Một số đặc trưng của ánh xạ đóng và ánh xạ đóng phủ dãy

Vì tầm quan trọng của nó mà có nhiều tácgiả đã nghiên cứu về ảnh đóng của một số không gian và đã đưa ra được một số kết quả quan trọng như: Foged [8] chỉ ra rằng ảnh đóng của không gian

Tài liệu tham khảo 28

LỜI NÓI ĐẦU

ảnh đóng của không gian metric có vai trò rất quan trọng trong lý thuyếttổng quát hóa không gian metric Vì tầm quan trọng của nó mà có nhiều tácgiả đã nghiên cứu về ảnh đóng của một số không gian và đã đưa ra được một

số kết quả quan trọng như: Foged [8] chỉ ra rằng ảnh đóng của không gianmetric là không gian Fre´chet với k-lưới với σ-bảo tồn bao đóng di truyền.Lin [9], Gao và Hattori [10] chỉ ra rằng ảnh đóng Lindelof của không gianmetric là không gian Fre´chet và ℵ-không gian Tanaka [11] đã đưa ra định

lý sau: "Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ k và ℵ không gian chuẩn tắc

X đến không gian tôpô Y, ∂f−1(y) là Lindelof với mọi y ∈ Y nếu và chỉ nếu

Y không chứa bản sao nào của Sω1 Yun [12] đã đưa ra câu hỏi sau: "Giả sử

f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ k và ℵ không gian X đến không gian tôpô

Y Khi đó, khẳng định sau có đúng hay không: "Y không chứa bản sao nàocủa Sω1 nếu và chỉ nếu ∂f−1(y) là Lindelof với mọi y ∈ Y." Gần đây, Jiang,Lin và Yan [11] đã có những nghiên cứu mới về ánh xạ đóng phủ dãy [12] vàchứng minh rằng tính khả metric được bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.chúng ta có thể đưa ra một đặc trưng nội tại cho ảnh đóng σ-compactcủa không gian metric hay không? Trong luận văn này, chúng ta nghiêncứu về đặc trưng của các không gian tựa đếm được thứ nhất yếu theonghĩa của Sirois-Dumais [13] Qua đó chỉ ra rằng biên của thớ của ánh xạđóng trên các k và ℵ-không gian là không gian Lindelof nếu và chỉ nếu

nó không chứa bản sao đóng nào của Sω Từ đó cho câu trả lời đối với câuhỏi trong Yun [12]

Tất cả các không gian trong khóa luận này đều là T1 và chính qui, cácánh xạ là liên tục và toàn ánh Các định nghĩa được sử dụng trong [2] và [7].Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để nghiêncứu các mối quan hệ giữa các loại không gian, trình bày một số tính chấtcủa các ánh xạ, từ đó đưa ra một số đặc trưng của các loại ánh xạ đóng và

ánh xạ đóng phủ dãy.

Với mục đích đó, Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Một số vấn đề cơ sở Trong chương này, đầu tiên chúngtôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương có liên quan tới nộidung của luận văn Trình bày khái niệm về không gian metric, không giang-đếm được, g-đếm được thứ nhất, g-đếm được thứ hai, không gianF rechet,

ℵ-không gian, không gian dãy, k-lưới, và mối quan hệ giữa các loại khônggian đó

Chương 2 Một số tính chất của ánh xạ đóng và ánh xạ phủdãy Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các tính chất củaánh xạ đóng, ánh xạ phủ dãy trên các loại không gian đã trình bày ở chương1

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giảxin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và cácthầy, cô trong tổ Giải tích và khoa Toán đã giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập tại trường Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS.Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Tạ Khắc Cư, PGS TS Tạ Quang Hải, TS VũThị Hồng Thanh, đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn học viên Caohọc khoá 15 - Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thànhnhiệm vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song Luận văn không tránh khỏi những thiếusót, kính mong quý Thầy Cô và bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiệnhơn

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

CHƯƠNG 1MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ

Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết quả đã

có cần dùng trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ T các tập con của X được gọi làtôpô trên X nếu thoả mãn điều kiện:

(T1) ∅, X ∈ T ;

(T2) Nếu Gi ∈ T với mọi i ∈ I thì ∪i∈IGi ∈ T;

(T3) Nếu G1, G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T

Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và kí hiệu

là (X, T ) hay đơn giản X

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô

Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở

1.1.2 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và A ⊂ X Khi đó,(1) Tập U ⊂ X được gọi là lân cận của A nếu có tập mở V trong X saocho A ⊂ V ⊂ U

(2) Tập con A của X được gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tạitập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊂ A

(3) Tập A được gọi là Gδ-tập nếu A là giao của một họ đếm được cáctập mở

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, A là tập con của X.Điểm x ∈ A được gọi là điểm cô lập của tập hợp A nếu tồn tại lân cận của

x mà không giao với A tại một điểm nào khác

1.1.4 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, A là một tập con của X.1) Tập A là tập con rời rạc nếu mỗi điểm của A đều là điểm cô lập.2) Tập A là tập con rời rạc tương đối nếu A là tập rời rạc

1.1.5 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu vớihai điểm bất kỳ x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy

của x và y sao cho y /∈ Ux và x /∈ Uy

1.1.6 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian haykhông gian Hausdorff nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈ X mà x 6= y tồn tạicác lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y sao cho Ux ∩ Uy = ∅

1.1.7 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là chính quy nếu với mọiđiểm x ∈ X và mọi tập A đóng trong X không chứa x tồn tại các tập U, V

mở trong X sao cho x ∈ U ; A ⊂ V, U ∩ V = ∅

1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là chuẩn tắc nếu với mọicặp tập đóng rời nhau A và B trong X tồn tại các tậpU, V mở trong X saocho A ⊂ U ; B ⊂ V, U ∩ V = ∅

1.1.9 Định nghĩa Dãy xn trong không gian tôpô X được gọi là hội tụtới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại no ∈ N sao cho xn ∈

U với mọi n ≥ no Khi đó ta viết xn → x

1.1.10 Nhận xét Nếu X là không gian Hausdorff, một dãy trong X hội

tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất

1.1.11 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :

X → Y Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mỗi lân cận V của

f (x), tồn tại lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f được gọi là liêntục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X

1.1.12 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :

X → Y Ánh xạ f được gọi là mở nếu ảnh của một tập con mở bất kỳtrong X là một tập con mở trong Y

1.1.13 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :

X → Y Ánh xạ f được gọi là đóng nếu ảnh của một tập con đóng bất kỳtrong X là một tập con đóng trong Y

1.1.14 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :

X → Y Ánh xạ f được gọi là ánh xạ thương nếu tập U là mở trong Y khi

và chỉ khi f−1(U ) mở trong X

1.1.15 Định lý Giả sử X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X →

Y Khi đó, các điều kiện sau tương đương

(1) f liên tục

(2) Nếu E là tập mở trong Y thì f−1(E) là tập mở trong X

(3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f−1(E) là tập đóng trong X

1.1.16 Định nghĩa Ánh xạf : X −→ Y từ không gian tôpô X lên khônggian tôpô Y được gọi là đồng phôi nếu f là song ánh và liên tục hai chiều.Khi đó hai không gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau

1.1.17 Định nghĩa Ánh xạf : X −→ Y từ không gian tôpô X lên khônggian tôpô Y được gọi là hoàn chỉnh nếu f là ánh xạ đóng và f−1(y) là tậpcon compact của X với mỗi y ∈ Y

1.1.18 Định nghĩa Tập con V của không gian tôpô X được gọi là lâncận dãy của x ∈ X nếu với mỗi dãy {xn} hội tụ về x thì tồn tại no ∈ N saocho {xn : n ≥ no} ⊂ V.

1.1.19 Định nghĩa Phủ P của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ

U khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ P được chứa trong một phần tử nào

đó của phủ U

1.1.20 Định nghĩa Không gian tôpôX được gọi là compact nếu mỗi phủ

mở của nó chứa một phủ con hữu hạn Tập A ⊂ X được gọi là tập compactnếu không gian A với tôpô cảm sinh trên X là một không gian compact.1.1.21 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là compact địa phươngnếu với mọi x ∈ X tồn tại lân cận U của x sao cho U compact

1.1.22 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là compact theo dãynếu mỗi dãy của nó chứa một dãy con hội tụ

1.1.23 Định nghĩa Giả sửP là một họ các tập con của không gian tôpôX.Khi đó,

(1) P được gọi là sao đếm được nếu với mọi P ∈ P, P giao với khôngquá đếm được các phần tử của P

(2) P được gọi là đếm được theo điểm (tương ứng, hữu hạn theo điểm)nếu với mỗi x ∈ X, x thuộc đếm được (tương ứng, thuộc hữu hạn) phần tửcủa P

(3) P được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mọi x ∈ X, tồn tại mộtlân cận V của x sao cho V chỉ giao với hữu hạn phần tử của P

(4) P được gọi là σ-hữu hạn địa phương (tương ứng, σ hữu hạn theođiểm) nếu P =

(5) P được gọi là compact hữu hạn (tương ứng, cs-hữu hạn) nếu mỗitập compact K ⊂ X (tương ứng, mỗi dãy hội tụ S trong X) thì K (tươngứng, S) chỉ giao với hữu hạn phần tử của P.

(6) P được gọi là σ-compact hữu hạn (tương ứng, σ-cs-hữu hạn) nếu

Phần này dành cho việc trình bày các khái niệm về một số loại khônggian như không gian Lindelo¨f, k-không gian, k0-không gian, không gian dãy,không gian Fre´chet, ℵ-không gian, ℵ0-không gian, không gian sn-mêtric,không gian sn-đếm được thứ nhất, không gian sn-đếm được thứ hai, khônggian g-mêtric, không gian g-đếm được thứ nhất, không gian g-đếm được thứhai, không gian tựa như đếm được thứ nhất yếu, cùng một số tính chấtcủa các không gian này và mối liên hệ giữa các không gian đó

1.2.1 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếmđược thứ nhất nếu tại mỗi điểm x tồn tại một cơ sở lân cận đếm được.1.2.2 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên

đề đếm được thứ hai nếu tôpô trên X có một cơ sở đếm được

1.2.3 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X được gọi là không gian delof, hoặc có tính chất Lindelo¨f nếu mọi phủ mở của X đều tồn tại phủcon đếm được

Lin-1.2.4 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X được gọi là meta-Lindelo¨fnếu mọi phủ mở của X đều tồn tại cái mịn mở đếm được theo điểm

1.2.5 Chú ý ([2]) Mọi không gian compact đều là không gian Lindelof

1.2.6 Định lý ([2]) Không gian chính quy và thỏa mãn tiên đề đếmđược thứ 2 là không gian Lindelof.

1.2.7 Định lý ([2]) Không gian X có tính chất Lindelo¨f khi và chỉ khimọi họ các tập con đóng của X có tính chất giao đếm được khác rỗng.1.2.8 Định lý ( [2]) Giả sử không gian con A của không gian tôpô X

có tính chất Lindelo¨f Khi đó mọi họ {Us}s∈S các tập mở của X sao cho

cũng có tính chất Lindelo¨f

1.2.11 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là k-không giannếu nó được xác định bởi phủ gồm các tập con compact của X

1.2.12 Bổ đề Không gian đếm được thứ nhất là k-không gian

Chứng minh Bổ đề được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

1.2.13 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là k0-không giannếu mỗi tập không đóng H ⊂ X và mỗi điểm p ∈ H \ H, đều tồn tại tậpcompact K ⊂ X sao cho p ∈ H ∩ K

1.2.14 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là không gian dãynếu tập A ⊂ X là đóng trong X khi và chỉ khi không có dãy nào trong A

hội tụ đến điểm ngoài A, hoặc một cách tương đương X được xác định bởiphủ gồm các tập con compact metric của X

1.2.15 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là không gian

Fr´echet nếu mỗi tập con A của X và x ∈ A thì tồn tại dãy {xn} trong A

sao cho dãy {xn} hội tụ tới x

1.2.16 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là không gian

Fr´echet mạnh nếu mỗi dãy giảm các tập con {An} của X và x ∈ An vớimọi n ∈ N∗ đều tồn tại dãy {xn} trong X sao cho xn ∈ An với mọi n và

{xn} hội tụ tới x

1.2.17 Nhận xét (1) Mọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứnhất là không gian Fre´chet

(2) Mọi không gian Fre´chet mạnh là không gian Fre´chet

(3) Mọi không gian Fre´chet là không gian dãy, mọi không gian dãy là

1.2.19 Nhận xét Mọi không gian dãy là không gian chặt đếm được.1.2.20 Định nghĩa Dãy hội tụ L = {xn} được gọi là nằm trong P ⊂ X

từ một lúc nào đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ P với mọi n ≥ n0.1.2.21 Định nghĩa ([7]) Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô

X

(1) P được gọi là lưới tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x đều tồn tại

P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U

(2) P được gọi là k-lưới của không gian X nếu với mọi tập K compacttrong X, U mở trong X, K ⊂ U thì tồn tại họ hữu hạn F ⊂ P sao cho

K ⊂ S F ⊂ U

(3) P được gọi là cs∗-lưới của X nếu mọi dãy S hội tụ đến điểm x ∈ U

với U là tập mở trong X, thì S thường xuyên gặp P ⊂ U với một tập P nào

đó P ∈ P

(4) P được gọi là cs-lưới của X nếu mọi dãy S hội tụ đến điểm x ∈ U

với U là tập mở trong X, thì S ∪ {x} nằm trong P ⊂ U từ một lúc nào đóvới một tập P nào đó P ∈ P

1.2.22 Bổ đề ([7]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó, các khẳngđịnh sau luôn đúng

(1) Nếu X là không gian compact với k lưới đếm được theo điểm thì

X là không gian metric

(2) Nếu X là k-không gian với k lưới đếm được theo điểm thì X làkhông gian dãy

(3) Nếu X có cs∗-lưới đếm được theo điểm và mỗi tập compact của

X là metric thì X có k-lưới đếm được điểm

1.2.23 Bổ đề Nếu X là k-không gian với cs∗-lưới σ-đếm được địaphương thì X là không gian dãy

Chứng minh Giả sử P là cs∗-lưới σ-đếm được địa phương của X,K là mộttập compact của X Đặt PK = {P ∩ K : P ∈ P}, thì PK là cs∗-lưới σ-đếmđược địa phương của K Vì K là tập compact của X nên tồn tại k lưới đếmđược, theo Bổ đề 1.2.22(1) suy ra K là khả metric Từ Bổ đề 1.2.22(3) ta có

X có k lưới đếm được theo điểm Theo Bổ đề 1.2.22(2) thì X là không giandãy.

1.2.24 Bổ đề ([2]) Nếu X là không gian đếm được thứ nhất thì X có

k-lưới đếm được theo điểm

1.2.25 Định nghĩa ([1]) (1) Không gian X được gọi làℵ-không gian nếu

nó có k-lưới σ-hữu hạn địa phương

(2) Không gian X được gọi là ℵ0-không gian ([1]), nếu nó có k-lưới đếmđược

1.2.26 Bổ đề ([3]) Không gian tôpô X là ℵ-không gian nếu và chỉ nếu

X có cs-lưới σ-bảo tồn bao đóng di truyền

1.2.27 Định nghĩa Giả sử P = S{Px : x ∈ X} là phủ của X Khi đó,

P được gọi là một cơ sở yếu của X nếu

(i) Px là lưới tại x với mỗi x ∈ X;

(ii) Với mọi P1, P2 ∈ Px, tồn tại P3 ∈ Px sao cho P3 ⊂ P1 ∩ P2;

(iii) Cho tập A là mở trong X, mỗi x ∈ A tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A.1.2.28 Định nghĩa ([7]) Cho P = S{Px : x ∈ X} là phủ của X, P đượcgọi là sn-lưới nếu mọi phần tử của Px đều là lân cận dãy của x ∈ X, lúc

đó Px được gọi là sn-lưới tại x

1.2.29 Nhận xét (1) Cơ sở yếu =⇒ sn-lưới =⇒ cs-lưới

(2) Trong không gian dãy thì cơ sở yếu ⇐⇒ sn-lưới

1.2.30 Bổ đề ([3]) Giả sử X là không gian tôpô khả ly với cơ sở yếu

σ-đếm được địa phương Khi đó, X là không gian thỏa mãn tiên đề đếmđược thứ hai

1.2.31 Bổ đề ([3]) Giả sử X là không gian Fre´chet khả ly với k-lướiđếm được theo điểm Khi đó, X là là ℵ0-không gian

1.2.32 Bổ đề ([3]) Không gian con đóng khả ly của không gian với cơ

sở yếu σ-đếm được địa phương hoặc không gian Fr´echet khả ly với k-lướiđếm được theo điểm là không gian chuẩn tắc

1.2.33 Bổ đề ([2]) Giả sử X là k-không gian với k-lưới σ-bảo tồn baođóng di truyền Khi đó, X là không gian meta Lindelof di truyền

1.2.34 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là ℵ1-compact nếu mọitập con của X với lực lượng ℵ1 đều có điểm tụ

1.2.35 Bổ đề Nếu X là ℵ1-compact thì X là ℵ0-không gian

Chứng minh Bổ đề được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

1.2.36 Định nghĩa Không gian tôpô X là symmetric nếu tồn tại mộthàm thực không âm d xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau(1) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y;

(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

(3) G ⊂ X là mở trong X nếu và chỉ nếu mọi x ∈ G, S1

n(x) ⊂ G với số

tự nhiên n nào đó, trong đó S1

n(x) = {y ∈ X : d(x, y) < n1}.1.2.37 Định nghĩa 1 Không gian tôpô X được gọi là g-metric (tươngứng là sn-metric) nếu nó có một cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương (tươngứng là sn-lưới σ-hữu hạn địa phương)

2 Không gian tôpô X được gọi là g-đếm được thứ nhất hoặc yếu đếmđược thứ nhất (tương ứng là sn-đếm được thứ nhất) nếu tồn tại cơ sở lâncận yếu đếm được (tương ứng là sn-lưới đếm được)

3 Không gian tôpô X được gọi là g-đếm được thứ hai (tương ứng là

sn-đếm được thứ hai) nếu nó có một cơ sở yếu đếm được (tương ứng là

sn-lưới đếm được)

1.2.38 Bổ đề Không gian tôpô X là g-metric nếu và chỉ nếu X làkhông gian đếm được thứ nhất và ℵ-không gian.

Chứng minh Bổ đề này được suy trực tiếp từ định nghĩa và Bổ đề 1.2.24

1.2.39 Bổ đề ([3]) Nếu X là không gian g-metric thì X là k-không gian

và ℵ-không gian

1.2.40 Bổ đề ([6]) Không gian tôpô X là g-metric khi và chỉ khi X làsymmetric và ℵ-không gian

1.2.41 Bổ đề ([7]) Không gian tôpô X là g-metric khi và chỉ khi X là

k-không gian và sn-không gian

1.2.42 Bổ đề ([7]) Không gian tôpô X là g-đếm được thứ hai khi và chỉkhi X là k-không gian và sn-đếm được thứ hai

1.2.43 Bổ đề ([7]) Không gian tôpô X là g-đếm được thứ nhất khi vàchỉ khi X là không gian dãy và sn-đếm được thứ nhất

1.2.44 Bổ đề ([7]) Không gian tôpô X là g-đếm được thứ hai khi và chỉkhi X là không gian dãy và sn-đếm được thứ hai

1.2.45 Bổ đề ([5]) Trong không gian Fre´chet ta có metric ⇐⇒ g-metric

⇐⇒ sn-metric

1.2.46 Bổ đề ([7]) Các khẳng định sau đây là tương đương với khônggian X

(1) X có cs-lưới đếm được địa phương;

(2) X có cs∗-lưới đếm được địa phương;

(3) X có k-lưới đếm được địa phương