Bài nghiên cứu về tính toán hệ số nền

Nguyễn Thái Bình - Trường Cao đẳng Công nghệ - Kinh tế và Thủy lợi Miền Trung Tóm tắt: Khi tính toán dầm trên nền đàn hồi bằng mô hình nền Winkler thì việc lựa chọn hệ số nền k là một

LỰA CHỌN GIÁ TRỊ HỆ SỐ NỀN k KHI TÍNH TOÁN DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH WINKLER

ThS Nguyễn Thái Bình - Trường Cao đẳng Công nghệ -

Kinh tế và Thủy lợi Miền Trung

Tóm tắt: Khi tính toán dầm trên nền đàn hồi bằng mô hình nền Winkler thì việc

lựa chọn hệ số nền k là một điều không dễ dàng Bởi vì giá trị của k không phải là duy nhất cho từng loại đất Trong thực tế các dầm đặt trên nền đất thường không đồng chất hoặc có nhiều lớp với chiều dày và hệ số nền khác nhau Bài viết này giới thiệu các phương pháp tính dầm trên nền đàn hồi, các phương pháp xác định hệ số nền k và ảnh hưởng của chiều sâu nền đến hệ số nền k Trên cơ sở đó người đọc cân nhắc hơn khi lựa chọn một hệ số nền k hợp lý trong việc tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô

hình nền Winkler

1 Đặt vấn đề:

Khi xây dựng các công trình xây dựng cơ bản nói chung và các công trình thủy lợi nói riêng thì nền móng là bộ phận quan trọng của công trình Chúng thường đặt trực tiếp trên các nền đất, nền đá, nền nhân tạo Do các nền đều có tính đàn hồi nên người ta gọi tên chúng là dầm trên nền đàn hồi Khi giải bài toán dầm trên nền đàn hồi người ta thường phải sử dụng các giả thuyết về nền Mỗi giả thuyết mô phỏng khái quát về các đặc tính chung của nền, từ đó đưa ra các lời giải tương ứng Cho đến nay

đã có rất nhiều các giả thuyết khác nhau về nền nhưng giả thuyết Winkler được dùng nhiều hơn cả Ông đã giả thuyết nền biến dạng đàn hồi cục bộ Điều đó cho phép coi nền đàn hồi gồm các lò xo không liên quan với nhau và cường độ phản lực của đất tại mỗi điểm tỉ lệ bậc nhất với độ lún đàn hồi tại điểm đó thông qua hệ số nền đàn hồi k không đổi cho mỗi loại đất Đó là điều không dễ dàng để xác định giá trị k này bởi vì

nó không phải là duy nhất cho từng loại đất, như được đề cập đến trong một số sách kỹ thuật về nền móng Thông thường, trong thực tế các dầm đặt trên nền đất thường là không đồng chất hoặc có nhiều lớp với chiều dày và hệ số nền khác nhau Vì vậy cần tìm ra một hệ số nền để ứng xử cho phù hợp với từng điều kiện chất đất cụ thể là một việc làm hết sức cần thiết

Nội dung bài viết này giới thiệu các phương pháp giải bài toán dầm trên nền đàn hồi Từ đó so sánh lựa chọn phương pháp và đưa ra định hướng cho những người tính toán dầm trên nền đàn hồi việc cân nhắc khi lựa chọn hệ số nền k

2 Các phương pháp tính kết cấu dầm trên nền đàn hồi

2.1 Phương pháp đảo dầm:

Xét một dải ngang của công trình (thẳng góc với dòng chảy) có chiều dài đơn

vị, chẳng hạn như bản đáy cống, lấy phản lực nền tại dải này làm tải trọng tác dụng và xem bản đáy là dầm đơn hoặc dầm liên tục có các trụ giữa hoặc các tường chắn đất là gối tựa Nếu lật ngược bản đáy thì ta có dạng thông thường của dầm chịu tải trọng do

đó gọi phương pháp này là phương pháp đảo dầm hay phương pháp dầm đảo ngược

Dùng phương pháp cơ học kết cấu xác định nội lực trong bản đáy và tính toán cốt thép chịu lực theo hướng ngang, còn theo hướng dọc đặt cốt thép cấu tạo

Để tính toán phản lực nền theo phương dòng chảy có thể sử dụng công thức nén lệch tâm của sức bền vật liệu, sự phân bố của nó theo qui luật đường thẳng, còn theo phương ngang tại một mặt cắt bất kỳ xem như phân bố đều

2.2 Phương pháp tra bảng:

Theo phương pháp này có các bảng tra sẵn của B.N Rêmôts - Kin và của M.I Gô-rơ-bu-nốp Pac-xa-đốp, nhưng bảng của M.I Gô-rơ-bu-nốp Pac-xa-đốp thường được dùng nhiều hơn

Phương pháp M.I Gô-rơ-bu-nốp Pac-xa-đốp dựa vào giả thiết độ võng của dầm

và độ lún của nền tại một điểm phải bằng nhau; tức y(x) = S(x), trong đó: y, S là độ võng của dầm và độ lún của nền

2.3 Phương pháp hệ số nền Winkler:

y

p(z) Hình 1

Xét một đoạn dầm có độ cứng EJ

không đổi đặt trên nền đàn hồi và chịu tải

trọng phân bố dọc theo trục dầm q(z) như hình

1 Giả thiết rằng khi chịu lực, dầm và nền

không bong tách khỏi nhau, có nghĩa là độ

võng của dầm luôn luôn bằng độ lún của nền

tại mọi điểm Gọi y(z) là độ võng của dầm hay độ lún của nền tại mặt cắt bất kỳ có hoành độ z, theo Winkler ta có phản lực nền:

p(z) = k y(z)

2.4 Lựa chọn phương pháp:

Như vậy cần lựa chọn ra một phương pháp tính kết cấu trên nền đàn hồi là hết sức cần thiết nhằm đảm bảo cho quá trình tính toán sao cho công trình làm việc phù hợp với thực tế

Đối với phương pháp đảo dầm việc cho rằng phản lực nền lên dầm phân bố đều theo bề rộng của dầm và phân bố theo quy luật bậc nhất theo chiều dài dầm, nên dầm trên nền đàn hồi được tính toán dễ dàng như một dầm tĩnh định hoặc dầm liên tục Giả thuyết này quá thô sơ vì bất luận độ cứng của dầm ra sao và tính chất đàn hồi của nền như thế nào thì phương pháp này đều cho rằng phản lực nền đều là hàm bậc nhất dọc theo chiều dài của dầm Vì vậy các kết quả tính toán dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết này gần như không phù hợp với thực tế Chỉ trong trường hợp dầm có độ cứng rất lớn đặt trên nền rất mềm hoặc trên nền phao thì giả thuyết này mới cho kết quả tương đối phù hợp Do đó mà hiện nay khi thiết kế sơ bộ hoặc thiết kế những công trình loại nhỏ có thể sử dụng phương pháp này

Phương pháp tra bảng của M.I Gô-rơ-bu-nốp Pac-xa-đốp hơn hẳn phương pháp đảo dầm ở chỗ đã xét đến sự làm việc tương tác giữa dầm và nền nhưng chưa xét đến tính chất cơ học của nền Phương pháp này còn có ưu điểm là tra bảng nên tương đối

thuận tiện trong tính toán

Phương pháp hệ số nền Winkler đã xét đến sự làm tương tác giữa dầm và nền,

đã coi phản lực của nền tại một điểm là một đại lượng có liên quan chặt chẽ đến độ cứng của dầm thông qua độ võng của dầm và tính chất cơ học của nền thông qua hệ số nền k Vì vậy kết quả tính toán dầm trên nền đàn hồi theo phương pháp này cho kết quả khá phù hợp với thực tế, nhất là trong trường hợp nền là lớp đất mềm và tương đối mỏng nằm phía trên lớp đá cứng Tuy nhiên phương pháp này cũng có nhược điểm là chỉ mới xét đến tính đàn hồi của nền theo phương thẳng đứng mà thôi Thực tế chỉ ra rằng nền không chỉ bị lún trong phạm vi dưới đáy dầm mà còn bị lún ngoài phạm vi của đáy dầm nữa

Từ những phân tích như trên, hiện nay trong thiết kế sơ bộ và thiết kế các công trình nhỏ không quan trọng người ta sử dụng phương pháp đảo dầm và phương pháp tra bảng Khi thiết kế các công trình có quy mô lớn người ta sử dụng phương pháp tra bảng và phương pháp hệ số nền Winkler Trong đó phương pháp hệ số nền Winkler đã

và đang được áp dụng rộng rãi ở nhiều nước trên thế giới, nhất là ở Mỹ và các nước Tây Âu

3 Các phương pháp xác định hệ số nền k

Căn cứ vào bản chất của hệ số nền Winkler là quan hệ giữa ứng suất và độ lún (thông qua môđun biến dạng), từ đó ta có các phương pháp xác định hệ số nền

3.1 Phương pháp thí nghiệm

Có nhiều phương

pháp xác định hệ số nền

Phương pháp thí nghiệm

tại hiện trường là chính

xác nhất Một bàn nén

vuông có kích thước

1mx1m, chất tải, tìm

quan hệ giữa ứng suất

gây lún và độ lún (hình

2)

σ (kG/cm2)

S (cm)

S

Smin

σmin

σ

Hình 2

Hệ số nền xác

định bằng công thức:

min min

k S

σ

trong đó: σmin - ứng suất gây lún ở giai đoạn nén đàn hồi (kG/cm2), ứng với độ lún bằng 1/4 ÷ 1/5 độ lún cho phép S

Smin - độ lún trong giai đoạn đàn hồi, ứng với ứng suất σmin

3.2 Phương pháp thực hành

3.2.1 Cơ sở lý thuyết

Dựa vào cách tính lún theo phương pháp lớp tương đương:

trong đó: S - độ lún của móng (cm)

σ - ứng suất gây lún (kG/cm2)

htđ - chiều dày lớp tương đương (xem hình 3)

ao - hệ số nén tương đối:

ao =

E

β

(3) 2

2 1 1

ν

β = −

ν - hệ số nở hông, phụ thuộc vào loại đất (bảng 1)

Bảng 1: Trị số ν, β và A của các loại đất

E - mô đun biến dạng tiêu chuẩn (kG/cm2)

htđ

hi

h1

h2

zi

z2

z1

Hình 3

3.2.2 Phương pháp thực hành xác định hệ số nền

Theo phương pháp lớp tương đương:

trong đó: A = (1 )2

1 2

− ν

ω - hệ số ứng với độ lún trung bình, phụ thuộc vào tỷ số hai cạnh của móng, với móng cạnh vuông có ω = 0.95

Do đó, theo (2), (3) và (5) ta có:

S = 0.95

E

Thay các trị số β, A trong bảng 1 vào (7) cho thấy có thể xác định độ lún S của móng vuông đối với tất cả các loại đất xấp xỉ bằng:

S = b E

σ

(8)

Từ công thức (1), ứng suất gây lún trong giai đoạn đàn hồi σmin có thể lấy gần đúng bằng 1/2 ứng suất gây lún và độ lún trong giai đoạn đàn hồi Smin bằng 1/4 độ lún cho phép S

Khi đó, công thức xác định hệ số nền viết thành:

2.E k b

trong đó: E - mô đun biến dạng tiêu chuẩn của đất dưới đáy móng (kG/cm2)

b - chiều rộng của thanh tiếp đất (cm)

3.3 Một số phương pháp khác xác định hệ số nền k

Trong điều kiện thiếu số liệu thí nghiệm, người ta có thể xác định hệ số nền k theo cách tra bảng và ước lệ Phương pháp tra bảng được nhiều người đề cập đến, tuy nhiên, kết quả của nó không được chính xác, bởi vì chỉ dựa vào phân loại đất và một

số chỉ tiêu cơ lý của đất đặt móng là chưa hợp lý, mặt khác phạm vi tra bảng lại rất rộng nên khó chọn lựa đúng trị số k Còn phương pháp ước lệ chỉ là phương pháp định lượng tương đối, không có cơ sở khoa học Cả hai phương pháp đều không dựa vào

ứng suất gây lún và độ lún tương ứng

3.3.1 Phương pháp tra bảng

- Cách thứ nhất: Dựa vào phân loại đất và độ chặt của lớp đất dưới đáy móng

- Cách thứ hai: Dựa vào phân loại đất, thành phần hạt, hệ số rỗng và độ sệt của lớp đất đặt móng

3.3.2 Phương pháp ước lệ

Một số nhà thiết kế dựa vào cường độ tiêu chuẩn của lớp đất dưới đáy móng, lấy bằng 1÷2 giá trị cường độ tiêu chuẩn của đất Rtc, thứ nguyên kG/cm2

3.4 Xác định hệ số nền k cho nền không đồng chất

Khi nền không đồng chất, ngoài phương pháp thí nghiệm thì để xác định hệ số nền k ta có thể thực hiện theo phương pháp thực hành như đã trình bày ở mục 3.2.2

3.5 Xác định hệ số nền k cho nền có nhiều lớp

Cũng giống như khi xác định hệ số nền cho nền không đồng chất, khi nền có nhiều lớp (hình 4) trong điều kiện không thể thí nghiệm thì xác định hệ số nền k theo phương pháp thực hành Khi đó, công thức xác định hệ số nền được viết dưới dạng:

tb

2.E k b

trong đó: Etb = i i i

2

E h z 2b

∑

(11)

Ei - mô đun biến dạng tiêu chuẩn của lớp đất thứ i

hi - chiều dày lớp đất thứ i

zi - khoảng cách từ trọng tâm lớp đất thứ i đến đỉnh tam giác gây lún có chiều cao 2b (hình 4)

hi

h1

h2

zi

z2

z1

Hình 4

4 Nghiên cứu mô hình b

4.1 Đối tượng và phạmằng phương pháp phần tử hữu hạn vi nghiên cứu:

inkler, trong phạm vi của bài viết này, tác

ướng và đàn hồi

thiết nền là đàn hồi tuyến tính

m trên nền đàn hồi chịu 2 loại lực tác

định hệ số nền k của Biot (1937):

Trên cơ sở lựa chọn mô hình nền W

giả giữ nguyên các yếu tố: Môđun đàn hồi của đất Es, hệ số poisson của đất νs, môđun đàn hồi của bê tông E, hệ số poisson của bê tông ν, kích thước dầm (chiều cao dầm h,

bề rộng dầm lấy bằng 1 m), coi nền chỉ có 1 lớp và thay đổi chiều sâu nền để nghiên cứu ảnh hưởng của chiều sâu nền đến hệ số nền k với các giả thuyết:

- Vật liệu của kết cấu được coi là liên tục, đồng chất, đẳng h

tuyến tính

Bài viết cũng chỉ tính toán dầm dài 10

dụng là lực phân bố đều q = 50 kN/m và lực tập trung P = 100 kN đặt tại giữa dầm Các kết quả tính toán được sử dụng bởi 2 phần mềm PLAXIS và SAP 2000 (hệ số nền

k theo tra bảng, theo Biot và Vesic)

Phương trình thực nghiệm xác

0.108 4

0.95Es B Es

k

hệ số nền k của Vesis (

4

2 s

k

=

hồi của đất

ốn của dầm

trong đó: Es: môđun đàn

νs: hệ số Poisson của đất B: bề rộng dầm

EI: độ cứng khi u

4.2 Kết quả bài toán:

4.2.1 Trường hợp dầm chịu tải trọng tập trung ở giữa:

-20

0

20

40

60

80

100

120

140M (kN.m)

Sap-hệ số nền theo tra bảng Sap-hệ số nền theo Biot Sap-hệ số nền theo Vesic

L (m)

Plaxis

Hình 5: Biểu đồ mômen uốn xuất hiện trong dầm chịu tải trọng tập trung P = 100 kN

15 m bằng phần mềm

100 kN

dầm dài 10m, (bxh) = (1x0.5)m, E = 2x107 kN/m2, ν = 0.15

Es = 104 kN/m2, νs = 0.30, Hnền = 4 m

ng một dữ liệu ban đầu, mômen uốn m tính theo PLAXIS cho giá trị cao hơn so với tính bằng phần mềm SAP 2000 Trong các hệ số nền đưa vào phần mềm SAP 2000 để tính thì giá trị k tính theo Vesic sẽ cho giá trị mômen uốn max gần với giá trị mômen uốn max khi tính toán dầm trên nền đàn hồi bằng phần mềm PLAXIS (dầm làm việc đồng thời với nền)

Các kết quả tính toán khi độ sâu nền thay đổi từ 2 m đến

Plaxis và phần mềm Sap 2000 được thể hiện qua các bảng 2 đến bảng 5

Bảng 2 Kết quả mômen uốn max của dầm 10 m chịu lực tập trung P=

tính theo chương trình Plaxis

Mmax

Bảng 3 Kết quả mômen uốn max của dầm 10 m chịu lực tập trung P=100 kN

tính theo hệ số nền tra bảng chạy bằng chương trình Sap 2000

Mmax

tính theo hệ số nền của Biot chạy bằng chương trình Sap 2000

Mmax

tính theo hệ số nền củaVesic chạy bằng chương trình Sap 2000

Mmax

4.2.2 Trường hợp dầm chịu tải trọng phân bố đều:

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

M (kN.m)

Sap-hệ số nền theo tra bảng Sap-hệ số nền theo Biot Sap-hệ số nền theo Vesic

L (m)

Plaxis

Hình 6: Biểu đồ mômen uốn xuất hiện trong dầm chịu tải trọng phân bố đều q = 50 kN/m

c kết quả tính toán khi độ sâu nền thay đổi từ 2 m đến 15 m bằng phần mềm

Bảng 6 Kết quả mômen uốn max của dầm 10 m chịu lực phân bố đều q = 50 kN/m tính

dầm dài 10m, (bxh) = (1x0.5)m, E = 2x107 kN/m2, ν = 0.15

Es = 104 kN/m2, νs = 0.30, Hnền = 4 m giá trị mômen uốn xuất hiện khi tính

2000 cho các trường hợp hệ số nền là không đáng kể Trong khi đó việc tính theo dầm làm việc đồng thời với nền bằng phần mềm PLAXIS thì mômen uốn trong dầm tương đối lớn

Cá

Plaxis và phần mềm Sap 2000 được thể hiện qua các bảng 6 đến bảng 9

theo chương trình Plaxis

Mmax

Bảng 7 Kết quả mômen uốn max của dầm 10 m chịu lực phân bố đều q = 50 kN/m

tính theo hệ số nền tra bảng chạy bằng chương trình Sap 2000

Mmax

Bảng 8 Kết quả mômen uốn max của dầm 10 m chịu lực phân bố đều q = 50 kN/m

tính theo hệ số nền của Biot chạy bằng chương trình Sap 2000

Mmax

Bảng 9 Kết quả mômen uốn max của dầm 10 m chịu lực phân bố đều q = 50 kN/m

tính theo hệ số nền củaVesic chạy bằng chương trình Sap 2000

Mmax

dầm trong cả 2 trường hợp chịu lực của dầm được thể hiện ở hình 7 ổn ợp ảnh ưởng c chiều u nền môm uốn m x xuất hiện tro

0

20

40

60

80

100

120

140

160Mmax (kN.m)

Plaxis Sap - hệ số nền theo tra bảng Sap - hệ số nền theo Vesic Sap - hệ số nền theo Biot

H(m)

Hình 7: Đồ thị quan hệ giữa mômen uốn max và chiều sâu lớp đất nền

dầm dài 10m, (bxh) = (1x0.5)m, E = 2x107 kN/m , ν = 0.15, E = 104 kN/m2, ν = 0.30

i chiều sâu nền H

mômen uốn theo mô hình

hệ số nền tính theo Vesic gần với khi tính theo mô hình dầm làm việc

ư bằng không

Tải tập trung Tải phân bố đều

2

hi dầm chịu tải trọng tập trung c ng nh chịu tải trong phân bố ều,

ômen uốn max xuất hiện trong dầm tính bằng phần mềm SAP 2000 không đổi khi m

chiều sâu nền thay đổi Trường hợp dầm chịu tải trọng tập trung thì giá trị mômen uốn max tính theo hệ số nền của Vesic lớn hơn 18.49% so với tính theo hệ số nền của Biot

và lớn hơn 107.52% so với tính theo hệ số nền bằng cách tra bảng

Trái lại khi tính dầm làm việc đồng thời với nền bằng phần mềm PLAXIS trong

cả 2 trường hợp đều có giá trị mômen uốn max tăng rất mạnh kh

≤10m, ảnh hưởng của độ sâu nền đến mômen uốn max xuất hiện trong dầm là đáng kể theo quy luật đường cong Khi chiều sâu nền H>10m, ảnh hưởng của độ sâu nền đến mômen uốn max xuất hiện trong dầm là không đáng kể và có xu hướng giữ nguyên một giá trị mômen uốn max nếu tiếp tục tăng chiều sâu H

5 Kết luận

* Khi dầm chịu tải tập trung ở giữa, kết quả biểu đồ

Winkler với

đồng thời với nền tính theo Plaxis Điều đó chứng tỏ phương trình xác định hệ số nền

k của Vesic gần sát với thực tế hơn so với các hệ số nền tính theo Biot hay theo cách tra bảng dựa vào tính chất cơ lý của lớp đất nền

* Hệ số nền k trong mô hình Winkler phụ thuộc vào chiều sâu nền: Chiều sâu nền làm tăng rất mạnh theo quy luật đường cong đến giá trị mômen uốn max xuất hiện trong dầm Tuy nhiên sự ảnh hưởng này có giới hạn khi chiều sâu đạt đến một giá trị nào đó thì nó sẽ không còn ảnh hưởng đến giá trị mômen uốn max xuất hiện trong dầm Vì vậy khi tính toán dầm trên nền đàn hồi theo mô hình Winkler cần đưa chiều sâu nền vào công thức tính hệ số nền theo 1 hàm của chiều sâu nền H

* Khi tính dầm trên nền đàn hồi theo mô hình Winkler với dầm chịu tải trọng phân bố đều thì mômen uốn xuất hiện trong dầm không đáng kể, coi nh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Nguyễn Thái Bình (2009), Nghiên cứu hệ số nền k khi tính toán dầm trên nền đàn

s - Ứng dụng vào

ỗ Khắc Phương, Nguyễn Nội

học Thủy Lợi

à Nội

uật, Hà Nội

, Nxb Xây dựng, Hà Nội

CHOOSING VALUES OF k WHEN CALCULATING BEAMS ON ELASTIC

FOUNDATION BY THE WINKLER MODEL

ương (2003), Cơ học đất, Nxb Xây d

2

hồi, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Thủy lợi, Hà Nội

3 Đỗ Văn Đệ, Nguyễn Ngọc Hưng, Đỗ Tiến Dũng, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Sỹ Han,

Nguyễn Thành Thắng, Nguyễn Hải Nam (2008), Phần mềm Plaxi

tính toán các công trình thủy công, Nxb Xây dựng, Hà Nội

4 Lê Anh Hoàng (2004), Nền và Móng, Nxb Xây dựng, Hà Nội

5 Phạm Ngọc Khánh, Nguyễn Ngọc Oanh, Đoàn Văn Đào, Đ

Công Thắng (2006), Sức bền vật liệu, Nxb Từ điển Bách khoa, Hà

6 Vũ Công Ngữ (1998), Tính toán và thiết kế móng nông, Trường Đại học Xây Dựng

7 Hồng Tiến Thắng (2006), Hướng dẫn sử dụng Sap 2000, Trường Đại

8 Đặng Tỉnh (2002), Phương pháp phần tử hữu hạn tính toán khung và móng công trình làm việc đồng thời với nền, Nxb Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội

9 Hoàng Đình Trí, Đoàn Hữu Quang, Lý Trường Thành, Dương Văn Thứ, Phạm

Khắc Thưởng (1999), Giáo trình Cơ học kết cấu, Nxb Nông nghiệp, H

10 Nguyễn Xuân Trường, Trịnh Bốn (1977), Công trình thủy lợi - Tập II, Trường Đại

học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh

11 Nguyễn Hữu Anh Tuấn, Đào Đình Nhân (2008), "Sap 2000", Thực hành phân tích

và thiết kế kết cấu, Nxb Khoa học và kỹ th

12 Ngô Trí Viềng, Phạm Ngọc Quý, Nguyễn Văn Mạo, Nguyễn Chiến, Nguyễn

Phương Mậu, Phạm Văn Quốc (2004), Thủy công - tập 2

Abstract:

lating beams on elastic foundation by the Winkler

values of k is not easy Because the value of k is not unique foreach soil type In fact the beam on the ground are not homogeneous or multi-layer thickness and the different k This article introduces the method of beam on elastic foundation, the method of determining the k and the effect of depth to the k On that basis the reader

to consider when choosing the k reasonably in the calculation of beam on elastic foundation by the Winkler model