PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO Th.s.Đặng Việt Đông

– Tìm toạ độ một điểm  : Bằng cách giải hệ phương trình với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại – Tìm một vtcp của :  Cách 2: Tìm hai điểm thuộc , r

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO

A - LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vec tơ chỉ phương

:

Nếu đều khác không Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:

Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là:

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian cho hai đường thẳng

Vtcp đi qua và có vtcp đi qua

 cùng phương:

 không cùng phương:

d chéo d’ hệ phương trình vô nghiệm

d cắt d’ hệ phương trình có 1 nghiệm

1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian cho hai đường thẳng

Vtcp đi qua và có vtcp đi qua









3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Lập ptmp đi qua và vuông góc với d

Tìm tọa độ giao điểm của mp và

5 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc và một VTCP của nó.

hoặc

Dạng 2 Đường thẳng đi qua và :

 Đường thẳng đi qua (hoặc ) có vtcp

 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng

Dạng 3 Đường thẳng qua và song song

 Đường thẳng đi qua và có vtcp

 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng

Dạng 4 Đường thẳng qua và vuông góc mp

 Đường thẳng đi qua và có vtcp

 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng

Dạng 5 Đường thẳng qua và vuông góc 2 đường thẳng và :

 Đường thẳng đi qua và có vtcp

 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng

Dạng 6 Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng :

– Tìm toạ độ một điểm  : Bằng cách giải hệ phương trình

(với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại)

– Tìm một vtcp của :

 Cách 2: Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

Dạng 7 Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng

:

 Vì  ,  nên một vtcp của là:

 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng

Dạng 8 Đường thẳng đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng

 Cách 1: Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng 

Ta có

Khi đó đường thẳng là đường thẳng đi qua (trở về dạng 2)

 Cách 2: Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với ; là mặt phẳng đi qua

và chứa

Khi đó (trở về dạng 6).

 Cách 3: Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với

- Tìm điểm

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (quay về dạng 2).

Dạng 9 Đường thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc và cắt đường thẳng

 Tìm giao điểm của và

 Vì

Dạng 10 Đường thẳng qua và cắt :

 với mp chứa và ; mp chứa và (trở về dạng 6)

Dạng 11 Đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng :

 Tìm các giao điểm Khi đó chính là đường thẳng (về dạng

2).

- Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với

- Viết phương trình mặt phẳng chứa và

- Khi đó (trở về dạng 6)

 Cách 3:

- Viết phương trình tham số của đường thẳng (nếu chưa có)

- Tìm điểm ( có tọa độ theo tham số ) thỏa mãn

Giải phương trình tìm được

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

- Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với

- Đường thẳng là giao tuyến của và (trở về dạng 6).

 Cách 2:

- Xác định là giao điểm của và

- Lấy điểm trên Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với

- Tìm tọa độ điểm là giao điểm của với

- Đường thẳng chính là đường thẳng (trở về dạng 2).

Đặc biệt: Nếu song song thì là đường thẳng đi qua và song song với

Dạng 16 Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

 Cách 1:

- Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tham số và xác định lần lượt là

- Lấy lần lượt thuộc (tọa độ phụ thuộc vào tham số)

- Giả sử là đường vuông góc chung Khi đó:

Giải hệ phương trình tìm ra giá trị của tham số Từ đó tìm được

- Viết phương trình đường vuông góc chung

 Cách 2:

- Vì d  d1 và d  d2 nên một vtcp của là:

- Lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và , bằng cách:

+ Lấy một điểm trên .+ Một vtpt của là:

- Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và

Khi đó (trở về dạng 6).

 Cách 3:

- Vì và nên một vtcp của là:

- Lập phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và , bằng cách:

+ Lấy một điểm trên .+ Một vtpt của là:

- Tìm Khi đó viết phương trình qua có vtcp

CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Dạng 1 Tìm là hình chiếu của trên đường thẳng

 Cách 1:

- Khi đó: tọa độ là nghiệm của hpt: và

 Cách 2:

- Đưa về dạng tham số Điểm được xác định bởi:

Dạng 2 Điểm đối xứng với qua đường thẳng :

 Cách 1:

- Tìm hình chiếu của trên

- Xác định điểm sao cho là trung điểm của đoạn (công thức trung điếm)

 Cách 2:

- Gọi là trung điểm của đoạn Tính toạ độ điểm theo toạ độ của (công thức trung điếm)

- Khi đó toạ độ của điểm được xác định bởi:

Dạng 3 Đường thẳng đối xứng đường thẳng qua mặt phẳng

 TH1 :

- Xác định là giao điểm của và

- Lấy điểm ( bất kỳ) Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua

- Đường thẳng chính là đường thẳng

 TH2 :

- Lấy điểm ( bất kỳ) Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua

- Đường thẳng chính là đường thẳng qua và song song

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

và Phương trình nào không phải đườngthẳng

Câu 2: Cho đường thẳng và mp (P) : Tìm phương trình đường thẳng

nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d)

Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt vàvuông góc với đường thẳng là

Viết phương trình đường thẳng nằm trong sao cho vuônggóc với và khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

trên sao cho mọi điểm của cách đều 2 điểm có phương trình là

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng

Gọi là giao điểm của Tìm sao cho vuông gócvới và

Viết phương trình của đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng và tạovới mặt phẳng một góc bằng

mãn và diện tích bằng 27; đỉnh phương trình đường thẳng chứacạnh là Tìm tọa độ các điểm biết hoành độ điểm lớn hơnhoành độ điểm

và mặt phẳng Lập phương trình đườngthẳng d song song với mặt phẳng và cắt lần lượt tại sao cho độ dài đoạn đạt giá trị nhỏ nhất

phẳng Gọi là giao điểm giữa và Viết phương trình đường

thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc với đồng thời khoảng cách từ đến bằng

và mặt phẳng Gọi là đường thẳng đối xứng với d qua Tìmtọa độ điểm trên sao cho

D

Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến

A B

cắt , sao cho là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng

Phương trình đường thẳng d là?

trình: Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt

Gọi là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d Viết phương

trình đường thẳng ?

, sao cho góc giữa và là nhỏ nhất.Phương trình đường thẳng là

Gọi là đường thẳng song song với và cắt

lần lượt tại hai điểm sao cho ngắn nhất Phương trình của đường thẳng là.

Phương trình đường thẳng vuông góc với và cắt hai

đường thẳng là:

Phương trình đường thẳng song song với và cắt hai

đường thẳng là:

cắt tại , Để độ dài lớn nhất thì phương trình đường thẳng là:

Câu 21: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

d: trên mặt phẳng (Oxy):

thẳng Gọi là hình chiếu của lên Phương trình tham số của là

trình đường thẳng là

A B

, đồng thời tạo với đường thẳng một góc lớnnhất Phương trình đường thẳng là

Viết phương trình mặt phẳng đi qua và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường

thẳng Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A, vuông góc

với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất

có phương trình Điểm M trên sao cho tổng khoảng cách từ đến và là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là:

và đường thẳng Điểm thuộc sao cho chu vi tam giác là nhỏ nhấ thì độ

dài bằng

cho tổng khoảng cách từ các điểm đến lớn nhất Hỏi đường thẳng đi quađiểm nào dưới đây?

và Gọi là các điểm lần lượt di động trên Hỏi giá

trị nhỏ nhất của biểu thức là?

là điểm cách đều và trục Khoảng cách ngắn nhất giữa và bằng:

Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn đường thẳng có phương trình lần lượt là

.Biết rằng đường thẳng có vector chỉ phương cắt cả bốn đường thẳng đã cho Giá trị của biểu thức bằng:

song với mặt phẳng và có tổng khoảng cách từ các điểm

tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉ phương của là?

, Gọi là hai điểm phân biệt di động trên đường thẳng saocho tồn tại điểm cách đều tất cả các mặt của tứ diện và thuộc tia Tính độdài đoạn thẳng

Xét đường thẳng , là tham số thực Giả sử và là hai mặt

phẳng chứa , tiếp xúc với lần lượt tại và Khi thay đổi, tính giá trị nhỏ nhấtcủa độ dài đoạn thẳng

D - HƯỚNG DẪN GIẢI

và Phương trình nào không phải đườngthẳng

Hướng dẫn giải:

Giải: Gọi M, N là giao điểm của và

Vector chỉ phương của là

Giải hệ ta được Vậy

Vậy

Chọn A

nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d)

Hướng dẫn giải:

Gọi I là giao điểm của (d) và (P):

(d) có vectơ chỉ phương , (P) có vectơ pháp tuyến

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là =(-2 ;2 ;0)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là

Chọn A

Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt vàvuông góc với đường thẳng là

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng nằm trong sao cho vuônggóc với và khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

trên sao cho mọi điểm của cách đều 2 điểm có phương trình là

Hướng dẫn giải:

Mọi điểm trên cách đều hai điểm nên nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn.

Có và trung điểm là nên mặt phẳng trung trực của là:

Gọi là giao điểm của Tìm sao cho vuông gócvới và

Chọn A

Viết phương trình của đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng và tạovới mặt phẳng một góc bằng

Hướng dẫn giải:

Ta có là vecto pháp tuyến của là vec tơ pháp tuyến của

Vì đường thẳng đi qua mà

Do đó

Góc hợp bởi và bằng

Chọn A

mãn và diện tích bằng 27; đỉnh phương trình đường thẳng chứacạnh là Tìm tọa độ các điểm biết hoành độ điểm lớn hơnhoành độ điểm

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng qua có vec tơ chỉ phương

Gọi là hình chiếu của A lên CD, ta có:

Vậy phương trình đường thẳng

Chọn A

phẳng Gọi là giao điểm giữa và Viết phương trình đườngthẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc với đồng thời khoảng cách từ đến bằng

Vì nằm trong và vuông góc với d nên:

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , khi đó:

Ta có:

Với

Với

Chọn A

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm đường thẳng

và mặt phẳng Gọi là đường thẳng đối xứng với d qua Tìmtọa độ điểm trên sao cho

Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng

Gọi là trung điểm thì tọa độ định:

Từ đó:

Suy ra d’ là đường thẳng đi qua nhận VTCP:

Theo đề bài ta phải có:

Chọn A

Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến

cắt , sao cho là nhỏ nhất, biết phương trình của đường thẳng

Phương trình đường thẳng d là?

trình: Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt

Hướng dẫn giải:

Do cắt nên tồn tại giao điểm giữa chúng Gọi

Phương trình tham số của : Do , suy ra

Do nên là vectơ chỉ phương của

Theo đề bài, vuông góc nên ( là vector chỉ phương của ) Suy ra

Chọn B

Gọi là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d Viết phương

trình đường thẳng ?

Hướng dẫn giải:

PTTS của d là

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng cần tìm là đường thẳng MH

Vậy PTTS của là:

Chọn A

, sao cho góc giữa và là nhỏ nhất.Phương trình đường thẳng là

Do đó

Vậy phương trình đường thẳng là

Gọi là đường thẳng song song với và cắt lần lượt tại hai điểm sao cho ngắn nhất Phương trình của đường thẳng là

Dấu xảy ra khi

Đường thẳng đi qua điểm và vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình của là

Phương trình đường thẳng vuông góc với và cắt hai

đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của là

Phương trình đường thẳng song song với và cắt hai

đường thẳng là:

đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của là

cắt tại , Để độ dài lớn nhất thì phương trình đường thẳng là:

Khi đó Do đó, lớn nhất thì nhỏ nhất nên qua ,

với là hình chiếu vuông góc của I lên Phương trình

Do vâ ̣y là véc tơ chỉ phương của Phương trình của

thẳng Gọi là hình chiếu của lên Phương trình tham số của là

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Gọi

đi qua điểm

Gọi là hình chiếu của lên

có vectơ pháp tuyến

đi qua và có vectơ chỉ phương

đi qua và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của là

Cách 2:

Gọi qua và vuông góc với

đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

có vectơ pháp tuyến qua có vectơ pháp tuyến

 là giao tuyến của và

Tìm một điểm thuộc , bằng cách cho

Ta có hệ

đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của là

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng Hình chiếu song

Hướng dẫn giải:

Trên chọn M bất kỳ không trùng với ; ví dụ: Gọi A

+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với

+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và

+/ Ta tìm được

Hình chiếu song song của lên mặt phẳng

Vậy phương trình là:

Từ và , ta có:

Với , chọn , phương trình đường thẳng là

, đồng thời tạo với đường thẳng một góc lớnnhất Phương trình đường thẳng là

Do đó:

Chọn

Vậy phương trình đường thẳng là

Chọn A

Viết phương trình mặt phẳng đi qua và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất

Đường thẳng đi qua điểm và có VTCP là

Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của

thẳng Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A, vuông góc

với d đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất

Hướng dẫn giải:

Cách 1 (Tự luận)

Khi đó đường thẳng chính là đường thẳng AB’ và

Ta có

Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’

Cách 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.

Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’

B’ d’

có phương trình Điểm M trên sao cho tổng khoảng cách từ đến và là nhỏ nhất có tổng các tọa độ là:

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm

và đường thẳng Điểm thuộc sao cho chu vi tam giác là nhỏ nhấ thì độdài bằng

cho tổng khoảng cách từ các điểm đến lớn nhất Hỏi đường thẳng đi quađiểm nào dưới đây?

Hướng dẫn giải:

Dễ thấy Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên

Hay tổng khoảng cách từ các điểm đến lớn nhất khi d là

đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng

chọn B