Chuyen de phuong trinh duong thang trong mat phang

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : 3x 4y 5 0 Bài tập 11Khối B-2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A[r]

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Dự kiến đóng góp của đề tài 3

CHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 4

1 Phương trình đường thẳng 4

2 Khoảng cách và góc 5

3 Các dạng bài tập 7

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 13

1 Điểm và đường thẳng 13

2 Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác 19

3 Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác 37

CHƯƠNG III TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU 54

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng

ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán này, tránh những sai lầm dễ mắc phải

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra được những dạng bài tập về đường thẳng trong mặt phẳng

4 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu

 Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG

 Đối tượng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT trong nhiều năm và kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mới CT - SGK vừa qua

- Phương pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài

- Phương pháp thử nghiệm

- Phương pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát, thống kê

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

CHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình đường thẳng

1.1 Phương trình tổng quát của một đường thẳng

 Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax by c 0

a b với n a b  ; là véc tơ pháp tuyến

 Nhận xét: Nếu n  là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng thì k n  cũng là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

1.2 Phương trình tham số của một đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M x y0; 0 và có véc tơ

 Nhận xét: Nếu u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng thì k u   cũng

là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng

1.4 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A a;0     0; ,   ,và B b a b 0 là:

Chú ý: Nếu có hai điểm A x y và B x y A; A B; B ,  x B x y A, B y A 0 thì ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm A x y và B x y A; A B; B là:

M x y N x y không nằm trên Khi đó:

+) Hai điểm M, N nằm cùng phía với khi và chỉ khi

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và ta có:

Cos

3 Các dạng bài tập

Chú ý:

 Các điểm đặc biệt trong tam giác

Cho tam giác ABC, khi đó:

 Các đường đặc biệt trong tam giác:

+) Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, ta chủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện

+) Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện

+) Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó

+) Đường phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC

 Một số bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đường cao không qua đỉnh đó Tìm các yếu tố

còn lại

Cách giải: - Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK

- Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH

H K

B xB;yB

A xA;yAM

:ax by c 0 a b 0 và hai điểm A x A;y ,A B x y B; B không

thuộc Xác định điểm M trên đường thẳng , biết đường thẳng AM

M1A

Cách giải:

- Tham số hóa điểm A

- Sử dụng công thức

.cos

AC u

AC u

( u là véc tơ chỉ phương của đường

thẳng )

- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận

Bài toán 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt

- Trường hợp 1: AM kBM (điểm M nằm trong đoạn AB)

- Trường hợp 2: AM kBM (điểm M nằm ngoài đoạn AB)

Bài toán 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng

:ax by c 0 a b 0 và hai điểm A x A;y ,A B x y không B; B

B A

thuộc Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho

- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận

Bài toán 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm

- Chọn a, b đại diện và thỏa mãn *

 Một số bài toán dựng hình cơ bản

+) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng

Lập đường thẳng d đi qua A và vuông góc với

+) Dựng A’ đối xứng với A qua đường thẳng

Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên

Lấy A’ đối xứng với A qua H: '

'

22

+) Dựng đường thẳng d’ đối xứng với d qua đường thẳng

Lấy hai điểm M, N thuộc d Dựng M’, N’ lần lượt đối xứng với M, N qua Khi đó d' M N' '

CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

a

Vậy PT đường thẳng là:   5x y 13 0 hoặc x 5y 13 0

 Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và

b

Ví dụ 2:

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 2;3)I và cách đều 2 điểm (5; 1)

 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là

đường thẳng song song hoặc trùng với AB , đi qua trung điểm của AB

Vậy phương trình đường thẳng là: x y 0 hoặc x y 4 0

Ví dụ 4( Khối A-2006):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng

Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M 1; 1 lên đường thẳng

Bài tập 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua M 3;1 cắt Ox Oy lần lượt ,

tại A và B sao cho:

Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2 d x y 2 0 và

điểm I 1;1 Viết phương trình đường thẳng cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng45 0

ĐS: 3x y 6 0,  3x y 14 0,  x 3y 8 0,  x 3y 12 0

Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1) Viết phương trình

đường thẳng đi qua điểm M và cắt 2 đường thẳng

Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm , M 1;2 Viết phương trình

đường thẳng đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B khác O sao cho 92 4 2

2 Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác

A- Ví dụ

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1; 2  ,  B 3;3 Tìm tọa độ

điểm C thuộc : x y 2 0 sao cho tam giác ABC vuông tại C

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc

c c

Trong mặt phẳng tọa độOxy cho , A 2;1 Tìm tọa độ điểm B trên

: x 2y 2 0 và điểm C trên : d x 2y 2 0 sao cho tam giác ABC vuông cân tai A

 Nhận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau

2 2 2 2

Vậy vớiA 2;4 ;B 1;0 ;C 5;4 thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm

ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC Khi đó ta viết được phương trình đường AC

B' A

Gọi AE là đường phân giác trong của góc A suy ra AE x:  y 1 0

Gọi M là trung điểm của AC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

1

 2

Mà

71

Từ B kẻ BK vuông góc với AE K AC tại I; Tam giác ABK có AI vừa là (   )

đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK Đường thẳng BK AE nên BK có dạng : x y c 0

Gọi véc tơ chỉ phương của là: u a b; ,    a2 b2 0

PT tham số của đường thẳng qua O 0;0 và có véc tơ chỉ phương u a b; là:

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác

phía với một đường thẳng

AC u Cos AC d

B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A

B3: Viết phương trình đường AC’

B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’ Tính diện tích AB Với điều kiện B, C’ nằm cùng phía với điểm A Hay AB cùng chiều với AC '

Ví dụ 7( Khối A-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh , A 6;6 ,

đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương

trình: :x y 4 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết điểm , E 1; 3

nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

Từ (1), (2) ta có: 1

2

0 4

M N

D

A

Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB

Phương trình đường thẳng MNqua M và vuông góc với AD suy ra

Mà I là trung điểm của MNnên N 1;0

Đường thẳng AB qua N và vuông góc với CKsuy ra AB : x 2y 1 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

5 5 chân đường phân giác trong của góc A là D 5;3 và

trung điểm của AB là M 1;0 Tìm tọa độ đỉnh C

Lời giải:

H

K

N M

Ví dụ 10 ( THPTQG-2015):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại , A Gọi

H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B

qua H ; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử

M

C B

7x y 10 0, nên tọa độ của M thỏa mãn hệ 10 0

 Nhận xét: Mấu chốt ở đây là ta nhớ được tính chất đường trung tuyến trong

tam giác vuông để chỉ ra MH=MK Nhớ được tính chất chỉ ra HAK HKA

Bài tập 2: Cho các điểm A 1;1 ,B 2;5 ,C 4;7 Chứng minh tam giác ABC

có góc A nhọn Viết phương trình đường thẳng d đi qua A asao cho

có tung độ âm Viết phương trình AB

M mà chia tam giác ABC

thành hai phần có diện tích bằng nhau

D E N theo thứ tự là chân đường cao từ ,A B và trung

điểm AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết trung điểm , M của BC

nằm trên và hoành độ của điểm M nhỏ hơn hoặc bằng 4

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H 3;0 và trung điểm của BC là

6;1

I Đường thẳng AH x: 2y 3 0 Gọi D E, lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đường thẳng DE x: 2 0 và điểm D có tung độ dương

Đáp số: A 1;2 ,B 4; 3 ,C 8;5

Bài tập 10( Khối D-2009):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , M 2;0 là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh Alần lượt có phương trình .:7x 2y 3 0;  6x y 4 0 Viết phương trình đường thẳng AC

Đáp số: Phương trình đường thẳng AC : 3x 4y 5 0

Bài tập 11(Khối B-2009):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh , A 1;4

và các đỉnh , B C thuộc đường thẳng :x y 4 0 X ác định tọa độ các điểm B và C biết diện tích tam giác ABC bằng 18

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hãy xác định tọa độ đỉnh , C của tam giác ABC

biết hình chiếu của C lên đường thẳng AB là H 1; 1 ,đường phân giác

trong của góc Acó phương trình x y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình: 4x 3y 1 0

d x y d x y Tìm hai điểm , B C thuộc d d1,   2 sao cho

tam giác ABC vuông cân tại A

Bài tập 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , A 4; 2 ,

phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là:

Bài tập 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh , A 2, 4

Đường thẳng đi qua trung điểm của AB AC có phương trình: ,

4x 6y 9 0 Trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có

PT:  2x 2y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tam giác ABC có diện

Bài tập 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình ,

đường phân giác trong góc A là d1 :  x y 2 0,phương trình đường cao vẽ

từ B là d2 :  2x y 1 0, cạnh AB đi qua M 1; 1 Viết phương trình cạnh

Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua P tạo với d d1, 2 thành tam giác cân tại

A và có diện tích bằng 29

2

Đáp số: Phương trình đường thẳng d3 : 7x 3y 25 0

3 Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác

 Chú ý: Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và

hình vuông, chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành; hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng…

A- Ví dụ

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh hình bình hành ,

ABCD biết tâm hình bình hành là   1;6I còn các cạnh AB BC CD DA , , , lần lượt đi qua M 3;0 ; N 6;6 ; P 5;9 ; Q 5;4

 Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình bình hành

PT đường thẳng AB qua M và song song với CD là: x 2y 3 0

Lấy Q đối xứng với Q qua I Q(7;8) và  Q BC

 Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N, P qua tâm I Khi đó

ta tìm được tọa độ hai điểm đối xứng là N’ và P’ lần lượt nằm trên hai đường thẳng AD và AB

 Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình chữ nhật

ABCD

Lời giải:

I

O N

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:

Phương trình đường thẳng BD đi qua 2 điểm M, O có dạng: x 3y 0

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:

Do O là trung điểm của AC và BD nên ta có B 1; 3 ;   3; 1C

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là:

  D 1;3 ;  1; 3 ;B C 3; 1 ; A 3;1   

 Nhận xét: Ở đây ta để ý để chỉ ra ON=OM

Ta có thể dùng cách 2: Viết phương trình đường thẳng BD qua M tạo với AD một góc bằng (AD,AC) Khi đó được hai đường nhưng có 1 đường song song với AC

AM AN Cos

AM AN

25 101

M C

D

Gọi C t; 2t 5 d, gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra I là trung điểm

Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB

Mà CB = AD và CM song song với AD ( tính chất hình chữ nhật) nên tứ giác ACMD là hình bình hành

Suy ra AC song song DM

Lại có BN DM suy ra , BN AC và CB CN

Vậy B là điểm đối xứng với N qua AC

Phương trình đường thẳng AC qua A và C là: 3 x y 4 0

Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC là: x 3y 17 0

Lời giải:

H

D I

A

Gọi I là giao điểm của AC và BD suy ra IB IC ICB 450

Mà IB IC (gt) nên tam giác BIC vuông cân tại I

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có đường chéo ,

BD nằm trên đường thẳng :x y 2 0 Điểm M 4; 4 nằm trên đường

thẳng chứa cạnh BC, điểm N 5;1 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB

BiếtBD 8 2. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết điểm D có

Gọi M đối xứng với M qua BD M 2;2

 Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N qua trục đối xứng

AC Khi đó ta tìm được tọa độ điểm đối xứng là N’ nằm trên đường thẳng AD

Ví dụ 8:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD trong đó A ,thuộc đường thẳngd x1 : y 1 0,và C, D nằm trên đường thẳngd2 :2x y 3 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông

Gọi I là tâm hình vuông ABCD

Gọi A a;1 a   ,     d tacó S1 ABCD 5 d A d, 2 AD 5

2 1 3

55

*) Vớia 1 A 1;0 suy ra phương trình cạnhAD x: 2y 1 0

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung

điểm AB , N thuộc cạnh AC sao cho AN 3NC Viết phương trình đường

N I

Ta có MN 10. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD , a 0

Gọi I x y; là trung điểm của CD Ta có IM AD 4 và 2,

4

BD IN

Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD có A 1;2 , B 3;0 Chân đường cao H

kẻ từ đỉnh A xuống đáy lớn CD thỏa mãn tam giác AHC vuông cân tại H và có

diện tích bằng 9 Tìm tọa độ các đỉnh hình thang

Bài tập 2(Khối A-2005): Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng

Bài tập 3( Khối A-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ,

ABCD có điểm I 6;2 là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm

1;5

M thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng

: x y 5 0

Đáp số: AB: y 5 0 hoặc x 4y 19 0