Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Dao động của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi có tính đến tính phi tuyến bậc ba

Đề tài có cấu trúc gồm 3 chương trình bày hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu có cơ tính biến thiên; phân tích dao động phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi; tính toán số để chỉ ra ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích, của các kích thước hình học, của hệ số nền đến các đáp ứng của vỏ.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đào Văn Dũng

Hà Nội – Năm 2014

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đào Văn Dũng, người đã hết lòng tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này

Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin học và đặc biệt là các thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Hội đồng chấm luận văn đã có những ý kiến đóng góp quý báu giúp em mở rộng kiến thức, rút kinh nghiệm và làm luận văn của em được hoàn thiện hơn

Nhân đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót còn tồn tại, kính mong nhận được sự chỉ dẫn, góp ý chân thành của các thầy cô giáo, các nhà khoa học và các bạn

Phụ lục

Mở đầu.……… ………1

Chương 1 Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải b ng vật liệu có cơ t nh biến thiên (FGM) ………3

1.1 Vật liệu composite có cơ t nh biến thiên (FGM).… ……… 3

1.2 Các hệ thức cơ bản của vỏ thoải……… ………4

1.3 Phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi… …… 10

Chương 2 Phân t ch dao động phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi…… ………15

2.1 Điều kiện biên và phương pháp giải………15

2.2 Phân t ch dao động của vỏ thoải……… 23

2.2.1 Dao động tự do tuyến t nh… ……… 24

2.2.2 Quan hệ giữa tần số và biên độ dao động tự do phi tuyến …….25

2.2.3 Dao động cưỡng bức phi tuyến ……… 26

Chương 3 Tính toán số………28

3.1 Kết quả so sánh………28

3.2 Tính toán số cho vỏ thoải FGM ……… ………31

3.2.1 Tần số dao động riêng ….……….31

3.2.2 Khảo sát dao động phi tuyến……….32

3.2.2.1 Panel cầu………… ….……….33

3.2.2.2 Panel trụ.………… ….……….34

3.2.3 Ảnh hưởng của chỉ số mũ k ……….35

3.2.3.1 Panel cầu………… ….……….35

3.2.3.2 Panel trụ.………… ….……….36

3.2.4 Ảnh hưởng của k ch thước hình học ….……….37

3.2.4.1 Panel cầu………… ….……….37

3.2.4.2 Panel trụ.………… ….……….38

3.2.5 Ảnh hưởng của biên độ lực ngoài ….….……….39

3.2.5.1 Panel cầu………… ….……….39

3.2.5.2 Panel trụ.………… ….……….40

3.2.6 Ảnh hưởng của tần số lực ngoài ….….……….41

3.2.6.1 Panel cầu………… ….……….41

3.2.6.2 Panel trụ.………… ….……….42

3.2.7 Ảnh hưởng của hệ số nền …… ….….……….43

3.2.7.1 Panel cầu………… ….……….43

3.2.7.2 Panel trụ.………… ….……….46

Kết luận…… ……….….51

Tài liệu tham khảo ……… ………52

Phụ lục ….……….………53

Mở đầu

Vỏ là một trong những cấu trúc cơ bản và được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống Sự tương tác tĩnh và động của vỏ với môi trường đàn hồi là một vấn đề quan trọng hiện nay bởi vì vỏ trụ và vỏ nón được sử dụng rộng rãi trong các kết cấu kỹ thuật hiện đại như: đường hầm, bể chứa, bình chịu áp, ống nước ngầm, đường ống dẫn, và ống lót, thiết bị xử lí và trong một số ứng dụng khác Một số trường hợp các vỏ này được đặt vào trong môi trường nền là đất, các đường ống, động cơ và tên lửa được chứa đầy nhiên liệu chất rắn và chất lỏng Có những cách tiếp cận khác nhau để phân tích sự tương tác của kết cấu và môi trường xung quanh Hầu hết nền đất được biểu diễn thích hợp nhất b ng mô hình toán học của Pasternak, trong khi đó đất cát và chất lỏng lại được biểu diễn bởi mô hình của Winkler

Năm 1884 một nhóm các nhà nghiên cứu vật liệu của Nhật Bản đã công bố một loại vật liệu mới gọi là vật liệu cơ t nh biến thiên FGM (Functionally Graded Material) Vật liệu loại này được hình thành từ việc pha trộn hai loại vật liệu khác nhau mà vẫn giữ được những ưu điểm của các vật liệu thành phần, chính vì vậy FGM có rất nhiều t nh năn

ưu việt như: Độ cứng cao, hệ số dãn nở nhiệt, truyền nhiệt thấp…

Phân t ch động lực kết cấu vỏ làm b ng vật liệu FGM là một vấn đề mở, và còn khá ít các nghiên cứu được công bố Gần đây các tác giả Đào Huy B ch, Vũ Đỗ Long [2] đã nghiên cứu động lực của vỏ thoài không hoàn hảo FGM với bốn cạnh tựa bản lề và đưa

ra các phương trình cơ bản khi t nh đến yếu tố phi tuyến hình học, đồng thời nhận được đáp ứng phi tuyến tức thời của panel trụ và panel cầu chịu k ch động ngoài Các tác giả Đào Văn Dũng và Vũ Hoài Nam [3] đã nghiên cứu khảo sát động lực phi tuyến cho vỏ thoải không hoàn hảo FGM với hai cạnh ngàm và hai cạnh tựa bản lề Nhóm tác giả Librescu.L, Lin W [4], đã nghiên cứu sự vồng và dao động của mặt cắt biến dạng của tấm thẳng và cong trên nền đàn hồi phi tuyến Massalas C và Kafousias N [5] đưa ra dao động phi tuyến của vỏ trụ thoải trên nền đàn hồi phi tuyến Chiên RD và chen CS [6] đã nghiên cứu dao động phi tuyến của tấm phân lớp trên nền đàn hồi phi tuyến Nhóm tác giả Đào Huy B ch, Đào Văn Dũng, Vũ Hoài Nam đã phân t ch động lực phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong gân gia cường lệch tâm Nguyễn Đình Đức và Trần Quốc Quân [8] đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của tấm FGM không hoàn hảo hai độ cong với gân gia

cường lệch tâm trên nền đàn hồi có kể đến yếu tố nhiệt.Nghiên cứu động lực của vỏ thoải FGM không hoàn hảo trên nền đàn hồi tuyến tính gần đây được đưa ra bởi các tác giả Đỗ Quang Chấn [9]

Trong luận văn này tác giả trình bày nghiên cứu về dao động của vỏ cầu, vỏ trụ thoải FGM đặt trên nền đàn hồi phi tuyến bậc 3 Mô hình hóa các bài toán, viết các phương trình cân b ng trong trường hợp này, sau đó b ng việc sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin đưa ra phương trình dao động phi tuyến của vỏ Khảo sát số, tính tần số dao động riêng của kết cấu và ảnh hưởng của các hệ số nền Khảo sát dao động và đáp ứng thời gian của kết cấu dưới sự tác động của k ch thước hình học, hệ số nền, biên độ và tần

số của lực k ch động ngoài b ng Maple và so sánh với các kết quả đã biết

Luận văn bao gồm ba chương ch nh, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1 Trình bày hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải b ng vật liệu có cơ t nh biến thiên

Chương 2 Phân t ch dao động phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi

Chương 3 T nh toán số để chỉ ra ảnh hưởng của chỉ số tỉ phần thể tích, của các kích thước hình học, của hệ số nền đến các đáp ứng của vỏ

Chương 1 Hệ phương nh ơ ản ủ ỏ hoải ng ậ iệ ơ nh iến

thiên 1.1 Vật liệ omposi e ơ tính biến thiên (FGM)

Vật liệu compsite là vật liệu tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu khác nhau tạo nên vật liệu mới có t nh năng iu việt hơn hẳn các vật liệu ban đầu khi làm việc riêng r như khối lượng nh , độ bền cao, khả năng chồng nhiệt, chống ăn m n hóa hoặc tốt,… Gần đây, một số vật liệu composite có chức năng thông minh đã ra đời nh m đáp ứng nhu cầu thực tiễn trong việc chế tạo các cấu kiện hiện đại và thỏa mãn các điều kiện làm việc khắc nghiệt như các vật liệu gia cường sợi, vật liệu cơ t nh biến thiên,… Vật liệu có cơ t nh biến thiên FGM được tạo thành từ hai vật liệu thành phần là gốm Ceramic và kim loại Metal trong đó t lệ thể t ch của các thành phần biến đổi trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia của kết cấu Vật liệu FGM khắc khục được những nhược điểm của các vật liệu truyền thống và composite thông thường về khả năng chống chịu các tác dụng cơ, l , hóa Do có modul đàn hồi E cao và các hệ số truyền nhiệt K , hệ số dãn nở nhiệt  thấp của gốm làm cho vật liệu FGM có độ cứng cao và khả năng kháng nhiệt tốt Hơn nữa thành phần kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm d o hơn và khắc phục được sự rạn nứt do t nh gi n của vật liệu gốm khi chịu nhiệt độ cao em bảng 1.1

 

2( )

22( )

2( )

số - biên độ và khảo sát đáp ứng của kết cấu khi chịu lực cưỡng bức Mặt trung bình của

vỏ trong trường hợp chung phải được xác định trong hệ tọa độ cong Tuy nhiên, đối với

vỏ thoải có độ nâng mặt giữa của vỏ nhỏ hơn nhiều so với k ch thước a, b nên người ta có thể d ng hệ tọa độ Đề các để thay cho hệ tọa độ cong

Như vậy, trong trường hợp này s có:

Quan hệ phi tuyến chuyển vị - biến dạng theo l thuyết độ v ng lớn và biến dạng nhỏ của Von Karman là:

     

 

2

1

w,

2

2

w,

      

   

2 12

1 2

w

x x

  Trong đó: 0 0 0

1, 2, 12

   là các thành phần biến dạng ở mặt trung bình của vỏ Đại lượng

, , w

u v là chuyển vị theo phương x, y, z tương ứng

Phương trình tương th ch biến dạng trong trường hợp này có dạng:

Biến dạng tại các điểm cách mặt trung bình một khoảng cách z là:

z z z

,1

v E

v E

Trong đó  

2 1

E z G

v



 Biểu diễn ngược:

,1

2 1

E z

v v

E z

v v

E z v

,1

2

1 3 2 2

,1

E E E E

,1

E E E E

.1

E E E E

 Trong đó

22

c m m

2 12

trên nền đàn hồi Phần tiếp theo ta s giải quyết bài toán cụ thể khi vỏ chịu lực khác nhau

và với điều kiện biên cho trước

Chương 2:Ph n h d o đ ng phi ến ủ ỏ hoải n nền đ n h i

2.1 Điều kiện i n phương ph p giải

Giả sử vỏ tựa bản lề tại 4 cạnh, chịu tải phân bố đều = vuông góc với mặt trung bình Chịu tải n n phẳng và phân bố đều trên hai cạnh Khi

đó điều kiện biên có thể biểu diễn như sau:

    

2 4

Trong hai hệ thức 2.7 và 2.8 ta nhận thấy nếu m ch n hoặc n ch n hoặc m,n c ng

ch n thì mối quan hệ giữa f và n là tuyến t nh Do đó ta x t bài toán có nghĩa với cặp

m,n c ng l Khi đó [ [ Như vậy, áp dụng phương pháp

Bubnov – Galerkin, ta nhận được hai phương trình đối với f(t) và (t) sau đây:

2 2 2 2

Ta tìm nghiệm của phương trình này dưới dạng   t

f t e Thay vào 2.15 thu được phương trình đặc trưng: 

Nên  √ Do đó nghiệm tổng quát của 2.15 có dạng:

       

2 4

   (2.22) Kết hợp 2.16 , dẫn tới t số

2 3

Quá trình giải được tiến hành theo phương pháp tiến bước , b ng cách đưa phương trình vi phân cấp hai 2.24 về hệ hai phương trình vi phân cấp một qua việc đặt:

y f, y2 df

dt

 Khi đó, việc giải phương trình 2.24 được đưa về giải hệ hai phương trình vi phân cấp một sau:

Chương 3 T nh o n s 3.1 Kết quả so sánh

Trong trường hợp bài toán tĩnh với tải trọng ngoài q = = const, thì ̈ Vì vậy phương trình 2.14 có dạng:

2

2 2 2 2

Đây là phương trình bậc 3 đối với f Từ đây có thể xác định wmax  f

t trường hợp bài toán tĩnh đối với tấm , vật liệu là thuần nhất, đẳng

,

M A

q B

Theo [10] trường hợp bản chữ nhật khớp bản lề trên chu tuyến, chịu tải trọng phân bố

đều q = const, vuông góc với mặt bản đặt trên nền đàn hồi theo mô hình Vinkler, phương trình cân b ng của bản có dạng:

Như vậy kết quả bài toán tĩnh của luận văn ph hợp với kết quả trong [10]

3.2 Tính toán s cho vỏ thoải FGM

3.2.1 Tần s d o đ ng i ng

t vỏ thoải FGM là panel cầu với các cạnh tựa bản lề, k ch thước là: b 2m; a=λb; h

= 0.01m, R = 5m Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm:

Aluminum ( =70 N/ , = 2702kg/ và Alumina =380 , Hệ số Poisson được chọn là v 0.3 Hệ số nền theo inkler được

Bốn tần số dao động riêng đầu tiên của panel cầu FGM được thể hiện trong bảng 3.1a bảng 3.1b với  1, 2

Qua bảng tần số dao động riêng ta thấy với vỏ thoải là panel cầu và panel trụ thì tần số dao động riêng có giá trị nhỏ nhất khi m n 1 Tần số dao động riêng giảm đi khi chỉ số đặc trưng t phần thể t ch k tăng lên

3.2.2 hảo s d o đ ng phi ến

T nh toán số với panel cầu FGM trong trường hợp chịu tải vuông góc phân bố đều (t)= Qsin( t , phương trình 2.24 được giải sử dụng phương pháp tiến bước Runge – Kutta Khoảng chia t =

, ở đó chu k T 2/ với là tần số của lực k ch động ngoài, = nt

So sánh dao động trên nền đàn hồi và không đàn hồi

3.2.2.1 Panel cầu

t vỏ thoải FGM là panel cầu với các cạnh tựa bản lề, k ch thước là:a =b=1,5m;

h = 0.01m; = = với R 3m Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum ( =70 N/ , = 2702kg/ và Alumina =380 ,

) Hệ số Poisson được chọn là v 0.3 Với m = n = 1; k =1; lực ngoài Q

150.000 (N/ ), = 1000 ( , hệ số nền khác nhau 7 3

K   N m , K 2 =

0,K 3= 0) và (K1 5 10 (7 N m/ 3),K2 1.5 10 ( 5 N m/ ),K31.5 10 ( 9 N m/ 5), đáp ứng phi tuyến của hệ được thể hiện trong hình 2

với ba h s n n và và khi chỉ có m t h s ớ

(t) = 150.000 sin (1000t)

Đáp ứng phi tuyến của vỏ cầu khi chỉ có hệ số nền K 1 hoặc K 2 , hoặc K 3 còn các thành phần còn lại b ng 0 được chỉ ra trong hình 3

Hình 3

i khi xét từng h s n n riêng bi t khác không còn các thành ph n còn l i cho bằng 0

3.2.2.2 P ne ụ

t vỏ thoải FGM là panel trụ với các cạnh tựa bản lề, k ch thước là: a =b =1,5m,

h = 0.01m, =0, = với R 3m Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum ( =70 N/ , = 2702kg/ và Alumina =380 ,

Hệ số Poisson được chọn là v 0.3 Với m =n = 1; k =1; Q = 150.000

Hình 4 i khi chỉ có h s n n K 1 và khi có c ba h s n n và khi xét từng h s n n riêng bi t khác

không còn các thành ph n còn l i cho bằng 0

3.2.3 Ảnh hưởng ủ h s m

3.2.3.1 Panel cầu

t vỏ thoải FGM là panel cầu với các cạnh tựa bản lề, k ch thước là:a=b =1,5m;

h = 0.01m; = = với R 3m Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum ( =70 N/ , = 2702kg/ và Alumina =380 ,

Hệ số Poisson được chọn là v 0.3 Với m =n = 1; k =1; lực ngoài có biên

độ Q= 150.000(N/ ), tần số = 1000( ), hệ số nền K11.5 10 ( 7 N m/ 3)

5

đổi k =0; k= 1; k 2 thì đáp ứng phi tuyến được thể hiện trong hình 5

Hình 5: ng phi tuy n c a FGM c ng h p b n c nh t a b n l với

chỉ s k ổi

3.2.3.1 Panel trụ

t vỏ thoải FGM là panel trụ với các cạnh tựa bản lề, k ch thước là: a =b =1,5m;

h = 0.01m; =0, = với R 3m Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum ( =70 N/ , = 2702kg/ và Alumina =380 ,

Hệ số Poisson được chọn là v 0.3 Với m =n = 1; k =1; lực ngoài Q

150.000 (N/ ), tần số = 1000 ( ), hệ số nền K1 1.5 10 ( 7 N m/ 3),

3.2.4 Ảnh hưởng củ h hước hình học

3.2.4.1 Panel cầu

t vỏ thoải FGM là panel cầu với các cạnh tựa bản lề h = 0.01m; với R

= 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum ( =70 N/ , = 2702kg/ và Alumina =380 , ) Hệ số Poisson được chọn là v 0.3

Chọn m=n=1; k = 1; biên độ lực ngoài Q = 150.000 (N/ ), tần số = 1000 ( , hệ

K   N m , K2 1.5 10 ( 5 N m/ ),K3 1.5 10 ( 9 N m/ 5) Khi k ch

thước a và b của vỏ thay đổi a = 1.5, b = 1.5; a =3, b =3; a =6, b =6m thì đáp ứng phi tuyến được thể hiện trong hình 7

ớ k

ớ ổ

3.2.4.1 Panel trụ

t vỏ thoải FGM là panel trụ với các cạnh tựa bản lề h 0.01m; với R

= 3m) Hỗn hợp vật liệu cấu thành vỏ gồm: Aluminum ( =70 N/ , = 2702kg/ và Alumina =380 , ) Hệ số Poisson được chọn là v 0.3