Cơ sở grobner và các thuật toán ứng dụng

MỞ ĐẦU Tính toán hình thức hay còn gọi là Đại số máy tính Computer Algebra xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành độc lập.. Nếu như thời buổi đầu máy t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN -

Sinh viên thực hiện ĐÀO THỊ BÍCH HOÀI Lớp 47A – Khoa Toán – Trường Đại học Vinh

VINH 2010

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

CHƯƠNG 1 3

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Vành đa thức nhiều biến 3

1.2 Iđêan đơn thức 6

1.3 Thứ tự từ 7

CHƯƠNG 2 18

CƠ SỞ GRÖBNER VÀ ỨNG DỤNG 18

2.1 Iđêan khởi đầu và cơ sở Gröbner 18

2.2 Thuật toán chia 22

2.3 Thuật toán Buchberger 24

KẾT LUẬN 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 29

MỞ ĐẦU

Tính toán hình thức hay còn gọi là Đại số máy tính (Computer Algebra) xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành độc lập Nếu như thời buổi đầu máy tính chỉ thực hiện được những tính toán bằng số cụ thể, như giải phương trình với hệ số bằng số, tính tích phân xác định… thì với sự ra đời của Đại số máy tính người ta có thể giải phương trình với hệ số bằng chữ, tính tích phân bất định,… Đây là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học và khoa học máy tính Ngược lại sự phát triển của Đại số máy tính cũng có tác dụng tích cực trở lại trong nghiên cứu toán học lý thuyết Nhiều kết quả lý thuyết đã được phán đoán hoặc có được phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính

Hạt nhân của việc tính toán hình thức bằng máy tính trong Đại số giao hoán

và Hình học đại số chính là lý thuyết cơ sở Gröbner Lý thuyết này được nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa ra trong luận án tiến sĩ của mình vào năm

1965, dưới sự hướng dẫn của người thầy là Wolfgang Gröbner Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết cơ sở Gröbner là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường hợp các đa thức nhiều biến

Nghiên cứu về cơ sở Gröbner và một số thuật toán ứng dụng chính là nội dung của khóa luận này

Trong khóa luận này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ sở Gröbner, các tính chất của cơ sở Gröbner và các thuật toán ứng dụng, các tính chất của các đa thức dư Nó được thể hiện qua các mục sau:

Chương 1 Các kiến thức cơ sở

1.1 Vành đa thức nhiều biến

1.2 Iđêan đơn thức

1.3 Thứ tự từ

Chương 2 Cơ sở Gröbner và ứng dụng

2.1 Iđêan khởi đầu và cơ sở Gröbner

2.2 Thuật toán chia

2.3 Thuật toán Buchberger

Qua đó, chúng tôi đã đi vào nghiên cứu một số điều kiện một tập hữu hạn của iđêan I là cơ sở Gröbner, nghiên cứu một số tính chất về đa thức dư khi chia một đa thức cho một cơ sở Gröbner

Để hoàn thành được khóa luận này tác giả đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong Tổ Đại số Nhân dịp này, tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã tận tình dạy bảo trong chúng em trong suốt khóa học vừa qua

Mặc dù đã cố gắng nhưng khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn

Vinh, ngày 6 tháng 5 năm 2010 Tác giả

Đào Thị Bích Hoài

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Vành đa thức nhiều biến

1.1.1 Đa thức Cho R là một vành và x1 , ,x n n(  1) là các biến Ta gọi đơn thức là

 , trong đó  R được gọi là hệ số của từ Phần tử

của vành được gọi là phần tử vô hướng Hai từ khác không 1

n

a a a

Vì a  a  0 nếu a  0 hoặc a  0nên trong biểu thức của đa thức tổng cũng chỉ

có hữu hạn hệ số khác 0 Như vậy tổng của hai đa thức là một đa thức

Bằng cách nhóm các từ đồng dạng, ta có thể viết f x( ) dưới dạng:

1 1

Ta có a  0 khi và chỉ khi tồn tại b và c sao cho b  0 và c  0 để a  b c 0

Suy ra biểu thức của đa thức tích cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 hay tích của hai

đa thức là một đa thức

Với hai phép toán cộng và phép toán nhân đa thức nói trên tập tất cả các đa thức trên vành R là một vành giao hoán, có đơn vị là đơn thức 1 Kí hiệu vành này là R[x1, …, xn] hay R[x]

1.1.2 Vành đa thức Vành R[x1, …, xn] xây dựng như trên được gọi là vành đa

thức n biến trên vành R

1.1.3 Bậc của đa thức Bậc tổng thể của đa thức ( )

n

a a a

 Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R[x] cũng là miền nguyên

 Nếu R là miền nguyên thì với mọi đa thức f x g x( ), ( ) R x[ ] đều có

deg( ( ) ( ))f x g x  d egf ( ) deg ( )x  g x và deg( ( )f x g x( )) max d egf ( ),deg ( )  x g x

1.1.5 Định lí Hilbert về cơ sở Cho R là vành Noether và x là tập n biến Khi đó R[x] cũng là vành Noether

Hệ quả Mọi ideal của vành đa thức K[x] trên trường K là hữu hạn sinh

1.1.6 Định nghĩa Ước chung lớn nhất của các đa thức f1 , ,f nK x[ ] là đa thức h

sao cho:

(i) h chia hết f1 , , f n nghĩa là tồn tại các đa thức q1 , ,q nK x[ ] sao cho

1 1 , , n n

(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1, ,f n thì p chia hết h

Khi đó ta kí hiệu hUCLN f( , ,1 f n).

1.2 Iđêan đơn thức

1.2.1 Định nghĩa Iđêan I K x[ ] đƣợc gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các

đơn thức

Iđêan đơn thức có dạng I  (x a a; A), trong đó A  n

1.2.2 Bổ đề Cho I  (x a a; A) là iđêan đơn thức Đơn thức b

(ii) Mọi từ của f thuộc I

(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

1.2.4 Hệ quả Hai iđêan đơn thức trong một vành đơn thức bằng nhau nếu chứa cùng một tập đơn thức

1.2.5 Bổ đề Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f I, các từ của f

 Quan hệ  trên tập X đƣợc gọi là một thứ tự (bộ phận) nếu nó thoả mãn các

điều kiện sau với mọi x y z, , X :

 Một quan hệ có tính chất bắc cầu và với mọi x y, X thì x y hoặc y x

hoặc x và y không có quan hệ, sẽ sinh ra một quan hệ thứ tự (bộ phận) một cách tự nhiên: x y nếu và chỉ nếu x y hoặc x y Lạm dụng ngôn ngữ ta cũng gọi kiểu quan hệ này là thứ tự (bộ phận)

 Trên tập X có một thứ tự (bộ phận) , ta nói X là tập được sắp (bộ phận)

Nếu x y, X ; xy hoặc yx thì ta nói x y, so sánh đƣợc với nhau Ngƣợc lại x y,

không so sánh đƣợc với nhau

 Quan hệ thứ tự  trên X đƣợc gọi là thứ tự toàn phần (hoặc thứ tự tuyến tính)

nếu mọi cặp phần tử x y, X đều so sánh đƣợc với nhau Khi đó ta nói tập X là

tập được sắp hoàn toàn

 Quan hệ chỉ thoả mãn tính chất phản xạ và bắc cầu đƣợc gọi là giả thứ tự (bộ

 Định lí Nếu X là tập đƣợc sắp thì mọi tập con hữu hạn A của X luôn có phần

tử tối tiểu và phần tử tối đại Hơn nữa nếu X là tập đƣợc sắp hoàn toàn thì A

luôn có phần tử nhỏ nhất và lớn nhất

Chứng minh Vì A là tập hữu hạn nên giả sử Ax1 , ,x n

Đặt: A i xA xx ivới i 1,n Ta sẽ chứng minh tồn tại A i nào đó là tập rỗng hay không có phần tử nào trong A nhỏ hơn x i từ đó suy ra x i là phần tử tối tiểu của A + Nếu A1   thì x1 là phần tử tối tiểu của A

+ Nếu A1  thì tồn tại một phần tử khác x1 của A thuộc A1 Không mất tính tổng quát giả sử phần tử đó là x2 Nhƣ vậy x2 x1 Suy ra x x1, 2A2.(1)

+Nếu A   thì x là phần tử tối tiểu của A

+Nếu A2   thì tồn tại một phần tử của A thuộc A1 Theo (1) ta có phần tử

đó khác với x x1, 2 Không mất tính tổng quát giả sử phần tử đó là x3 Suy ra x3 x2

Do thứ tự có tính chất bắc cầu nên x3x1 Từ đó ta có x x x1, 2, 3A3

… Cứ tiếp tục như vậy, nếu các tập hợp A1, ,A n1 khác rỗng thì suy rax1 , ,x nA n

hay A n  

Tương tự bằng cách đặt B i xA xx ita cũng chứng minh được A có phần tử tối đại

Nếu tập X được sắp hoàn toàn thì A cũng là tập được sắp hoàn toàn Khi đó phần

tử tối tiểu chính là phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại chính là phần tử lớn nhất

 Định lí Cho X là tập vô hạn và  là tập các tập con thực sự của X Cho

1 , 2 ,

x x là một dãy vô hạn các phần tử của X Khi đó với quan hệ thứ tự bao hàm thức , mỗi phần tử của  đều nhỏ hơn hoặc bằng một phần tử tối đại, nhưng tập con được sắp hoàn toàn

AX \x x n, n1 , n không bị chặn trong (Điều này chứng tỏ bổ đề Zorn chỉ cho điều kiện đủ)

Chứng minh Ta sẽ chứng minh tập A được sắp hoàn toàn bởi quan hệ bao hàm thức nhưng không bị chặn trong 

+ Chứng minh là tập A được sắp hoàn toàn bởi quan hệ bao hàm thức

Đặt X n X\x x n, n1 ,  với n

Vì x x1 , 2 ,   x x n, n1 ,  nênX1  X n  Như vậy A là tập được sắp hoàn toàn gồm dãy tăng thực sự

+ Chứng minh mỗi phần tử của  đều nhỏ hơn hoặc bằng một phần tử tối đại Gọi Y là một tập con thực sự bất kì của  Khi đó tồn tại phần tử xX mà xY Suy ra YX\ x Mà YX \ x là phần tử tối đại trong 

+ Chứng minh A không bị chặn trong 

Giả sử A bị chặn trong  tức là tồn tại Y nào đó trong  sao cho

 1 

X x x  Yvới mọi n Vì Y nhỏ hơn phần tử tối đại X\ x nào đó của 

nên X\x x n, n1 , X \ x (*) Suy ra xx x1 , 2 ,  Nhƣ vậy x là một phần tử nào

đó của dãy vô hạn x x1 , 2 ,  hay tồn tại i sao cho ax i Khi đó,

x  x nếu và chỉ nếu  ( )a   ( )b Trong đó, hàm trọng số

 trên K[x] là một phiếm hàm tuyến tính n   n

Ta nói hàm trọng số  tương thích với thứ tự từ  nếu m1 m2 kéo theo m1m2 Thứ tự theo trọng là một thứ tự bộ phận, không phải là thứ tự từ

Cho 1, , s là các thứ tự bộ phận trên tập X Tích từ điển  của các thứ tự này là

quan hệ xây dựng như sau: với mọi x y, X x y,  nếu và chỉ nếu tồn tại 1  i s để

 Bổ đề Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại mọi thứ tự tốt trên M thoả mãn

điều kiện (b) của định nghĩa 1.3.2.1 là thứ tự từ

 Bổ đề Tích từ điển của các thứ tự theo trọng là thứ tự bộ phận trên M Hơn nữa, nếu tất cả các hàm trọng số nhận giá trị không âm trên n và thứ tự tích là

Vì x i x j nên theo 4.2.1.b ta có:

2 2

 Định lí Cho  là một thứ tự từ và m1 m2 Khi đó với thứ tự bất kì thì giữa m1

và m2 có thể có vô số đơn thức (tức là các đơn thức lớn hơn m1 và nhỏ hơn m2) Nhƣng với thứ tự từ phân bậc thì giữa m1 và m2 chỉ có hữu hạn đơn thức

Mặt khác với mỗi số tự nhiên a thì tồn tại hữu hạn bộ số ( , ,1 ) n

Với hai đơn thức a, b

(a) Với mọi đơn thức a

x ta có:

Vì a u i, i không âm với mọi i 1,n nên ta có

1

0

n

i i i

+ m m2, 3 không so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự  và m2 * m3

Vì m m2 , 3 không so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự  và m2 m3 nên

Vì * là thứ tự từ nên * có tính chất bắc cầu hay m1* m3 Vậy m1 m3

* Mọi m m1 , 2 M mà m1 m m2 , 2 m1 Ta sẽ chứng minh m1 m2 Thật vậy, giả sử

+ Nếu m1 m2 thì  ( )b   ( )c

Từ đó suy ra :  ( )a   ( )b   ( )a   ( )c   (a b  )  (a c) x a b x a c

+ m m, không so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự  và m  m

Vì m1m2 nên  ( )b   ( )c Từ đó suy ra mm1 mm2 và  (a b  )  (a c )nên mm mm1, 2

không so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự 

u vP k l s t  nên theo chứng minh trên ta có kutslvP

Do đó tồn tại g h,  n sao cho ktuslv g h mà g h

Nhƣ vậy, g i và h i đồng dƣ với nhau khi chia cho lt

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ GRÖBNER VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Iđêan khởi đầu và cơ sở Gröbner

2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu

2.1.1.1 Định nghĩa Cho  là một thứ tự từ và f  R K x[ , ,1 x n] Từ khởi đầu của

f kí hiệu là in( )f , là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ 

in f  x với 0    K, thì lc( )f   được gọi là hệ số đầu và ( ) a

lm f x là

đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ 

Nếu thứ tự từ  đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết in f( ) (tương ứng lc f lm f( ), ( )) thay cho in( )f (tương ứng lc( ),f lm( )f )

Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị tuỳ ý)

Từ khởi đầu còn gọi là từ đầu hay từ đầu tiên Như vậy, nếu trong biểu diễn chính tắc của đa thức f ta viết các từ theo thứ tự giảm dần, thì in f( ) sẽ xuất hiện đầu tiên Cách viết này cũng như từ khởi đầu phụ thuộc vào thứ tự từ đã chọn

2.1.1.2 Bổ đề Cho f g, R và mM Ta có:

(a) in fg( ) in f in g( ) ( )

(b) in mf( ) min f( )

(c) lm f( g) maxlm f lm g( ), ( )

Dấu “<” xảy ra khi in f( )  in g( )

2.1.2 Iđêan khởi đầu:

2.1.2.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành R và  là một thứ tự từ Iđêan khởi đầu của I kí hiệu là in I( ) là iđêan của R sinh bởi các từ dấu của các phần tử của

I, nghĩa là in I( )  (in( ),f f I)

Tương tự ta cũng có thể viết in I( ) thay cho in I( ) khi đã biết rõ thứ tự từ 

2.1.2.2 Bổ đề Cho  là một thứ tự từ và I J, là hai ideal của vành R Khi đó:

(a) Tập tất cả các đơn thức trong in I( ) là tập lm f( ) f I

(b) Nếu I là iđêan đơn thức thì in I( ) I

(c) Nếu I J thì in I( ) in J( ) Hơn nữa nếu I Jvà in I( ) in J( ) thì I J

(d) in I in J( ) ( ) in IJ( )

(e) in I( ) in J( ) in I( J)

2.1.2.3 Định lí Macaulay Với mọi thứ tự từ , tập B tất cả các đơn thức của Mnằm ngoài in I( )lập thành một cơ sở của không gian véctơ R I/ trên trường K 2.1.2.4 Định lí Cho ideal I R và  là một thứ tự từ trên R Khi đó:

(a) Nếu  là một thứ tự từ phân bậc và s thì

Tập g1 , ,g s được gọi là cơ sở Gröbner nếu nó là cơ sở Gröbner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này

Đôi khi người ta cũng gọi cơ sở Gröbner là cơ sở chuẩn tắc

2.1.3.2 Bổ đề Cho I là một ideal tuỳ ý của R Nếu g1, ,g s là cơ sở Gröbner của

Iđối với thứ tự từ nào đó thì g1, ,g s là cơ sở của I

2.1.3.3 Cơ sở Gröbner tối tiểu

 Định nghĩa Cơ sở Gröbner tối tiểu của Iđối với một thứ tự từ đã cho là một

cơ sở Gröbner G I thoả mãn các tính chất sau:

(b) Mọi gG không tồn tại g' G để in g( ') \in g( )

 Hệ qủa Cho  là một thứ tự từ Khi đó, mọi iđêan đều có cơ sở Gröbner tối tiểu và mọi cơ sở Gröbner tối tiểu của cùng một iđêan đều có chung một số

lƣợng phần tử và chung tập từ khởi đầu

2.1.3.4 Cơ sở Gröbner rút gọn

 Định nghĩa Cơ sở Gröbner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở Gröbner G của I thoả mãn các tính chất sau:

(b) Với mọi gG và mọi từ m của g không tồn tại g' G\ g để in g( ') \m

 Mệnh đề Cho I  0 Khi đó với mỗi thứ tự từ I có duy nhất một cơ sở

Gröbner rút gọn

2.1.3.5 Định lí Cho GI là tập hữu hạn của ideal I Khi đó, G là cơ sở Gröbner nếu và chỉ nếu mọi f I, in f( ) chia hết cho in g( ) của gG nào đó

Chứng minh Giả sử Gg1 , ,g s

Ta có: G là cơ sở Gröbner của I in I( )  ( (in g1), , (in g s))

Ta sẽ chứng minh in I( )  ( (in g1), , (in g s)) mọi f I, in f( ) chia hết cho in g( ) của

gG nào đó

)

 Giả sử in I( )  ( (in g1), , (in g s))

Với mọi f I thì in f( ) in I( )  ( (in g1), , (in g s)) Theo bổ đề 2.2 phải tồn tại g kG

nào đó sao cho in f( ) chia hết cho in g( k)

Vì f  ( , ,x1 x n) nên đa thức f có dạng i .1

i

f m   trong đó m i là các từ khác 1

và 0    K

Ta sẽ chứng minh G là cơ sở Gröbner của I

Thật vậy, với mọi đa thức hI ta có in h( )luôn chia hết cho 1 in(1)

Theo định lí 2.1.3.5 suy ra G là cơ sở Gröbner của I

Rõ ràng với mọi đa thức trong R luôn biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các đa thức của Gx1 , ,x n,1 Vậy ( , ,x1 x n, )f R

2.1.3.7 Định lí Cho S là tập sinh đơn thức của in I( ) Với mỗi mS kí hiệu g m là

đa thức tối tiểu trong I có in g( m) m Khi đó g m m S lập thành cơ sở Gröbner rút gọn của I

Chứng minh Chú ý rằng in I( ) là iđêan đơn thức Theo bổ đề Dickson ta có in I( )

hữu hạn sinh Do đó ta chứng minh với S là tập sinh tối tiểu hữu hạn Nhƣ vậy

g m m S có hữu hạn phần tử và hiển nhiên g m m SI

Với mọi đa thức f I ta có in f( ) in I( ) Suy ra in f( )chia hết cho mSnào đó hay

( )

in f chia hết cho in g( m) Theo định lí 4.3.5 suy ra g m m Slà cơ sở Gröbner của

I

Bây giờ ta sẽ chứng minh g m m Slà cơ sở Gröbner rút gọn của I

(i) Rõ ràng lc g( m)  1 với mọi mS

(ii) Với mọig m1và mọi từ m của g m1 ta chứng minh không tồn tại

Vì m2 in g( m2) \m nên m in I ( ) Suy ra tồn tại đa thức gI sao cho in g( ) m Vì I

là iđêan nên đa thức hg m1 g I Mà min g( m1)nên in h( ) in g( m1) Hơn nữa

m

hg Điều này mâu thuẫn với cách chọn g m Vậy điều giả sử là sai