5 2 5 x x x x m x m x            (Do 5 2 x   không là nghiệm của (1)) Xét hàm số 2 4 4 ( ) 2 5 x x f x x      Ta có   2 ' 2 7 2 10 28 ( ) 0 2 2 5 x x x f x x x              Bảng biến thiên:

x - -7 5

2  -1 2 +

f x - 0 + + + 0 -

+ +

f x  0

9

-3

- -

Nhận xét :

Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau

Trang 14

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số,

rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là  và dẫn đến việc kết luận sai

lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt : 2 x 1 xm

Gi¶i:

Trang 15

x

m x

11

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

10 -1

1

Trang 16

Ví dụ 7 Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

Trang 17

2 0

 0 +  + +

9 2







Trang 18

Nhận xét:

chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số ( ) f x

Ví dụ 9: Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất

g x

x

   

 1 3

Trang 19

3 2

1

x





    



2

Bảng biến thiên:

x - 1

f x + 0 -

f x  - -12

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực khi và chỉ khi 3 3 2 2 12 12 m m m m                 Ví dụ 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 1x2 2 x32x2 1 m trên 1;1 2        Giải: Xét hàm số f x  3 1 x2  2 x3  2x2  1 trên 1;1 2        Ta có 2 ' 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 ( ) 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x                     Xét hàm số   3 2 2 1 g x x  x  trên 1;1 2        Ta có   2 3 4 0 0 g x  x  x x Ta có bảng biến thiên x 0 1

g x  + 0 -

g x 

1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( ) 1, 1;1 2 g x    x     và 1;1 2 x         ta có 3( 1) 4 3 4 3.1 4 5 3 4 7 2 x 2 x           Suy ra 2 3 2 3 3 4 1 0, ;1 2 1 2 1 x x x x x               Do đó f x  0 x 0 Bảng biến thiên:

x 0 1

f x + 0 -

1 2



3 2

1 2



1 2



Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	1,64 MB