Một cách tiếp cận giải bài toán chiếc túi có ràng buộc ngẫu nhiên

Một cách tiếp cận giải bài toán chiếc túi có ràng buộc ngẫu nhiên.. Trong các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên,bài toán với ràng buộc ngẫu nhiên là một mô hình dành cho nhiều bàitoán thực t

Mở đầu 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Một số vấn đề về lý thuyết xác suất và thống kê 7

1.1.1 Các khái niệm 7

1.1.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 8

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 10

1.2.1 Các khái niệm cơ bản 10

1.2.2 Tính chất của bài toán và phương pháp giải 11

1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 12

1.3.1 Bài toán 12

1.3.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 12

1.3.3 Bài toán chiếc túi 13

Chương 2 Một cách tiếp cận giải bài toán chiếc túi có ràng buộc ngẫu nhiên 17

2.1 Bài toán chiếc túi có ràng buộc ngẫu nhiên 17

2.1.1 Bài toán 17

2.1.2 Ví dụ 18

2.2 Bài toán tương đương với bài toán (SKP ) 19

2.2.1 Bài toán tương đương 19

2.2.2 Tính chất 19

2.2.3 Về tập phương án bài toán (SKP ) và bài toán (RKP ) 20

2.3 Về mối liên hệ giữa bài toán (SKP ) và (RKP ) 22

2.3.1 Bài toán (RKP (I0, Γ)) 22

2.3.2 Tính chất của bài toán (RKP (I0, Γ)) 23

2.4 Giải bài toán (SKP ) 30

2.4.1 Thuật toán giải bài toán (RKP ) 30

2.4.2 Độ phức tạp của bài toán (RKP ) 30

2.4.3 Ví dụ 34

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

Mở đầu

Bài toán quy hoạch với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi làbài toán quy hoạch ngẫu nhiên Trong các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên,bài toán với ràng buộc ngẫu nhiên là một mô hình dành cho nhiều bàitoán thực tế Tuy nhiên, việc trực tiếp giải nó là nhiều khó khăn Dựa vàonhững kết quả gần đây trong tối ưu hoá (Robust Optimization), người ta

đã nhận được những kết quả đáng chú ý của lớp bài toán với ràng buộcngẫu nhiên

Cũng như lý thuyết quy hoạch, việc xét tới bài toán quy hoạch nguyêncũng gặp nhiều khó khăn Trong lớp bài toán quy hoạch nguyên, đại diệncho nó là bài toán chiếc túi (Knapsack), trong điều kiện thông tin đầy đủ,

đã được nghiên cứu với nhiều thuật toán giải hữu hiệu Khi thông tin về

dữ liệu không đầy đủ, ta được bài toán chiếc túi ngẫu nhiên

Gần đây, nhiều tác giả (chẳng hạn D Bertsimas, X Chen, M Sim, P.Sun, O Klopfenstein and D Nace [6], [7], [8]) đã thu được nhiều kết quảthú vị về lớp bài toán này

Bước đầu tiếp cận với những kết quả của tác giả O Klopfenstein and

D Nace [8], chúng tôi nhận thấy lớp bài toán chiếc túi ngẫu nhiên có ràngbuộc ngẫu nhiên có nhiều ý nghĩa khoa học và ứng dụng trong thực tiễn

Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài: "Một cách tiếp cận giải bài toánchiếc túi có ràng buộc ngẫu nhiên"

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của lýthuyết xác suất - thống kê, các vấn đề lý thuyết quy hoạch tuyến tínhnguyên và bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nguyên hai giai đoạn.Đồng thời để làm sáng rõ thêm những nội dung trong chương 2, chúng tôi

đề cập tới bài toán chiếc túi - một bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên

có dạng đặc biệt

Sang Chương 2, là nội dung chính của luận văn, chúng tôi trình bày bàitoán chiếc túi có sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên trong sự tiếp nhậnthông tin về dữ liệu của bài toán Do thời gian và năng lực có hạn, chúngtôi hạn chế đề tài, xét lớp bài toán chiếc túi cổ điển có ràng buộc ngẫunhiên

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tácgiả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộmôn Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô giáo trong Hội đồngchấm luận văn, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Vinh.Cũng nhân dịp này, cho phép tôi nói lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè,

đã quan tâm, góp ý và tạo điều kiện thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót.Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A).

 Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ-đại số nếu nó là đại số và thoả mãnA4) Nếu An ∈ F , ∀n = 1, 2, thì

• Không gian đo và không gian xác suất

Cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo, (Ω, F , P ) được gọi là khônggian xác suất, trong đó Ω 6= ∅ bất kỳ, F là một σ-đại số các tập con củaΩ

• Độ đo xác suất

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi

là độ đo xác suất trên F nếu

P1) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F , (tính không âm),

P2) P (Ω) = 1, (tính chuẩn hoá)

• Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F , P ) là một không gian xác suất, G là đại số con của đại số F ; B là σ-đại số Borel trên đường thẳng thực R Khi đó ánh xạ

σ-X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G - đo được nếu với mọi B ∈ B(R)

• Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P ), nhận giá trị trên

R Hàm số FX(x) = P [X < x], (x ∈ R) được gọi là hàm phân phối củabiến ngẫu nhiên X

1.1.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

• Định nghĩa Kỳ vọng hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X

là số EX, được xác định bởi

2 Nếu X = C thì EX = C, với C là hằng số.

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số λ, ta có E(λX) = λEX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

ElimXn ≥ limEXn,Nếu |Xn| ≤ Y, ∀n ≥ 1 và EY < ∞ thì

ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn

8 (Định lý Lesbesgue về sự hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY <

∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn− X| → 0 và EXn → EX, n → ∞

9 Nếu ϕ là hàm lồi, X và ϕ(X) khả tích thì

E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX)

10 Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EX.EY

• Định nghĩa Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX (hayvarX) là một số được xác định bởi

DX = E(X − EX)2.Khi đó

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Bài toán (1.1)(1.2) gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính, hàm f (x) gọi

là hàm mục tiêu Ax ≥ b gọi là hệ điều kiện buộc Điểm x ∈ Rn thoả mãn

hệ điều kiện buộc, được gọi là phương án (hay là điểm chấp nhận) củabài toán Ký hiệu tập phương án là M Phương án x∗ thoả mãn f (x∗) =

min f (x), x ∈ M , tức là f (x∗) ≤ f (x), x ∈ M , được gọi là phương án tối

ưu (hay là lời giải hay nghiệm) của bài toán

Để nghiên cứu bài toán (1.1), (1.2), ta hãy xét các lớp bài toán có cáctính chất đặc biệt sau đây:

(GL1): Trong mỗi tập lồi đóng D ⊂ M , nếu f (x) có cực tiểu và nếu D

có đỉnh thì cực tiểu ấy phải đạt được tại ít nhất một đỉnh của D

Cho hàm f xác định trên tập hợp lồi M Điểm x0 ∈ M được gọi là điểmcực tiểu địa phương của f trên M nếu tồn tại lân cận ωx0 của x0 sao cho

f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ M ∩ ωx0.(GL2): Mọi điểm cực tiểu địa phương của hàm f (x) trong một tập lồiđóng bất kỳ D ⊂ M phải là điểm cực tiểu trong toàn bộ D

1.2.2 Tính chất của bài toán và phương pháp giải

1.2.2.1 Định lý Hàm tuyến tính f (x) xác định trên tập lồi M , cóđỉnh, có đầy đủ các tính chất (GL1) và (GL2)

Từ định lý 1.2.2.1, chúng ta có được ý tưởng giải bài toán quy hoạchtuyến tính như sau:

• Lấy một điểm bất kỳ x0 nào đó của M , đem so sánh f (x0) với cácđiểm khác của M Nhờ tính chất (GL2), việc so sánh như vậy sẽ đơn giảnhơn nhiều, ta chỉ cần xét x0 có phải là cực tiểu địa phương của f trên Mhay không (Chúng ta nhớ rằng phương pháp đạo hàm để tìm cực trị củamột hàm trên miền ràng buộc của nó, chỉ cho ta cực trị địa phương)

• Hoặc nhờ tính chất (GL1), lấy một phương án cực biên bất kỳ x0 nào

đó của M , đem so sánh f (x0) với các giá trị của hàm mục tiêu f tại phương

án cực biên khác của M Chúng ta chú ý rằng số phương án cực biên củatập lồi đa diện là hữu hạn, do đó việc so sánh như vậy cũng chỉ tiến hànhhữu hạn bước Đó là ý tưởng chính của phương pháp đơn hình đã biết.1.2.2.2 Định lý Để phương án cực biên x0 của M tối ưu, điều kiện

cần và đủ là trên mỗi cạnh của M , kề x0 có một điểm y ∈ M, y 6= x0, saocho f (y) ≥ f (x0).

1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

1.3.1.2 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn

1.3.1.3 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

1.3.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạnBài toán quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn có dạng ở giai đoạn 2 là

y tương ứng các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D

là ma trận cấp m × m (thông thường có thể lấy ma trận đơn vị); y =(y1, y2, , ym); Dy thể hiện độ lệch giữa Ax với b và q = (q1, q2, , qn) gọi

là vectơ phạt bởi tác động của đại lượng ngẫu nhiên ez

Giai đoạn thứ nhất, biến x là nghiệm thu được trên cơ sở thông tin cóđược từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai, biến y là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ

bộ x của giai đoạn thứ nhất với thông tin xác định

Do vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giảibài toán

trong đó Y là không gian các hàm đo được

1.3.3 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên

1.3.3.1 Bài toán chiếc túi cổ điển Cho n đồ vật, trọng lượng tươngứng của đồ vật thứ i là ai và có giá trị là ci (i = 1, n) Ta hãy xếp đồ vật

vào túi có tải trọng là b, sao cho tổng trọng lượng không vượt quá b và đạtgiá trị lớn nhất.

Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:

với điều kiện

Để giải bài toán cái túi đã nêu, người ta đã đưa ra nhiều thuật toán.Sau đây, ta xét thuật toán giải dựa trên phương pháp quy hoạch động.Với mỗi số nguyên k và h, (k = 1, n, h = 0, b), ta đặt

Từ công thức (1.4), người ta cũng có thể biến đổi để có được công thức

đệ quy sau đây, gọi là Hệ thức Dantzig

án tối ưu cần tìm

1.3.3.3 Bài toán chiếc túi cổ điển ngẫu nhiên Bài toán chiếc túi

cổ điển là bài toán quy hoạch tuyến tính, có các tính chất riêng biệt của

nó nên được giải bằng phương pháp quy hoạch động Khi thông tin về dữliệu của bài toán phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên thì ta có bài toán chiếctúi cổ điển ngẫu nhiên

Trong các bài toán chiếc túi cổ điển ngẫu nhiên, có lớp bài toán chiếc túi

cổ điển, với ràng buộc ngẫu nhiên Đây là lớp bài toán có nhiều ứng dụngtrong thực tế Chẳng hạn, trong công trình khoa học Một lớp bài toán đầu

tư tài chính, khi thị trường tài chính có những biến động ngẫu nhiên, cáctác giả Trần Xuân Sinh và Nguyễn Thị Thanh Hiền đã chuyển về bài toánchiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên

Chúng tôi sẽ trình bày đầy đủ lớp bài toán này trong chương 2

Chương 2

Một cách tiếp cận giải bài toán chiếc túi

có ràng buộc ngẫu nhiên

2.1 Bài toán chiếc túi có ràng buộc ngẫu nhiên

Trong chương 1, chúng ta đã nói tới bài toán chiếc túi cổ điển Khi bàitoán có sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên thì bài toán chiếc túi sẽ xảy

ra nhiều tình huống khác nhau do ảnh hưởng của yếu tố ngẫu nhiên vàothông tin dữ liệu Trong mục này, chúng ta xét tới bài toán chiếc túi córàng buộc ngẫu nhiên

Giả sử ai, i = 1, 2, , n phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên wi, i = 1, 2, , n

Ký hiệu w = (wi) lấy giá trị trong W ⊆ Rn+; độ đo xác suất P trên W là

P (w ∈ W ) = P (W ) = 1 Khi đó bài toán (1.1)(1.2) trở thành bài toánchiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên

trong đó ε > 0, đủ bé cho trước nào đó

Bài toán (2.1)(2.2)(2.3) cũng thường được ký hiệu là bài toán (SKP ) Stochastic Knapsack Problem

-Như vậy bài toán chiếc túi lúc này đặt ra là: Tìm một điểm x∗ ∈ {0; 1}n

với xác suất P



Pn i=1wixi ≤ b ≥ 1 − ε sao cho đạt max f Bài toán đặt ra không phải dễ dàng duyệt hết các phương án khi n khálớn Vì vậy, chúng ta cần khai thác các tính chất của nó

w2.x2 bởi W2 Chú ý rằng I[0;1](w) = 1 nếu w ∈ [0; 1] và I[0;1](w) = 0 nếu

w /∈ [0; 1], nên Wi có di = (1/xi).I[0;x 1 ], i = 1, 2 Với i = 1 thì

P (w1x1 + w2x2 ≤ 1) = 1

Ví dụ nêu trên cho thấy rằng tập phương án M của bài toán không phải

là tập lồi đa diện Do vậy việc giải bài toán khó thực hiện trực tiếp

2.2 Bài toán tương đương với bài toán (SKP )

Trong mục này, chúng ta sẽ đưa ra bài toán tương đương với bài toán(2.1)-(2.3)

2.2.1 Bài toán tương đương

Chứng minh Rõ ràng x∗ là phương án của bài toán SKP , khi và chỉkhi tồn tại V ⊆ W : P (V ) ≥ 1 − ε sao cho (V, x∗) là phương án của bàitoán (2.4)-(2.6) Chú ý rằng nếu V có dạng V = {w ∈ W : wx ≤ b}

thì P (wx ≤ b) ≥ P (V ) Khi đó (V, x∗) là phương án tối ưu của bài toán(2.4)-(2.6) khi và chỉ khi x∗ là phương án tối ưu của (SKP ).

Đó là điều phải chứng minh

Chúng ta giả sử rằng các hệ số ai ∈ [wi, wi], với wi ≥ 0 là giá trị trọnglượng thấp nhất có thể của hàng loại i và wi là giá trị trọng lượng lớn nhất

có thể của hàng loại i Do vậy W thuộc tích Đềcác của các đoạn [wi, wi]

Để đơn giản, các biến ngẫu nhiên và các thể hiện của chúng, ta cùng kýhiệu bởi wi, i = 1, 2, , n Chúng ta xét tới biến ngẫu nhiên ηi, i ∈ I:

Với mỗi x ∈ {0; 1}n, ta ký hiệu I(x) = {i ∈ I : xi = 1}

Bài toán (2.7)(2.8)(2.9) gọi là bài toán (RKP ) - Robust Knapsack lem

Prob-2.2.3 Về tập phương án bài toán (SKP ) và bài toán (RKP )2.2.3.1 Bổ đề Với mọi phương án x của bài toán (RKP ) thì

Điều đó có nghĩa là P (w.x ≤ b) = 1 Do vậy

Bất đẳng thức thứ nhất có được là do x phương án Chọn S ⊆ I(x) saocho với mọi i ∈ I(x) \ S; δi ≤ minj∈Sδj Lúc này chúng ta có

P (w.x > b) ≤ P

i∈I(x)

ηi ≥ Γ

Từ đó suy ra điều cần chứng minh của Bổ đề

2.2.3.2 Định lý Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên wi là độc lập vàphân bố đối xứng Lấy ε ∈ (0, 1) Nếu Γ ≥ (1/2) n + p−2n ln(ε)
, thìmỗi phương án của (RKP ) cũng sẽ là phương án của (SKP )

Chứng minh Ký hiệu ηi = 2ηi − 1 Biến ngẫu nhiên {ηi}i∈I là độc lập

và phân bố đối xứng trên đoạn [−1, 1] Giả sử rằng Γ ≥ n/2, từ kết quả

đã biết trong [6], chúng ta đã biết rằng

Bài toán (2.14)-(2.16) được ký hiệu là (RKP (I0, Γ)).

Bài toán (RKP (I0, Γ)) có thể xem như bài toán (RKP ) với tất cả trọnglượng có thể của các phần tử thuộc tập I \ I0 cho khả năng xấu nhất,không có sự chắc chắn nào cho những giá trị này Do vậy, thay vì xét bàitoán (RKP ), ta xét bài toán (RKP (I0, Γ)) Chú ý rằng với bất kỳ haitập con I0, I” của I mà I0 ⊆ I” thì có nghĩa là bất kỳ phương án nào của(RKP (I0, Γ)) cũng là phương án của (RKP (I”, Γ)) Do vậy bất kỳ phương

án nào của (RKP (I0, Γ)) cũng là phương án của (RKP (I, Γ)) Đồng thờikhi xem xét Γ0 ≤ Γ thì với bất kỳ phương án nào của (RKP (I0, Γ)) sẽ cũng

là phương án của bài toán (RKP (I0, Γ0))

2.3.2 Tính chất của bài toán (RKP (I0, Γ)

2.3.2.1 Bổ đề Lấy Γ ∈ {0, , n} Giả sử x∗ là phương án tối ưu của(RKP (I, Γ)) Khi đó

(i) nếu Γ ≤ |I(x∗)| thì x∗ là phương án tối ưu của (RKP (I(x∗), Γ)),(ii) nếu Γ ≥ |I(x∗)| thì x∗ là phương án tối ưu của (RKP (I, n))

Chứng minh (i) Giả sử rằng Γ ≤ |I(x∗)| Vì I(x∗) ⊆ I nên mỗiphương án của bài toán (RKP (I(x∗), Γ)) cũng là phương án của bài toán(RKP (I, Γ)) Nhưng chúng ta có thể thấy rằng x∗ là một phương áncủa bài toán (RKP (I(x∗), Γ)) Do vậy vì x∗ là phương án tối ưu củabài toán (RKP (I, Γ)) nên nó cũng là phương án tối ưu của bài toán(RKP (I(x∗), Γ))

(ii) Bây giờ giả sử rằng Γ ≥ |I(x∗)| Khi đó tồn tại S ⊆ I có bản số Γ

mà I(x∗) ⊆ S Vậy nên

Ta có bất đẳng thức cuối cùng vì x∗ là phương án của bài toán (RKP (I, Γ))

Do vậy, x∗ chỉ ra rằng nó là phương án của bài toán (RKP (I, n)) Nhưng từ

Γ ≤ n, ta có bài toán (RKP (I, Γ)) là nới lỏng của bài toán (RKP (I, n))

Cuối cùng, chúng ta thấy trong trường hợp Γ = |I(x∗)| thì cả hai trườnghợp (i) và (ii) đều được thực hiện Trong trường hợp này cả 2 bài toán(RKP (I(x∗), Γ)) và (RKP (I, n)) có cùng phương án tối ưu.

Bổ đề chứng minh xong

2.3.2.2 Định lý Giả sử rằng ∀i ∈ I, wi − wi = δ > 0, {wi/δ}i∈I vàb/δ là số nguyên Khi đó tồn tại I∗ ⊆ I và Γ∗ ∈ {0, , |I∗|} sao cho mỗiphương án tối ưu của (RKP (I∗, Γ∗)) cũng là phương án tối ưu của (SKP ).Chứng minh Giả sử x∗ là phương án tối ưu của bài toán (SKP ) Ta kýhiệu I∗ = I(x∗) Vì x∗ là phương án nên

P (w.x∗ ≤ b) = P (w ∈ V ) ≥ 1 − ε

nên mỗi phương án x của (2.17) cũng là phương án của (SKP ) Do vậychúng ta chỉ cần chỉ ra rằng (2.17) có giá trị tối ưu giống như (SKP ) Điềunày là rõ ràng vì theo việc xây dựng cả 2 bài toán cho phép ta có x∗ làphương án tối ưu của 2 bài toán với cùng hàm mục tiêu

Bây giờ ta cần tìm Γ∗ ∈ {0, , |I(x∗)|} sao cho (2.17) tương đương với