Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy học phương trình và bất phương trình ở lớp đầu cấp trung học phổ thông trong những năm gần đây

Ch-ơng Bất ph-ơng trình nhằm mục đích định nghĩa và nghiên cứu các tính chất của bất đẳng thức, chính xác hoá khái niệm bất ph-ơng trình và trình bày ph-ơng pháp giải các bất ph-ơng trìn

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng đại học vinh

Mở đầu

1 Lí DO CHọN Đề TàI

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung -ơng Đảng

Cộng sản Việt Nam, Khóa VII (1993) đã chỉ rõ: “ Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải h-ớng vào đào tạo những con ng-ời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề th-ờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất n-ớc là dân giàu, n-ớc mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh …”

Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng sản Việt Nam, Khóa VIII (1997) tiếp tục khẳng định: “… Phải đổi mới ph-ơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t- duy sáng tạo của ng-ời học Từng b-ớc áp dụng các ph-ơng pháp tiên tiến và ph-ơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS, nhất là sinh viên đại học ….”

Các quan điểm trên đây đã đ-ợc pháp chế hoá trong Luật Giáo dục

Điều 28.2 đã viết: “… Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ….”

Nh- vậy, quan điểm chung về đổi mới ph-ơng pháp dạy học đã đ-ợc khẳng định Cốt lõi của việc đổi mới ph-ơng pháp dạy học môn Toán hiện

nay ở tr-ờng THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động và sáng tạo, chống thói quen học tập thụ động Do đó, việc thiết kế những nội dung dạy

học cụ thể, nhằm quan tâm thích đáng tới các hoạt động của học sinh, tạo môi tr-ờng để học sinh đ-ợc hoạt động tích cực là rất cần thiết

1.2 Chủ đề Ph-ơng trình và Bất ph-ơng trình có vị trí quan trọng trong

ch-ơng trình môn Toán lớp 10 THPT; kiến thức và kỹ năng về chủ đề này

đóng vai trò nền tảng, xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp và có mặt nhiều trong các kì thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; những kiến thức về Ph-ơng

trình và Bất ph-ơng trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức trong môn Toán bậc THPT

1.3 Đáp ứng xu thế hội nhập thế giới, việc đổi mới Ch-ơng trình và

SGK các bậc học nói chung, bậc học phổ thông nói riêng cũng là một trong những yêu cầu cần thiết Từ những thập niên cuối của thế kỉ XX, nhiều quốc gia đã chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo dục phổ thông mà trọng điểm là cải cách ch-ơng trình và SGK Ch-ơng trình của các n-ớc đều h-ớng tới mục tiêu nâng cao chất l-ợng giáo dục, trực tiếp góp phần cải thiện chất l-ợng nguồn nhân lực, nâng cao chất l-ợng sống của con ng-ời; khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng gây mất hứng thú và niềm tin đối với việc học tập của học sinh;

Cùng với trào l-u đó, ch-ơng trình giáo dục, SGK phổ thông của Việt Nam luôn đ-ợc cải cách, chỉnh lí Quá trình cải cách đ-ợc tiến hành qua nhiều lần, do đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, ph-ơng pháp trình bày Ch-ơng trình, SGK môn Toán những năm gần đây đã trải qua các lần thay đổi nh-: Cải cách giáo dục, Thí điểm phân ban (lần thứ nhất), Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, Thí điểm phân ban lần gần đây và Ch-ơng trình hiện hành Nhìn chung, nội dung ch-ơng trình hiện hành đã đ-ợc tinh giản, tập trung vào các kiến thức kĩ năng cơ bản và thiết thực, hình thức tổ chức dạy học khá đa dạng Tuy nhiên, đâu đó còn tồn tại những chỗ bất hợp lí về nội dung và cách trình bày, thậm chí ch-a thật chuẩn xác

Giữa các cuốn sách có sự khác nhau về nội dung và mức độ Mặc dầu các tác giả SGK đã cố gắng bộc lộ quan điểm để giáo viên hiểu dụng ý và dễ

sử dụng, nh-ng không phải mọi sự trình bày đã hoàn toàn thoả đáng, tồn tại những vấn đề cần phải bàn thêm

Vì ch-ơng trình và SGK liên tục có sự thay đổi, cho nên, ở nhiều chỗ ngay bản thân giáo viên vẫn còn tồn tại những v-ớng mắc, thậm chí có những kiến thức ch-a hẳn mọi giáo viên đã hiểu chắc chắn, chứ ch-a nói là dạy cho học sinh hiểu sâu nh- thế nào

1.4 Trong lĩnh vực Ph-ơng pháp dạy học môn Toán, các đề tài nghiên

cứu một cách cụ thể về ch-ơng trình và SGK để có những nhận xét và bình

luận; những đề xuất và kiến nghị về nội dung và ph-ơng pháp giảng dạy là

còn khá hiếm

Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn

là: “Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy học Ph-ơng trình và Bất ph-ơng trình ở lớp đầu cấp Trung học phổ thông

trong những năm gần đây”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu để tìm hiểu, làm sáng tỏ một số thay đổi và điều chỉnh trong cách trình bày kiến thức thuộc chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình ở các SGK Đại số 10 những năm gần đây và hiện tại Từ đó, đ-a ra những đánh giá và nhận định về những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy các kiến thức này,

và trên cơ sở đó, đề xuất những cải tiến về nội dung và ph-ơng pháp dạy học một cách phù hợp

3 Giả thuyết khoa học

Nếu tiến hành phân tích, so sánh và đối chiếu cách trình bày chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình trong các Sách giáo khoa Đại số lớp 10 (những năm gần đây và hiện tại), thì có thể làm sáng tỏ những -u điểm và tồn tại trong từng cuốn sách, từ đó đ-a ra ph-ơng án điều chỉnh về nội dung và lựa chọn PPDH nhằm góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học Toán ở lớp đầu cấp tr-ờng Trung học phổ thông

4 Ph-ơng pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận:

- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà n-ớc; các chủ tr-ơng và chính sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học Toán ở tr-ờng THPT

- Nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học bộ môn Toán có liên quan

đến đề tài

- Nghiên cứu ch-ơng trình và nội dung SGK, sách bài tập, sách giáo viên, tài liệu h-ớng dẫn giảng dạy, sách tham khảo về chủ đề Ph-ơng trình và Bất ph-ơng trình ở lớp 10 THPT để rút ra các kết luận cần thiết

4.2 Tìm hiểu, điều tra thực tiễn:

Quan sát, dự giờ, tổng kết kinh nghiệm dạy học chủ đề Ph-ơng trình

và Bất ph-ơng trình ở lớp 10 THPT

4.3 Thực nghiệm s- phạm:

Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở tr-ờng THPT để b-ớc đầu kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 So sánh, đối chiếu sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu h-ớng

dẫn giảng dạy về chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình trong ch-ơng trình

Đại số 10 những năm gần đây và hiện tại để từ đó đ-a ra những bình luận cần thiết

5.2 Qua sự đối chiếu, so sánh đó, tìm ra những -u, nh-ợc điểm của

từng cách trình bày, những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình thuộc ch-ơng trình Đại số 10 THPT

5.3 Nghiên cứu, đề xuất những cải tiến về nội dung và ph-ơng pháp

dạy học chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình theo h-ớng phát huy tính tích cực của học sinh, tăng c-ờng hoạt động của ng-ời học

5.4 Thực nghiệm s- phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả

của những kiến nghị, đề xuất

6 cấu trúc luận văn

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Giả thuyết khoa học

4 Ph-ơng pháp nghiên cứu

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Ch-ơng 1 Nghiên cứu nội dung, cách thức trình bày chủ đề Ph-ơng

trình, Bất ph-ơng trình ở các Sách giáo khoa Đại số 10 trong những năm gần đây

1.1 Trong Sách giáo khoa Cải cách giáo dục ở những năm trong thập

niên 90

1.2 Trong Sách giáo khoa Chỉnh lí hợp nhất năm 2000

1.3 Trong Sách giáo khoa hiện hành

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Ch-ơng 1 Nghiên cứu nội dung, cách thức trình bày chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình ở các Sách giáo khoa Đại số 10 trong những năm gần đây

1.1 Trong Sách giáo khoa Cải cách giáo dục ở những năm trong thập niên 90

1.1.1 Sách giáo khoa Đại số 10 d-ới sự Chủ biên của Ngô Thúc Lanh

(Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội)

Nội dung chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong hai ch-ơng: Ch-ơng II - Ph-ơng trình và Ch-ơng III - Bất ph-ơng trình

Chương “Phương trình” nhằm chính xác hoá khái niệm Ph-ơng trình

mà HS đã biết qua SGK Đại số 8, đồng thời nó giới thiệu cách giải và biện luận các ph-ơng trình một ẩn bậc nhất và bậc hai, các hệ hai ph-ơng trình bậc

nhất hai ẩn, cách giải các hệ nhiều ph-ơng trình bậc nhất nhiều ẩn và một số ph-ơng trình quy về bậc nhất, bậc hai

ở các lớp d-ới HS đã biết cách giải các ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai, chủ yếu với hệ số bằng số; đã biết cách giải các hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn với hệ số bằng số bằng các ph-ơng pháp thông th-ờng

Ch-ơng trình Đại số 10 yêu cầu HS phải hiểu sâu sắc về ph-ơng trình, biết cách giải và biện luận các ph-ơng trình một ẩn bậc nhất và bậc hai, các

hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn có tham số

Với nội dung trên, Chương “Phương trình” bao gồm bốn bài (Đ) sau:

đẳng thức số “f(a) = g(a)” Khi đó ta nói đẳng thức f(x) = g(x) (1) là một ph-ơng trình một ẩn) D = D f D g là tập xác định, x là ẩn, a là một nghiệm của ph-ơng trình” [22, tr 47]

Nh- vậy, để hiểu sâu sắc về ph-ơng trình, HS cần nắm vững ý nghĩa

của dấu đẳng thức trong cách kí hiệu ph-ơng trình, cần phân biệt dấu đó với dấu đẳng thức trong các đẳng thức số hoặc các hằng đẳng thức

Các tác giả không đề cập đến khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng

mà chỉ đề cập đến khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D qua định nghĩa:“Cho hai ph-ơng trình: f 1 (x) = g 1 (x) (1) với tập xác định D 1

1 2 1

x

x (1) và x 1x 2 = 0 (2)

là t-ơng đ-ơng trên tập D = R\1 vì trên D chúng có cùng tập nghiệm là  2 , nh-ng chúng không t-ơng đ-ơng trên R vì trên R số 1 là nghiệm của (2) nh-ng không là nghiệm của (1)

Hai ph-ơng trình x10 và

x x

x1 11 đều có cùng tập hợp nghiệm là 1 nh-ng chúng chỉ t-ơng đ-ơng trên tập D = R\  0

Các phép biến đổi t-ơng đ-ơng trên D đ-ợc phát biểu qua hai định lí:

Định lí 1.“Cho ph-ơng trình f(x) = g(x) (I) với tập xác định D = D f 

Hai định lí đ-ợc chứng minh dựa vào tính chất cơ bản của đẳng thức số Khái niệm ph-ơng trình hệ quả và phép biến đổi dẫn tới ph-ơng trình

hệ quả không đ-ợc đề cập trong phần lí thuyết mà đ-a vào bài tập

Các ph-ơng trình quy về bậc nhất, bậc hai đ-ợc giới thiệu ở đây gồm: ph-ơng trình tích, ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, ph-ơng trình chứa ẩn d-ới dấu căn thức bậc hai, ph-ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ph-ơng trình trùng ph-ơng

SGK không đề cập đến lí thuyết tổng quát về hệ ph-ơng trình nh- đối

với ph-ơng trình mà chỉ trình bày các khái niệm nghiệm, hệ vô định, hệ vô nghiệm đối với hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn

ở lớp 9 HS đã đ-ợc học t-ơng đối kĩ về việc giải một hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn với hệ số bằng số, HS đã biết sử dụng các ph-ơng pháp thế, ph-ơng pháp cộng, ph-ơng pháp đồ thị Vì vậy điều trọng tâm là mọi HS đều

phải nắm và vận dụng đ-ợc quy tắc thực hành để giải và biện luận một hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức

SGK định nghĩa:“Ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c trong đó a, b, c là những số thực đã cho, x và y là ẩn” [22, tr 62]

Nếu theo định nghĩa này thì ph-ơng trình dạng 0x + 0y = c là một

cbyax

, ,

tr-ờng hợp a = b = 0 hoặc a’= b’= 0 đ-ợc xem là hệ ph-ơng trình bậc nhất hai

ẩn Quy tắc thực hành để giải và biện luận một hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn đ-ợc trình bày nh- sau:

áp dụng quy tắc này khi giải hệ ph-ơng trình

c0.y0.x

, nhiều HS th-ờng tính ngay định thức D khi bắt đầu lời giải, đây là một sai lầm khá phổ biến của HS trong các bài toán biện luận hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn

Ngoài ra SGK còn giới thiệu hệ đối xứng loại một qua hai ví dụ

Ch-ơng Bất ph-ơng trình nhằm mục đích định nghĩa và nghiên cứu các tính chất của bất đẳng thức, chính xác hoá khái niệm bất ph-ơng trình và trình bày ph-ơng pháp giải các bất ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai ở các lớp d-ới HS đã biết thứ tự trong tập hợp số nguyên Z và trong tập hợp số hữu

tỉ Q nh-ng thứ tự trong tập hợp số thực R thì không đ-ợc giới thiệu

Với nội dung trên Chương “Bất phương trình” đ-ợc phân bố gồm bốn bài: Đ1 Bất đẳng thức

hệ Bất đẳng thức giữa các số thực đ-ợc định nghĩa qua tập hợp các số thực

d-ơng: “Số thực a đ-ợc gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu là a > b, nếu hiệu a -

b là d-ơng Khi đó ta cũng viết b < a và nói: b nhỏ hơn a

Các điều kiện a > b và b < a đ-ợc gọi là bất đẳng thức

Trong bất đẳng thức a > b (hoặc a < b) a gọi là vế trái, b là vế phải” Tiếp theo SGK trình bày khái niệm bất đẳng thức cùng chiều, bất đẳng thức trái chiều và các bất đẳng thức ab,ab

Căn cứ vào định nghĩa trên thì hai vế của bất đẳng thức là các số thực nh-ng thực tế có những bất đẳng thức hai vế là các biểu thức chứa biến

SGK đ-a ra 10 tính chất của Bất đẳng thức, các tính chất đ-ợc chứng minh chủ yếu là áp dụng định nghĩa; SGK còn trình bày 4 bất đẳng thức thông dụng và các chứng minh trong đó có bất đẳng thức Côsi với hai số

không âm và bất đẳng thức Bunhiacôpki đối với bốn số thực, đồng thời nhấn mạnh đến những ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Côsi có liên quan đến chu vi và diện tích của hình vuông và hình chữ nhật

Để định nghĩa Bất ph-ơng trình SGK vẫn giữ quan điểm hàm số nh-

đối với ph-ơng trình:“Xét hai hàm số f(x) và g(x) trên tập xác định chung D =

D f  D g của chúng Ta hãy tìm tất cả các số thực x 0D sao cho f(x0 ) > g(x 0 ) (hoặc f(x 0 ) < g(x 0 )) Khi đó ta có bất ph-ơng trình f(x) > g(x) hoặc (f(x)< g(x)" [22, tr 103]

Hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D đ-ợc định nghĩa t-ơng tự nh- hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D

Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình

cũng t-ơng tự nh- các định lí t-ơng ứng về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các ph-ơng trình; khi ta nhân hai vế của một bất ph-ơng trình với một hàm số thì hàm số đó ngoài điều kiện phải xác định và khác 0 trên D, còn phải giữ nguyên một dấu trên D, nếu là dấu d-ơng thì không đổi chiều, nếu là dấu âm thì phải đổi chiều của bất ph-ơng trình Rất nhiều HS th-ờng quên điều này dẫn tới mắc sai lầm khi giải bất ph-ơng trình

Cách giải bất ph-ơng trình bậc nhất một ẩn đã đ-ợc đ-a vào ch-ơng

trình Đại số 8; đến lớp 10 HS phải nắm đ-ợc cách giải và biện luận các bất

ph-ơng trình bậc nhất một ẩn d-ới dạng tổng quát, bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất ph-ơng trình bậc nhất, nắm vững định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và những ứng dụng của nó

SGK đã đ-a ra qui tắc thực tiễn của ph-ơng pháp khoảng và áp dụng qui tắc đó vào việc giải các bất ph-ơng trình hữu tỉ

Việc giải hệ bất ph-ơng trình bậc nhất đ-ợc áp dụng vào thực tế qua giải bài toán qui hoạch tuyến tính

Để giải bất ph-ơng trình bậc hai một ẩn phải áp dụng các kết quả thu

đ-ợc trong việc xét dấu của tam thức bậc hai; SGK đã đ-a ra cách giải tổng quát, HS chỉ cần nắm vững để áp dụng vào các tr-ờng hợp cụ thể

Để giải bài toán so sánh một số với hai nghiệm của ph-ơng trình bậc hai cần vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, sau khi trình bày

nội dung định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai SGK đã tổng kết thành qui tắc và đ-a ra ba ví dụ trong đó có hai ví dụ chứa tham số Các bài tập về tam

thức bậc hai chủ yếu đi sâu vào các bài tập chứa tham số

1.1.2 Sách giáo khoa d-ới sự Chủ biên của Phan Đức Chính

Chủ đề Ph-ơng trình và Bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong 2 ch-ơng: Ch-ơng II Ph-ơng trình - Hệ ph-ơng trình và Ch-ơng III Bất đẳng thức - Bất ph-ơng trình

Chương “Phương trình - Hệ phương trình” gồm 7 bài (Đ) sau:

Đ1 Ph-ơng trình

Đ2 Phép giải và biện luận ph-ơng trình dạng ax + b = 0

Đ3 Phép giải và biện luận ph-ơng trình dạng ax2

Đ4 Bất ph-ơng trình bậc nhất chứa một ẩn

Đ5 Bất ph-ơng trình bậc hai chứa một ẩn

Đ6 Hệ bất ph-ơng trình

Đ7 Định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

Đ8 Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa căn bậc hai

Nh- vậy, tuy có sự trình bày khác nhau nh-ng về mặt nội dung kiến thức chủ đề này ở hai cuốn sách không có sự khác biệt nhiều

SGK trình bày định nghĩa tổng quát của ph-ơng trình thông qua khái

niệm đẳng thức “Xem các đẳng thức (có thể đúng hay sai) sau đây:

 23

2

10

x x

x

Các đẳng thức trên chứa một hay nhiều biến: x, y, z, Nếu phải tìm giá trị của các biến để đẳng thức đ-ợc nghiệm đúng, thì ta nói ta có một ph-ơng trình, khi đó mỗi biến đ-ợc gọi là một ẩn số Tập hợp giá trị của các

ẩn làm cho các biểu thức ở hai vế của ph-ơng trình có nghĩa đ-ợc gọi là miền

xác định của ph-ơng trình ấy” [2, tr 43]

Nh- vậy khác với SGK của Ngô Thúc Lanh ở đây chỉ xét đến tr-ờng hợp hai vế ph-ơng trình là các biểu thức, một tr-ờng hợp riêng của hàm số, cụm từ “tập xác định” trong [22] đ-ợc thay bằng “miền xác định”

SGK định nghiã hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng nh- sau:

“Hai ph-ơng trình đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng với nhau, nếu chúng có

12

x

x (1) và x1x20 (2)

là không t-ơng đ-ơng, vì tập nghiệm của chúng không bằng nhau Tuy nhiên theo định nghĩa trong SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên thì hai ph-ơng trình này lại t-ơng đ-ơng trên tập D = R\ 1

Các phép biến đổi t-ơng đ-ơng đ-ợc trình bày trong ba định lí (không

chứng minh) SGK chỉ xét các phép biến đổi không làm thay đổi miền xác

Định lí 3 “Nếu nhân hoặc chia hai vế của một ph-ơng trình với cùng một số khác 0, hoặc với cùng một biểu thứccó giá trị khác 0 trên miền xác

định của ph-ơng trình, và không làm thay đổi miền xác định ấy, thì ta đ-ợc một ph-ơng trình mới t-ơng đ-ơng” [2, tr 45]

Có thể thấy rằng, điều kiện“không làm thay đổi miền xác định của ph-ơng trình” là điều kiện đủ nh-ng không phải là điều kiện cần Nói

cách khác, nếu có điều kiện ấy thì các ph-ơng trình trong các Định lý là t-ơng đ-ơng, còn nếu không có điều kiện ấy thì các ph-ơng trình có thể t-ơng đ-ơng mà cũng có thể không t-ơng đ-ơng

Ví dụ Các ph-ơng trình x20(1) và

1

11

12

Tr-ớc khi trình bày khái niệm ph-ơng trình hệ quả SGK đ-a ra ba ví dụ giúp HS ý thức đ-ợc những khả năng diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến

đổi ph-ơng trình

Đối với các ph-ơng trình ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0 trong tr-ờng hợp

a0, SGK không định nghĩa các khái niệm ph-ơng trình bậc nhất, ph-ơng trình bậc hai một ẩn

Khi nghiên cứu về hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn SGK nhắc lại ph-ơng pháp thế, ph-ơng pháp cộng đại số nh-ng không nêu định nghĩa và

đoán nhận đồ thị phép giải hệ này

SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên thì lí thuyết tổng quát về hệ ph-ơng trình không đ-ợc trình bày một cách đầy đủ ở đây các khái niệm liên quan

đến hệ ph-ơng trình đ-ợc trình bày đầy đủ trong Đ5 Ngoài việc nghiên cứu các hệ ph-ơng trình bậc nhất SGK còn đề cập đến một số hệ ph-ơng trình bậc hai nh-: hệ đối xứng loại một, hệ đối xứng loại hai, hệ có vế trái đẳng cấp bậc hai và một số tr-ờng hợp mà khi giải cần xem xét đặc thù của hệ

Về bất đẳng thức SGK định nghĩa: “Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số (tr-ờng hợp đặc biệt A, B có thể là những số)

Mệnh đề: “A lớn hơn B”, kí hiệu d-ới dạng A > B đ-ợc gọi là một bất

đẳng thức; A, B đ-ợc gọi là các vế của bất đẳng thức ấy Ng-ời ta cũng kí hiệu mệnh đề trên d-ới dạng B < A, đọc là: “B nhỏ hơn A”

Nh- bất cứ mệnh đề nào trong toán học, bất đẳng thức A >B có thể

đúng hay sai Vì vậy ng-ời ta qui -ớc: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng” [2, tr 79]

Theo sự trình bày trong SGK thì các bất đẳng thức a > b, a < b đ-ợc gọi

là bất đẳng thức ngặt Các bất đẳng thức ab,ab gọi là bất đẳng thức suy rộng; Bất đẳng thức liên quan tới giá trị tuyệt đối đựơc đ-a vào bài tập; Bất

đẳng thức Côsi với hai số không âm đ-ợc chứng minh bằng ph-ơng pháp đại

số và bằng ph-ơng pháp hình học

Nh- vậy khái niệm bất đẳng thức đ-ợc định nghĩa bằng cách dùng mệnh đề Tuy nhiên, kiến thức về mệnh đề ch-a đ-ợc đề cập đến trong ch-ơng trình Đại số 10, điều này sẽ gây khó khăn trong việc dạy và học bất

đẳng thức

Lí thuyết tổng quát về bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày t-ơng tự nh- đối với ph-ơng trình bao gồm định nghĩa, bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, bất ph-ơng trình hệ quả SGK định nghĩa bất ph-ơng trình nh- sau:

“Xem các bất đẳng thức (có thể đúng hay sai ) sau đây:

 

 )3(3

2

22

21

1

1

3

x 2x

2 2

m x mx

x x

Nếu phải tìm cácgiá trị của x để bất đẳng thức đ-ợc nghiệm đúng, thì

ta nói ta có một bất ph-ơng trình, x đ-ợc gọi là ẩn số Tập hợp các giá trị

của x làm cho các biểu thức ở hai vế của bất ph-ơng trình có nghĩa đ-ợc gọi

là miền xác định của bất ph-ơng trình ấy” [2, tr 94]

Căn cứ vào định nghĩa trên thì bất ph-ơng trình là một tr-ờng hợp riêng của bất đẳng thức, các dấu “<, >, , ” trong kí hiệu bất phương trình chỉ có tính chất hình thức Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình cũng t-ơng tự nh- các định lí t-ơng ứng về sự biến đổi t-ơng

đ-ơng các ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong ba định lí (không chứng minh),

SGK chỉ xét các phép biến đổi không làm thay đổi miền xác định của bất ph-ơng trình

Về bất ph-ơng trình bậc nhất chứa một ẩn SGK định nghĩa: “Một bất ph-ơng trình bậc nhất chứa một ẩn có dạng ax  b  0, hoặc axb 0, hoặc

Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai đ-ợc phân bố thành một bài riêng nên việc áp dụng định lí vào giải toán đ-ợc nghiên cứu kĩ qua sáu ví dụ

SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên không trình bày đại c-ơng về hệ bất ph-ơng trình và chỉ nghiên cứu các hệ bất ph-ơng trình bậc nhất ở đây lí thuyết về hệ bất ph-ơng trình một ẩn đ-ợc trình bày trong Đ6, các tác giả còn trình bày cách giải hệ gồm một bất ph-ơng trình bậc nhất và một bất ph-ơng trình bậc hai một ẩn qua các ví dụ

Việc xét dấu các biểu thức đ-ợc thực hiện bằng cách lập bảng, ph-ơng pháp khoảng không đ-ợc giới thiệu

Các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình qui về bậc nhất và bậc hai ở đây chỉ

đề cập đến ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa ẩn d-ới dấu căn thức bậc hai Các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình tích; ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa

ẩn ở mẫu thức; ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt

đối; bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn; hệ bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn không đ-ợc trình bày

1.1.3 Sách giáo khoa d-ới sự Chủ biên của Trần Văn Hạo (Hội giảng dạy Toán thành phố Hồ Chí Minh)

Sự phân bố chủ đề này có khác với các SGK [2] và [22]; Tác giả trình

bày tất cả các vấn đề về bậc nhất trong ch-ơng II, ch-ơng III trình bày các vấn đề về bậc hai Cụ thể:

Ch-ơng II Ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình, bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình bậc nhất,

Ch-ơng III Ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình và bất ph-ơng trình bậc hai, Các nội dung kiến thức ở hai ch-ơng cơ bản nh- hai SGK đã nêu

Đại c-ơng về ph-ơng trình, bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày t-ơng tự nh- trong SGK do Phan Đức Chính Chủ biên đó là khái niệm Ph-ơng trình

đ-ợc định nghĩa thông qua khái niệm đẳng thức, khái niệm Bất ph-ơng trình

đ-ợc định nghĩa thông qua khái niệm bất đẳng thức:“đẳng thức f(x)=g(x) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức theo x, đ-ợc gọi là ph-ơng trình một

ẩn số, x đ-ợc gọi là ẩn số

Giải ph-ơng trình f(x)=g(x) (1) là tìm tập hợp các giá trị x 0 của x để

đẳng thức f(x 0 )=g(x 0 ) đúng Tập hợp các giá trị này đ-ợc gọi là tập hợp các nghiệm của ph-ơng trình (1) Mỗi phần tử của tập hợp nghiệm này gọi là một nghiệm của ph-ơng trình (1)” [9, tr 29]

“Bất ph-ơng trình một ẩn số là bất đẳng thức có một trong các dạng

SGK không đ-a ví dụ minh hoạ cho các phát biểu trên

Mệnh đề (*) nói chung không có tác dụng trong việc giải ph-ơng trình, bởi chúng ta ch-a thể xác định đ-ợc các giá trị nghiệm của ph-ơng trình f(x)

= g(x), để có thể kiểm tra điều kiện “h(x) có miền xác định chứa các nghiệm của ph-ơng trình (2) ”

Về ph-ơng trình bậc nhất một ẩn và hai ẩn, hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn và giải các ph-ơng trình qui về bậc nhất có nội dung t-ơng tự nh- trong SGK do Ngô Thúc Lanh Chủ biên, ngoài ra còn thêm mục giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình

Khác với các SGK [2] và [22] hệ nhiều ph-ơng trình bậc nhất có nhiều hơn hai ẩn không đ-ợc đề cập đến

Bất đẳng thức đ-ợc định nghĩa: “Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng: A>B, A<B, AB, AB trong đó A, B là các biểu thức chứa các biến số hoặc các số

Các bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai”

SGK còn trình bày khái niệm bất đẳng thức t-ơng đ-ơng, bất đẳng thức

hệ quả: “Bất đẳng thức R và S gọi là t-ơng đ-ơng (ta viết RS) nếu R đúng thì S đúng và đảo lại nếu S đúng thì R đúng

Bất đẳng thức S gọi là hệ quả của bất đẳng thức R (ta viết RS) nếu R

đúng thì S đúng” [ 9, tr 40]

Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình

không đ-ợc đề cập đến, SGK ghi chú: “Khi giải một bất ph-ơng trình, bằng cách sử dụng tính chất của bất đẳng thức t-ơng đ-ơng, ta thay bất ph-ơng trình này lần l-ợt bởi các bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nó” [9, tr 59]

Thực tế khi giải bất ph-ơng trình ta chỉ sử dụng một số phép t-ơng

đ-ơng trong khi đó tính chất của bất đẳng thức thì nhiều Vì vậy nếu SGK phát biểu thành các định lí nh- các SGK khác đã trình bày thì rất thuận lợi cho HS trong quá trình giải toán

Ngoài việc trình bày các tính chất cơ bản của bất đẳng thức cùng các chứng minh, bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm, bất đẳng thức

Bunhiacôpki, bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối SGK còn trình bày bất

đẳng thức Côsi với 4 số không âm, bất đẳng thức Becnuli và hai ph-ơng pháp th-ờng dùng để chứng minh bất đẳng thức

Ph-ơng pháp khoảng đ-ợc minh hoạ qua một ví dụ, cơ sở lí thuyết của ph-ơng pháp này không đ-ợc trình bày nh- trong [22]

Trong SGK của Ngô Thúc Lanh (1998) bất ph-ơng trình bậc nhất hai

ẩn x và y chỉ là các bất ph-ơng trình có một trong các dạng: ax by c0

0c

hệ đối xứng loại hai không đ-ợc đề cập đến

Định lý về dấu tam thức bậc hai vừa đ-ợc chứng minh bằng suy diễn, vừa đ-ợc biểu diễn hình học nh- trong SGK do Phan Đức Chính Chủ biên Trong việc so sánh một số với hai nghiệm của ph-ơng trình bậc hai các tác giả chỉ nêu và chứng minh định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, không trình bày hệ quả của định lí

Nh- vậy, trong cùng một thời điểm nh-ng các SGK lại có sự khác nhau

về l-ợng kiến thức, cách trình bày và thứ tự các kiến thức; điều này cũng dễ hiểu vì mỗi nhóm tác giả có một quan điểm riêng khi viết SGK

1.2 Trong Sách giáo khoa Chỉnh lí hợp nhất năm 2000

Trong đợt chỉnh lí hợp nhất ba bộ sách Toán thành một bộ sách dùng chung cho cả n-ớc, theo tinh thần giảm tải mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề

ra SGK Đại số 10 đã bỏ các bất đẳng thức Bunhiacôpki, bất đẳng thức Becnuli, giảm bớt các bài tập biện luận theo tham số (đặc biệt đối với ph-ơng trình và bất ph-ơng trình bậc hai), các bài tập về ph-ơng trình chứa căn phức tạp Tăng c-ờng các bài tập áp dụng lí thuyết, rèn luyện kĩ năng Điểm mới

của Đại số 10 (Chỉnh lý hợp nhất) so với Đại số 10 (CCGD) là đ-a thêm nội dung “Mệnh đề và suy luận toán học” ở đầu năm học, điều đó đã đ-ợc lý giải nh- sau: “Một trong những thiếu sót của ch-ơng trình CCGD năm 1989 là thiếu khái niệm mệnh đề và các suy luận toán học Trong ch-ơng trình môn Toán ở các lớp d-ới đã sử dụng th-ờng xuyên các khái niệm định lí, định lí

đảo, đôi lúc cũng đã sử dụng phép chứng minh bằng phản chứng, cũng nh- sử

dụng các phép biến đổi t-ơng đ-ơng, sử dụng kí hiệu mà ch-a có lần nào

đ-ợc trình bày một cách rõ ràng Đến đầu cấp phổ thông trung học, ch-ơng trình môn Toán muốn chính xác hoá các khái niệm đó, cũng nh- trình bày một cách chặt chẽ các khái niệm ph-ơng trình, bất ph-ơng trình Muốn làm

đ-ợc điều này không thể không đ-a vào ch-ơng trình các yếu tố sơ đẳng của lôgic toán, cụ thể là lôgic mệnh đề và vị từ (mà ta gọi là mệnh đề chứa biến)”

[6, tr 14]

Chủ đề Ph-ơng trình - Bất ph-ơng trình đ-ợc phân bố t-ơng tự trong sách của Trần Văn Hạo (1990): Ch-ơng III trình bày tất cả các vấn đề về bậc nhất; ch-ơng IV trình bày các vấn đề về bậc hai Tài liệu h-ớng dẫn giảng

dạy 10 viết: “Nh- thế ta có thể sử dụng các kết quả về bất ph-ơng trình bậc nhất khi biện luận các tr-ờng các tr-ờng hợp đơn giản của ph-ơng trình bậc hai” [6, tr 35]

Nội dung của mỗi ch-ơng nói chung không có gì thay đổi ngoại trừ cách trình bày một số vấn đề có đơn giản hơn nh- lí thuyết về Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, bất đẳng thức

Sau khi có khái niệm mệnh đề, mệnh đề chứa biến ở Đ1 ch-ơng I SGK

định nghĩa ph-ơng trình thông qua mệnh đề chứa biến:

Các khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, ph-ơng trình hệ quả

đ-ợc định nghĩa t-ơng tự trong sách của Trần Văn Hạo(1990), sách của Phan

Đức Chính (1999): “Hai ph-ơng trình đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng khi chúng có

tập tập nghiệm bằng nhau (có thể rỗng)”

“Một phương trình gọi là hệ quả của một phương trình cho trước nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của ph-ơng trình đã cho” [10, tr 48-50]

Khi trình bày khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D, SGK Đại

số 10, Chỉnh lý hợp nhất năm 2000, ấn hành tháng 6/2000 [10, tr 49], viết:

“Trong trường hợp hai phương trình có cùng tập xác định D và có tập nghiệm bằng nhau, ta nói hai ph-ơng trình đó t-ơng đ-ơng trên D”

Tài liệu h-ớng dẫn giảng dạy Toán 10 viết: “Cần chú ý rằng khi định nghĩa hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng ta không đề cập đến việc tập xác định

của chúng có trùng nhau hay không Còn nếu chúng có cùng một tập xác

định là D thì ta nói hai ph-ơng trình đó t-ơng đ-ơng trên D” [6, tr 35]

Thế nh-ng qua lời giải nhiều ví dụ mẫu trong sách (chẳng hạn Ví dụ 1 tr

84, Ví dụ 2 tr.123, .) đã cho thấy: hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D không nhất thiết chúng có cùng tập xác định là D!

Còn SGK Đại số 10, Chỉnh lý hợp nhất năm 2000, tái bản lần thứ nhất,

ấn hành tháng 4/2001 cũng định nghĩa khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng

đ-ơng trên D nh- trong [10], chỉ khác ở chỗ: thay cụm từ có cùng tập xác

định D bởi cùng xác định trên D

Nếu tác giả của SGK quan niệm hai cụm từ hai ph-ơng trình có cùng tập xác định D và hai ph-ơng trình cùng xác định trên D là một, thì [10] với [11] hoàn toàn giống nhau, và đều mắc phải sự thiếu nhất quán nh- trong các ví

dụ nêu trên Còn nếu tác giả của SGK phân biệt hai cụm từ này, thì nh- vậy

có nghĩa là, cụm từ hai ph-ơng trình cùng xác định trên D đ-ợc dùng trong [11] đã đ-ợc hiểu theo nghĩa: tập xác định của mỗi ph-ơng trình đều chứa D,

và khi đó định nghĩa trong [11] trở thành: “Trong trường hợp hai phương trình đều có tập xác định chứa D và có tập nghiệm bằng nhau, ta nói hai phương trình đó tương đương trên D” (*)

Tác giả Nguyễn Văn Thuận nhận xét “Theo quan điểm của Lôgic học

thì (*) không thể xem là một định nghĩa Thật vậy: nếu ta xét hai ph-ơng trình (1) và (2) với tập xác định lần l-ợt là D1 và D2 , với tập nghiệm lần l-ợt là N1

và N2, còn D là tập bị chứa trong D1 lẫn D2, thế thì N1 và N2 đâu có chịu sự chi phối gì của D (mà chỉ chịu sự chi phối N1  X1 , N2  X2 thôi), việc N1 =

N2 chẳng nói lên một điều gì liên quan tới D, nói cách khác trong (*) không phản ánh lên đ-ợc cái đặc tr-ng của D” [36, tr 97]

Sau hai định lí về phép biến đổi t-ơng đ-ơng SGK còn trình bày một

phép biến đổi hệ quả đó là: “Bình ph-ơng hai vế của một ph-ơng trình cho tr-ớc ta đ-ợc một ph-ơng trình mới là hệ quả của ph-ơng trình đã cho”

Một điều khác so với các SGK [22], [9] là khái niệm ph-ơng trình bậc

nhất hai ẩn x,y chỉ đề cập đến các ph-ơng trình mà hệ số của x và y không

đồng thời bằng 0 Dẫn đến định nghĩa hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn cũng

có sự thay đổi: “Hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng

ybxa

5 cbyax

, , ,

trong đó (5) và (6) là những ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn, x và y đ-ợc gọi là

ẩn số (a và b không đồng thời bằng 0, a ’ và b ’ không đồng thời bằng 0 )”

Để trình bày khái niệm bất đẳng thức SGK nhắc lại khái niệm số thực

âm, số thực d-ơng đã biết ở lớp d-ới Khái niệm bất đẳng thức đ-ợc định nghĩa bằng cách dùng mệnh đề:

Định nghĩa 1.“Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu a>b, nếu a-b

là một số d-ơng, tức là a – b > 0 Khi đó ta cũng kí hiệu b <a Ta có:

a > b  a – b > 0 Nếu a>b hoặc a=b, ta viết ab Ta có a  b ab0 ”

Định nghĩa 2.“Các mệnh đề “ab”, “a  b”, “a < b” ,” a  b” đ-ợc gọi

là các bất đẳng thức”

Các khái niệm bất đẳng thức t-ơng đ-ơng, bất đẳng thức hệ quả đ-ợc

định nghĩa t-ơng tự trong SGK của Trần Văn Hạo (1990)

Nh- vậy t-ơng tự SGK của Ngô Thúc Lanh (1998) ở đây các tác giả chỉ trình bày khái niệm bất đẳng thức có hai vế là các số thực, ch-a xét đến tr-ờng hợp hai vế là các biểu thức chứa biến, ph-ơng pháp hình học chứng minh bất đẳng thức Côsi với hai số không âm không đ-ợc giới thiệu;

T-ơng tự khái niệm ph-ơng trình, SGK định nghĩa bất ph-ơng trình

một ẩn là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) > g(x) trong đó f(x) và g(x) là hai

hàm số đã cho Khái niệm Hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng đ-ợc định nghĩa t-ơng tự nh- khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, khái niệm hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D không đ-ợc đề cập đến Tuy nhiên ở đây có

sự thiếu nhất quán nh- đối với ph-ơng trình đó là lời giải nhiều ví dụ mẫu

(chẳng hạn Ví dụ 2 tr 85, Ví dụ 3 tr 86, ) đã cho thấy: hai bất ph-ơng trình

chỉ cùng tập nghiệm khi xét trên D

Các định lí cơ bản về sự biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình

đ-ợc trình bày t-ơng tự trong SGK của Ngô Thúc Lanh (1998); Kết luận về dấu của nhị thức bậc nhất đ-ợc thể hiện bằng bảng xét dấu; Ph-ơng pháp khoảng không đ-ợc đề cập đến

Về hệ ph-ơng trình bậc hai SGK chỉ đề cập đến hệ đối xứng loại I

Định lý về dấu tam thức bậc hai đ-ợc chứng minh bằng suy diễn, không có hình vẽ minh hoạ, do yêu cầu giảm tải nên các bài tập chủ yếu bằng

số, những bài tập phải biện luận đều có hệ số của x2 lớn hơn 0

Lí thuyết về Định lí đảo về dấu tam thức bậc hai ở đây không có sự thay đổi về nội dung và cách trình bày, tuy nhiên về bài tập SGK không đề cập đến các bài so sánh nghiệm phức tạp, chẳng hạn bỏ hẳn các bài tập dẫn tới phải lập bảng xét dấu các đại l-ợng a,  ,f(  ),f(  )

1.3 Trong Sách giáo khoa hiện hành

Trong lần phân ban thí điểm hiện nay, tồn tại hai bộ SGK Đại số 10 :

- SGK Đại số 10 Nâng cao của nhóm tác giả do Đoàn Quỳnh Tổng Chủ biên, Nguyễn Huy Đoan Chủ biên là bộ sách dùng cho ban Ban Khoa học tự nhiên

- SGK Đại số 10 của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo Tổng chủ biên, Vũ Tuấn Chủ biên là bộ sách dùng cho ban Ban Cơ bản (còn gọi là theo ch-ơng trình chuẩn)

Hai bộ sách này đ-ợc sử dụng bắt đầu từ năm học 2006 - 2007

Nếu nh- các SGK tr-ớc đây còn mang tính hàn lâm: thông báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ, đ-a ra nhiều các bài toán khó nên còn thiếu tính s- phạm, SGK ch-a thể hiện đ-ợc ph-ơng pháp dạy học

tích cực thì ở lần thay sách này SGK mới đ-ợc biên soạn theo tinh thần: “Sát thực- trực quan - nhẹ nhàng - đổi mới” [9, tr 30] Các bài học đ-ợc thiết kế

sát với thực tiễn giảng dạy, chú trọng các ví dụ và bài tập sát với thực tiễn đời sống và gắn với các môn khoa học khác Sách chú trọng việc tiếp cận kiến thức bằng ph-ơng pháp trực quan nhằm giảm tính hàn lâm và đơn giản hoá những vấn đề phức tạp Hầu hết các khái niệm đều đ-ợc hình thành trên cơ sở dẫn dắt từ những ví dụ và mô tả khái niệm, hạn chế các ví dụ và bài tập phức tạp Chẳng hạn, không yêu cầu giải các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình vô tỉ

và hệ ph-ơng trình bậc hai có chứa tham số Đặc biệt bỏ định lí đảo về dấu cuả tam thức bậc hai Sách không trình bày chi tiết lại các kiến thức HS đã

học ở lớp d-ới, số l-ợng bài tập vừa phải Để giúp HS làm quen với cách kiểm tra trắc nghiệm khách quan, cuối mỗi ch-ơng của SGK đều có bài tập loại này Cấu trúc cả hai bộ SGK đều có trang mở đầu ở mỗi ch-ơng, giới thiệu nội dung nội dung và yêu cầu chủ yếu của ch-ơng; có các “Bài đọc thêm” và “Em có biết” nhằm kích thích HS hứng thú trong học Toán Các hoạt động xen kẽ trong từng phần của bài học là gợi ý giúp GV có những ý t-ởng trong đổi mới ph-ơng pháp dạy học, tạo điều kiện tăng c-ờng tính chủ

động của HS trong giờ học sách còn có những bài h-ớng dẫn sử dụng máy tính điện tử cho từng chủ đề ở cuối mỗi cuốn sách có thêm bảng tra cứu các thuật ngữ trong SGK và bảng trả lời đáp số các bài tập, nhằm giúp HS tự học tốt hơn Các kênh hình đ-ợc sử dụng góp phần làm cho sách đ-ợc trình bày

đẹp hơn, hấp dẫn hơn

Hầu hết các kiến thức thuộc Chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình

đ-ợc đề cập đến ở hai cuốn sách là nh- nhau Tuy nhiên mức độ yêu cầu của các ban là khác nhau: So với SGK Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn, SGK

Đại số 10 Nâng cao thể hiện yêu cầu cao đối với mức độ hiểu biết các kiến thức đ-ợc đề cập, cũng nh- mức độ vận dụng các kiến thức đó

1.3.1 Sách giáo khoa Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn

Ch-ơng trình Đại số 10 gồm sáu ch-ơng, 53 tiết Trong đó chủ đề Ph-ơng trình và bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong 2 ch-ơng: Ch-ơng III Ph-ơng trình-Hệ ph-ơng trình (9 tiết) và ch-ơng IV Bất đẳng thức, Bất ph-ơng trình (15 tiết)

Chương “Phương trình - Hệ phương trình” nhằm hình thành cho HS khái niệm ph-ơng trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến và những khái niệm liên quan nh- điều kiện của ph-ơng trình, ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, ph-ơng trình hệ quả Ôn tập và rèn luyện cho HS cách giải và biện luận các ph-ơng trình dạng ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0, các ph-ơng trình qui về bậc nhất, bậc hai ẩn, hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn và

ba ẩn

SGK định nghĩa: “Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)

= g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x Ta gọi f(x) là vế

trái, g(x) là vế phải của ph-ơng trình (1)” [4, tr 53]

Nh- vậy cùng định nghĩa ph-ơng trình thông qua mệnh đề chứa biến nh-ng trong SGK của Trần Văn Hạo (2000), của Nguyễn Huy Đoan (2006) thì

f(x) và g(x) là các hàm số của x; SGK không nêu khái niệm tập xác định của ph-ơng trình mà nêu điều kiện của ph-ơng trình Về điều này SGV Đại số 10 theo ch-ơng trình chuẩn viết:“Việc gắn mỗi ph-ơng trình với một tập xác định

đôi khi rất phiền phức, thậm chí có những ph-ơng trình việc giải điều kiện để tìm ra tập xác định còn phức tạp hơn việc tìm nghiệm của ph-ơng trình đó Hơn nữa đối với những ph-ơng trình dạngax  b  0 hoặcax2  bx  c  0 không

có điều kiện nào đối với ẩn x (nên không phải viết gì cả) trong khi nếu viết tập xác định ta vẫn phải ghi D=R Cuối cùng, việc thực hiện các phép biến

đổi t-ơng đ-ơng trên tập xác định D đôi khi khá rắc rối Vì vậy SGK thiên về

xu h-ớng “mở”, nghĩa là sau khi viết điều kiện có thể không cần giải để xác

định tập các số thoả mãn điều kiện Đến ph-ơng trình cuối khi giải đ-ợc

nghiệm, ta phải loại bỏ nghiệm ngoại lai bằng cách kiểm tra điều kiện và

thay vào ph-ơng trình kiểm tra nghiệm ” [13, tr 36]

Tuy nhiên, ph-ơng pháp kiểm tra nghiệm sẽ gặp không ít khó khăn nếu nghiệm là số cồng kềnh và khó thử bởi ph-ơng trình chứa phép toán logarit, khai căn

SGK Đại số 10, ấn hành tháng 2/2008 viết: “Khi giải ph-ơng trình (1)

ta cần l-u ý tới điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi

phép toán đều thực hiện đ-ợc) Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của ph-ơng trình (hay gọi tắt là điều kiện của ph-ơng trình )” [4, tr 54]

Cách trình bày của SGK dễ dẫn đến việc hiểu không đầy đủ cho ng-ời

đọc, chẳng hạn xét ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình x

SGK không nhấn mạnh đến các phép biến đổi t-ơng đ-ơng, nên chỉ

giới thiệu một số phép biến đổi t-ơng đ-ơng th-ờng dùng mà không chứng

minh Điều cần nhấn mạnh trong định lí này là các phép biến đổi không làm thay đổi điều kiện của ph-ơng trình Hạn chế này khá chặt chẽ và đôi khi

không tạo thuận lợi khi giải ph-ơng trình vì có tr-ờng hợp khi biến đổi ph-ơng trình làm cho điều kiện của ph-ơng trình thay đổi nh-ng ta vẫn đ-ợc ph-ơng trình mới t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình đã cho

Khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên tập D không đ-ợc đề cập

Vì SGK không tập trung vào các phép biến đổi t-ơng đ-ơng nên tất cả các ví dụ trong SGK đều thực hiện các phép biến đổi dẫn đến ph-ơng trình hệ quả Trong thực tế khi giải ph-ơng trình, ta gặp khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D, điều này đồng nghĩa với việc nghiệm của ph-ơng trình chỉ xét trên D mà thôi; thực tế trong thực hành giải toán các phép biến đổi dẫn

đến ph-ơng trình hệ quả không khả thi, chẳng hạn đối với bài toán về ph-ơng trình có chứa tham số rất hiếm khi sử dụng phép biến đổi dẫn đến ph-ơng trình hệ quả

SGK chỉ nêu định lí Vi-ét mà không xét đến các ứng dụng của định lí Ch-ơng trình THCS đã giới thiệu ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu, ph-ơng trình trùng ph-ơng, SGK giới thiệu thêm hai loại h-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc nhất, bậc hai là ph-ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối và ph-ơng trình chứa ẩn d-ới dấu căn thức bậc hai Các bài tập chủ yếu bằng số,

dạng bài tập phải biện luận nghiệm của các ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0, ax4

+ bx2 + c = 0 không đ-ợc đề cập đến

Vì HS đã học ph-ơng trình và hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn ở lớp

9 nên SGK không trình bày lại cách giải mà nhắc lại qua ba hoạt động Một

điều đặc biệt là khác với các SGK khác, ở đây không trình bày phép giải một

hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức

H-ớng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO fx-500 MS) trong việc giải ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong phần bài tập

Chương “Bất đẳng thức - Bất phương trình” nhằm ôn tập củng cố khái niệm bất đẳng thức trên cơ sở các kiến thức về mệnh đề HS đã đ-ợc học; Hệ thống các tính chất của bất đẳng thức ở lớp 8 và rèn luyện những kĩ năng cơ bản về chứng minh bất đẳng thức; Cung cấp cho HS những khái niệm cơ bản

về bất ph-ơng trình và một số phép biến đổi bất ph-ơng trình; Giới thiệu cho

HS ph-ơng pháp xét dấu của một biểu thức trên cơ sở vận dụng định lí về dấu của nhị tức bậc nhất và dấu tam thức bậc hai; Cho HS thấy đ-ợc khả năng ứng dụng bất đẳng thức, bất ph-ơng trình vào việc giải các bài toán thực tiễn Với mục tiêu trên chương “Bất đẳng thức -Bất phương trình” có các nội dung:

Đ2 Bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình một ẩn (3 tiết)

Đ3 Dấu của nhị thức bậc nhất (2 tiết)

Đ4 Bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn (2 tiết)

Đ5 Dấu của tam thức bậc hai (4 tiết)

Ôn tập ch-ơng (1 tiết)

Kiểm tra (1 tiết) Với thời gian 2 tiết để trình bày một nội dung khó nên các kiến thức về Bất đẳng thức đ-ợc giới thiệu nhẹ nhàng d-ới hình thức ôn tập Sau hai hoạt

động SGK định nghĩa: “Các mệnh đề dạng “a>b”, “a<b” đ-ợc gọi là các bất

đẳng thức”

Tiếp theo SGK giới thiệu khái niệm bất đẳng thức t-ơng đ-ơng, bất

đẳng thức hệ quả, bất đẳng thức ngặt, bất đẳng thức không ngặt Bất đẳng

thức Côsi đ-ợc chứng minh chặt chẽ dựa vào t-ơng đ-ơng a<bab0

SGK trình bày ba hệ quả của bất đẳng thức Côsi Các bất đẳng chứa dấu giá trị tuyệt đối đ-ợc khẳng định nh- những hệ quả trực tiếp của định nghĩa giá trị tuyệt đối và đ-ợc tổng kết trong một bảng

Lí thuyết tổng quát về bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày t-ơng tự nh- đối với ph-ơng trình, tập xác định của bất ph-ơng trình không đ-ợc đề cập mà

trọng tâm của các khái niệm là điều kiện của bất ph-ơng trình Khái niệm bất

ph-ơng trình đ-ợc trình bày bằng việc ôn tập (thông qua hoạt động 1) rồi tổng quát hoá nh- một mệnh đề chứa biến Khái niệm hệ bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày ngay sau khái niệm bất ph-ơng trình vì việc tìm điều kiện của một bất ph-ơng trình cần phải giải một hệ bất ph-ơng trình Các phép biến đổi t-ơng đ-ơng đ-ợc trình bày cụ thể d-ới hình thức thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, bình ph-ơng trên các bất ph-ơng trình (các sgk tr-ớc

đây không đề cập đến phép bình ph-ơng hai vế của một bất ph-ơng trình)

Vì SGK không trình bày khái niệm hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau trong điều kiện xác định của chúng nên các mệnh đề phát biểu sau

đó về biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình, chỉ xét các phép biến đổi

không làm thay đổi điều kiện của bất ph-ơng trình ban đầu

HS rút ra kết luận về dấu của nhị thức bậc nhất, của tam thức bậc hai thông qua các hoạt động Kết luận về dấu của nhị thức bậc nhất đ-ợc thể hiện bằng hai hình thức là bảng xét dấu và mô tả trên trục số Từ việc xét dấu của nhị thức bậc nhất, SGK đi đến cách lập bảng xét dấu của những biểu thức là tích hoặc th-ơng của nhiều nhị thức bậc nhất Việc giải bất ph-ơng trình tích, bất ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu, bất ph-ơng trình chứa giá trị tuyệt đối đ-ợc trình bày nh- hệ quả của việc xét dấu của nhị thức bậc nhất

Định lí về dấu của tam thức bậc hai không đ-ợc chứng minh mà chỉ

đ-ợc minh hoạ qua đồ thị SGV Đại số 10 ch-ơng trình chuẩn viết: “Trong ch-ơng trình GD THPT môn Toán lớp 10 không yêu cầu HS nắm đ-ợc ph-ơng pháp chứng minh định lí về dấu của tam thức bậc hai (chỉ cần hiểu và biết vận dụng) HS có thể tiếp thu định lí một cách tự nhiên thông qua việc xét

dấu một tam thức bậc hai nhờ đồ thị của hàm số bậc hai” [13, tr.113] Việc

củng cố và luyện tập định lí dấu tam thức bậc hai thực hiện qua các ví dụ áp dụng và qua việc giải bất ph-ơng trình bậc hai; các ứng dụng khác của định lí

về dấu tam thức bậc hai nh- : giải bất ph-ơng trình tích, bất ph-ơng trình

chứa ẩn ở mẫu thức, hệ bất ph-ơng trình bậc hai không đ-ợc đề cập đến

Trong việc áp dụng hệ bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán kinh tế, SGK chủ yếu chỉ trình bày việc mô hình hoá toán học một bài toán thực tế Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax +

by chỉ đ-ợc nêu trong bài đọc thêm nhằm mục đích giảm tải

1.3.2 Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao

Ch-ơng trình Đại số 10 Nâng cao gồm sáu ch-ơng, 90 tiết Trong đó chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong 2 ch-ơng: Ch-ơng III Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình (16 tiết) và ch-ơng IV Bất đẳng thức và Bất ph-ơng trình (25 tiết )

Chương “Phương trình - Hệ phương trình” nhằm giúp HS: hiểu khái niệm ph-ơng trình, ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, ph-ơng trình hệ quả; hiểu các phép biến đổi t-ơng đ-ơng và phép biến đổi cho ph-ơng trình hệ quả Nắm vững công thức và các ph-ơng pháp giải ph-ơng trình bậc nhất, ph-ơng trình bậc hai một ẩn và hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn Hiểu ý nghĩa hình học các nghiệm của ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai

Biết cách giải và biện luận ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn; ph-ơng trình dạng |ax+b|= |cx+d| và ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu; ph-ơng trình trùng ph-ơng; hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn (bằng định thức cấp hai) Biết cách giải (không biện luận): hệ ba ph-ơng trình bậc nhất ba ẩn; một

số hệ ph-ơng trình bậc hai hai ẩn Biết giải một số bài toán về t-ơng giao giữa

đồ thị của hai hàm số bậc không quá hai

Với mục tiêu trên chương “Phương trình và hệ phương trình” có các nội dung sau:

Đ1 Đại c-ơng về ph-ơng trình (2 tiết) Đ2 Ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Đ3 Một số ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc nhất hoặc bậc hai (1 tiết)

đã đ-a khái niệm tập xác định của ph-ơng trình vào định nghĩa:“Cho hai hàm

số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần l-ợt là D f và D g Đặt D = D f D g

Mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” (1) đ-ợc gọi là ph-ơng trình một ẩn,

x gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của ph-ơng trình” [31, tr 66]

Về điều này SGV Đại số 10 Nâng cao viết: “Thứ nhất là ở ch-ơng II,

HS đã học khái niệm hàm số và tập xác định của hàm số Việc né tránh để

định nghĩa ph-ơng trình làm cho cấu trúc của ch-ơng trình trở nên thiếu tính

hệ thống và lôgic trong sự phát triển khái niệm Thứ hai là việc diễn đạt nhiều nội dung về biến đổi ph-ơng trình trở nên cồng kềnh, rắc rối khi không định nghĩa tập xác định của ph-ơng trình” [32, tr 101]

Để tránh phức tạp SGK đã h-ớng HS đến việc làm đơn giản là chỉ cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện của ph-ơng trình), để tránh việc hiểu không đầy đủ về khái niệm điều kiện của ph-ơng trình SGK đã có thêm chú ý sau định nghĩa Điều đó dẫn đến các cách trình bày lời giải khác nhau của cùng một ph-ơng trình, tuỳ theo cách hiểu và vận dụng các phép biến đổi ph-ơng trình nh- thế nào

Trong các SGK [2], [9], [12] khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng

đ-ợc định nghĩa:“Hai ph-ơng trình đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng khi chúng có cùng tập nghiệm” hoặc “Hai ph-ơng trình đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau” còn ở đây có sự thay đổi chút ít “Hai

ph-ơng trình (cùng ẩn) đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng nếu chúng có cùng một tập

nghiệm”

Căn cứ vào định nghĩa trên thì hai ph-ơng trình x = 1 và t = 1 là không

t-ơng đ-ơng

sgk Đại số 10 Nâng cao viết: “Khi muốn nhấn mạnh hai ph-ơng

trình có cùng tập xác định D (hay có cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu là D) và t-ơng đ-ơng với nhau, ta nói:Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng

với nhau trên D, hoặc Với điềukiện D hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau” [31, tr 67]

Các ví dụ trong SGK đều nói đến sự t-ơng đ-ơng với điều kiện D, tr-ờng hợp Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau trên D không có ví dụ

minh hoạ

Căn cứ vào cách trình bày của SGK, thì hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng

trên D phải có cùng tập xác định D và cùng tập nghiệm Điều này trùng với

định nghĩa trong SGK Chỉnh lý hợp nhất năm 2000, ấn hành tháng 6/2000

Thế nh-ng qua lời giải Ví dụ mẫu tr 202 trong [40] đã cho thấy: hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D không nhất thiết chúng có cùng tập xác định

là D!

Theo các tác giả SGK Đại số 10 Nâng cao thì “HS không nhất thiết phải hiểu thật sâu định nghĩa ph-ơng trình mà cần nắm vững khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, hiểu và sử dụng đúng cách diễn đạt:“hai ph-ơng trình

đ-ơng với nhau trên D” hay khi tập xác định D đ-ợc thay thế bằng điều kiện

D : “với điều kiện D, hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau” [40, tr 201] Nh- vậy cụm từ hai ph-ơng trình có cùng tập xác định D ở đây đã đ-ợc hiểu theo nghĩa: tập xác định của mỗi ph-ơng trình đều chứa D, vì vậy cụm

từ t-ơng đ-ơng với nhau trong định nghĩa phải đ-ợc xét trên D Tuy nhiên thực tế có quá nhiều giáo viên quan niệm rằng “hai ph-ơng trình có cùng tập xác định D”phải có tập xác định bằng nhau và bằng D chứ không phải tập xác định của mỗi ph-ơng trình đều chứa D, về phía HS nhiều em cho rằng cụm từ “t-ơng đ-ơng với nhau” trong (*) nghĩa là cùng tập nghiệm nh- trong

định nghĩa hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, không cần biết hai ph-ơng trình cùng tập nghiệm khi xét trên tập nào, chẳng hạn có em cho rằng: Với x > 0,

hai ph-ơng trình x2 = 1 và x = 1 không t-ơng đ-ơng với nhau vì chúng chỉ thoả mãn điều kiện : cùng điều kiện xác định là x > 0 nh-ng không thoả mãn

điều kiện t-ơng đ-ơng vì tập nghiệm hai ph-ơng trình không bằng nhau

Cách trình bày của SGK dễ làm cho ngay cả một số GV cũng hiểu

không chính xác các khái niệm thì khó có thể yêu cầu HS “hiểu và sử dụng

đúng cách ”!

Các phép biến đổi t-ơng đ-ơng th-ờng dùng đ-ợc chứng minh dựa vào

tính chất của đẳng thức số Nói chung, các định lí đều nói về sự t-ơng đ-ơng với điều kiện xác định của ph-ơng trình ban đầu Phép biến đổi dẫn đến

ph-ơng trình hệ quả đ-ợc giới thiệu trong định lí 2, không chứng minh Chú ý sau định lí 2 giúp HS thêm một phép biến đổi t-ơng đ-ơng khi bình ph-ơng hai vế của một ph-ơng trình khi hai vế luôn cùng dấu và cách loại nghiệm ngoại lai khi thực hiện phép biến đổi dẫn đến ph-ơng trình hệ quả

ở SGK Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn chỉ quan tâm đến việc ôn tập các kiến thức HS đã học ở lớp 9 về ph-ơng trình ax + b = 0, ax2 + bx + c =

0, giới thiệu cách giải các ph-ơng trình quy về bậc nhất hoặc bậc hai với hệ

số bằng số thì điều chủ yếu ở đây là cách biện luận các ph-ơng trình trong tr-ờng hợp có tham số, biện luận số giao điểm của một đ-ờng thẳng và một

parabol và kiểm nghiệm lại bằng đồ thị, củng cố và nâng cao kĩ năng giải và

biện luận ph-ơng trình chứa tham số quy đ-ợc về ph-ơng trình bậc nhất hoặc

bậc hai, cung cấp các ứng dụng của định lí Vi-ét trong đó SGK chú trọng đến

việc xét dấu các nghiệm của một ph-ơng trình bậc hai và biện luận số nghiệm

của một ph-ơng trình trùng ph-ơng

SGK Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn không trình bày ph-ơng pháp giải

hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức, không đề cập đến hệ ph-ơng trình bậc hai hai ẩn, thì trọng tâm ở đây là ph-ơng pháp giải và biện luận một hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số bằng định thức, giới thiệu

cách giải các hệ gồm một ph-ơng trình bậc nhất và một ph-ơng trình bậc hai,

hệ đối xứng qua các ví dụ

H-ớng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO fx-500 MS) trong việc giải

ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình đ-ợc trình bày trong bài đọc thêm

Chương “Bất đẳng thức-Bất ph-ơng trình” nhằm giúp HS: Hiểu đ-ợc

khái niệm bất đẳng thức và bất ph-ơng trình; nắm vững các tính chất của bất

đẳng thức; nắm đ-ợc bất đẳng thức Côsi của hai số không âm và của ba số

không âm; nắm đ-ợc bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối; nắm vững các lí về

dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai; chứng minh đ-ợc một

số bất đẳng thức đơn giản; biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến; vận dụng các định lí về dấu

của nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc hai để giải các bất ph-ơng trình và

hệ bất ph-ơng trình quy về bậc nhất, bậc hai; biết cách giải và biện luận các

bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình quy về bậc nhất, bậc hai đơn giản có

chứa tham số Với mục tiêu trên chương “Bất đẳng thức-Bất ph-ơng trình” có

các nội dung:

Đ1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (3 tiết)

Luyện tập (1 tiết)

Đ2 Đại c-ơng về bất ph-ơng trình (1 tiết)

Đ3 Bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình bậc nhất một ẩn (2 tiết)

Đ6 Dấu của tam thức bậc hai (1 tiết)

Đ7 Bất ph-ơng trình bậc hai (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Đ8 Một số ph-ơng trình và bất ph-ơng trình quy về bậc hai (2 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

Ôn tập và kiểm tra cuối ch-ơng (3 tiết)

ở lớp d-ới HS đã đ-ợc làm quen với bất đẳng thức, với 4 tiết, phần bất

đẳng thức chỉ nhằm ôn tập khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức, đồng

thời bổ sung và mở rộng chút ít về tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức

về giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Thuật ngữ “Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân” được dùng thay cho thuật ngữ “Bất đẳng thức Côsi” trước đây Cũng nh- SGK 2000, khái niệm bất đẳng thức đ-ợc định nghĩa bằng cách dùng mệnh đề và chỉ xét đến bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai hoặc ba số không âm và ứng dụng của chúng để chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản Ngoài ra SGK còn xét đến tr-ờng hợp

hai vế của bất đẳng thức là các biểu thức chứa biến, khái niệm bất đẳng thức

t-ơng đ-ơng, bất đẳng thức hệ quả, bất đẳng thức ngặt, bất đẳng thức không ngặt không đ-ợc giới thiệu Bất đẳng thức Bunhiacôpki đối với bốn hoặc sáu

số thực đ-ợc giới thiệu trong bài đọc thêm, SGK còn giới thiệu Ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức Côsi của hai số d-ơng bằng hình học thông qua hoạt động, và ứng dụng của bất đẳng thức này trong việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Các khái niệm về bất ph-ơng trình ở đây đ-ợc trình bày hoàn toàn t-ơng tự nh- đối với ph-ơng trình: Định nghĩa bất ph-ơng trình thông qua mệnh đề chứa biến Điều kiện của bất ph-ơng trình f(x) < g(x) không phải chỉ

gồm các điều kiện của ẩn để hai biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa, mà có thể

còn gồm cả những điều kiện khác nữa Vấn đề điều kiện của bất ph-ơng trình còn gắn chặt với vấn đề bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng Cũng nh- đối với

ph-ơng trình, SGK đ-a ra cách diễn đạt hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau trong điều kiện xác định của chúng, các mệnh đề phát biểu sau đó về

biến đổi t-ơng đ-ơng các bất ph-ơng trình, nói chung đều nói về sự t-ơng

đ-ơng với điều kiện xác định của bất ph-ơng trình ban đầu Điểm đáng l-u ý

trong bài là “HS không nhất thiết phải hiểu thật sâu định nghĩa bất ph-ơng trình mà cần nắm vững khái niệm hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, hiểu và

sử dụng đúng cách diễn đạt: “hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau trên D” hay khi tập xác định D đ-ợc thay thế bằng điều kiện D: “với điều kiện D, hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau” [40, tr 207]

Các bài toán có tham số đ-ợc đề cập đến là giải và biện luận bất ph-ơng trình bậc nhất và hệ bất ph-ơng trình bậc nhất, tìm điều kiện để một tam thức có nghiệm hay có dấu không đổi, các bài toán khác không xét tr-ờng hợp có tham số

Nếu trong các SGK tr-ớc đây định lí về dấu của tam tức bậc hai đ-ợc

chứng minh chặt chẽ bằng ph-ơng pháp đại số thì ở đây các tác giả dùng đồ thị của hàm bậc hai trong các tr-ờng hợp khác nhau để dẫn dắt HS đi đến

định lí, việc chứng minh định lí đ-ợc đ-a vào bài tập

Cơ sở quan trọng để xác định miền nghiệm của bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn là định lí đ-ợc thừa nhận trong SGK Việc xác định miền nghiệm của bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn đã đ-ợc SGK tổng kết thành qui tắc và minh hoạ qua các ví dụ cụ thể T-ơng tự trong [13] mục đích của ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế là cho HS thấy sự xuất hiện của hệ bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn trong thực tế, để đi tới đáp số của bài toán SGK thừa nhận hàm mục tiêu của bài toán có giá trị nhỏ nhất và giá trị

đó đạt đ-ợc tại đỉnh của đa giác biểu diễn miền nghiệm Ph-ơng pháp tìm cực trị của biểu thức F(x;y) = ax + by đ-ợc giới thiệu trong bài đọc thêm

SGK giới thiệu ph-ơng pháp chủ yếu th-ờng dùng để giải ph-ơng trình

và bất ph-ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đó là xét dấu biểu thức d-ới dấu giá trị tuyệt đối để dùng định nghĩa khử dấu giá trị tuyệt đối

Về ph-ơng trình và bất ph-ơng trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, SGK đ-a ra ba ví dụ tiêu biểu cho ba dạng: f(x) g(x), f(x) g(x)

)

(

)

(x g x

f  , đồng thời phân tích rõ ph-ơng pháp giải các dạng này

So với SGK Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn, SGK Đại số 10 Nâng cao tăng c-ờng kĩ năng giải bài tập cho HS bằng cách đ-a thêm các tiết luyện tập sau các bài học lí thuyết

1.4 Các nhận định đ-ợc rút ra từ sự đối chiếu so sánh

Nội dung kiến thức Chủ đề Ph-ơng trình, Bất ph-ơng trình đ-a vào ch-ơng trình Toán phổ thông qua các năm t-ơng đối ổn định, chủ yếu gồm các vấn đề: Khái niệm ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, bất đẳng thức; Ph-ơng

trình và bất ph-ơng trình bậc nhất một ẩn; Ph-ơng trình và bất ph-ơng trình bậc hai một ẩn; Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất, của tam thức bậc hai;

Hệ ph-ơng trình và bất ph-ơng trình bậc nhất một ẩn

Tuy nhiên giữa các SGK có sự khác nhau về tên gọi, bố cục của chủ đề Cùng một khái niệm, định lí nh-ng đ-ợc định nghĩa khác nhau, có những cách chứng minh khác nhau ở mỗi cuốn sách Chẳng hạn:

- Có hai quan điểm về khái niệm ph-ơng trình Quan điểm thứ nhất

định nghĩa ph-ơng trình dựa vào khái niệm đẳng thức: “Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số có tập xác định theo thứ tự D f và D g Kí hiệu D = D f D g Ta hãy tìm tất cả các số thực aD sao cho ta có đẳng thức số “f(a) = g(a)” Khi đó

ta nói đẳng thức f(x) = g(x) là một ph-ơng trình (một ẩn)” [22, tr 47] Hay:

“đẳng thức f(x) = g(x) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức theo x, đ-ợc gọi là ph-ơng trình một ẩn số” [9, tr 29] Trong đó, khái niệm đẳng thức đ-ợc quan niệm theo hình thức của dấu “=”: “Hai số hoặc hai biểu thức nối với nhau bởi dấu “=” đ-ợc gọi là một đẳng thức” [18, tr 57]

“Thật ra các định nghĩa trên chưa tổng quát, bởi vì ta còn gặp những ph-ơng trình biểu thị sự t-ơng quan giữa nhiều đại l-ợng (chẳng hạn s = vt) trong vật lí và những ph-ơng trình biểu thị những đ-ờng (chẳng hạn y = 2x 2 )

mà vấn đề không phải là tìm số ch-a biết Tuy nhiên, trong phạm vi tr-ờng phổ thông, những định nghĩa ph-ơng trình nh- thế là chấp nhận đ-ợc vì nó không phạm sai lầm về lôgic và nó xuất phát từ việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình” [18, tr 61]

Quan điểm thứ hai định nghĩa ph-ơng trình dựa vào hàm mệnh đề

(mệnh đề chứa biến) “Định nghĩa ph-ơng trình nhờ hàm mệnh đề nh- trên có thể áp dụng cho mọi tr-ờng hợp cụ thể Cả ph-ơng trình mà ta phải tìm nghiệm lẫn ph-ơng trình biểu thị những qui luật vật lí cũng nh- ph-ơng trình biểu diễn đ-ờng đều có thể hiểu theo nghĩa đó” [18, tr 62] Ngoài ra trong

định nghĩa ph-ơng trình f(x) = g(x) theo một số SGK thì f(x) và g(x) là các hàm số của x, có SGK lại hạn chế trong tr-ờng hợp f(x) và g(x) là các biểu thức của x, là tr-ờng hợp riêng của hàm số

T-ơng tự đối với khái niệm bất ph-ơng trình Quan điểm thứ nhất định nghĩa bất ph-ơng trình dựa vào khái niệm bất đẳng thức Quan điểm thứ hai

định nghĩa bất ph-ơng trình thông qua mệnh đề chứa biến

- Khái niệm tập xác định của ph-ơng trình, bất ph-ơng trình cũng có nhiều cách trình bày khác nhau SGK của Trần Văn Hạo (1990), SGK Đại số

10 Ch-ơng trình Chuẩn hiện nay không đề cập đến khái niệm này, sách của Phan Đức Chính (1999) gọi là “miền xác định” của ph-ơng trình, bất ph-ơng trình Còn hiện nay, Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn đ-a ra khái niệm

điều kiện xác định của ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, Đại số 10 Nâng cao trình bày cả hai khái niệm tập xác định và điều kiện xác định, cách làm này vừa đảm bảo sự chính xác, tính lôgic trong sự phát triển của các khái niệm, giúp cho việc diễn đạt đ-ợc gọn gàng trong sáng vừa tránh đ-ợc những phức tạp về mặt thực hành cho HS

- Cùng một thời điểm nh-ng SGK Đại số 10 Nâng cao và SGK Đại số

10 theo Ch-ơng trình Chuẩn định nghĩa khác nhau về khái niệm Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, Hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng Theo định nghĩa trong

Đại số 10 theo Ch-ơng trình Chuẩn thì x = 1t = 1, còn theo định nghĩa

trong Đại số 10 Nâng cao ta không thể viết x = 1t = 1 vì chúng không

cùng ẩn

- Khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D, hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng trên D có những quan điểm khác nhau Trong Đại số 10 của Trần Văn Hạo (1990), Phan Đức Chính (1999), Vũ Tuấn (2008) không đề cập

đến khái niệm này mà nêu định nghĩa hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng, hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng SGK của Ngô Thúc Lanh (1998) định nghĩa:

“Cho hai ph-ơng trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) với tập xác định D 1

f 2 (x) = g 2 (x) (2) với tập xácđịnh D 2

và cho tập hợp DD 1  D 2 Hai ph-ơng trình (1) và (2) đ-ợc gọi là t-ơng

đ-ơng trên D, nếu chúng có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) TD” SGK chỉnh

lí hợp nhất ấn hành tháng 6/2000 định nghĩa: “Trong trường hợp hai phương

trình có cùng tập xác định D và có tập nghiệm bằng nhau, ta nói hai ph-ơng

trình đó t-ơng đ-ơng trên D”, còn SGK Chỉnh lý hợp nhất, tái bản lần thứ

nhất, ấn hành tháng 4/2001 cũng định nghĩa khái niệm hai ph-ơng trình t-ơng

đ-ơng trên D nh- trên, chỉ khác ở chỗ: thay cụm từ có cùng tập xác định D bởi cùng xác định trên D SGK Đại số 10 Nâng cao viết: “Khi muốn nhấn

mạnh hai ph-ơng trình có cùng tập xác định D (hay có cùng điều kiện xác

định mà ta cũng kí hiệu là D) và t-ơng đ-ơng với nhau, ta nói

- Hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau trên D, hoặc

- Với điều kiện D hai ph-ơng trình t-ơng đương với nhau”

Nh- chúng tôi đã phân tích trong mục 1.3 và 1.4 của Luận văn, cách trình bày trong SGK Chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và SGK Đại số 10 Nâng cao hiện nay dẫn tới thắc mắc cho ng-ời đọc là đồng nhất hay không đồng nhất

cụm từ “hai ph-ơng trình có cùng tập xác định D” với “hai ph-ơng trình cùng xác định trên D”

- Các định lí về phép biến đổi t-ơng đ-ơng ph-ơng trình, bất ph-ơng trình SGK của Ngô Thúc Lanh (1998), Trần Văn Hạo (2000), Vũ Tuấn

(2006) đều nói về sự t-ơng đ-ơng trong điều kiện xác định hay trên tập xác

định của ph-ơng trình, bất ph-ơng trình ban đầu Các SGK của của Phan Đức

Chính (1999), Vũ Tuấn (2006) lại đề cập đến các phép biến đổi không làm thay đổi điều kiện xác định (tập xác định) của ph-ơng trình, bất ph-ơng trình

Hai định lý cơ bản về phép biến đổi t-ơng đ-ơng đối với ph-ơng trình, bất ph-ơng trình :

1) f(x) + h(x) < g(x) + h(x);

2) f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x  D;

3) f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x  D” [31, tr 115]

Trong hai định lí trên điều kiện h(x) xác định trên D là điều kiện đủ nh-ng không phải là điều kiện cần , nếu có điều kiện ấy thì các ph-ơng

trình, bất ph-ơng trình trong các Định lý là t-ơng đ-ơng trên D, còn nếu không có điều kiện ấy thì các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình có thể t-ơng

2

1



x không xác định tại x = 2R Tuy nhiên, hai ph-ơng trình x = 1 và 1 1

  là không t-ơng đ-ơng với nhau

- Trong hai SGK hiện hành đề cập đến quy tắc nâng lên luỹ thừa bậc hai

của một bất ph-ơng trình Sách Đại số 10 Nâng cao viết: ”Cho bất ph-ơng trình f(x) < g(x) có tập xác định D Nếu f(x), g(x) không âm với mọi x thuộc D thì f(x) < g(x) [f(x)] 2 < [g(x)] 2 ” áp dụng qui tắc này vào giải toán, có HS

cho rằng x  1  x x -1 < x2, mặc dù hai bất ph-ơng trình không t-ơng đ-ơng với nhau vì 0 chẳng hạn là nghiệm của bất ph-ơng trình x -1 <

x2 nh-ng không là nghiệm của bất ph-ơng trình x  1  x Vì định lí không nói rõ rằng hai bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với nhau trên tập nào,

nếu sửa thành: “Nếu f(x), g(x) không âm xD, thì trên D f(x) < g(x) 

[f(x)] 2 < [g(x)] 2 ” có lẽ sẽ hạn chế bớt đ-ợc những sai lầm của học sinh trong

quá trình biến đổi t-ơng đ-ơng T-ơng tự đối với ph-ơng trình SGK Đại số

10 Nâng cao, trang 70 viết trong mục Chú ý: “Có thể chứng minh được rằng:

nếu hai vế của một ph-ơng trình luôn cùng dấu thì khi bình ph-ơng hai vế

của nó, ta đ-ợcph-ơng trình t-ơng đ-ơng” áp dụng chú ý này trong giải toán

có HS cho rằng x3 2x x32x, thực tế thì hai bất ph-ơng trình không t-ơng đ-ơng với nhau vì -3 là nghiệm của ph-ơng trình

2x

3

-x  nh-ng không là nghiệm của bất ph-ơng trình x  3  2 x Vì

vậy để hạn chế sai lầm cho HS trong giải toán nên sửa thành:“nếu xét trên tập D hai vế của một ph-ơng trình luôn cùng dấu thì khi bình ph-ơng hai vế

- Trong các SGK Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, SGK những năm thuộc

thập niên 90 dành thời gian nhiều cho định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai,

định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và của tam thức bậc hai đ-ợc chứng minh chặt chẽ bằng ph-ơng pháp đại số, một số sách còn dùng đồ thị minh hoạ hình học các định lí này Trong SGK hiện nay, định lí về dấu của tam thức bậc hai được suy ra từ đồ thị Tuy điều đó không thể coi là “chứng minh” nh-ng với cách tiếp cận trực quan nh- vậy giúp HS dễ tiếp thu và kiến thức

đ-ợc khắc sâu hơn

- Việc SGK hiện nay bỏ định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai là điều vô cùng đáng tiếc, bởi nội dung này có ứng dụng khá phong phú và là cơ hội tuyệt vời để có thể rèn luyện cho học sinh khả năng t- duy lôgic, khả năng suy diễn Sách giáo viên Đại số 10, Ban khoa học tự nhiên, Thí điểm, do

Nguyễn Huy Đoan chủ biên có viết:“Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

có nhiều ứng dụng hết sức phong phú và tinh tế” Không phải dĩ nhiên mà các

tác giả lại nhận xét về Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai nh- vậy Việc