Tự đồng cấu luỹ linh trong không gian tuyến tính

Trong luận văn này, với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tự đồng cấu của không gian vectơ, chúng tôi sẽ trình bày theo cách riêng của mình về cấu trúc của tự đồng cấu, trong đó có lớp cá

Mở đầu

Vào những năm 1762, khi Lagrange nghiên cứu lý thuyết hệ ph-ơng

trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, khái niệm tổng quan về giá trị riêng của một tự đồng cấu xuất hiện Từ đó Toán học đ-ợc trang bị thêm một đối

t-ợng nghiên cứu, đây cũng là cơ sở quan trọng để phát triển ngành Đại số tuyến tính theo nghĩa hiện đại

Trong luận văn này, với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tự đồng cấu của không gian vectơ, chúng tôi sẽ trình bày theo cách riêng của mình

về cấu trúc của tự đồng cấu, trong đó có lớp các tự đồng cấu lũy linh

Mỗi tự đồng cấu f đ-ợc đặt t-ơng ứng với một ma trận A trong một cơ sở nào đó của không gian vectơ Mục đích của luận văn này là tìm cho mỗi tự đồng cấu (trong tr-ờng hợp có thể đ-ợc) một cơ sở, sao cho trong cơ

sở đó tự đồng cấu có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần ma trận chéo càng tốt

Cho V là một không gian vectơ trên tr-ờng K Tự đồng cấu f: VV

là chéo hóa đ-ợc nếu có một cơ sở gồm toàn những vectơ riêng, đó là những đồng cấu có ma trận chéo A, có số giá trị riêng đôi một khác nhau bằng dimV, f có tính chất f2= f, đa thức đặc tr-ng của f có đủ nghiệm trong tr-ờng K, rank(A-iidV) = n ‟ si (với i = 1,…m), si là bội của i Tuy nhiên, không phải tự đồng cấu nào cũng chéo hóa đ-ợc, ngoài các tự đồng cấu kể trên, số còn lại chúng tôi tìm cách đ-a ma trận của nó về một dạng rất gần với dạng chéo, đó là dạng chuẩn Jordan Đối với mỗi tự đồng cấu, dạng này

đ-ợc xác định duy nhất, sai khác thứ tự các khối khác 0 trên đ-ờng chéo

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu một lớp các tự đồng cấu f mà ma trận của nó trong một cơ sở nào đó có

dạng chéo khối đơn giản, đó là các lớp tự đồng cấu luỹ linh Sau đó mở

rộng cho một tự đồng cấu f bất kỳ, không nhất thiết phải lũy linh bằng cách xây dựng cho f một ma trận gồm các khối có dạng:

0 0

0 0

0 0

1

0 0 1

0

0 0 0

1

0 0 0

s k

Luận văn gồm hai ch-ơng cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Ch-ơng 1: Trình bày về tự đồng cấu của không gian vectơ

Ch-ơng 2: Trình bày về tự đồng cấu lũy linh, ma trận Jordan của

các tự đồng cấu, định lý Cayley ‟ Hamilton, đa thức tối tiểu của các tự đồng cấu f trong không gian vectơ V và các bài tập ứng dụng

Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h-ớng dẫn đã dành cho tác giả sự h-ớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Chuyên ngành

Đại số và Lý thuyết số ‟ Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học - Tr-ờng

Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong muốn nhận đ-ợc sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn học viên

Vinh, tháng 12 năm 2009

Phan Thị Thanh

Ch-ơng 1

Về tự đồng cấu của không gian tuyến tính

1.1 Các kiến thức cơ sở

về tự đồng cấu của không gian vectơ

Mục đích của ch-ơng này là tìm cho mỗi tự đồng cấu (trong tr-ờng hợp có thể đ-ợc) một cơ sở của không gian, sao cho trong cơ sở đó tự đồng

cấu có ma trận đơn giản Giả sử V là một không gian vectơ trên tr-ờng K,

và f:VV là một tự đồng cấu của V Việc nghiên cứu f trên toàn không gian V đôi khi gặp khó khăn vì V quá lớn Ng-ời ta muốn tránh điều đó bằng cách hạn chế f lên một số không gian con U nào đó của V Nh-ng để cho hạn chế đó vẫn còn là một tự đồng cấu của V thì không gian con này phải có tính chất đặc biệt nói trong định nghĩa sau đây:

1.1.1 Định nghĩa Không gian vectơ con U của V đ-ợc gọi là không gian

con ổn định đối với f (hay một không gian con f- ổn định) nếu f(U)  U

Đôi khi ng-ời ta cũng nói cho gọn rằng U là một không gian con ổn

định, nếu f đã chỉ rõ

Thuật ngữ không gian con bất biến đối với f dùng để chỉ không gian

con sau đây:

Vf: = {vV| f(v) = v}

Đối với mỗi tự đồng cấu f:VV bất kỳ, các không gian con sau đây

đều là f- ổn định: {0}, V, Kerf, Imf

Nếu có các không gian con f- ổn định U1 và U2 sao cho V = U1 U2, thì f1 = f|U1 và f2 = f|U2đều là các tự đồng cấu Mỗi vectơ vV có thể viết duy nhất d-ới dạng:

v = u1+ u2, trong đó u1U1, u2U2 và f(v) = f(u1) + f(u2) Khi đó việc nghiên cứu tự đồng cấu f trên V có thể qui về việc nghiên cứu các tự đồng cấu f trên Ui (i = 1, 2) Nói rõ hơn, nếu f1 có ma trận A trong cơ sở (e1, e2, …, em)

của U1, và f2 có ma trận B trong cơ sở (em+1, …, en) của U2 thì f có ma trận

trong cơ sở (e1, e2, …,em, em+1, , en) của V

Nh- thế det f = det f1.det f2

Nói riêng, f là một đẳng cấu tuyến tính nếu và chỉ nếu f1 và f2 cùng là các đẳng cấu tuyến tính

Tuy vậy, một không gian con ổn định nói chung không có phần bù tuyến tính cũng là một không gian con ổn định Sau đây là một ví dụ

Giả sử V là một không gian vectơ 2 chiều trên K với một cơ sở gồm hai vectơ  và  Tự đồng cấu f:VV đ-ợc xác định bởi f() = 0, f() = 0 Khi đó U = L() là không gian con f- ổn định một chiều duy nhất của V

Một câu hỏi đ-ợc đặt ra là làm thế nào để tìm các không gian con ổn

định đối với một tự đồng cấu đã cho? Đáng tiếc là không có một ph-ơng pháp chung nào để làm điều đó trong tr-ờng hợp tổng quát

Sau đây ta sẽ xét một tr-ờng hợp riêng đặc biệt, có nhiều ứng dụng trong Vật lý và Cơ học Đó là tr-ờng hợp các không gian con ổn định một chiều

Giả sử L là một không gian con f- ổn định một chiều Giả sử   L

là một vectơ  0 Khi đó () là một cơ sở của L Vì f(L)  L, cho nên nếu

có một vô h-ớng  K sao cho f() = , thì L = L() là một không gian con f- ổn định một chiều Ta đi tới định nghĩa sau đây

1.1.2 Định nghĩa Giả sử f là một đồng cấu của K- không gian vectơ V

Nếu có một vectơ   0 và vô h-ớng   K sao cho f() = , thì  đ-ợc

gọi là một giá trị riêng của f còn  đ-ợc gọi là một vectơ riêng của f ứng

với giá trị riêng 

Nh- vậy việc tìm các không gian con ổn định một chiều t-ơng đ-ơng với việc tìm các vectơ riêng

Nhận xét rằng: các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  cùng với vectơ 0 lập nên một không gian vectơ con ker(f - idV)

1.1.3 Định nghĩa Giả sử  là một giá trị riêng của tự đồng cấu f:VV Không gian vectơ ker(f - idV) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  đ-ợc gọi là không gian con riêng của f ứng với giá

trị riêng 

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm các giá trị riêng và các vectơ của một tự đồng cấu?

Nhận xét rằng  là một giá trị riêng của f nếu và chỉ nếu ker(f-idV)

 0 Điều này t-ơng đ-ơng với det(f - XidV) = 0 Nói cách khác,  là một nghiệm của đa thức det(f - XidV) = 0 với ẩn X

1.1.4 Định nghĩa Đa thức bậc n của một ẩn X với hệ số trong K: Pf(X)= det(f - XidV) đ-ợc gọi là đa thức đặc tr-ng của tự đồng cấu f

Đa thức bậc n của một ẩn X với hệ số trong K: PA(X) = det(A - XidV)

đ-ợc gọi là đa thức đặc tr-ng của ma trận A Nghiệm của đa thức này đ-ợc gọi

là giá trị riêng của A

Trong thực hành, để tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f ng-ời ta có thuật toán nh- sau:

B-ớc 1: Tìm ma trận A của f trong một cơ sở tùy ý (e1, …, en) của V

B-ớc 2: Tính đa thức đặc tr-ng det(A - XEn)

B-ớc 3: Giải ph-ơng trình đa thức bậc n đối với ẩn X: det(A - XEn) = 0

B-ớc 4: Giả sử  là một nghiệm của ph-ơng trình đó Giải ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất suy biến (A - En)x = 0

Giả sử x0 = (x10, …, xn0)t là một nghiệm không tầm th-ờng của hệ này Khi đó,  = x10e1 +…+ xn0en là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng

1.1.5 Dùng phần mềm Maple để tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Cho ma trận M = (aij)n x n, dùng câu lệnh eigenvects để tìm giá trị riêng và vectơ riêng:

> with(linalg) :

>M: = matrix(n, n, [a11, a12,…, ann]):

>vp: = eigenvects(M);

Kết quả Vp : = [1, s1, 1], …,[n, sn, n], trong đó các giá trị riêng i

có bội si, vectơ riêng t-ơng ứng là i, i = 1, 2, …n

b

a b

a

0

0 0

Kết quả Vp : = b, 2, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 2a+b, 1, 1, 0, 1 Nh- vậy

ma trận M có 2 giá trị riêng là : b (bội 2) ứng với các vectơ riêng (-1; 0; 1), (0; 1; 0) và 2a+b (bội 1) ứng với vectơ riêng (1; 0; 1)

1.1.6 Mệnh đề Giả sử U là không gian vectơ con ổn định với tự đồng cấu

f:VV Gọi f :V/UV/U,f  f   là đồng cấu cảm sinh bởi f Khi đó,

đa thức đặc tr-ng của f bằng tích các đa thức đặc tr-ng của f U và của f

Chứng minh Chọn một cơ sở bất kỳ (e1, …, em) của U rồi bổ sung nó

để nhận đ-ợc một cơ sở (e1, …, em, …, en) của V Vì U là một không gian con ổn định đối với f cho nên ma trận của f trong cơ sở nói trên có dạng

0 , trong đó B là ma trận của f|U trong cơ sở (e1, …, em) Vì e1 =

…= em = 0 trong U/V cho nên D chính là ma trận của f trong cơ sở (em+1, …, en) Rõ ràng det(A - XEn) = det(B - XEm).det(D - XEn-m), nói cách khác, ta có :P f X P f    X P f X

U

1.2 Không gian con ổn định của các tự đồng cấu thực và phức

Trong phần này, ta sẽ xét hai tr-ờng hợp đặc biệt, trong đó K là tr-ờng số thực hay tr-ờng số phức, để có thêm những thông tin bổ sung về nghiệm của các đa thức với hệ số trong những tr-ờng ấy

Vì mọi đa thức hệ số phức đều có nghiệm phức, nên ta có định lý sau đây

1.2.1.Định lý Mỗi tự đồng cấu của một không gian vectơ phức đều có ít nhất

một giá trị riêng, và do đó có ít nhất một không gian con ổn định một chiều

Chứng minh Giả sử tự đồng cấu f:VV của không gian vectơ phức

V có ma trận là A trong một cơ sở nào đó (e1, …, em) của V Vì C là một tr-ờng đóng đại số nên ph-ơng trình đa thức với hệ số phức Pf(X) = det(A -

XEn) = 0 có ít nhất một nghiệm phức, ký hiệu là  Xét hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất (A - En )x = 0, trong đó x là một ẩn vectơ cột gồm n thành phần phức Vì det(A - En ) = 0 nên hệ nói trên không có nghiệm tầm th-ờng x0 = (x10,…,xn0)t  Cn Khi đó n i i

i 1x0e

với giá trị riêng 

Các đa thức hệ số thực có thể không có nghiệm thực, nh-ng luôn có nghiệm phức Điều đó là cơ sở của định lý sau đây:

1.2.2 Định lý Mỗi tự đồng cấu của một không gian vectơ thực đều có ít

nhất một không gian con ổn định một hoặc hai chiều

Chứng minh Giả sử V là một không gian vectơ thực, và tự đồng cấu

f:VV có ma trận A = (akj) trong một cơ sở nào đó (e1,…en) của V Khi đó

đa thức đặc tr-ng Pf(X) = det(A - XEn)là một đa thức với hệ số thực

Nếu ph-ơng trình det(A - XEn) = 0 có một nghiệm thực thì f có

vectơ riêng, do đó nó có không gian con ổn định một chiều

Trái lại, giả sử ph-ơng trình det(A - XEn) = 0 không có nghiệm thực

Gọi  = a + ib là một nghiệm phức không thực của nó, ở đây i là đơn

vị ảo, a, b  R, b  0 Ta xét hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất suy biến

j kj n

ay bx y a

by a x a n

k iy x iy

x a z

z

0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 1

0 0

) ,

1 ( ), (

Nghĩa là L = L(, ) là một không gian con ổn định của f Ta khẳng

định rằng dim L(, ) =2 Giả sử trái lại dim L(, )  2 Vì z0  0 cho nên

hoặc  0 hoặc  0 Do đó L(, ) = 1 Nh- thế L là một không gian con

f - ổn định một chiều, nói cách khác f có một giá trị riêng thực Điều này

mâu thuẫn với giả thiết ph-ơng trình đặc tr-ng det(A-XEn) = 0 không có

nghiệm thực 

1.2.3 Mệnh đề Mỗi tự đồng cấu của một không gian vectơ thực số chiều

lẻ đều có ít nhất một không gian con ổn định một chiều

Chứng minh Nếu không gian vectơ V có số chiều n lẻ, thì đa thức

đặc tr-ng Pf(X) của mỗi tự đồng cấu f cũng có bậc lẻ, cụ thể là bằng n Do

đó đa thức này có ít nhất một nghiệm thực Thật vậy, giả sử trái lại Pf(X) không có một nghiệm thực nào Nhận xét rằng: nếu z = a + ib là một nghiệm của Pf(X) thì liên hợp phức của nó z = a-ib cũng vậy Hai nghiệm

này phân biệt, vì z không là một số thực Nh- vậy, n nghiệm phức của Pf(X)

đ-ợc ghép thành từng cặp liên hợp với nhau

Vì thế n là một số chẵn Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Ta đã chứng minh đa thức đặc tr-ng Pf(X) có ít nhất một nghiệm thực Vậy f có ít nhất một giá trị riêng thực Do đó, nó có ít nhất một không gian con

ổn định một chiều

Ví dụ: Phép quay mặt phẳng R2 xung quanh gốc toạ độ một góc  có

ma trận trong cơ sở chính tắc là: cos sin

) (cos

cos sin

X X

X

Biệt thức ’ = cos2 - 1 = -sin2 < 0 nếu   k Vì thế, phép quay mặt phẳng R2 xung quanh gốc toạ độ một góc  không có vectơ riêng nếu   k Tuy nhiên, nếu ta xét tự đồng cấu f của C2 cũng có ma trận là A trong cơ sở chính tắc, thì đa thức đặc tr-ng của f cũng là đa thức nói trên Vậy f có hai giá trị riêng phức là 1,2= cos  isin Dễ thấy rằng 1i là các vectơ

riêng của f ứng với giá trị riêng nói trên

Ch-ơng 2

Tự đồng cấu lũy linh

2.1 Tự đồng cấu lũy linh

Không phải bất kỳ tự đồng cấu nào cũng chéo hoá đ-ợc Tuy thế, với những giả thiết nhẹ, ng-ời ta có thể đ-a ma trận của một tự đồng cấu về một dạng rất gần với dạng chéo, đ-ợc gọi là dạng chuẩn tắc Jordan Đối với mỗi tự đồng cấu, dạng này đ-ợc xác định duy nhất, sai kém thứ tự của các khối khác 0 trên đ-ờng chéo

Cho f:VV là một tự đồng cấu của V Giả sử ta có phân tích V=V1…Vr trong đó mỗi Vi là một không gian con f-ổn định Giả sử thêm rằng tự đồng cấu f|Vi có ma trận Ji trong cơ sở ( 1, , )

J1,…,Jr:

1

2 1

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một lớp các tự đồng cấu f

mà ma trận của nó trong một cơ sở nào đó có dạng chéo khối nh- trên, với các khối Ji thật “đơn giản” Đó là các lớp các tự đồng cấu luỹ linh

2.1.1 Định nghĩa

(a) Tự đồng cấu  của K-không gian vectơ V đ-ợc gọi là lũy linh nếu

có số nguyên d-ơng k sao cho k

= 0 Nếu thêm vào đó k-1  0 thì k đ-ợc

gọi là bậc lũy linh của 

(b) Cơ sở (e1, e2,…en) của V đ-ợc gọi là cơ sở xyclic đối với  nếu

(e1) = e2, (e2) = e3, …, (en) = 0

(c) Không gian vectơ con U của V đ-ợc gọi là không gian con xyclic

đối với  nếu U có một cơ sở xyclic đối với 

2.1.2 Nhận xét Mỗi tự đồng cấu lũy linh đều có giá trị riêng duy nhất

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

1 0

0 0 0

0 1

0 0 0

0 0

)-2rank( s

)+rank( s+1

)

Chứng minh Gọi k là bậc luỹ linh của  Đặt Vi = k-i

(V) , ta thu

đ-ợc dãy không gian vectơ lồng nhau VVk  Vk-1 …V1V0 = {0}

Ta sẽ xây dựng các không gian vectơ con Vij với 1< j < i < k có các tính chất sau đây:

).

1 ( )

3 (

), 1

(

)

| ker(

) 2 (

), 1 , 2 , 1 , 1 ( :

| ) 1 (

1

2 2 1 1 1

k n V

V

k n V

V V

n j

n V V

j i n j i n

n n V

j n j n V

n

j n

…Vnn

Khi đó, có thể chứng minh đẳng thức sau bằng quy nạp theo n:

) ( n j 11 n j 1 j i n i j n

Nh- thế Vkj  Vk-1j …Vjj là tổng trực tiếp của một số hữu hạn

không gian con xylic (k-j+1) chiều đối với  (Số không gian trong tổng

này bằng dim Vkj.)

j j

k j k k j

V

hạn không gian con xyclic đối với 

Giả sử V = i W i là một phân tích của V thành tổng trực tiếp của các

không gian con xyclic đối với  Vì mỗi Wi đều là một không gian -ổn

i

i W rank

Nếu Wi là một không gian m chiều xyclic đối với  thì dễ thấy rằng:

) ( s W i

0

, ,

m s

m s s m

0

, ,

1 )

| ) ( )

| ( 2 )

|

m s

m s W

rank W

rank W

Vì thế, với mỗi số nguyên d-ơng s, rank( s-1)-2rank( s)+rank( s+1) chính là

số không gian con s chiều xyclic đối với  trong mọi phân tích của V 

2.2 Ma trận chuẩn Jordan của tự đồng cấu

Bây giờ ta giả sử f:VV là một đồng cấu bất kỳ, không nhất thiết luỹ linh

Với mỗi  R, ta xét tập:R =  V : m = m() sao cho (f - idV)m() = 0

Đó là một không gian vectơ con, bởi vì nó là hợp của một dãy các

không gian véctơ con lồng vào nhau

Vì f giao hoán với f - idV, cho nên R là một không gian ổn định đối

với f Thật vậy, nếu  Rthì có m > 0 sao cho (f - idV)m() = 0

Do đó: (f - idV)mf() = f(f - idV)m() = f(0) = 0

Nhận xét rằng R {0}nếu và chỉ nếu  là một giá trị riêng của f Thật vậy  là một giá trị riêng của f, thì không gian con riêng P= ker(f -

idV) là một không gian con của R: P  R Ng-ợc lại, giả sử  

R\0, chọn m là số nguyên d-ơng nhỏ nhất sao cho (f - idV)m() = 0 Khi đó  = (f - idV)m-1()  0 là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng , bởi vì (f - idV)() = 0 

2.2.1 Định nghĩa Giả sử  là một giá trị riêng của f

(a) Rđ-ợc gọi là không gian con riêng suy rộng ứng với giá trị riêng  (b) dim Pvà dim Rđ-ợc gọi t-ơng ứng là số chiều hình học và số

chiều đại số của giá trị riêng 

Mệnh đề sau đây giải thích một phần ý nghĩa của những thuật ngữ này:

2.2.2 Mệnh đề Nếu  là một giá trị riêng của tự đồng cấu f:VVthì dim

R, bằng bội của  xem nh- nghiệm của đa thức đặc tr-ng của f

Chứng minh Theo định nghĩa của không gian con riêng suy rộng,

đồng cấu (f  id V) |R là luỹ linh Do đó, áp dụng định lý 1.1.3 cho(f  id V) |R , ta có thể chọn một cơ sở của R sao cho trong cơ sở đó ma trận của f | R có dạng chéo khối, với các khối trên đ-ờng chéo có dạng

0 0

0 0

0 0

0 0 1

0

0 0 0

1

0 0 0

R f f

Vì thế, nếu gọi s là bội của  xem nh- nghiệm của đa thức đặc tr-ng của f, thì dimR< s

Giả sử phản chứng dimR< s Khi đó  là một nghiệmP f ( X) Gọi

 VR là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  Khi đó

   

f     Nghĩa là có vectơ  R sao cho f() =  +  Do đó  = (f -

idV )( )  R Vì thế, có số nguyên m sao cho (f-idV)m() = 0, nghĩa là

  R Điều này mâu thuẫn với giả thiết   0 trong VR, vì đó là một vectơ riêng

Tóm lại, ta có dim R = s 

Định lý sau đây là một tổng quát hoá của hệ quả 1.2.5:

2.2.3 Định lý (Dạng chuẩn Jordan của ma trận của tự đồng cấu)

Giả sử tự đồng cấu f của K-không gian vectơ n chiều V có đa thức

đặc tr-ng P f (X) phân tích đ-ợc thành các nhân tử tuyến tính trong KX, tức làP f (X)= (-1) n (X-1 ) s1

…(X-m ) s m , trong đó 1 , …, m là những vô h-ớng đôi một khác nhau trong K Khi đó, V phân tích đ-ợc thành tổng trực tiếp các không gian con riêng suy rộng ứng với những giá trị riêng1 , …,

k k k

s k J

0 0

0 0

0 0

0 0 1

0

0 0 0

1

0 0 0

Số khối Jordan cấp s với phần tử k trên đ-ờng chéo bằng

rank(f - k id V ) s-1 – 2rank(f - k id V ) s + rank(f - k id V ) s+1

Ma trận này đ-ợc xác định duy nhất bởi f sau khác thứ tự sắp xếp các khối Jordan trên đ-ờng chéo chính

2.2.4 Định nghĩa Ma trận nói trong định lý trên đ-ợc gọi là ma trận dạng

chuẩn Jordan của tự đồng cấu f

Chứng minh định lý 2.2.3 Ta sẽ chứng minh định lý theo 5 b-ớc B-ớc1: Giả sử    là các giá trị riêng của f Vì các đồng cấu (f -

idV) và (f -  idV) giao hoán với nhau, nên ta có đồng cấu:

 =(f - idV)m-1()  0, (f - idV)() = (f - idV)m() = 0

Vì các đồng cấu (f - idV) và (f -idV) giao hoán với nhau, cho nên: (f - idV) () = (f - idV)(f -idV)m-1() = (f - idV)m-1(f - idV) () = 0 Kết hợp hai đẳng thức trên ta có f() =  =  Vì    nên đẳng thức trên dẫn tới  = 0 Mâu thuẫn này bác bỏ giả thiết phản chứng

  , hệ vectơ (1,…,

m) độc lập tuyến tính

Khẳng định đó hiển nhiên đúng với m=1 Giả sử quy nạp điều đó

đúng với m-1 Xét một ràng buộc tuyến tính bất kỳ m1 i i 0

 , trong đó, theo b-ớc 1, các vectơ i  (f  m id V) (k i)

đều khác không trong R, với mọi i = 1,…, m-1 Do đó, theo giả thiết qui nạp, các vectơ đó độc lập tuyến tính, nghĩa là: a1 = …= am-1 = 0

Thay các giá trị này vào ràng buộc tuyến tính ban đầu, ta có am m = 0 Từ

đó, vì m 0 , nên am = 0 Vậy hệ vectơ (1, …, m) độc lập tuyến tính

B-ớc 3: Chứng minh

m

V R  R Thật vậy, theo mệnh đề 2.2.2, dim R1 = si Do đó, điều phải chứng

minh đ-ợc suy từ đẳng thức sau: dim( 1

i R R R

rank(f-kidV)s-1-2rank(f-kidV)s+rank(f-kidV)s+1

Một tr-ờng hợp riêng quan trọng của định lý trên là hệ quả sau đây

2.2.5 Hệ quả Nếu K là một tr-ờng đóng đại số (chẳng hạn K=C), thì mọi

tự đồng cấu của một K-không gian vectơ đều có ma trận dạng chuẩn Jordan trong một cơ sở nào đó của không gian

2.2.6 Nhận xét Định lý 2.2.3 có thể phát biểu d-ới dạng ma trận nh- sau:

Nếu ma trận vuông AM n n( x ,K) có đủ giá trị riêng kể cả bội trong tr-ờng

K thì nó đồng dạng trên K với một ma trận dạng chuẩn Jordan, đ-ợc gọi là dạng chuẩn Jordan của ma trận A

Ví dụ: Tìm dạng chuẩn Jordan trên tr-ờng số thực của ma trận sau đây:

0 0

2 3

0 0

4 2

5 4

2 0

4 3

Đa thức này có đủ nghiệm thực   1  2  1,  3   4   1 Vậy, ma trận A

đồng dạng trên tr-ờng số thực với một ma trận Jordan J Các khối Jordan của ma trận J này có các phần tử trên đ-ờng chéo bằng 1 hoặc ‟1 và có cấp tối đa bằng 2 (là bội của các giá trị riêng 1 và -1) Với 1=2=1, ta có:

4

2 4 0 2

4 6 2 4 ( 1 )