C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba... C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.. C1 : Chứng minh mặt
Trang 1A
HÌNH CƠ BẢN
1) Các đường trong tam giác:
a) Đường trung tuyến AM:
M là trung điểm BC
b) Đường phân giác AK:
BAK KAC
Giao điểm của 3 đường
phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
O
A
: c) Đường cao AH
Giao điểm của 3 đường cao
gọi là trực tâm
d) Đường trung trực a :
,
aBC M là trung điểm BC Giao điểm của 3 đường trung
trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
a
b
0
A
2) Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G :
GA=2
3AM
G là trọng tâm
3) Định lý :
/ /
MA MB
N
là trung điểm AC
A
4) Đường trung bình MN của ABC:
MN lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh AB,
AC của ABC Có:
/ /
2
BC MN
5) Hệ thức lượng trong vuông
a)BC2 AB2 AC2 b)AH BC AB AC. c)AH2 HB HC. d)AB2 BC BH.
e) AC2 BC CH. f) 1 2 12 12
AH AB AC
g) sinC AB
BC
; cosC AC
BC
; tanC AB
AC
6) ABC có AM là trung tuyến
2
BC
AM BAC
MA MB MC BAC
7) ABC đều cạnh a:
Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau Đường cao AH = 3
2
a
Diện tích 2 3
4
a
S
8) Định lý Talet:
AM AN MN/ /BC
9) Hình chữ nhật: Diện tích S
10) Hình vuông:
11) vuông
1
A
A
A
G
A
M
A D B C
A
D
B C
A
M
A
K
A
H
A
M
a
Trang 2O
1
2
S AB AC
12) Tam giác thường
1
2
S BC AH
13) Hình thang
2
AB CD AH
14) Hình bình hành
SDC AH
15) Hình thoi
.
S AD BH , 1
2
S AC BD
16) Hình tròn:
S R2
17 ) Tam giác, tứ giác
a) Tổng hai cạnh của 1 lớn hơn cạnh thứ ba
b) Hiệu hai cạnh của 1 nhỏ hơn cạnh thứ ba
c) Góc ngoài của 1
ACx A B
ACB ACx
d) Tổng 3 góc trong 1
bằng 1800
e) Tổng 4 góc trong 1 tứ giác bằng 3600
Các phương pháp chứng minh
18) CM 2 bằng nhau
a) Tam giác thường (3 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
b) vuông (5 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c) Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông Cạnh huyền, 1 góc nhọn
19) CM cân
a) 2 cạnh bằng b) 2 góc bằng c) 1 đường có 2 trong 3 tính chất: cao, phân giác, trung tuyến
3) CM đều
a) 3 cạnh bằng b) 3 góc bằng c) cân, có 1 góc bằng 600
20) CM hình thang:
CM tứ giác có 2cạnh //
21) CM hình thang cân( 2 góc ở 1 đáy bằng nhau)
CM tứ giác là hình thang có:
a) Hai góc kề 1 đáy bằng nhau b) Hai góc đối bù nhau (tổng bằng 1800) c) Hai đường chéo bằng nhau
22) CM tứ giác là hbh
A
B
a) 2 cặp cạnh đối song song b) 2 cặp cạnh đối bằng nhau c) 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau d) 2 cặp góc đối bằng nhau
e) 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
23) CM tứ giác là hình thoi:
A
B
D
C
CM tứ giác 2
A
H
A
B
C D
H
x
A
D
H
D
C
A
A
A
D
B
C H
Trang 3a) là hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau
b) là hbh có 2 đường chéo vuông góc
c) là hbh có 1 đường chéo là phân giác của góc
có đỉnh thuộc đường chéo ấy
d) có 4 cạnh bằng nhau
e) có mỗi đường chéo của tứ giác là phân giác
của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy
24) CM tứ giác là hcn: CM tứ giác
a) là hbh có 1 góc vuông
b) là hbh có 2 đường chéo bằng nhau
c) có 3 góc vuông
d) là hình thang cân có 1 góc vuông
25) CM tứ giác là hình vuông: CM tứ giác
a) là hình thoi có 1 góc vuông
b) là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
c) là hcn có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau
d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc
26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường
tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với bán kính
tại đầu mút của bán kính
OB là bán kính đường tròn
aOB tại B Vậy a là tiếp tuyến của đường tròn (O)
27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau :
a) CM 2 bằng nhau
b) Cùng bằng cạnh thứ ba
c) AB CD EFGH AB GH
d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau từng đôi một thì bằng nhau
e) có 2 góc = cân 2 cạnh bằng nhau
f) cân đường phân giác hay đường cao ở
đỉnh chia đôi cạnh đáy
g) Áp dụng đl I)3
h) Tính chất đoạn chắn
i) CM tứ giác là hbh 2 cạnh đối bằng nhau
j) ABC vuông tại A có AM là trung tuyến
AM MBMC
k) Khoảng cách từ tâm đến 2 dây cung bằng nhau
thì 2 dây cung bằng nhau
l) Giao điểm 2 tiếp tuyến trong 1 đường tròn cách
đêu 2 tiếp điểm
AB = AC
m) AB CD AB CD
28) CM 2 góc bằng nhau:
a) CM 2 bằng nhau b) có 2 cạnh bằng cân 2 góc bằng c) cân thì đường cao hay trung tuyến cũng là phân giác
d) 2 cặp góc bằng 2 đồng dạng cặp góc thứ ba bằng
e) 2 góc đối đỉnh f) 2 đường thẳng song song bị chắn bởi đường thẳng thứ ba 2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc đồng vị bằng
g) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một song song
h) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi một vuông góc
i) cùng bằng góc thứ ba j) cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba k) cùng cộng với góc thứ ba bằng 600
l) 1 2 3 4 1 4 m) 2 góc là tổng (hay hiệu) của 2 góc bằng nhau từng đôi một
n) CM tứ giác là hbh 2 góc đối bằng nhau o) Hai tiếp tuyến cắt nhau
AMO BMO
29) CM 2 đường thẳng song song:
a) 2 góc so le trong bằng nhau 2 đt //
b) 2 góc đồng vị bằng nhau 2 đt //
c) 2 góc trong (hoặc ngoài) cùng phía bù nhau
2 đt //
d) 2 đt cùng // với đt thứ ba 2 đt //
e) 2 đt cùng với đt thứ ba 2 đt //
f) CM tứ giác là một trong các hình: hbh, hcn, h.thoi, h.vuông 2 cạnh đối //
g) Đường trung bình trong một thì // với cạnh thứ ba
h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)
30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau
a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề = 2 đt
b) 2 đt tạo thành góc 900, mục I) 6) c) có 2 góc phụ nhau góc còn lại bằng 900
2đt
d) a b/ / a c
e) a // c, b // d, cd ab
f) cân đ.phân giác hay trung tuyến cũng là đcao g) 2 tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc h) Định lý Pitago đảo
3
A
A
B
B
C
B
a O
Trang 4i) Đường cao thứ 3 trong 1
j) Đường kính qua trung điểm 1 dây không qua
tâm đường kính dây cung
k) Tiếp tuyến bán kính đi qua tiếp điểm
l ) 2 cạnh của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
31 ) CM 3 điểm thẳng hàng
a) ABC 1800 A, B, C thẳng hàng
b) AB m
AC m
A, B, C thẳng hàng
c) AB n
A, B, C thẳng hàng
d) xAB xAC A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1
f) Đường tròn (O) có AB là đường kính A, O,
B thẳng hàng
g) Đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A
O, A, O’ thẳng hàng
32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn
a) CM 4 điểm cách đều 1 điểm nào đó
b) CM 4 điểm là 4 đỉnh của hình thang cân, hcn,
h.vuông
c) CM là đỉnh của tứ giác có tổng 2 góc đối bằng
1800
d) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
vuông
e) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
HÌNH 10 33) Quy tắc hình bình hành
AB AD AC
34) Quy tắc ba điểm: AB BC AC
35) Quy tắc trừ: AB AC CB
36) I là trung điểm AB IA IB 0
37) G là trọng tâm ABC GA GB GC 0
38) Hai vectơ bằng nhau: u x y u x y( ; ), ( ; ) , , ,
, ,
,
x x
u u
y y
39) Toạ độ của vt: Cho A(xA;yA) và B(xB;yB)
AB =(xB-xA ; yB-yA)
40) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
A(xA;yA), B(xB;yB)
xI=
2
x x
, yI =
2
y y
41) Toạ độ trọng tâm G(xG ;yG ) của ABC
xG =
3
x x x
, yG =
3
y y y
42) Tích vô hướng của hai véctơ
a b a b cos( , )a b
43) Tam giác ABC
2
AB AC AB AC BC
44) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
a( ; )a a và b1 2 ( ; )b b1 2
a b a b 1 1a b2 2
45) Độ dài của vectơ
a a a
46) Góc giữa hai vectơ
Cos( ,a b ) = .
a b
a b
= 2 1 12 2 22 2
a b a b
47) Khoảng cách giữa hai điểm
(x B x A) (y B y A)
48) Định lý Cô sin
a2 = b2 + c2 -2bc cosA
b2 = a2 + c2 -2ac cosB
c2 = a2 + b2 -2ab cosC
49) Độ dài đường trung tuyến
ma =
4
b c a
mb =
4
a c b
,
4
m A
M
Trang 5mc =
4
a b c
R
51) Diện tích tam giác
c
a b A
a) S = 1
2ab sinC =
1
2bc sinA =
1
2ac sinB,
b) S =
4
abc
R ,
c) S = pr,
d) S = p p a p b p c( )( )( )
Trong đó p =
2
a b c
,
r là bán kính đường tròn nội tiếp
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
52) Phương trình tham số của đường thẳng
0 1
qua M0(x0;y0) và nhận u( ; )u u1 2 làm vtcp
( u song song hoặc trùng )
53)Phương trình tổng quát của đường thẳng
a(x –x0) +b(y –y0) = 0
qua M0(x0;y0) và nhận ( ; )n a b làm vtpt
( n vuông góc với )
54) Vtcp u n nên u=(c;d) n=( -d;c)
55) Góc giữa hai đường thẳng
1: a1x +b1y +c = 0
2
: a2x +b2y +c = 0 cos
=
1 2
cos( ; )n n =
1 2
n n
n n
= 2 1 22 1 22 2
a a b b
Trong đó n 1( ; )a b1 1
, n2 ( ; )a b2 2
Chú ý: a) 1 2 n1 n2
a a1 2b b1 2 0 b)1: k x m1 1 và 2: k x m2 2
1 2 k k 1 2 1
56) Khoảng cách từ điểm M 0 đến đường thẳng
d ( M0;) = ax0 2by0 2 c
57)Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kínhR
(x –a)2 + (y –b)2 = R2
58) Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính
R = a2b2 c, điều kiện a2 b2 c0
x2y2 2ax 2by c 0
59) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)
tâm I(a;b) Gọi là tiếp tuyến với (C) tại M0 (C) (x0 –a)(x –x0) + (y0 –b)(y –y0) = 0
60) Phương trình đường elip
M(x;y)( E)
a b
Trong đó b2 = a2 –c2
5
Trang 6
61/ Chứng minh hai đường thẳng //
C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba
C3 : Dùng định lý giao tuyến:
C4 : Dùng định lý giao tuyến:
C5 : Dùng định lý giao tuyến:
c
b
a
a, b phân biệt & a // c, a // c a // b
(P) // (Q), ( ) ( )R P a R, ( ) ( ) Q b a // b
b a
Q P
(P) // a, (Q) // a, ( ) ( )P Q a a // b
Q P
b a
a // b, (P) qua a, (Q) qua b,( ) ( )P Q
// a, // b hoặc trùng với a hoặc b
P
Q
b a
P
Q
b a R
Q
P
6
Trang 7C6 : Dùng định lý giao tuyến:
62/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng
C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
C2 : Dùng hệ quả:
C3 : Dùng hệ quả:
63/ Chứng minh hai mặt phẳng song song.
C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng
( )
a P , b( )P , a // b , a //( )P
b
a
P
a Q
P
(P) // (Q), a( )Q a //( )P
H
b
a
P
( )
a P , ( )P b a b, a //( )P
b P
a
Q
a // (P), (Q) qua a, ( ) ( )P Q b a // b
P
b a Q
a b Q , a cắt b, a // (P) và b // (P) ( )P //( )Q
P
a
Q
( )P , ( )Q phân biệt, ( )P a Q, ( )a ( )P //( )Q
7
Trang 8C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau
64/ Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc.
C1 : Dùng các quan hệ vuơng gĩc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : abgĩc( ; ) 90a b o.
C3: Dùng hệ quả:
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuơng gĩc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với hai cạnh của một tam giác thì vuơng gĩc với cạnh cịn lại của
tam giác
65/ Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc mặt phẳng.
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng khi nĩ vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuơng gĩc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng
vuơng gĩc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuơng gĩc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này
vuơng gĩc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuơng gĩc với mặt phẳng kia
b// c , ab a c
a c
b
( ) ( )
a
b
P
a
P
b
( ) ( )
a song song P
a b
BC AC
c
a
b
P
b, c cắt nhau , ,b c( )P , ab a, c a( )P
P
b a
a// b, b( )P a( )P
Q
P
b a
8
Trang 9C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng
này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
66/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia
67/ Góc của hai đường thẳng
68/ Góc của hai mặt phẳng
( ) ( )
( ) ( ),
P
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ),( )P ( )P P
x
O
( ) ( ) , Ox ( ), Ox , Oy( ), Oy
Khi đó:
góc (( );( )) góc ( ;Ox Oy)xOy : 0 90o
( ) ( ) 90o
( ) ( ) ( )
a a
Chọn điểm O tuỳ ý
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b
Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB
Thường chọn điểm O a hoặc O
b
b' a'
B
A
O b
a
= ( ; )a b
Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và
Dựng qua O : OA ( )
OA
OB
Góc ( , ) = Góc (OA OB = AOB , )
Chú ý: * 0 90o
* Nếu 90o
thi chọn góc ( ; ) 180 o
B O
A
9
Trang 1069/ Gúc của đường thẳng và mặt phẳng
Gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gúc giữa đường thẳng đú và hỡnh chiếu của nú trờn mặt phẳng
70/ Hỡnh choựp tam giaực ủeàu
B
O A
a
Chọn điểm A thuộc đường thẳng a
Dựng qua AB ( ) tại B
Dựng giao điểm O của a và nếu chưa cú
( OB là hỡnh chiếu của a trờn mặt phẳng ( ))
Khi đú: Gúc( ;( ))a = Gúc( OA OB =, )
AOB
Dựng MH : d(M, ) = MH
M
H
Dựng: MH ( ), H thuộc ( ) ta có: d(M,( )) = MH
M
H
Chọn điểm M trên 1 , dựng MH 2
( H thuộc 2 ) ta có d( 1 , 2 ) = MH
//
1 2
2
1
M
H
Chọn điểm M thuộc , dựng MH ( H thuộc ( )), ta có d( ,( )) = MH
// ( )
H M
Ta có: d(( ),()) = d( ,( )) = MH
(M thuộc , MH ( ), H thuộc )
( ) // (), chứa trong ( )
H
M
Dựng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a
Dựng MH ( ), M thuộc a, H thuộc ( )
Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a
đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b tại B
Dựng qua B và // MH, cắt a tại A Khi đó: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB
a và b chéo nhau
B
A
H
M
a' b
a
Khoảng cỏch từ một điểm
đến một đường thẳng Khoảng cỏch từ một điểmđến một mặt phẳng
Khoảng cỏch giữa hai
đường thẳng song song
Khoảng cỏch giữa mặt phẳng và đường thẳng //
song song
Khoảng cỏch giữa hai
mặt phẳng song song
Khoảng cỏch giữa hai Đường thẳng chộo nhau
h
I
C A
H S
Trang 11Hình chóp tam giác đều:
Đáy là tam giác đều
Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
Đáy là tam giác đều
Các mặt bên là những tam giác đều
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI
Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC)
Ta có:
SH là chiều cao của hình chóp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH .
Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH
71/ Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều:
Đáy là hình vuông
Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABCD
Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD
Vẽ SH (ABCD)
Ta có:
SH là chiều cao của hình chóp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH .
Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH
72/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
.
D A
S
B
S
D A
S
SA (ABC)
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA
SA (ABCD)
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA
11
