một số Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

e Một số phương pháp giải phương trình chứa căn 1ˆ Một số phép biến đổi cần lưu ý khỉ giải phương trình chứa căn Nhận xét 1.. Trước khi bình phương 2 vế của một phương trình chúng t

Trang 1

Chương 2

ee? e Một số phương pháp giải phương

trình chứa căn

1ˆ Một số phép biến đổi cần lưu ý khỉ giải

phương trình chứa căn

Nhận xét 1 Trước khi bình phương 2 vế của một phương trình chúng ta

nên sắp xếp lại các số hạng ở hai vế ' để sau khi bình phương ẩn z nằm ngoài

căn thức triệt tiêu hay có bậc thấp nhất, đồng thời phải lưu ý tới điều kiện

ùnø dấu hai vế của phương trình

Ví dụ 1 Giải phương trình

Vz+ 3+ v3 + 1 = 2V# + v2z + 2

Giải

Điều kiện: z > 0

Phương trình tương đương với

⁄3+z-+1— V32£ + = V4z— Vxz+3

Giả sử 2 vế phương trình cùng dấu, bình phương 2 vế nhận được

V6z2 + 8x +2 = V4z2 + 12+

©2z2—-4+z+2=0«&z =1

101

Trang 2

102 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng

Kiểm tra z = 1 thoả mãn phương trình

Đápsố z+= 1

4

v2z?+z+6+vz?+z+2=z+

Giải Điều kiện: z F 0

Điều kiện cần để z là nghiệm của phương trình là z > 0

V2z2+xz+6— Vwz2+zx+2 x

2z?2+xz+.6=z+Vvz2+x~+2

Bình phương hai vế ta có

4= 2zV+z2 + +2

©4=z?(z?+xz+2)

©z+z”+2xz?—4=0

<> (x — 1)(x° + 22? + 42 + 4) = 0

©z=1 (vz?+2z?+4r+4>0, Vz > 0)

Đápsố z= 1

Nhận xét 2 Khi thu gọn một phương trình chứa căn chúng ta thường

chia cả 2 vế của phương trình cho z hoặc +⁄+z để kiểm tra dạng nghịch đảo

1

a? + Qeyfa— — = 3a +1,

Dieu kiện z — ~ > >0<z>'! hoặc —] < z < 0

Chia cả 2 vế cho + # 0 ta nhận được

#+2\ql#—===ä3+—

Trang 3

Phương trình chứa căn, hệ phương trình 103

1

Đặt t= \/u—— tacd + 2t— 3 =0 f = 1 hoặc # = —3( loại )

Giải £= W#—= =1 @ #”Tz— 1=0e2r= +V8 boar =! v5

1+

Đápsố„ = LẺ Võ,

wv

Giải

Rõ ràng z = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia ca 2 vé cho x 4 0 ta thu dugc

(7 - =)+{/e- = =2.Datt= ifr ~ =

Ta có

P+t-2=0e8 (t-1)(?+t4+2)=-0et=1

©(JZz——=l€z-—==l€©+z=————

Đáp số + we

Nhận xét 3 Khi giải phương trình chứa căn người ta thường tìm mối

liên hệ giữa các biểu thức trong các dấu căn để đặt ẩn phụ đưa phương trình

về hệ đơn giản

#z + Ÿ+z-+1= 2z +1

Giải

Điều kiện z > 0

Vì z + (z + 1) = 2z + 1 nên ta chia cả 2 vế cho ý⁄2z + 1 và nhận được

# LÁ z#+l1

2z+1 2z +1

4

Trang 4

t=

= y= 1 Giải ‘i 0 & ‘ ©z=0

=0

=2

Giải ‘ Võ nghiệm

utve=l

Đápsố z=0

+2 + 4z + 3+ V+z2+z= V3+z2 + 4z + 1

Giải

Điều kiện z < —3, z= —lvàz >0

V{(+1)(z +3) + Vz(œ + 1) = V(œ+1)(3z + 1)

Ta may x = —1 langhiém

Xét >0=>z+1>0:

Chia 24 vế cho z + 1 # 0 ta nhận được

Vxz+3+ v+ = V3z +1

œ2z+3+2V/+z(z +3) = 3z + l1

©2VW+z(+z+ 3) =z~— 2

+>2

>

4z2 + 12z = z2 — 4z + 4

z3» 2

=>

3z2 + 16 —4=0_

—8 + V76

Trang 5

Xét z< -3= -(z+1) >0

Chia hai vế cho 4⁄/—(+ + 1) > 0 ta thu được

vV=(z+3)+V-—z= w-(3z +1

©2VWz(z+3) =—z+2

©4z2+ 12x = z? + 4— 4x

©3z2 + 16x — 4= 0

—8 — V76

r= es loai ,

I= ——g—— loại

Đáp số z —1

Nhận xét 4 Khi giải các bất phương trình chứa căn chúng ta thường

tìm nghiệm của phương trình sau đó xét dấu để tìm ra miền nghiệm của bất

phương trình

Ÿz+ VB— z< 3

Giải Điều kiện z < 5

Giải phương trình

Ÿz+v5—z=3

Dat u = Ÿ2z; 0= V5 “ (2)

(1) eu<3-veui < 27 — 270 + W? — 3

(2) © u3 = 5— 02, do đó ta có ð — u? < 27 — 27u + 9u? — uŸ

Ẳ© u3— 102 + 27u — 22 < 0 (uv — 2)(v? — 8u + 11) <0

Thu được 0 < 4— 5,2 << 4+ v5

*) Với 0 < 4— Vỗ ta có V5 — z <4— vỗ

ofS ave Ẳ© (V5- 1) <2<5

*) Với 2 < 0u < 4+V5tacó2 < V5—z < 4+V5 « —(1+Vð)3 < z < 1.

Trang 6

Từ đó thu được đáp số

-(+v5)°<z <1

wi — 1)” <#<5ð

Nhận xét 5 Khi lập phương hai vế của phương trình dạng Wf + VYI=o

chúng ta lưu ta lưu ý hằng đẳng thức:

p= ffrg+3y fg Sf + 9)

ep=ftgt3/f-g-¢

Vi du 8 Giai phuong trinh

Giai

©32— 16+ 3Ÿz ~ 16)(Ye + Vo — 16) = 2-8

«3 x(x — 16)(x — 8) = —(x — 8) 27x(x — 16)(x — 8) = —(a — 8)°

(x — 8)[27x(x — 16) + ( — 8)?] = 0

[7+2 ~ 1227 + 18 = 0

Giải z—8=0{@©z =8

6 + v⁄3010

Giải Ta? — 128 + 18= 0€ 6= < TY TU

L ở 56 + V3010

Đáp số #=ỗj# = —————

Ÿ⁄+z—1+Ÿ+z+l=zỞ2

Giải

2a + 3V x2 —1- (Wr —1+ Wr $1) = 223

<> 2x + 3V x2 — 1-272 = 22°,

Trang 7

Tacó z = 0là nghiệm

Giải 32z2 — 2 = 2(+z2 — 1) © 54(x2T— 1) = 8(z2 — 1) © # = +1

Đáp số + —Ú; z = +1

Giải

z3 + 3ÿ(2z3 — 1)(1 —#3)(Ÿ2z3— 1+ Ÿ1— we) =x

« 3aŸ/(2z3 — 1)(1 — z3) =0

1

Đápsố z=0,z=1l,z=

3 2

Nhận xét 6 Sử dụng đẳng thức liên hợp vào việc giải phương trình

có chứa căn bậc hai

Vz2—z+1+Vz2+z+1=2

Giải

Nhân liên hợp phương trình đã cho ta nhận được

2x

—————-2eVz2tz+1- Vz?2—-z+l=z

V@+iti—- Viorel

Ta thu duoc

v#”+z+l+vz2—-z+1=2, Vz?+z+1—VWxz2—-xz+Tl=x.- Suy ra

2Vz2+z+.1=z+2

z>_—2

4z“ + 4z + 4= z2 +4xz+4

Trang 8

Đáp số z7 0

Giải

Nhân liên hợp ta thu được

22 +8

V⁄2z2+x~+9— V2z?—z +1

Ta có

V3z2+z+9—V2#2=z+T=9,

V2z2+~z+ 9+ vV2z?—+z+1=z+4

Suy ra

2V2z2+9+xz=z+6

& 4(2+2?+z+9) =z”+12z +36

<> 7z” — 8z = 0 @ ø = 0 hoặc # = z

z=Ũ,

BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN

í 1 dải phương trình

V2xz2+xz+1+Vz?2—-z+1 =3¿

Hướng dẫn

Từ phương trình suy ra x > 0 Chia hai vế cho z > 0 ta có

ts+-†+2†/Wz7 †11=3

+? ø x3 #ø

Trang 9

Đặt t= + thu được

x

Vt?+¢4+24+vV7#2—-t4+1=3

_ 2 1

2 Vt24+t4+2—-—vVt-—t+ ate

3)

vĩi2+t+2~+vi?—-t+1=3,

V†t2+t+2—vwt2-t+1= >

Cộng vế với vế hai phương trình của hệ trên ta có

2t

2V122+t+2= Ta

<> 36(t? + t+ 2) = 4? + 40¢ + 100

7

2 Giải phương trình

Hướng dẫn

Phương trình đã cho tương đương với

Vz2+z+1—Vz?—-z+1=2z (z=0lànghiệm )

Ta có

Vz2+z+1+Vz2—z+1=1 ( Nhân liên hợp)

Suyra 2Vz?2+z+1= 2z +1

Ÿ+z+l+Ởz+3-—= Ÿ+z+2

Hướng dẫn

Trang 10

Ÿ#+ Ÿz+1=2z +1

Hướng dẫn

Qn +14 3V/e(e +1) [Ye+ VerT] = (22 +1)"

r= 5 là nghiệm

Thu được

1+3/z(z +1) = (2z +1)?

Hướng dẫn

= 0,

2z3-+ 3+5 — 1- x2 = 2zxŠ of 41

#—

6 Giai phuong trinh

_

Hướng dẫn

Chia hai vế cho z Z 0 ta thu được

1 [1 — TT

4(z+—)—1=3\qz+—, datt= 4/u+-

7, Giải phương trình

⁄z2+z+1+z2—z+1= 2z

Trang 11

Phương trình chứa căn, hệ phương trình ˆ Hi

Hướng dẫn

Chia cả hai vế cho Veta ta duge

đl+ưz+ ate

Dat boots,

8 Giai phuong trình

4z? - 3z — 4= Yet gh

Hướng dẫn

Chia hai vé cho x # 0 ta được

9 Giai phuong trinh

V4z+ 5+ V3z + = V2z+ 7+ Vx +3

Hướng dẫn

V4z+5— Vz+3= V2z +7 — v3z+1

Bình phương hai vế ta được

V (4x + 5)(x + 3) = (2z + 7)(3x + 1)

2

V2z?2+zxz+1=z+Vv+z2+x-— 1

Hướng dẫn

Bình phương hai vế ta được 2 = 2zV2Ê + + — ] SUY ra ®z>0

và 1=z2(z2+zø— 1)

Đápsố z = I1

Trang 12

112 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, N guyén Ngoc Thang

V@4+38-Vl—-v=7H+1

Hướng dẫn

Nhân liên hợp ta được

2x + 2

vVz+ỏ+vwl—-z

Ta có vVxz+d3+vwl-z=2

a có

Vz+d3—VwW1i—-z=z+1

Suy ra

# = 1

=3

NEF Ie ae |”

12 Giai phuong trinh

V+z2— 1+ V+2 + + =2 = V2z2 + x — 3

Hướng dẫn

Điều kiện x > 1

Xét trường hợp z ó z = 1 là nghiệm và thu được

Vz+1+Vvxz+32= v2z+3

Xét trường hợp z < —2 ta có

V“œ+1)+ v=œ+5)= v=0+3)

Đáp số c=; xu= —2

V# + vdWz+l1+V#22+z =1.

Trang 13

Huong dan

Điều kiện z > 0

fle) = v% + v# +1 + vz2 + x là hàm đồng biến khi z > 0 Suy ra

+ = 0 là nghiệm duy nhất

Ÿ1+ 7+ + 2x — 1l =2

Hướng dẫn

Chia hai vế cho v⁄2+ z# 0Ô ta có

oie Ly aly 2b

Đặt u = V THe, = j/2— = ta thú được ng

w+ =9,

Tiêu đề	Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Căn Thức
Thể loại	tiểu luận

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	240,36 KB