Tổng hợp kho bài tập hình học 10 có lời giải

Tổng hợp kho bài tập hình học 10 có lời giải

§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA

TÓM T ẮT LÝ THUY ẾT

Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng

+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được

+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0

thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó

+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ

+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau

Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0là  AB BA,

Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm

B

D B

A

C

K I

N

M D

A

C

B

Gọi  là giá của a

Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM// 

Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // 

Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a

Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD Điểm I là giao

điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN

Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm

của MD DK = KM Tứ giá IMKN là hình bình hành,

suy ra NI = KM DKNI

 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung

điểm cuối (hoặc điểm đầu)

(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)

Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a Dựng điểm M sao cho:

a) AM = a;

b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a|

Giải

Giả sử  là giá của a Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// 

(nếu A thuộc  thì d trùng ) Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:

AM1=AM2=| a|

Khi đó ta có:

a) AM1= a

b) AM1=AM2 cùng phương với a

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là điểm đối xứng

của B qua O Chứng minh: AHB C'

BÀI TẬP §1

Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm

cuối là các đỉnh tam giác?

Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương

a và b Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó.

Bài 3: Cho ba vectơ a ,,b ccùng phương và đểu khác véctơ không Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơtrong chúng có cùng hướng

Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùnghướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng

Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình và tìm trên

hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;

b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;

c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;

d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB

Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

Bài 9: Cho tứ giác ABCD

Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC 

Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu AB DC

HD §1

Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.

Bài 2: có, đó là vectơ-không

Bài 3: nếu 

a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng

Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.

Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C

trong các trường hợp sau:

b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C

c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng

+ cùng hướng: nếu |AB |>|AC | thì theo a); nếu |AB |<AC | thì B nằm giữa A và C + Ngược hướng thì theo b)

Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng

BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ

1. Cho ABC Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0

2 Cho tứ giác ABCD

a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

CMR : MQ = NP

3. Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA

a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN

b/ Xác định các vectơ bằng NP

2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ 

EH và FG bằng  ADCMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.

3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ CI = 

DA CMR :a/ I là trung điểm AB và 

DI = CBb/ 

AI = IB = DC

4. Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD Dựng 

MK = CP và  KL =  BNa/ CMR : 

 Định nghĩa: Cho 2 véc tơ 

avàb Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB =a,BC =b.

Khi đó 

a+b=AC 

Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ

 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :  AB

+ BC = AC

 Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì  AB+ AD = AC

ngũ giác đều Ta có OA OB OM 

, trong đó M là đỉnh hình thoi AMBO và M thuộc d Tương tự OC OE ON 

Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD=600 và cạnh là a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Tính |AB AD  |;| BA BC   |;|OB DC |

Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau

1) Biến đổi vế này thành vế kia.

2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.

3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.

Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì

Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải

Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F      

B

D

MA + MC =  MB +  MD (với M là 1 điểm tùy ý)

9. Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB

CMR : OD +  OC =  AD +  BC

10 Cho ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý 

'

AA , BB ,  ' CC 'CMR : AA ' + BB ' + CC ' = BA ' + CB ' + AC '.

11 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB AD  theo a

12 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b

Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm Tìm tập hợp điểm M , N thỏa

OB

Bài 8 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là

điểm đối xứng của A qua C với một điểm O bất kỳ, ta có:

' '

OA OC

Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng :  CA + CB  =  CA - CB 

PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1) Định nghĩa: Cho a ≠0 , 0≠k   ta có c=ka  (gọi là phép một số thực với 1 vectơ) Khi đó:

5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai a,b khác 0 và không cùng phương Khi đó  x bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho:

Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O  giá của a thì d là giá của a)

 Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a|, OM và a cùng hướng khi đó OM 3a

O

a

MN

Nếu G là trọng tâm AG=2

3AI; GI=

1

3AIAG=2GI

153) a) Chứng minh:vectơ đối của 5a là (5) a

b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a+3b , a2b

Giải

a) 5a=(1)(5a)=((1)5) a= (5) a

b) (2a+3b)= (1)( 2a+3b)= (1) 2a+(1)3b=(2)a+(3)b =2a3b

c) Tương tự

2 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương

1) Cho  ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I

là giao điểm của AD và EF Đặt  ; 

+ Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD

1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=1

3AC.Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

Giải

Ta có

12

Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành

 M không thuộc AC MN//AC

4 Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số

1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD Chứng minh:

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

2) Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: IA2IB0

.HD

G A

K I

AD = 4AG (với G là trung điểm FH)

Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H

Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 21 NC Gọi

K là trung điểm của MN.

a/ CMR : AK = 14 AB + 61 AC b/ CMR : KD = 14 AB + 13 AC

Bài 8: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho 

AD = 2DB ,  CE = 3 EA Gọi M là

Bài 11: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC Gọi K là trung điểm

của MN Phân tích AK theo AB và AC.

Bài 15 : Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB

= 2JC.

a) Tính               AI AJ theo AB AC,                ,

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI và AJ

Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2

Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là

điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm

Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung

điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui

b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC

Bài 20: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :

O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ

 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục

+ Cho điểm M nằm trên trục (O;  i) Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM  mi

Số m gọi là tọa độ

của m đối với trục (O;  i) (nó cũng là tọa độ của OM

)

+ Cho vectơ u trên trục (O;  i) Khi đó có duy nhất số x sao cho uxi Số x gọi là tọa độ của vectơ u

đối với trục (O;  i)

 Độ dài đại số của vectơ trên trục

Cho A,B nằm trên trục (O;  i) Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i Ta gọi số a là độ dài đại số của

AB đối với trục đã cho.

Kí hiệu: a= AB Như vậy AB = AB  i

*Nhận xét:

'

+ Nếu AB  i

thì AB= AB+ Nếu AB  i

thì AB= AB+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O;  i) có tọa độ lần lượt là a và b thì

+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.

+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.

 Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

Đối với hệ trục (O;  i; j), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a 

 Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM

được gọi là tọa độ của điểm M Như vậy, cặp số (x ; y)

là tọa độ của M  OM =(x ; y)

Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)

+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M

3) Xác định tọa độ của vectơ c, biết:

a) c=a+3b; với a(2;1), b(3;4) Tính độ dài của c

.c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA  (1;1)

Đáp án: a) AB(2; 2), BA ( 2; 2)

b) M(4;3) c) N(2;0)6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5 Chọn hệ trục tọa độ (A; ,i j), trong đó i và AD

cùng hướng, j

và AB cùng hướng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của

BC và trung điểm M của CD

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC

d) A’ là điểm đối xứng của A qua B Tìm tọa độ A’

17) Biểu diễn véctơ 

c theo hai véctơ a vàb

 ACkhông cùng phương AB C không thuộc AB  CD//AB

22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox Tìm tọa độ đỉnh C

Đáp án: C(0;4)

23) Cho A(2;1), B(4;5) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC làhình bình hành, O là gốc tọa độ

Đáp án: I(1;3), C(2;6)

24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

HD: a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC

b) G(1;4)25) Cho tam giác ABC đều cạnh a Chọn hệ tọa độ (O; ,i j), trong đó O là trung điểm BC, i  OC

,

j  OA

a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

E c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G

26) Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ tọa độ (O; ,i j), trong đó O là tâm của lục giác đều, i  OD

,

d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD

28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB

a) Tìm tọa độ của A, B

b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B

c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)

29) Cho a=(2; 1) ; b=( 3 ; 4) và c=(7; 2)

a) Tìm tọa độ của vectơ u= 2 a - 3 b + c

b) Tìm tọa độ của vectơ x thỏa x + a = b - c

c) Tìm các số m ; n thỏa c = m a+ n b

30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng

31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5) Chứng minh A, B, C thẳng hàng

BÀI TẬP THÊM

1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5

a/ Tìm tọa độ của 

AB b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 

MA + 5MB = 0



d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1

2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA +  MB   MC = 0 

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA  3 NB =  NC

3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA  2 MB = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB

4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR :

AC

1

+AD

1 = AB2

b/ Gọi I là trung điểm AB CMR : IC.IDIA2

c/ Gọi J là trung điểm CD CMR : AC.ADAB.AJ

TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG

5/ Viết tọa độ của các vectơ sau : a = i  3 j , b =

2

1i

+ j ; c



8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ 

AB , AC ,  BCb/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : 

CM = 2AB  3 ACd/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN + 2 BN  4 CN = 0 

9/ Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2)

a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1)

a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC

b/ Gọi D(3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

11/ Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó

12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M.13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C

b/ Tính diện tích ABC

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ CMR : ABC vuông cân

Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?

a) AC  BC  DC

b) DB  m DC  DA

Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho

CA k BB BC

k

AA '  , '  Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA Chứng

minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ v  MA  MB  2 MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M Hãy dựng điểm D sao cho CD  v

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của

A qua O

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành

OH OC

OB

OA

HO HC

HB

HA

HO HD

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH  3 OG Từ đó kết luận gì về 3 điểm G, H, O

Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh :

a) BB '  C ' C  DD '  0

b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

ÔN TẬP CHƯƠNG I THÊM

1/ Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM

4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD

a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho 

MD = MC +  AB ,  ME =  MA +  BC và  MF =  MB +  CA CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M

9/ Cho ABC Gọi D là điểm xác định bởi 

AD = 52 AC và M là trung điểm đoạn BD.a/ Tính 

10/ Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2)

a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B

b/ Tính chu vi và diện tích  OAB

c/ Tìm tọa độ trong tâm  OAB

d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ sốnào ?

e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E Tìm tọa độ điểm E

f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành

Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0 0 đến 180 0 ) 1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM =  và M(x0;y0) Khi đó ta định nghĩa:

sin của góc  là y0; ký hiệu sin = y0

côsin của góc  là x0; ký hiệu cos = x0

y x

x y

* Dấu của các tỉ số lượng giác:

3 Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc

A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) = 0

4 Góc giữa hai vectơ

A B O



Cho hai véctơ 

a ,b đều 0 Từ điểm O tuỳ ý dựngOA = a , OB =  b Góc 00≤ AOB ≤1800 được gọi là gócgiữa hai véctơ 

* Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ avà b là véctơ 0 thì ta có thể xem góc  bao nhiêu cũng được

Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 500

5 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc

HD: sin1350 = sin(1800450)= sin450

2/ Cho tam giác cân ABC có B C =15 0 Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A

HD: vì A1800  (B C  ) sinA= sin(1800300)

3/ Tính giá trị các biểu thức sau:

A= asin0o + bcos 0o + c sin 90o ;

B= acos90o + bsin 90o + c sin180o;

C= a2 sin90o + b2cos 90o + c.cos18Oo;

4/Tính giá trị của biểu thức sau :

A= 3  sin2 90o + 2cos2 90o  3tan245o;

B= 4 a2 sin2 90o  3(a.tan245o )2+ 2a.cos45o

5/ Tính giá trị các biểu thức sau:

A= sinx + cosx khi x = 0o, 45o, 60o

B= 2sinx+ cos2x khi x = 60o, 45o, 30o

C= sin2 x + cos2x khi x = 30o, 45, 30o,60o,90o,145o

6/ Biết cosx=

2

1, tính P = 3sin 2x + 4cos2x Kết quả:

7/ a) Cho góc nhọn  mà sin=

4

1.Tính cos và tan

b) Cho góc  mà cos= 

3

1 Tính sin, tan,và cot

c) Cho tanx= 2 2 Tính cotx, sinx và cosx

d) Cho cot = 1

2

 Tính tan, sin và cos

8/ Chứng minh các hằng đẳng thức :

b) ( sin  cos)2 = 1  2sin.cos

c) sin4x  cos4x = 2sin2x 1

c) sin4x + cos4x = 1 - sin2x cos2x

d) sinx.cosx( 1+ tanx )( 1 + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx

9/ Đơn giản các biểu thức:

A = cosy + siny tany; Đáp số: A=1/cosy

B = 1cosb 1 cosb Đáp số: B= sinb (vì sinb>0)

C = sina 1tg2a Đáp số: C=

tan 0 a<90sin

| cos | tan 90 <a 180

a a

a) cos2120+cos278o+ cos210+cos278o Đáp số: a) 2; b= 2

b) sin23o+sin215o+ sin275o+ sin287o

11/ Đơn giản các biểu thức:

A = sin( 90o  x ) cos( 180o x ) Đáp số: A=cos2x

B = cos( 90o  x ) sin ( 180o x ) Đáp số: B= sin2x

Bài 7 : Biết rằng sin15o = Tính các tỉ số lượng giác của góc 15o

BÀI TẬP 1 Bài 1 : Tính các hàm số lượng giác (sin ,cos ,tg ,cotg ) của các góc sau

B = 3sin600-2cos300+3tg600-4cotg900 Kq2 B =

2

37

C = 3-sin900 +2cos2600-3tg2450 Kq2 C =

-21

0 0

0

37sin56

137cot

34cot53cos53

(

g ) (

Kq2 D = 0

E =

0

0 0

0144cos

54cos36cot

3

22

Bài 4 : Cho cos =

17

8

 với 900< <1800 Tính sin ,tg ,cotg Kq2 sin =

1715

Bài 5 : cho tg =2  3 Tính sin ,cos ,cotg ; Kq2 cos =

2)13(

1



Bài 6 : Cho cotg =2 2 với 00 < <900 tính sin ,cos ,tg Kq2 sin =

31

Bài 7 : Cho sin =

5

4 Tính cos ,tg ,cotg Kq2 cos =

tgα gα



cot

cot

Kq2 A =

91

sin 3 2 sin 2

2 cos 5 2 sin

d) cos =

3

2 , tính D =

g tg

cossin2

Kq2 F = 20

Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau

A =(1+cos )cotg2(1-cos ) Kq2 A = cos2

B = cos2a +cos2acotg2a Kq2 B = cotg2a

sinsin

tgy tgx

cot



Kq2 E = tgxtgy

F = (sin +cos )2-1-2sin cos Kq2 F = 0

G = cos100 + cos200+ cos300+…+ cos1700 + cos1800 Kq2 G = -1

)090(cot

)090(cot)090cos(

g

Kq2 H = -1

I = cos200 + cos400 +…+ cos1600 + cos1800 Kq2 I = -1

J = sin(900- ) + sin(1800- )-cos +sin Kq2 J = 2sin

K = 2sin -3cos(900- )+tg900- )+2cotg(1800- )+2sin -3cotg

Kq2 K = sin -4cotg

L = sin2100+sin2200+sin2300+…+sin2700+sin2800+sin2900 Kq2 L = 5

M = cos2150+cos2250 + cos2450 + cos2650+cos2750 Kq2 M =

25

Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau

a) sin6 + cos6 = 1 - 3sin2cos2

coscos

cot

2sin

2

tg g

2cos2sin

cot

22

x x

x

sin

2cos

1

cos1cos

1

cos1

x x

x

x x

cot4

cos2

cos2

sin

4sin2

sin2

x x

x x

x

sin

2sin

cos1cos

1

2sin

a

cos

1sin



a g a tg

sin

2)cos1(1sin

2coscot

1

2sin

o)

)cos1(cos

13

sin

sin

x x

x

x tgx

x g x

x

x x

x

x

2cot1

2cot1sincos

cossin

3cos

cossin 

x

cossin

1

cos2

1cos

1cos

1

12

cos1cos

1

cos1

1

sin1sin

1

sin1

x x

cos.sin212)cos(sin

2cos.2sin4

x

x x

4 sin 2

sin 2

cos

4 cos 2

cos 2

Bài 13 : Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc (độc lập với x )

A = cos6x+2sin6x+sin4xcos2x+4sin2xcos2x-sin2x

B =

x x

tg x x

x x

11)090(2sin

)090cos(

)0180(2sin2

x x

x x

x x

cossin

3cos3

sincos

sin

3cos3

a A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600)

b B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350

Bài 2: Đơn gian các biểu thức:

a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640

b) B= 2 Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan  cot(1800- ) (Với 00< <900)

Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin2x +cos2x = 1 ( 00  x  1800)

b)Tính sinx khi cosx = 3

5c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 2

3d) Chứng minh rằng 1 + tan2 x = 12

Bài 4 : Tính giá trị biểu thức:

A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700

B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350

Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng

a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC

7/ Cho ABC Chứng minh rằng :

a/ sinA = sin(B + C) b/ cosA = cos(B + C)

A = cos

Tích vô hướng của hai véctơ 

a vàb bằng tích vố hướng của véctơ a với hình chiếu b của véctơ ' b trên

đường thẳng chứa véctơ 

a

   

4/ Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

'+'

y x y x

yy xx

→

a →b  xx' + yy' = 0

MN = |MN | = → (x M_x N)2 +(y M _y N)2

5/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng  thay đổi, luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B

Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O)

P M/(O) = MO2 – R2 =MA MB   Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT2

0 a a

GA BC =0 vì GA  BC

Ví dụ 3: Trong Mp(Oxy) cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1)

a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N

b)Tính cos của góc MON

Cos MON = cos(OM ,ON )=-2.84.+172.1= 34

3-

c/ Tính độ dài trung tuyến AM

d/ Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi 2IA  IB = 0 ;



JB  2JC = 0 Tính IJ

6/ Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4)

a/ CMR ABC vuông tại A

ĐS: a)

-2

3

; 4

-1 b) 3 5

10/ Cho ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120o

a) Tính  

AB. 

AC và suy ra độ dài BC ?b) Tính độ dài trung tuyến AM ?

AD= 5

3  

AB + 5

2  

AC ; 2

-3 b) 5

3 6

Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4) Tam giác ABC là tam giác gì

Câu 9:Cho (O,5), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16

C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4) Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC:

Câu 15:Cho (O,30), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96

Câu 16:Chỉ ra công thức đúng

Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông tại C thì giá trị của m là :

a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7

Câu 20: Cho a=(m2 -2m+2 ; 3m-5), b=(2;1) Tìm giá trị của m để ab

Câu 22: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm:

* Phương tích của G với đường tròn đường kính BC

2a

-2a 2

* Phương tích của A với đường tròn đường kính BC

23a 4

Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a:

* Phương tích của A với đường tròn đường kính CD

B.Tư luận

Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1).

a) Chứng minh rằng tam giác vuông

b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp

c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 2: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6)

a) Tìm M  x’Ox để tam giác ABM cân tại M

b) Tìm N  y’Oy để tam giác ABN vuông tại N

c) Xác định H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm

d) Xác định C thỏa 3 AC - 4 BC = 2 AB

e) Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG

f) Xác định I  x’Ox để  IA + IB + IN  đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho A(-2;1) và B(4;5)

a) Tìm M  x’Ox để tam giác ABM vuông tại M

a) Tính cosin góc hợp bởi a và b ; avà i ; a và j; a+ b và a- b

b) Tìm số m và n sao cho m a+n b vuông góc a+ b

c) Tìm d biết a d= 4 và b d= -2

Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2).

a) Tam giác ABC là tam giác gì Tính diện tích tam giác

b) Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Tính G, H , I và CMR GH +2 GI = 0

Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)

a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

c) Tìm điểm M  trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B

d) Tam giác ABC là tam giác gì ?

e)Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

Bài 8: Cho  ABC có AB=7, AC=5, Â = 1200

a) Tính AB AC , AB BC

b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC)

Bài 9: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng:

DA BC + DB CA + DC AB =0

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy”

Bài 10: Cho  ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR:

BC AD +CA BE + AB CF =0

Bài 11 : Cho  ABC có AC= b, AB= c, góc BAC =  và AD là phân giác

của góc BAC ( D thuộc cạnh BC)

a) Hãy biểu thị AD qua AB , AC

Bài 12: Từ điển M ở ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B  (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của đường

tròn (0) cắt nhau tại I, IO  AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt cắt AB tạiC; cắt đường tròn (0) tại E, F

( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp:  : ICD, MCH)

Bài 13: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một

đường tròn khi và chỉ khi MA.MB=MC.MD

Bài 14: Trong mặt phẳng toạ độ cho → →i- 5→j

2

1

=

u và →v =k→i-4→jTìm các giá trị của k để :

Bài 15: Cho →a = (-2, 3), →b = (4,1)

a Tim côsin của góc giữa mỗi cặp vectơ sau :

Bài 16: Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ của

a Điểm M  ox sao cho  MAB vuông tại M

b Điểm N  oy sao cho NA = NB

c Điểm K  oy sao cho3 điểm A,K,B thẳng hàng

d Điểm C sao cho  ABC vuông cân tại C

Bài 17: Cho 3 điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4)

a Tính chu vi và diện tích  ABC

b Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’

c Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp  ABC; từ đó chứng minh 3 điểmI,H,G thẳng hàng

Bài 18: Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường

tròn

Bài 19: Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D.

Bài 20: Cho M cố định ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’ Gọi D là

giao điểm của TT’ và AB H và I lần lượt là trung điểm của của TT’ và AB

Bài 22: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD Tính IC ; ID

b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO tại E Tính OE

Bài 24: Cho (O;30); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT Đường thẳng IO cắt

đường tròn tại E và F Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64 Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF

Bài 25: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy tại H

CMR : HA HA = ' HB HB = ' HC HC '

Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài Qua M lần lượt

vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’)

CMR MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp

Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M

( không ở trên đường BC kéo dài) CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)

Bài 28: tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt

đường thẳng BC tại 1 điểm thứ 2 là E và cắt (O) tại D AD cắt BC tại F.Chứng minh rằng:

a) FB FC =. FE FM.

b) EB EC =. EF EM.

c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF

Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt nhau M Vẽ

MH vuông góc với OP

a) CMR : 5 điểm O , A , B, M , H ở trên 1 đường tròn

b) Tìm tập hợp M khi PAB quay quanh P

c)Gọi I là trung điểm AB, N là giao điểm của PAB và MH CMR PA PB =. PI PN.

Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3) Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M, N là 2 điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B AM và AN cắt (O) tại M1 và N1

a) CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp

b) Giả sử AB = BN = 10; BM = 5 Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1

Bài 32: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB H là hình chiếu của M xuống AB Đường tròn

đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E

a) CMR tứ giác APQB nội tiếp

b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy

Bài 33: Cho 3 điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự AB = 5 ; BC = 7 Đường tròn di động qua A , B có tâm

là O Vẽ 2 tiếp tuyến CT ; CT’ Gọi D là giao điểm TT’ với AB Gọi H; I lần lượt là trung điểm của đọan TT’, AB

Bài 35: Cho 2 đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài tại A Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ tại I và cắt

tiếp tuyến chung qua A tại M

a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’

b) CMR: IA2 = IB.IB’ Suy ra OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’

c) CMR : IM2 = IO.IO’ Suy ra BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’

§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Các kí hiệu trong tam giác

BC = a; AC = b; AB = c

ha = AH1; hb = BH2; hc = CH3

ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3

R : bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác

r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

p =

2

c b

a 

nửa chu vi

* Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C

* ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A

2 Định lý cosin trong tam giác

Với mọi tam giác ABC ta có:

a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ; b2 = a2 + c2 - 2acCosB ; c2 = a2 + b2 - 2abCosC

Ví dụ: Cho tam giác ABC có b=2 3 , c = 5 và cosA=

5

3 Tính cạnh còn lại

3 Định lý sin trong tam giác

Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC