Một số tính chất cơ bản của vành và môđun cohen macaulay

Ta biết rằng nếu M là R - môđun hữu hạn sinh khác không và M ≠ IM thì mọi dãy chính qui cực đại trong iđêan I đều có cùng độ dài.. Do đó độ dài của một dãy chính qui cực đại trong iđê

Hoµng ThÞ T©n

LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña vµnh vµ

m«®un cohen - macaulay

Chuyªn ngµnh: §¹i sè – LÝ thuyÕt sè

M· sè: 60.46.05

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS NguyÔn ThÞ Hång Loan

Vinh 2009

Mục lục

Mở đầu 2

Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị

4 1.1 Vành địa ph-ơng 4

1.2 Phổ và giá của môđun 4

1.3 Sự phân tích nguyên sơ của môđun .5

1.4 Vành địa ph-ơng đầy đủ theo tôpô m – adic 6

1.5 Độ cao của iđêan và chiều Krull của vành và môđun 7

1.6 Hệ tham số 8

1.7 Đối đồng điều địa ph-ơng 9

1.8 Vành và môđun các th-ơng 10

Ch-ơng 2 Vành và môđun Cohen - Macaulay

13 2.1 Định nghĩa .13

2.2 Một số tính chất của vành và môđun Cohen - Macaulay 15

Kết luận của luận văn

26 Tài liệu tham khảo

27

Mở đầu

Cho R là vành giao hoán Noether, M là một R - môđun Một dãy

các phần tử x 1 , x 2 , ., x r  R đ-ợc gọi là dãy chính quy của M (hay còn gọi là M - dãy) nếu (x1, …, xr)M ≠ M và x i không là -ớc của không

trên môđun M/ (x 1 , , x i-1 )M với mọi i = 1, , r Điều đó cũng có nghĩa

là x i  p, với mọi p  AssM/(x 1 , , x i-1 )M,  i = 1, , r Cho I là một

iđêan tùy ý của R và x 1 , , x r là một M - dãy trong I Khi đó x 1 , , x r

đ-ợc gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại y  I sao

cho x 1 , ., x r , y là dãy chính qui của M Ta biết rằng nếu M là R -

môđun hữu hạn sinh khác không và M ≠ IM thì mọi dãy chính qui cực

đại trong iđêan I đều có cùng độ dài Do đó độ dài của một dãy chính

qui cực đại trong iđêan I đ-ợc gọi là bậc của I trên M, kí hiệu là

grade(I; M) hoặc gradeMI grade(AnnM; M) đ-ợc kí hiệu là grade(M) và

gọi là bậc của môđun M Khi xét R là R - môđun thì grade(I; R) đ-ợc kí

hiệu là gradeI và gọi là bậc của iđêan I

Nếu (R, m) là vành địa ph-ơng với iđêan cực đại duy nhất m và thì

grade(m; M) đ-ợc gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depthM Nếu x 1 , ,

x r là một dãy chính qui của M thì nó cũng là một phần hệ tham số của M

Do đó ta luôn có bất đẳng thức depthM  dimM, với dimM là chiều

Krull của M Khi dấu “=” xảy ra, tức depthM = dimM thì môđun M

đ-ợc gọi là môđun Cohen - Macaulay

Trong tr-ờng hợp vành R không nhất thiết địa ph-ơng thì R - môđun

M đ-ợc gọi là Cohen - Macaulay nếu môđun địa ph-ơng hóa M m là R m - môđun Cohen - Macaulay, với mọi iđêan cực đại m của R

Vành R đ-ợc gọi là vành Cohen - Macaulay nếu R là R - môđun

Cohen - Macaulay

Khái niệm môđun Cohen - Macaulay đã ra đời từ rất lâu và đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Đến nay, các kết quả về lớp môđun này rất phong phú

Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp, từ đó trình bày lại khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của vành và môđun Cohen - Macaulay Trong toàn bộ luận văn, vành luôn đ-ợc giả thiết là giao hoán, có đơn vị 1 ≠ 0

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn đ-ợc viết thành 2 ch-ơng Ch-ơng 1 trình bày các kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán liên quan đến các kết quả và các chứng minh ở ch-ơng 2 Ch-ơng 2 trình bày nội dung chính của luận văn Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày về định nghĩa khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của vành và môđun Cohen - Macaulay Các kết quả của ch-ơng này là sự tổng hợp từ các tài liệu [3], [4] và [5]

Luận văn đ-ợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2009 tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự h-ớng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, ng-ời đã tận tình giúp đỡ h-ớng dẫn chúng tôi trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Chúng tôi xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học Vinh, tr-ờng THPT Huỳnh Thúc Kháng, tr-ờng THPT Nguyễn Tr-ờng Tộ, các đồng nghiệp, bạn bè

và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả: Hoàng Thị Tân

Ch-ơng i KIến thức chuẩn bị

Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán liên quan đến các kết quả và chứng minh của ch-ơng tiếp theo

1.1 Vành địa ph-ơng

1.1.1 Định nghĩa (i) Vành R đ-ợc gọi là vành địa ph-ơng nếu R chỉ có

duy nhất một iđêan cực đại m Khi đó vành th-ơng R/m là một tr-ờng và

đ-ợc gọi là tr-ờng thặng d- của vành R, kí hiệu: K = R/m

(ii) Vành R đ-ợc gọi là nửa địa ph-ơng nếu R có hữu hạn iđêan cực đại

1.1.2 Tính chất (i) Giả sử m là iđêan của vành R sao cho xR \ m đều khả nghịch trong vành R Khi đó R là vành địa ph-ơng với iđêan cực đại

1.2 Phổ và giá của môđun

1.2.1 Phổ của vành Iđêan p của vành R đ-ợc gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ R và với mọi a, b  R, ab  p thì a  p hoặc b  p Kí hiệu

specR là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R Khi đó specR đ-ợc gọi

là phổ của vành R

Với mỗi iđêan I của vành R, kí hiệu V(I) = {p  specR p  I }

1.2.2 Giá của môđun Tập con

SuppM = {p  specR Mp  0}

của SpecR đ-ợc gọi là giá của môđun M

Với mỗi x  M, kí hiệu

1.3 Sự phân tích nguyên sơ của môđun

1.3.1 Iđêan nguyên tố liên kết Iđêan nguyên tố p của R đ-ợc gọi là iđêan nguyên tố liên kết của môđun M nếu tồn tại x  M, x ≠ 0 sao cho P

= AnnR(x) Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M đ-ợc kí hiệu là

AssRM (hoặc đơn giản là AssM nếu ta không để ý đến vành R)

1.3.2 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Cho N là một môđun con

của môđun M N đ-ợc gọi là môđun con nguyên sơ của M nếu Ass(M/N)

chỉ gồm một phần tử, tức là tồn tại một iđêan nguyên tố p sao cho

Ass(M/N) = {p} Khi đó ta nói N là môđun con p - nguyên sơ

Cho N là một môđun con của môđun M N đ-ợc gọi là có phân tích nguyên sơ nếu tồn tại hữu hạn môđun con nguyên sơ Q 1 , Q 2 , , Q n của

M sao cho

N = Q 1  Q 2   Q n (1)

Giả sử Qi là pi - nguyên sơ Khi đó phân tích (1) đ-ợc gọi là phân tích

thu gọn nếu các pi đôi một khác nhau và không có Q i nào có thể bỏ đi

đ-ợc Nếu pi là tối thiểu trong tập {p1, , pn} thì môđun Q i t-ơng ứng

đ-ợc gọi là thành phần cô lập, nếu trái lại thì Q i đ-ợc gọi là thành phần nhúng

Định lý phân tích nguyên sơ của Lasker nói rằng mọi môđun con của môđun Noether đều có sự phân tích nguyên sơ thu gọn Chú ý rằng sự phân tích nguyên sơ thu gọn của mỗi môđun là không duy nhất nh-ng

nếu N = Q 1  Q 2   Q n là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của

môđun con N, trong đó Qi là pi - nguyên sơ với mọi i = 1, , n thì tập

{p1, ., pn} xác định duy nhất và {p1, ., pn} = Ass(M/N) Các thành

phần cô lập luôn có mặt trong mọi sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun

1.4 Vành địa ph-ơng đầy đủ theo tôpô m – adic

Cho (R, m) là vành địa ph-ơng Ta xét R nh- một vành tôpô với cơ sở

lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , t = 0, 1, 2, Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tùy ý r  R gồm các lớp ghép r + m t , với t = 0, 1, 2, Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m - adic của R kí hiệu bởi 

R đ-ợc định

nghĩa bằng cách thông th-ờng theo ngôn ngữ của dãy Cauchy nh- sau:

một dãy Cauchy trong R là một dãy (rn) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n0 để r n - r m  mt với mọi m, n > n 0

Dãy (r n ) đ-ợc gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0, tồn tại số

tự nhiên n 0 để r n - 0 = r n  mt với mọi n > n0

Hai dãy Cauchy (r n ) và (rm) đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng, kí hiệu là (r n)

~ (r m ) nếu dãy (r n - r m) là dãy không Khi đó quan hệ ~ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ t-ơng đ-ơng Ta kí hiệu 

R là tập các lớp t-ơng đ-ơng

của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu (r n ) và (r m ) là các dãy Cauchy thì các dãy (r n + r m

),

(r n r m ) cũng là các dãy Cauchy và lớp t-ơng đ-ơng của các dãy (r n + rm),

(r n r m) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp t-ơng

đ-ơng của các dãy Cauchy (r n ) và (r m ), tức là nếu (r n ) ~ (r n ’) và (s n ) ~ (s n

’) thì (r n + s n ) ~ (r n ’ +s n ’) và (r n s n ) ~ (r n ’s n’) Vì thế 

R đ-ợc trang bị hai

phép toán hai ngôi (+) và (.); cùng hai phép toán này, 

R lập thành một vành Mỗi phần tử r  R có thể đồng nhất với lớp t-ơng đ-ơng của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu

tự nhiên giữa các vành

R  

R

r  (r) , trong đó (r) là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r

Định nghĩa t-ơng tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0

1.5 Độ cao của iđêan và chiều Krull của vành và môđun

1.5.1 Định nghĩa Cho (R, m) là vành địa ph-ơng, M là R – môđun

Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R:

p0  p1   pn

đ-ợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n Cho p  SpecR Chặn trên

của tất cả độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p đ-ợc gọi là độ cao

của p, kí hiệu là ht(p) Nghĩa là

ht(p) = sup{độ dài các xích nguyên tố với p0 = p}

Chặn trên của tất cả độ dài của các xích nguyên tố trong R đ-ợc gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR

Cho M là một R - môđun Khi đó dim(R/AnnRM) đ-ợc gọi là chiều Krull của môđun M, kí hiệu là dimM Chú ý rằng dimM = dim

M và dimM = max{dimR/p | p  AssM}

Cho I là một iđêan của R, ta định nghĩa độ cao của iđêan I là

ht(I) = inf{htp: p  specR và p  I}

Khi đó ta có ht(I ) = min{ht(p)| p  AssR/I}

1.5.2 Định lí Cho R là vành Noether, I = (a 1 ,…., a r ) là iđêan đ-ợc sinh

bởi r phần tử Khi đó mọi iđêan nguyên tố tối tiểu p của I có độ cao ht(p)

 r Đặc biệt ht(I)  r

1.6 Hệ tham số

Cho R là một vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại

duy nhất m; M là một R - môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dimM = d

> 0

(i) Một hệ gồm d phần tử x := (x 1 , , x d ) của m đ-ợc gọi là một hệ tham

số của M nếu (M/ (x1, , xd)M) <  (ở đây (*) là kí hiệu chỉ độ dài

của R - môđun, kí hiệu này đ-ợc dùng trong suốt toàn bộ luận văn)

(ii) Iđêan đ-ợc sinh bởi một hệ tham số đ-ợc gọi là iđêan tham số

(iii) Nếu x : = (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của môđun M thì hệ các

phần tử (x 1 , , x i ) đ-ợc gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, , d

Sau đây là một số tính chất của hệ tham số cần dùng trong luận văn

1 Mọi hoán vị của một hệ tham số của môđun M cũng là một hệ tham số

một hệ tham số của môđun M

3 Nếu x := (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của môđun M thì

5 (x 1 , , x d ) là một hệ tham số của M khi và chỉ khi x i  P, mọi p 

AssM/((x 1 , , x i-1 )M mà dimR/P = d – i +1, mọi i = 1, , d

1.7 Đối đồng điều địa ph-ơng

Đối đồng điều địa ph-ơng lần đầu tiên đ-ợc định nghĩa bởi A

Grothendick

Cho I là một iđêan của R Khi đó môđun đối đồng điều địa ph-ơng

Hi

I (M) thứ i của M với giá là I đ-ợc xác định bởi hàm tử dẫn xuất phải

thứ i của hàm tử I - xoắn ΓI (.): R - mod  R - mod trên phạm trù các R

Kí hiệu t = depthM, ta có kết quả sau

2 H i m (M) là R - môđun Artin với mọi i  Z Hơn nữa Hi

m (M) = 0 với mọi i < t hoặc i > d Đặc biệt H d m (M) luôn là vô hạn sinh khi d > 0

1.8 Vành và môđun các th-ơng

1.8.1 Vành các th-ơng Cho S là tập nhân đóng của R Trên tích Đề các

R xS ta xét quan hệ 2 ngôi:

(r, s) ~ (r’, s’)  t  S: t(rs’ - sr’ ) = 0

Khi đó ~ là quan hệ t-ơng đ-ơng trên RxS Với (r, s)  R xS, kí hiệu r/s

là lớp t-ơng đ-ơng chứa (r, s) và S-1R là tập th-ơng của R xS theo quan

hệ t-ơng đ-ơng ~:

S-1R = {r/s | r  R, s  S }

Trên S-1R trang bị 2 phép toán là phép cộng và phép nhân: r/s, r’/s’  S-1R

Mỗi iđêan của vành S-1R có dạng S-1I = {a/s | a  I, s  S}, trong đó I

là iđêan của R S-1I = S-1R  I  S ≠  Do đó S-1I là iđêan thực sự của

S-1R khi và chỉ khi I  S = 

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó S = R\ p là một tập nhân đóng của vành R Vành S-1R trong tr-ờng hợp này đ-ợc kí hiệu là R p Vành này là vành địa ph-ơng với iđêan cực đại duy nhất pRp (với pRp =

S-1p = {a/s | a  p, s  R\ p}) nên đ-ợc gọi là vành địa ph-ơng hóa của

R tại iđêan nguyên tố p

1.8.2 Môđun các th-ơng Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó ta

M

r x

s =

rx s

.

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S = R\p Khi đó môđun S-1

M đ-ợc kí hiệu là M p và gọi là môđun địa ph-ơng hóa của M tại iđêan nguyên tố p Nh- vậy M p có thể xem là R p - môđun hoặc là R - môđun

Ch-ơng II Vành và môđun Cohen- Macaulay

giả thiết là giao hoán, có đơn vị

2.1 Định nghĩa vành và môđun Cohen - Macaulay

2.1.1 Định nghĩa Giả sử M là một R - môđun khác 0 Dãy các phần tử

x 1 , , x r  R đ-ợc gọi là dãy chính qui của M hay còn gọi là M - dãy nếu các điều kiện sau đ-ợc thỏa mãn:

(i) M/(x 1 , , x r )M ≠ 0,

(ii) (x 1 , , x i-1 ) M : M x i = (x 1 , , x i-1 )M,  i = 1, , r

Chú ý rằng, nếu (R, m) là vành địa ph-ơng và x 1 , ., x r  m thì điều kiện (i) luôn đ-ợc thỏa mãn

2.1.2 Chú ý Cho M là một R - môđun; (x 1 , , x r) là một dãy các phần

tử thuộc vành R Khi đó các phát biểu sau là t-ơng đ-ơng:

(i) (x 1 , , x r ) là một dãy chính qui của M;

(ii) Phần tử x i không là -ớc của 0 trong M /(x 1 , , x i-1 )M,  i =1, , r; (iii) x i  p , p  AssM / (x1, , xi-1)M,  i =1, , r

Cho I là một iđêan tùy ý của R và (x 1 , , x r ) là một M - dãy trong

I Khi đó (x 1 , , x r ) đ-ợc gọi là một dãy chính qui cực đại trong I nếu không tồn tại y  I sao cho (x 1 , , x i , y) là dãy chính qui của M Ta biết rằng nếu IM  M và M là R - môđun hữu hạn sinh thì mọi dãy chính qui cực đại trong iđêan I đều có cùng độ dài Do đó độ dài của một dãy chính qui cực đại trong iđêan I đ-ợc gọi là bậc của iđêan I trên M, kí

hiệu là gradeM(I) hoặc grade(I; M) Khi xét R là R - môđun, bậc của iđêan

I trên R đ-ợc kí hiệu là grade(I) (nh- vậy grade(I) := grade(I; R))

gradeM(AnnM) đ-ợc kí hiệu đơn giản là grade(M) và gọi là bậc của R – môđun M Đặc biệt nếu (R, m) là vành địa ph-ơng và I = m thì gradeM(m)

đ-ợc gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depthM

2.1.3 Định lý Cho (R, m) là vành địa ph-ơng, Noether, M 0 là R – môđun hữu hạn sinh Khi đó ta có:

depth(M)  dim(R/p), p  Ass(M)

Chứng minh Chúng ta sử dụng phép quy nạp theo độ sâu của M

Với depthM = 0 hiển nhiên đúng

Giả sử định lí đúng với tr-ờng hợp depthM = k, với k là một số tự

nhiên Cho M là R - môđun có depthM = k +1 Do k +1 > 0, có một phần

tử a  M mà a không là -ớc của không trên M nên ta có depth(M/aM) =

k Do đó theo giả thiết quy nạp suy ra depth(M/ aM)  dimR/q, với q 

Ass(M/aM)

Bây giờ cho p  AssM Do p là linh hóa tử của một phần tử khác

không nào đó của M, môđun con (0: M p) là khác không và chúng ta thấy

rằng (0:M p)  aM = a(0:M p)

Cho g  (0: M p)  aM Vì g = ag’, với g’  M nên với r  p thì arg’

= rg = 0, suy ra rg = 0 (vì a không là -ớc của không trên M ) Vì vậy g’

 (0: M p) nên g = ag’  a(0: M p) Do đó (0: M p)  aM  a(0:M p) và chúng

ta đã chứng minh đ-ợc rằng (0:M p)  aM = a(0:M p)

Hợp thành các R - đồng cấu (0: M p)  M  M/aM (ánh xạ đầu là đồng

cấu nhúng, ánh xạ thứ hai là toàn cấu chính tắc) có hạt nhân là (0:M p)  aG = a(0:M p) Do đó M/aM có một môđun con đẳng cấu với

(0:M p)/ a(0: M p) (chú ý rằng a(0: M p) ≠ 0 vì (0: M p) ≠ 0 và a  M nên p

+ (a) là linh hóa tử (0: M p) / a(0: M p) và nó là một môđun con khác không

của M/ aM Do đó, từ định lí tránh nguyên tố, ta có

p + (a)  Zdv(M/ aM) = 

) / (M aM Ass q