Về một lớp bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên hỗn hợp hai giai đoạn

Một thuật toán giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp hai giai đoạn với biến số giai đoạn thứ nhất liên tục.. đủ sẽ trở thành một trong các lớp bài toán quy hoạch ngẫu nhiên.Đ

Mở đầu 2

Chương 1 Cơ sở lý luận 4

1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất thống kê 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Các tính chất 5

1.2 Bài toán quy hoạch rời rạc và quy hoạch rời rạc hỗn hợp 6

1.2.1 Bài toán 6

1.2.2 Phương pháp phân rã Bender 8

1.2.3 Phương pháp nhánh và cận giải bài toán quy hoạch rời rạc 9

1.2.4 Phương pháp cắt hợp cách giải bài toán quy hoạch nguyên 13

1.3 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên hai giai đoạn 13

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 13 1.3.2 Cách tiếp cận giải 15

Chương 2 Một thuật toán giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp hai giai đoạn với biến số giai đoạn thứ nhất liên tục 17

2.1 Bài toán 17

2.2 Phương pháp phân nhánh D2 19

2.3 Tiếp cận phân nhánh và tính cận 21

2.4 Thuật toán nhánh và cắt 25

2.5 Ví dụ minh hoạ 28

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

đủ sẽ trở thành một trong các lớp bài toán quy hoạch ngẫu nhiên.

Để giải bài toán quy hoạch nguyên (và quy hoạch nguyên hỗn hợp),người ta đã nghĩ đến việc vận dụng các phương pháp truyền thống đã biết.Tuy nhiên, để vận dụng được các phương pháp giải các bài toán quy hoạchnguyên tất định vào các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên còn là một khoảngcách khá xa Nó đòi hỏi các nhà toán học phải hiểu biết sâu rộng cả về

lý thuyết quy hoạch toán học và lý thuyết xác suất thống kê Sự kết hợp

2 lĩnh vực toán học nêu trên đã giúp nhiều bài toán thuộc lý thuyết điềukhiển ngẫu nhiên được giải quyết

Với sự quan tâm, chú ý tới những khía cạnh phù hợp của nó, cùng thờigian và mức độ cho phép, chúng tôi cố gắng xem xét nội dung có liên quanđến công trình của Lewis Ntaimo - Suvrajeet Sen [NS] Đó là lý do chúngtôi chọn đề tài "Về một lớp bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiênhỗn hợp hai giai đoạn

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận Trong chương này chúng tôi nêu một số kháiniệm thuộc lý thuyết xác suất và trình bày các nội dung về bài toán quyhoạch nguyên hỗn hợp, bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhằm làm

công cụ nghiên cứu cho đề tài.

Chương 2 trình bày nội dung của một lớp bài toán quy hoạch ngẫu nhiênnguyên hỗn hợp hai giai đoạn, trong đó giai đoạn 1 được xét với các biếnliên tục Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này,trước hết chúng tôi trình bày bài toán được nêu ra trong đề tài Tiếp đó,chúng tôi trình bày các tính chất của bài toán được đặt ra Cuối cùng làđưa ra thuật toán và ví dụ minh hoạ

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Trần Xuân Sinh Chúng tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy trongsuốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn VănQuảng, PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, các thầy côgiáo trong Hội đồng chấm luận văn, khoa Toán, khoa Sau Đại học, TrườngĐại học Vinh Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn về sự giúp đỡ, tạo điềukiện cho chúng tôi học tập, công tác của Trường Cũng nhân dịpnày, cho phép tôi gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, đã quan tâm, góp

ý, giúp đỡ và tạo điều kiện để thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót.Chúng tôi mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và cácbạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A).

Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là σ -đại số nếu nó là đại số và ngoài ra cóA4) Nếu An ∈ F , ∀n = 1, 2, thì

1.1.1.2 Không gian đo và độ đo xác suất

Cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo, trong đó Ω là tập bất kỳkhác rỗng, F là một σ - đại số các tập con của Ω

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F −→ R được gọi

là độ đo xác suất trên F nếu:

A1) P(A) ≥ 0, với mọi A ∈ F

Giả sử Ω là tập bất kỳ khác rỗng, F là một σ - đại số các tập con của

Ω, P là độ đo xác suất trên F Khi đó bộ ba (Ω, F, P) được gọi là khônggian xác suất

Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp

σ - đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

Không gian xác suất (Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất đầy đủnếu mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố

1.1.1.4 Đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F , P ) là một không gian xác suất, G là σ-đại số của σ-đại số

F ; B là σ-đại số Borel trên đường thẳng thực R Khi đó ánh xạ X : Ω → Rđược gọi là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được nếu với mọi B ∈ B ta có

X−1(B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ G

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là đại lượng ngẫu nhiên F -đo được thì

X gọi một cách đơn giản là đại lượng ngẫu nhiên

1.1.1.5 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử X : (Ω, F , P ) → (R, B(R)) là đại lượng ngẫu nhiên Khi đó tíchphân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của

X và ký hiệu là EX Vậy

EX =

Z

Ω

Xdp

1.1.1.6 Phương sai của phần tử ngẫu nhiên

Giả sử X : Ω −→ E là đại lượng ngẫu nhiên Khi đó số DX = E(X −EX)2 (nếu tồn tại) gọi là phương sai của X

1.1.2 Các tính chất

1.1.2.1 Tính chất của kỳ vọng

Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùngxác định trên không gian xác suất (Ω, F , P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó nếu tồn

tại EX, EY, Eξ thì

a) Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY

b) Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX

c) Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ

1.1.2.2 Tính chất của phương sai

Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xácđịnh trên không gian xác suất (Ω, F , P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó ta có

xj ≥ 0, j = 1, 2, , n

xj ∈ Dj = {dj1, dj2, , djk

j}, j ∈ {1, 2, , n},trong đó dji ∈ R, k phụ thuộc xj

Nếu dji ∈ R, j = 1, 2, , n ta có bài toán quy hoạch hỗn hợp toàn phần.Trong trường hợp ngược lại (m < n), ta có bài toán quy hoạch rời rạc hỗn

Khi Dj là tập các số nguyên thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tínhnguyên Tập hợp những điểm nguyên của tập D có thể hữu hạn hoặc vôhạn Các tọa độ của nó nằm trong một đoạn thẳng, đường thẳng hay rờirạc dưới dạng liệt kê

Hàm f (x) được gọi là hàm mục tiêu Các điều kiện của bài toán gọi làđiều kiện buộc Điểm x = (xj) ∈ Z thoả mãn các điều kiện của bài toán gọi

là phương án, ký hiệu tập phương án là M Phương án x làm cho hàm mụctiêu đạt cực tiểu gọi là phương án tối ưu (hoặc là nghiệm) của bài toán.1.2.1.2 Tính chất của bài toán quy hoạch nguyên

Nếu lấy bao lồi của các điểm nguyên, ký hiệu là coM , thì bài toán

+ Tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi đa diện

có hữu hạn điểm cực biên (hữu hạn đỉnh)

+ Phương án x = (xj) là cực biên khi và chỉ khi tương ứng với xj > 0,

là hệ vectơ cột Aj = a1j, a2j, , amj
, của ma trận A = (aij), độc lậptuyến tính

1.2.2 Phương pháp phân rã Bender giải quy hoạch nguyên hỗnhợp

1.2.2.1 ý tưởng cơ bản của phương pháp phân rã Bender

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp

min{cx + dy : x ∈ H; y ∈ Rq+, (x, y) ∈ S},trong đó c ∈ Rp, d ∈ Rq, x ∈ Zp;

H = {x : u ≤ x ≤ v; u, v ∈ Zp};

S = {(x, y) ∈ Rp+q : Ax + By ≤ C}

Bender phân rã bài toán đã cho thành các bài toán nhỏ

Bài toán (I) xét với biến y liên tục thuộc E ⊆ Rq+

Bài toán (II) xét với biên nguyên x ∈ Zp

Để giải bài toán (I) có thể sử dụng các phương pháp trong lý thuyết quyhoạch tuyến tính (chẳng hạn phương pháp đơn hình) Để giải bài toán (II)

- là bài toán quy hoạch nguyên toàn phần - có thể giải bằng các phươngpháp của lý thuyết quy hoạch nguyên (chẳng hạn phương pháp cắt, phươngpháp nhánh và cận, phương pháp nhánh và cắt, )

1.2.2.2 Ví dụ (xem [8])

Chúng ta trở lại bài toán quy hoạch nguyên hỗn hợp

min{cx + dy : x ∈ H; y ∈ Rq+, (x, y) ∈ S},trong đó c ∈ Rp, d ∈ Rq, x ∈ Zp;

H = {x : u ≤ x ≤ v; u, v ∈ Zp};

S = {(x, y) ∈ Rp+q : Ax + By ≤ C}

Ký hiệu G là hình hộp nào đó chứa H Xét bài toán

min{cx + dy : x ∈ G; y ∈ Rq+, (x, y) ∈ S, x nguyên} (P (G))

Ký hiệu K(G) là miền ràng buộc và f (G) là giá trị hàm mục tiêu tối ưucủa bài toán P (G).

Với mỗi số thực λ cố định, ta xét bài toán nới lỏng (Q(λ, G)), sinh ra từbài toán P (G), bằng cách đưa vào biến phụ t ∈ Rp như sau:

min{λct + (1 − λ)cx + dy : t, x ∈ G; y ∈ Rq+, (t, y) ∈ S, x nguyên}.Khi đó, sử dụng phương pháp phân rã Bender, các tác giả tách ra 2 bàitoán quy hoạch tham số λ, bài toán Q1(λ, G) gồm các biến liên tục t, y vàbài toán thứ 2 Q2(λ, G), gồm biến nguyên x, như sau:

min{λct + dy : t ∈ M ; y ∈ Rq+, (t, y) ∈ S}; (Q1(λ, G))min{(1 − λ)cx + dy : x ∈ G; x nguyên} (Q2(λ, G))

Từ đó các tác giả đã sử dụng lý thuyết quy hoạch tham số giải bài toán

Q1(λ, G) và đưa ra cách tính mới nhằm xác định cận trong phương phápnhánh và cận giải bài toán Q2(λ, G)

1.2.3 Phương pháp nhánh và cận giải bài toán quy hoạch rờirạc

1.2.3.1 ý tưởng của phương pháp

Thực hiện phân nhánh để chia tập phương án M thành những phầnnhỏ dần Trên mỗi phần nhỏ của tập M , xác định cận của hàm mục tiêu

Từ đó loại bỏ dần những phần không có khả năng chứa nghiệm Như vậy,công việc chính của phương pháp là tìm cách phân nhánh, tính cận vàlựa chọn loại bỏ sao cho sau hữu hạn bước lặp có được câu trả lời củabài toán Nhiệm vụ của phương pháp nhánh và cận là thực hiện "phânnhánh", "tính cận" và "loại bỏ" sao cho quá trình hội tụ về nghiệm cầntìm

a) Phân nhánh

Việc phân nhánh được thực hiện bằng cách chia tập phương án M thành

các tập con

M1, M2, , Mksao cho

Do đó nếu f (x?) = γ(Ms) thì x? là phương án tối ưu cần tìm

c) Lựa chon và loại bỏ

γ(Ms) ≤ γ(Mi), ∀i = 1, 2, , k,nên

γ(Ms) ≤ min{f (x) : ∀x ∈ M }

Ta hy vọng Ms chứa phương án tối ưu Vì vậy có thể chọn Ms để phânnhánh.

+ Loại bỏ: Việc loại bỏ nhằm thu gọn bài toán, giảm bớt bộ nhớ Tiêuchuẩn để loại bỏ là: Giả sử ở bước k, biết được phương án x mà

f (x) ≤ f (x),với mọi phương án x đã biết Lúc này ta nói x là phương án kỷ lục, f (x)

Bước chuẩn bị Đặt P0 là bài toán (1.3) với M1 = M

Ký hiệu P = Pi là họ các bài toán đang xét

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính P0, ta được phương án tối ưu x∗.Nếu x∗ thoả mãn điều kiện nguyên thì x∗ là phương án tối ưu cần tìm.Ngược lại, đặt cận dưới của bài toán P0 có thêm điều kiện nguyên là

Khi đó nếu f∗ < ∞ thì x là phương án tối ưu cần tìm.

Ngược lại, bài toán không có phương án tối ưu

b) Nếu P 6= ∅, chọn Pk là bài toán có cận dưới nhỏ nhất trong P Gọi

Mk là tập phương án và x(k) là phương án tối ưu của bài toán quy hoạchtuyến tính tương ứng

b.1 Giả sử x(k)r chưa nguyên Chia Mk thành hai tập M1k và M2k với

+ Phát hiện ra Mik = ∅, i = 1hoặc2 Loại bỏ Mik tương ứng

+ Tìm được phương án tối ưu x(i) thoả mãn điều kiện nguyên Nếu

x(i) là phương án kỷ lục thì loại bỏ những Mjk tương ứng có cận dướiγ(Mjk) ≥ f (x(i)) Coi x(i) là phương án kỷ lục mới Kết thúc bài toán Pik.+ Tìm được phương án tối ưu x(i), (i = 1, 2), nhưng chưa thoả mãn điềukiện nguyên Lấy f (x(i)) làm cận dưới của hàm mục tiêu bài toán Pik cóthêm điều kiện nguyên Đưa Mik tham gia vào bài toán để tiếp tục phânnhánh Đặt

P := P ∪ {Pik}

b.3 Loại bỏ khỏi P tất cả các bài toán có cận dưới lớn hơn hoặc bằnggiá trị kỷ lục Đặt

P := P \ {Pik},trở lại bước k := k + 1

Vì D hữu hạn nên thuật toán Land - Doig cũng hữu hạn

1.2.4 Phương pháp cắt giải bài toán quy hoạch nguyên

Nội dung của phương pháp là: Xét bài toán nới lỏng LP "bỏ qua điềukiện nguyên" Giải bài toán quy hoạch tuyến tính LP bằng phương phápđơn hình được phương án tối ưu x(0) = (x(0)j )

+ Nếu x(0)j nguyên với mọi j = 1, , n thì x(0)j là phương án tối ưu cầntìm

+ Nếu ngược lại, bổ sung vào bài toán quy hoạch tuyến tính điều kiện

• Mọi phương án nguyên đều thoả mãn (1.4)

Điều kiện (1.4) như vậy được gọi là nhát cắt hợp cách

Người ta đã đưa ra nhiều nhát cắt hợp cách giải bài toán quy hoạchnguyên có hiệu quả Chẳng hạn nhát cắt Gomory và nhát cắt toạ độ (xem[3])

1.3 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên hai giai đoạn

Như chúng ta đã nói trong mục 1.2, việc xem xét lớp bài toán quy hoạchrời rạc có thể chuyển về lớp đại diện là quy hoạch nguyên Trong mục này,chúng ta sẽ xét tới bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên 2giai đoạn

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn Stage Stochastic Integer Linear Progamming) được xét tới như sau:

(Two-Cho bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên

min {cx : Ax = b, T x = h, x = (xj) ≥ 0, xj ∈ Z} , (SILP )trong đó c là ma trận cấp 1 × n; x là ma trận cấp n × 1; b là ma trận hệ

số cấp m × 1; A là ma trận hệ số cấp m × n; h là ma trận cấp p × 1 và T

là ma trận cấp p × n, các phần tử của các ma trận h và T là các biến ngẫunhiên có phân phối xác suất đã biết.

Giả sử h hoàn toàn chưa biết, nhưng biết hàm phân phối của nó, với

kỳ vọng hữu hạn Eh Rõ ràng không thể xác định x từ các phương trình

T x = h Sự khác nhau giữa T x và h cũng chính là một biến ngẫu nhiên cóhàm phân phối phụ thuộc vào x Ta phải "trả giá" cho sự phụ thuộc này

Do vậy, bài toán của ta là quyết định làm cực tiểu hàm cx và cần có mứcphạt cho sự khác nhau phải trả giá đó

Kỹ thuật hai bước là nhằm chuyển bài toán (SILP) về một bài toán tấtđịnh theo giá trị kỳ vọng tương ứng Quá trình giải bài toán (SILP) gồmhai bước:

Bước thứ nhất: Chọn vectơ x không âm nào đó thoả mãn những điềukiện nhất định đã biết nào đó

Bước thứ hai: Chúng ta bổ sung độ lệch giữa T x và h bởi một ma trận

bổ sung W và một biến phạt y thoả mãn

1.3.2 Cách tiếp cận giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyênngẫu nhiên 2 giai đoạn

Bài toán (SILP) có thể viết thành bài toán

Q(x) = Eξ∈Ω[Q(x, ξ)],Q(x, ξ) = min d(ξ)y

với điều kiện

Q(x) = Eξ∈Ω[Q(x, ξ)]

là kỳ vọng của Q(x, ξ) lấy theo biến ngẫu nhiên ξ ∈ Ω; A là ma trận hệ sốcấp m × n; b là ma trận hệ số cấp m × 1; T (ξ) là ma trận cấp p × n; h(ξ) là

ma trận cấp p × 1, W (ξ) là ma trận cấp p × q, nói chung không phụ thuộcvào ξ

Nếu ξ là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị trong tập hữu hạn

Ω = (ξ1, ξ2, , ξk)với xác suất

P(ξ = ξi) = pi,thì

Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học đã và đang tìm những thuật toán

để giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn, vàthực tế đã có nhiều thuật toán khá tin cậy

Như vậy, để giải bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nguyên haigiai đoạn, người ta thực hiện:

Giai đoạn một, trên cơ sở dữ liệu đã biết, người ta giải bài toán quyhoạch tuyến tính ngẫu nhiên nguyên

min{cx : Ax = b, x ≥ 0, x ∈ Z},trong đó A = (aij) là ma trận cấp m × n

Giai đoạn hai, trên cơ sở quan sát ảnh hưởng của yếu tố ngẫu nhiên,người ta giải bài toán

min

x {cx + Eω∈Ω[Q(x, ω)]},trong đó

Q(x, ω) = min{f (ω)y},với điều kiện

D(ω)y = A(ω)x − b(ω); x ∈ Zn, y ∈ Zm

Chương 2

Một thuật toán giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp hai giai đoạn với biến số giai đoạn thứ nhất liên tục

Khi thông tin không đầy đủ, dữ liệu phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên ω,

ta có bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Xét với bài toán hai giaiđoạn, ta viết lại ở giai đoạn hai là

y ≥ 0, yj ∈ {0, 1}, j ∈ J2.Trong bài toán (2.2) q(ω) là vectơ phạt thuộc không gian Rn2 đối với mỗi

A3) f (x, ω) < ∞, với mọi (x, ω) ∈ X × Ω

Giả thiết A3) đòi hỏi hàm mục tiêu của bài toán (2.2) phải thoả mãnvới mọi (x, ω) ∈ X × Ω, một tính chất được đề cập tới như là một tínhchất bắt buộc

Khi ở giai đoạn hai các biến chỉ là liên tục thì hàm mục tiêu ở giai đoạnhai là hàm lồi tuyến tính từng khúc đối với biến x ở giai đoạn một Do đónhờ sự phân rã Bender thì có thể tách các biến rời rạc và các biến liên tụctheo các bài toán khác nhau

Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp (Stochastic Integer Programming (SMIP), với các biến ở cả hai giai đoạn nguyên hỗnhợp đã được đề cập tới trong nhiều công trình khoa học và có nhiều ứngdụng trong thực tiễn Tuy nhiên, bài toán SMIP có biến ở giai đoạn mộtliên tục, chỉ có biến ở giai đoạn hai là nguyên hỗn hợp (ta ký hiệu là(SMIPs)), như đã nêu trong (2.1),(2.2) thì mới được nghiên cứu trongnhững năm gần đây (trong đó đáng chú ý là các công trình của S Sen, J I.Higle (2002, 2005), S Sen, J I Higle H D Sherali (2006), ) Các kết quảnêu trên thường sử dụng phương pháp nhánh và cận, nhánh và cắt, trong

Mixed-đó đáng chú ý là vận dụng phương pháp D2 (Disjunctive Decomposition

- phân hoạch và tuyển chọn) Để thuận lợi cho việc tiếp cận giải bài toán(2.1),(2.2) đã nêu, trong mục tiếp theo, chúng tôi trình bày sơ lược vềphương pháp D2